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保险精算第四章趸缴纯保费的计算原理(讲课版) (1)

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(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)

(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)

2014年保险事务专业保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()222x x v b q e p +与δ。

7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。

8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。

11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。

A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。

保险精算学趸缴纯保费培训

保险精算学趸缴纯保费培训

保险精算学在趸缴纯保费计算 中的具体应用
• 保险精算学在趸缴纯保费计算中的具体应用 • 生命表的应用：生命表是保险精算学的重要工具，用于计算寿 险产品的趸缴纯保费 • 利率假设的应用：利率假设是保险精算学的重要参数，用于计 算趸缴纯保费和保险公司的盈利水平 • 风险费率的确定：风险费率是保险精算学的重要指标，用于衡 量保险产品的风险程度和保险公司的承受能力
保险精算学面临的挑 战
Байду номын сангаас
• 保险精算学面临的挑战 • 数据质量：随着数据量的增加，数据质量的问题日益突出，如 何提高数据质量和处理能力是保险精算学面临的重要挑战 • 技术更新：保险精算学需要不断更新技术，如人工智能、机器 学习等，以适应保险行业的发展和变化 • 人才短缺：保险精算学需要大量的专业人才，如保险精算师、 数据分析师等，如何培养和提高人才素质是保险精算学面临的 重要挑战
趸缴纯保费的计算方法与公式
趸缴纯保费的计算方法
• 均衡保费法：根据保险精算学原理，将保险合同生效期 间的风险均衡分配到每个缴费期，计算趸缴纯保费 • 现值法：根据保险精算学原理，将保险合同生效期间的 未来收益现值与未来损失现值相等，计算趸缴纯保费
趸缴纯保费的计算公式
• 均衡保费法：趸缴纯保费 = (保险金额 × 风险费率) / 保 险期限 • 现值法：趸缴纯保费 = 保险合同生效期间的未来收益现 值 / (1 + 利率) ^ 保险期限
保险精算学在趸缴纯保费计算中的局限性
• 数据依赖：保险精算学计算趸缴纯保费需要大量数据支持，数据的质量和完整性影响计算 结果 • 假设影响：保险精算学计算趸缴纯保费需要依赖一定的假设，如利率假设、死亡率假设等， 假设的准确性影响计算结果 • 计算复杂：保险精算学计算趸缴纯保费涉及多种因素和公式，计算较为复杂，需要专业的 保险精算师进行操作

实验_趸缴纯保费的计算1

实验_趸缴纯保费的计算1

实验 趸缴纯保费的计算实验目的：掌握趸缴纯保费的相关知识。

要求学生熟悉死亡即付寿险、死亡年末给付的寿险的计算，同时了解死亡即付寿险与死亡年未给付寿险的趸缴纯保费的关系以及递增型寿险与递减型寿险的关系，要求学生掌握利用Excel 计算趸缴纯保费的方法。

基本假设纯保费(net prenuim)是指只覆盖保障风险的费用，不包含经营管理费用和附加利润。

在厘定纯保费时要遵循纯保费均衡原理，纯保费均衡原理是指保险人收取的纯保费应该恰好等未来的保险赔付金。

各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应该遵循这条基本原则。

趸缴是一种缴费形式，是指将所有的费用一次性缴清。

趸缴纯保费(net single prenuim)是指在保单生效日，被保险人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。

运用均衡原则厘定纯保费时，一般遵循如下三条假定：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立、同分布； 假定二：实保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合； 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。

以上三条假定的意义是将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故加以考虑。

对于单个被保险人而言，他何时发生风险事故，他和保险人约定的受益金额等于多少都是无法预测的，但是对于一个大数总体而言，剩余寿命的分布是有稳定的统计规律的，可以用生命表很好地测度。

所以可以用总体的剩余寿命分布来测度在各个时点的索赔发生的概率，再根据约定的各个时点的赔付额以及考虑利息因素的影响，就可以综合测定纯保费了。

趸缴纯保费的定义 赔付额现值Z 的概率分布若被保险人t 时刻死亡即刻给付1元保险赔付额，设赔付额现值变量为Z ，则x t e v Z t t -<≤==-ωδ0,其中，t 为(x)的余命，余命随机变量T(x)的概率密度函数为)()(t f x T 。

