解析几何-浙江大学数学系

浙大数学直博2023笔试摘要：一、浙大数学直博2023 笔试简介1.考试背景2.考试时间3.考试地点二、考试科目与内容1.数学分析2.高等代数3.解析几何与代数几何三、考试形式与题型1.考试形式2.题型及分值分布四、备考策略与建议1.制定合理的学习计划2.掌握考试大纲与知识点3.做好模拟试题训练4.注重理论与实践相结合五、浙大数学直博项目介绍1.项目简介2.培养目标与要求3.未来发展前景正文：浙江大学数学直博2023 年笔试即将举行，为了帮助广大考生顺利备考，本文将对考试的相关信息进行详细介绍。

一、浙大数学直博2023 笔试简介浙江大学数学直博项目致力于培养具有国际视野和创新能力的高水平数学人才。

2023 年笔试是选拔优秀人才的重要环节，考生需在规定的时间和地点参加考试。

1.考试背景：浙大数学直博项目自设立以来，一直秉承选拔和培养优秀数学人才的理念，为我国数学界输送了大量优秀人才。

2.考试时间：2023 年具体时间待定，请关注学校官方通知。

3.考试地点：浙江大学紫金港校区，具体考场以准考证为准。

二、考试科目与内容本次笔试共设三门科目，分别为数学分析、高等代数和解析几何与代数几何。

1.数学分析：主要考察考生对数学分析基本概念、原理和方法的理解和运用能力。

2.高等代数：主要考察考生对高等代数基本概念、原理和方法的理解和运用能力。

3.解析几何与代数几何：主要考察考生对解析几何与代数几何基本概念、原理和方法的理解和运用能力。

三、考试形式与题型1.考试形式：闭卷，笔试。

2.题型及分值分布：数学分析（选择题、填空题、解答题，共计100 分）；高等代数（选择题、填空题、解答题，共计100 分）；解析几何与代数几何（选择题、填空题、解答题，共计100 分）。

四、备考策略与建议1.制定合理的学习计划：根据自身实际情况，合理安排学习时间，确保每个科目都能得到充分的复习。

2.掌握考试大纲与知识点：对照考试大纲，梳理每个科目的知识点，强化对重点、难点内容的理解和掌握。

浙江大学 数学分析 1． 计算定积分：20sin xdx π⎰解：22001cos 21sin cos 2242x xdx dx xdx πππππ-==-=⎰⎰⎰2． 假设f(x)在[0,1]Rieman 可积，13()2f x dx =⎰，求11lim 4ln[1()]nn i i f n n →∞=+∑ 解：利用可积的定义和Taylor 展开作2222221111101201220111ln(1)()2()1114ln[1()]4()2()4()13()()2max{()}11lim |2()|2lim |max{|()|}|2lim ||0li nnnni i i i ni nn x n n n x i i x x x o x i f i i in f f f o n n n n n n n i f f x dx nn f x i f f x n n n n =====≤≤→∞→∞→∞≤≤==+=-++=++==≤==∑∑∑∑∑⎰∑∑同理，2211()1m 4()0,lim 4ln[1()]23n nn n i i i f i n o f n n n →∞→∞===⇒+=∑∑3． 设a,b,c 是实数，b>-1,c ≠0,试确定a,b,c ，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：不断利用L ’Hospital 法则30032320000322200ln(1)lim(sin )0,0lim 00sin cos cos sin cos limlim lim limln(1)3ln(1)31112sin 1cos 12lim lim .033616xbx x x x x x x b x x t ax x c dt tb ax x ax x x a x x x a xc t x x x dt t x a x a x b x x c →→→→→→→→+-=≠⇒==---+-====+++⇒=⎧⎪=⎪-==⇒=⎨=⎰⎰不难得到⎪⎪⎩4． f(x)在[a,b]上连续，对于1[,],[,],|()||()|2x a b y a b f y f x ∀∈∃∈≤，求证：[,],()0a b f ξξ∃∈=证明：利用实数系的几个定理就可以了000[,],(1)()0,(2)()0,{},lim ()0{}{}{}lim ,()[,]()lim ()lim ()0n n n n n n n n n x yn x a b f x f x x f x x x y y y f x a b f y f x f y →∞→∞→→∞∈=≠==⇒===不妨设则命题得证则根据题意，可以得到一个序列然后,有界，所以不难得到存在一个收敛的子列由于在连续，5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且()af x dx +∞⎰收敛，证明：存在数列{}[,)n x a ⊂+∞，使得满足，lim ,lim ()0n n n n x f x →∞→∞=+∞=(2) 设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且()af x dx +∞⎰收敛，问：是否必有lim ()0n n f x →∞=，为什么？ 证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。

教学目标：1. 知识与技能：理解圆锥曲线的定义，掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。

2. 过程与方法：通过实例分析和几何推导，培养学生运用圆锥曲线知识解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的科学态度和团队合作精神。

教学重点：1. 圆锥曲线的定义和标准方程。

2. 圆锥曲线的性质和应用。

教学难点：1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程推导。

2. 圆锥曲线的几何性质。

教学准备：1. 多媒体课件2. 圆锥曲线模型3. 相关习题教学过程：一、导入1. 展示生活中常见的圆锥曲线图像，如月亮、卫星轨道等，激发学生的学习兴趣。

2. 提问：什么是圆锥曲线？它们有什么特点？二、新课讲解1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离的比等于常数e的点的轨迹。

2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：- 椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，$e<1$。

- 双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$，$e>1$。

- 抛物线：$y^2=2px$（开口向右）或$x^2=2py$（开口向上），其中$p>0$。

3. 圆锥曲线的性质：- 椭圆：长轴、短轴、焦距、离心率等。

- 双曲线：实轴、虚轴、焦距、离心率等。

- 抛物线：焦点、准线、焦距等。

三、实例分析1. 展示实例：地球绕太阳的运动轨迹为椭圆，分析椭圆的几何性质。

2. 引导学生思考：如何利用圆锥曲线的知识解决实际问题？四、课堂练习1. 给出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，要求学生求出它们的焦点、离心率等。

2. 给出实际问题，如卫星轨道设计、建筑设计等，要求学生运用圆锥曲线知识解决。

五、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调圆锥曲线的定义、标准方程、性质和应用。

浙江大学数学与应用数学(英才班)专业培养方案课程设置与学分分布1． 通识课程 48学分+5学分 （1）思政类 5门 11.5+2学分021E0010 思想道德修养与法律基础 2.5 第一学年秋冬 021E0020 中国近现代史纲要 2.5 第一学年春夏 021E0030 毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论 4. 第二学年秋冬 021E0040 马克思主义基本原理概论 2.5 第二学年秋冬 02110081 形势与政策 +2（2）军体类 5.5+3学分031E0010 军事理论 1.5 第一学年秋 031E0020 体育Ⅰ 1.0 第一学年秋冬 031E0030 体育Ⅱ 1.0 第一学年春夏 031E0040 体育Ⅲ 1.0 第二学年秋冬 031E0050 体育Ⅳ 1.0 第二学年春夏 03110021 军训 +2.0 第一学年体育达标+1.0（3）外语类 9学分实行以大学英语Ⅳ考试为标准的管理模式，学生必须通过学校大学英语Ⅳ考试，并取得外语类课程9学分，同时，选修课程号含“F ”的课程，以提高外语水平与应用能力。

（4）计算机类 5学分211G0020 C 程序设计基础与实验 3 第一学年春夏、秋冬 ｝ 任选一门211G0010 C++程序设计基础与实验 3 第一学年春夏、秋冬 211G0030 Java 程序设计基础与实验 3 第一学年春夏、秋冬 211G0040VB 程序设计基础与实验3第一学年春夏、秋冬211G0050 大学计算机基础 2 第一学年秋冬 任选一门 211G0060 计算机技术创新与社会文明 2 第一学年秋冬 以及其他课程号里带“G ”的课程。

（5）导论类 2学分学生可在各专业开设的学科导论课程，以及新生研讨课程中任意选择修读，并取得学分。

（6）其他通识课程 15学分 学生在历史与文化（3学分）、文学与艺术（3学分）、经济与社会（3学分）、沟通与领导（1.5学分）、科学与研究（1.5学分）、技术与设计（3学分）等6个课程组中选择修读。

浙大数学分析考研真题浙大数学分析考研真题数学分析是数学的基础学科之一，也是考研数学科目中的重要部分。

浙江大学的数学分析考研真题一直备受考生关注。

本文将从历年的浙大数学分析考研真题中选取一些典型题目进行分析和讨论，以帮助考生更好地理解和应对这一科目。

第一道题目是2018年浙大数学分析考研真题中的一道选择题。

题目要求考生判断函数序列$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$在区间$(0,1)$上的一致收敛性。

这是一个经典的一致收敛性问题，需要考生熟练掌握一致收敛的定义和判断方法。

通过计算函数序列的极限函数，可以发现该函数序列在区间$(0,1)$上一致收敛于零函数。

这道题目考查了考生对一致收敛的理解和运用能力。

接下来是2019年浙大数学分析考研真题中的一道计算题。

题目给出一个积分$\int_0^1\frac{x^3}{(1+x^2)^2}dx$，要求考生计算该积分的值。

这是一个典型的定积分计算题，需要考生熟练掌握定积分的计算方法和技巧。

通过变量代换或部分分式分解等方法，可以将该积分化简为简单的有理函数积分，最终得到积分的精确值。

这道题目考查了考生对定积分计算的掌握程度。

第三道题目是2020年浙大数学分析考研真题中的一道证明题。

题目要求考生证明函数$f(x)=\frac{x}{1+x}$在区间$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。