那么赔付额现值Z 小于P 的概率这：)Pr()Pr()Pr(P e P v P Z t t <=<=<-δ不等号两边同时取对数，得)ln Pr()ln Pr()Pr(δδPt P t P Z ->=<-=<也就是说，求赔付额现值Z 小于P 的概率可以转换为求余命t 大于δPln -的概率，或通过余命t 的分布可以求得保险赔付额现值Z 的概率分布。

《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费

《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费
（2）半连续式的年缴纯保费
答案
答案
全离散式分两次缴付的年缴纯保费计算 半连续式分两次缴付的年缴纯保费计算
例 4.5.2
对于（40）的人，投保5000元的全离散 式25年定期保险，用换算函数表和年利 率6%。在UDD假设下求：
（1）普通年缴纯保费 （2）季缴纯保费 （3）月缴纯保费
x xx
xa
x
终身寿险-普通
下面考察保险人损失L的方差
(3)Var
(
L)
Var
(v
K
1
Px
a K
1
)
Var(vK 1
Px
1 vK 1 d
)
Var(vK 1(1
Px d
)
Px d
)
(1 Px )2Var(vK 1) d
(1
Px d
)
2[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
60
【每年分m次缴费的年均纯保费】
在每年分m次缴付的年均纯保费P,每次 缴付纯保费为x元,其计算方法是:
用符号 P(xm)表示保险金额为一个单位的全
离散式普通终身寿险,且每年分m次缴付
的年均衡纯保费.m=2、4、12，故每次缴
纳的纯保费应该是
P(m) x
m
【每年分m次缴费的年均纯保费】
条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。 终身寿险半连续式寿险为例
m年递延终身生存 保险
P1 x：n
A1 x：n
ax：n Dxn
(Nx Nxn)
P(m
ax
)
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm

精算原理4

精算原理4
k 0
例3.3
假设例3.2中张某50岁时购买的是保额为100000 元的 x 终身寿险，已知 l x 1000 (1 )，预定利率为0.08， 105 求该保单的趸缴净保费 。
例3.3答案
100000 A50 100000 1.08 ( t 1) t p50 q50t
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
t 1 50： 30
＝ 100000 1.08(t 1) t p50 q50t
t 0
29
p50
l50 t 105 50 t 55 t l50 105 50 55 l( 50 t ) 1 l50 t
三、 两全保险
两全保险是定期寿险与 生存保险的合险。对 ( x)的1单位元 n 后者是以 n年满期被保险人仍然活 着为给付条件的生存保 险，其 现值随机变量为： v n , k n, n 1,.... Z 0, k 0,1,2, , , , , n 1 其精算现值以 Ax:n E ( Z ) v n k q x v n .n p x
2 3
0.001650 (1 0.001650 ) 0.001812 10000[ 2 1.05 1.05 (1- 0.001650) (1- 0.0018120 ） 0。 001993 3 1.05 49.28( 元)
例3.2

张某在50岁时投保了一份保额为100000元的30年定期 x ) 寿险。假设 l 1000 (1 105 ，预定利率为0.08，求该保 单的趸缴净保费。
基本符号

K ( x) k ——

保险精算习题及答案

保险精算习题及答案

1 an = v n a∞ 2 1 − vn 1 = 2v n i i 1 vn = 3
11. 延期 5 年连续变化的年金共付款 6 年，在时刻 t 时的年付款率为 ( t + 1) ,t 时刻的利息强度为 1/(1+t), 该年金的现值为（ A.52
5| 2
） B.5411C. Nhomakorabea6D.58
a6 = ∫ v(t)(t + 1) 2 dt
8．已知第 1 年的实际利率为 10%，第 2 年的实际贴现率为 8%，第 3 年的每季度计息的年名义利率为 6%， 第 4 年的每半年计息的年名义贴现率为 5%，求一常数实际利率，使它等价于这 4 年的投资利率。
i (4) 4 i (2) 2 ) (1 + ) 4 2 = 1.1*1.086956522 *1.061363551*1.050625 = 1.333265858 ⇒ i = 0.74556336
a1 (t ) = (1 + i )
t
t
0.01t 2 +0.1t 2
δ t dt a2 (t ) = e ∫0 = e
⇒ (1 + i ) = e
20
0.01*202 + 0.1*20 2
= e4
(1 + i )3 = 1.8221
11. 某人 1999 年初借款 3 万元，按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资，到 2004 年末的积累值为（ 万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 ）
1 − v120 = 79962.96(i = 8.7% /12) i ∴160000 − 79962.96 = 80037.04 1000a120 = 1000