这是一个典型的函数单调性证明题，需要考生运用导数的定义和性质进行证明。

通过计算函数的导数，可以得到导函数$f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$，由导函数的正负性可以证明原函数在区间$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。

这道题目考查了考生对函数单调性证明的能力。

最后是2021年浙大数学分析考研真题中的一道应用题。

题目给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求考生求出该函数在区间$(1,+\infty)$上的最小值。

这是一个典型的最值问题，需要考生熟练掌握最值的求解方法和技巧。

《解析几何》课程教学大纲课程编号：07010课程名称：解析几何英文名称：Analytical Geometry课程类型：学科平台课课程要求：必修学时/学分：6皱（讲课学时：64,实验学时：0：上机学时：0 ）开课学期：1适用专业：数学与应用数学授课语言：中文课程网站：超星泛雅平台一、课程性质与任务解析几何是高等院校数学类专业的一门基础理论课。

通过本门课程的教学，使学生较系统的、完整的了解三维欧氏空间的解析儿何，学会运用矢量和坐标两种方法处理曲线、曲面（包括直线、平面）的有关问题。

通过对二次曲线与二次曲面分类与不变量的理论学习，了解代数理论与方法在几何中的应用。

二、课程与其他课程的联系《解析儿何》课程作为数学专业的专业基础课程之一，对其他专业课程的学习提供重要的基础知识，其中《高等代数》课程中的向量理论可通过《解析儿何》中的向量理论得到直观的解释，后续《微分儿何》是《解析凡何》课程的延续，而《解析儿何》这门课程所提供的数形结合思想为儿乎所有的数学课程提供了一共重要的思想方法。

三、课程教学目标1.通过《解析几何》的学习，使学生获得向量、空间曲面、直线与平面、二次曲线等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程及进一步获取其它学科的知识奠定必要的数学基础。

学会使用向量理论解答中学阶段的很多几何难题，并将向量理论深入理解，增强对该理论的运用能力，还要通过二次曲线理论和二次曲面理论的学习，将高中阶段所学到的相关理论适当加深和拓宽，适当把握本学科前沿知识。

（支撑毕业要求指标点1.1）2.通过课程内容的学习，是学生牢固掌握数形结合思想，并将该思想运用到学科的学习当中。

通过把握数学专业基础课知识，努力使学生融会贯通，把《解析儿何》作为理解《高等代数》及《数学分析》等课程的重要工具。

利用向量理论理解代数学中的抽象向量，通过几何中二次曲线、空间曲面、空间直角坐标系等内容为分析理论中的微分和积分提供学习支撑。

课程代码：311100113课程名称：解析几何Analytic Geometry总学时：64 周学时：4学分： 3 开课学期：一修读对象：必修预修课程：无内容简介：《解析几何》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。

它是用代数的方法来研究几何图形性质的一门学科。

《解析几何》包括向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论与二次曲面的一般理论等。

选用教材：吕林根，许子道，《解析几何》(第四版)，高等教育出版社，2006年。

参考书目：周建伟，《解析几何》，高等教育出版社，2005年。

课程代码：311100213、311100314、311100616、311100715课程名称：数学分析Ⅰ-Ⅳ Mathematical AnalysisⅠ-Ⅳ总学时：334 周学时：4，4，6，5学分：18 开课学期：一，二，三，四修读对象：必修预修课程：无内容简介：《数学分析》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的第一基础课。

它提供了利用函数分析和解决实际问题的方法, 培养学生严谨的抽象思维能力，为学习其他学科奠定基础。

主要内容有：实数、函数、极限论，函数的连续性。

一元函数微分学，微分学基本定理。

一元微分学应用，实数完备性基本定理，闭区间上连续函数性质的证明，不定积分，定积分及应用，非正常积分。

数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数，多元函数的极限与连续，多元函数微分学。

隐函数定理及其应用，重积分，含参量非正常积分，曲线积分与曲面积分。

选用教材：华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2001年。

参考书目：①陈纪修，《数学分析》(第二版)，高等教育出版社，2004年。

②刘玉琏,傅沛仁，《数学分析讲义》(第四版),高等教育出版社，2003年。

课程代码：311100416、311100515课程名称：高等代数Ⅰ-ⅡAdvanced AlgebraⅠ-Ⅱ总学时：198 周学时：6，5学分：11 开课学期：二，三修读对象：必修预修课程：无内容简介：《高等代数》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。