保险精算第四章

保险精算第四章

1. 设生存函数为()1100xs x =-(0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10Ā的值。

(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

1010130:10001010211222230:1030:10()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170t x x t ttt x x t tt tx x t x s x t s x p s x xAv p dt dt Var Z A Avp dt dt μμμ+++'+=-⇒=-=-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2．设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。

(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。

(3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4113536373839234535:53511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：4113536373839234535:53511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++=∑ 法二：1354035:53510001000M M A D -=查换算表1354035:53513590.2212857.61100010001000 5.747127469.03M M A D --===（2）1353535:1351363636:1361373737:1371383838:138143.581000100010001000 1.126127469.03144.471000100010001000 1.203120110.22145.941000100010001000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D =============== 1393939:1393536373839148.050 1.389106615.43150.551000100010001000 1.499100432.541000() 6.457C p AD p p p p p =====++++=（3）1112131413523533543535:535:136:137:138:139:11353637383935:5A A vp A v p A v p A v p A Ap p p p p =++++∴<++++3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1）1:20x A 。

保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳

保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳

第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

保险精算人寿保险趸缴纯保费

保险精算人寿保险趸缴纯保费
0
n
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费） 所以方差等价为
2 2 1 1 1 1 22 Var Var (( Z z ) ) A A ( ( A A ) ) Zt xx :n xx :n :n :n
例3.4(P62)

设
x S ( x) 1 100 i 0.1

寿险保费的构成－－总保费（营业保费）包括：
纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用
保费的缴纳方式和影响因素

保费缴纳方式


趸缴保费法：在保单生效日一次性支付将来保险 赔付金的期望现时值 自然保费法 均衡保费法 死亡率：预定死亡率 利率：预定利率 费用率：预定费用率

计算保费考虑的因素
人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险

保障标的的不同


保单签约日和保障期 期始日是否同时进行

人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险

保障期是否有限

即期保险 延期保险
人寿保险的特点

保障的长期性

这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。

（相当于利息力翻倍以后终身寿险的趸缴保费） 所以方差等价为
Var( z Zt ) Ax ( Ax )
2
2

保险精算学-趸缴纯保费(1)(ppt文档)

保险精算学-趸缴纯保费(1)(ppt文档)

5148.16（ 元 ）
练习：变额保险金的终身寿险
5.2.2 定期寿险年末付的趸交纯保费
n1
A1 x ;n|

k1 k | qx
k0
n1
d k 1 xk
k0
lx
n1
d xk1 xk
k0 xl x
M x M xn Dx
例：假设30岁的人投保。保单规定: 被保险人在保 险开始5年内死亡时，给付1000元，5年后死亡之时， 给付2000元。求其趸缴纯保费。
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
E(zt )
第二节
死亡年末理赔的死亡保 险的现值
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年 年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随 机变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正 好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
所谓生者利，指生存者对共有财产中 死者权利部分的享有权.
纯粹生存年金的现值
生者利原理
0时刻此 人群共 缴纳钱

保险精算习题及答案

保险精算习题及答案

第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

人寿保险趸缴纯保费的厘定.doc

人寿保险趸缴纯保费的厘定.doc

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理一、人寿保险简介1、什么是人寿保险（1）狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

（2）广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。

它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。

2、人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。

（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。

（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分，可分为：非延期保险和延期保险。

（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。

3、人寿保险的性质（1）保障的长期性：寿险的保障期通常比较长。

这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。

因而，寿险产品纯保费的厘定通常要考虑利率的影响。

（2）保险赔付金额和赔付时间的不确定性：人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。

以狭义的定期变额人寿保险为例，如果被保险人在保障期内没有死亡，到期赔付金额为零；如果被保险人在保障期内死亡，保险公司将在被保险人死亡时给付与死亡时间相关的某个数额的赔偿金。

被保险人的死亡时间是一个随机变量。

这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。

（3）被保障人群的大数性：对单个被保险人而言，他会在什么时刻死亡是不可估计的。

但对大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的剩余寿命分布是有统计规律的。

这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。

二、人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。

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常见概念中英文单词对照(2)

定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险




Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险

保障标的的不同


保单签约日和保障期 期始日是否同时进行

人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险

保障期是否有限

即期保险 延期保险
人寿保险的特点

保障的长期性

这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定



终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险


定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x

保险精算人寿保险趸缴纯保费

保险精算人寿保险趸缴纯保费

e 60 2 t
0
1 dt 60
( Ax )2
1 e120 (1 e60 )2
120
60
第19页/共81页
例3.1答案(2)
(3) Pr(Z 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln 0.9 )
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
寿险趸缴纯保费＝未来保险金给付的精算现值 • 解释：
保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是 在统计意义上的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值。
第9页/共81页
趸缴纯保费厘定的假定条件
• 趸缴纯保费的假定条件: • 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 • 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 • 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
第6页/共81页
人寿保险的保费
• 寿险保费是寿险产品的价格，是投保人转移风险所付出的代价，也是保险人进 行经营活动的物质基础。 投保人：通过缴纳保费投保，获得死亡、生存或养老等方面的保险保障 保险人：通过获得保费，建立保险基金，一部分作为保险金的给付，另一 部分作为保险人在经营管理上的必要开支
• 寿险保费的构成－－总保费（营业保费）包括： 纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用
第14页/共81页
1、终身寿险
• 定义
• 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责
任范(x围) 内的死亡均给付保险金的险种。

保险精算第4章(2)

保险精算第4章(2)

6
10 2 Ax
10
v2t
fT
( t )dt
0.04 e 10(2 0.04)
2 0.04
0.1486
Var( Z ) 10 2Ax ( 10 Ax )2 0.1249
Pr( Z 0.5 ) Pr( Z 0) Pr(0 Z 0.5 )
10
Pr( Z 0) Pr(T 10) 0 fT (t) dt 0.32968
(
A1 x:n
)2
8
例4.6：设s( x) 1 x , 0 x 100，i 0.1, 100
计算（1）A30:110|
(2)Var(Z )
(1)
A1 30:10
v10 10 p30
1.110 60 70
0.33
(2) Var( Z ) v20 10 p30
A1 30:10
NSP
20000 A1 30:20|
30000
A1 30:20|
11
思考：延期m年的n年期两全保险的精算现值如何表示 ？
12
第四章 人寿保险的精算现值
1
死亡即付的人寿保险复习
• 趸缴纯保费的厘定原则
净均衡原则，趸缴纯保费就等于 E(zt )
• n年定期寿险的精算现值
A1 x:n
E(ZT )
n vt
0
fT
(t )dt
n e t
0
fT (t )dt
Var ( ZT
)
2 A1 x:n
( A1 x:n
)2
2
死亡即付的人寿保险复习
Pr(0 Z 0.5 ) 0.5 0.32968 0.17032
Pr(0
Z
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好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场 合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。
趸缴纯保费的厘定

趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时
值

趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E( zt )
一、（趸缴保费+死亡或生存年末支付）寿险
26.97887 （元）
（二）终身寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定 利率、生命表可计算）
对于死亡年末赔付1个单位金额的终身寿险，趸缴纯保 费记号 A
x
bK 1 1
K 0 ,1,2......
Z v k 1
一定会 得到赔 付
K 0, 1,......
Ax E ( Z ) v

保险解释： l x 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的
积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸 缴保费 Ax1 ，还可以为所有在当年去世的被保险人每 人额外补贴 1 Ax1 元的保险成本。
离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式三：
Ax1 Ax iAx qx (1 Ax )
n 1 k 1 k| k 0
A
1 x :n|
E( Z ) v
1 x :n|
qx v
k 0
n 1
k 1 k
px .q x k
lx A
v
k 0
n 1
k 1
请思 考直 观意 义？
.d x k
例4.1
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险额为1000元，保险金额在死亡 年末给付，按中国人寿保险业经验生命（2000-2003）（男）和利率 6%计算趸缴保费。 解：

离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式一：
Ax vqx vpx Ax1
推 导
Ax v
k 0 k 1 k
p x .q x k
注：书中 P65未推证
vqx v k 1 .k p x .q x k
k 1
撇出级数的第一项 vqx 项
vqx vpx v k .k 1 p x 1 .q x k
第一节 人寿保险
什么是人寿保险?
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死
亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险 标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人 死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被 保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的性质

保障的长期性
Ax vAx 1 vqx ( 1 Ax 1 )
dx v Ax Ax 1 ( 1 Ax 1 ) lx
1
l x ( 1 i ) Ax l x Ax 1 d x ( 1 Ax1 )
趸缴纯保费递推公式二保险意义

公式二：
lx (1 i) Ax lx Ax1 d x (1 Ax1 )
未生存到n 年期满不享 受给付
A
1 x : n|
E ( z t ) v .n p x
n
（四）两全保险=定期寿险+定期生存险（两全保险 =定期寿险+定期生存保险）相当于两险保单合同合 并而成。 对于死亡年末赔付1个单位金额的n年期两全保险， 趸缴纯保费记号： Ax:n|
bk 1 1
K 1 v , K 0,1,, n 1 Z Z K 1 bK 1vK 1 n v , K n, n 1,
Ax :n| E ( Z ) v k 1 k p x q x k v n n p x A1 Ax : n| x :n|
1 k 0 n 1
1
两全保险
终身寿险
Ax E ( Z ) v
k 0

k 1
k 1 q v k px .q x k k| x k 0
v k 1 k p35 q35 k v 5 5 p35
k 0
4
4
v k 1
k 0
查表：d35 1169; d36 1247; d37 1336; d38 1436; d39 1548 l35 979755 ;l 40 973019 ;
10000A35:5| 1169 1247 1336 1436 1548 973019 1 1.06 ( 1.06 )2 ( 1.06 )3 ( 1.06 )4 ( 1.06 )5 10000 10000 979755 979755 ( 1.06 )5
赔付期望
1v Ax 1
vq x vpx Ax 1
离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式二：
lx (1 i) Ax lx Ax1 d x (1 Ax1 )
推 导
由公式一： Ax vqx vpx Ax 1
Ax vqx v( 1 q x ) Ax 1 Ax vqx vAx 1 vqx Ax 1
出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险的分类

保单给付时间不同
1. 2.

保障标的的不同
1. 2. 3.
死亡年末给付 死亡即刻给付

受益金额是否恒定
1. 2.
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
定额受益保险

保障期是否有限
1. 2.
变额受益保险

保单签约日和保障期期 始日是 Nhomakorabea同时进行
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不
容忽视的因素。

保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生
命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就 意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖 于被保险人剩余寿命分布。

被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算
k 0

k 1 k|
qx v
k 0

k 1 k
px .q x k
（三）n 年定期生存保险（生存年末给付）
( x )投保后生存至n年期满时，保险人在第n年 对于被保险人 1 末支付保险金的保险金额1元，趸缴纯保费记作： Ax : n|
vt v n , t 0 1 , t n bt 0 , t n v n , t n zt bt vt 0 , t n
赔付在年末的趸缴保费E(Z)
Z zK 1 bk 1 v
0 1
K 1
第K个整数年死亡
赔付在第K+1年末
bk 1
2 3 4 5 K K+1 n-1 n
K(x)=k,当k≤T(x)＜k+1,k=0,1,2
K(x)简记为K
E( Z ) E( z K 1 ) ( bK 1 v
k 1

提出vpx因子,k px px .k 1 px 1
vqx vpx v
j 0

j 1
. j p x 1 .q( x 1 ) j
令k j 1
套用Ax v k 1 k p x .q x k
k 0
vqx vpx Ax 1
趸缴纯保费递推公式一保险意义：
1 1000A55 :5|
4 k 1 1000 v k p55q55k k 0
1000 v k 1
k 0
4
d 55 k l55
vd55 v 2d 56 v 3d 57 v 4d58 v 5d 59 1000 l55
4840 5315 5913 6637 7468 2 3 4 5 ( 1 6% ) ( 1 6% ) ( 1 6% ) ( 1 6% ) ( 1 6% ) 1000 930309
K 1
)
（一）定期寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定 利率、生命表可计算）
对于死亡年末赔付1个单位金额的n年定期寿险，趸缴纯保 费记号 A1 活过n x:n 1 K 0 , 1 ,..., n 1 年将没 bK 1 有赔付 0其他
v K 1 K 0 , 1,...,n 1 Z 0其他
趸缴纯保费递推公式三保险意义

公式三：
Ax1 Ax iAx qx (1 Ax )

解释：
年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当
初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提 供一年的保险成本。
死亡年末赔付寿险的重要意义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任



范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给 予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡 年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期 长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一年。这正好 可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。 死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假 定的理赔方式。因为年末给付的寿险模型，其趸缴保费计算 方便使用生命表，同时计算很容易。 死亡年末赔付与死亡当即赔付两者的趸缴保费之间有固定的 转换公式（后面讲），因此死亡年末赔付的趸缴保费计算在 实际中有重要意义。
Ax vqx vpx Ax1
保险意义：(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于 (x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年 的情况下净趸缴保费 Ax1。
趸缴净保费的资金流向
X+1岁生命状态
发生概率
死亡
生存