《解析几何》课程教学大纲课程代号：21090010总学时：讲授/理论52学时，实验/技术/技能20学时，上机/课外实践0 学时适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学先修课程：本课程是建立在中学《平面解析几何》与《立体几何》的基础上, 引进向量代数这个工具，在立体空间建立起空间坐标系，从而建立代数与空间几何的内在联系，达到用代数方法解决几何问题的目的。

一、本课程地位、性质和任务本课程为高等院校数学系各专业的一门必修的专业基础课程。

它为学习数学系的其它课程（诸如《数学分析》、《高等代数》及《微分几何》等打好基础，同时，它在自然科学与工程技术中，也有广泛的应用。

通过本课程的教学，应使学生系统地掌握空间解析几何的基础知识和基本理论；正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法，解决几何问题的能力；进一步培养学生的空间想象能力；能在较高的理论水平基础上，处理教学或工程技术中的有关问题。

二、课程教学的基本要求能够以向量代数为工具，用标架法建立空间直线、平面方程；掌握直线、平面的位置关系及几何量计算；掌握特殊曲面方程的推导并能利用平面截割法刻划曲面的几何性质；二次曲线（曲面）的一般理论。

三、课程学时分配、教学要求及主要内容（一）课程学时分配一览表早主要内容总学学时分配讲授讨论习题实验其他1向量与坐标181442轨迹与方程443平面与空间直线161244特殊曲面与二次曲16106面181265二次曲线的一般理论（二）课程教学要求及主要内容第一章向量与坐标教学目的和要求：向量代数及坐标法在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。

本章是工具性的知识，是学习后面各章的基础。

本章通过向量代数与空间坐标系基本知识的教学，使学生能以向量为工具,研究并简单地解决某些几何问题。

教学重点和难点：1、透彻理解向量的有关基本概念。

2、牢固掌握向量的各种运算及其对应的几何意义与算律。

3、理解坐标系建立的依据以及向量与点坐标的意义，熟练地利用向量的坐标进行运算。

《解析几何》课程简介一、《解析几何》课程说明1、课程编码：A9F32202X2、开课学期及学时学分：第3-4学期 64学时 4学分3、课程类型：专业必修课4、先修课程：高中数学5、教材：《解析几何》（第四版），吕林根主编，高等教育出版社出版，2009。

6、开课对象：初等教育综合理科学生二、课程的性质和任务《解析几何》是我院初等教育综理专业的一门重要的专业必修课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。

空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系紧密地联系起来，对数学的发展起到了重要作用。

本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛。

学好本课程，使学生系统掌握解析几何的基础知识和基本理论，能够培养学生用解析几何思想解决问题的能力、提高学生的空间想象能力，为数学专业的后继课程、其他学科的相关课程的学习和未来从事中小学数学教学工作打下坚实的基础。

三、课程内容本课程选用的教材是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，吕林根、许子道编著、高等教育出版社出版的《解析几何》第四版，2009。

主要内容有：第一章向量与坐标1.1向量的概念；1.2向量的加法；1.3数量乘向量；1.4向量的线性关系与向量的分解；1.5标架与坐标；1.6向量在轴上的射影；1.7两向量的数量积；1.8两向量的向量积；1.9三向量的混合积；1.10三向量的双重向量积。

第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程；2.2曲面的方程；2.3空间曲线的方程。

第三章平面与空间直线3.1平面的方程；3.2平面与点的相关位置；3.3两平面的相关位置；3.4空间直线的方程；3.5直线与平面的相关位置；3.6空间直线与点的相关位置；3.7空间两直线的相关位置；3.8平面束。

第四章二次曲面4.1柱面；4.2锥面；4.3旋转曲面；4.4椭球面；4.5双曲面；4.6抛物面；4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。

第五章二次曲线的一般理论5.1二次曲线与直线的相关位置；5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；5.3二次曲线的切线；5.4二次曲线的直径；5.5二次曲线的主直径与主方向；5.6二次曲线方程的化简与分类；5.7应用不变量化简二次曲面的方程。

浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。

大学数学解析几何解析几何是大学数学中的一门重要的分支学科，它研究的对象是几何图形在坐标系中的表示和性质。

通过解析几何的学习，我们可以更深入地理解平面和空间中的几何概念，解决各种与几何相关的问题。

本文将介绍解析几何的基本概念、常见的几何曲线以及一些解析几何的应用。

一、解析几何的基本概念1. 坐标系：解析几何的基础是建立在坐标系上的。

在二维空间中，我们通常使用直角坐标系来表示点的位置，其中x轴和y轴相互垂直，并且通过原点O确定，可以用有序数对(x, y)表示一个点的位置。

在三维空间中，我们使用三维直角坐标系来表示点的位置，其中x轴、y轴和z轴相互垂直，并且通过原点O确定，可以用有序数对(x, y, z)表示一个点的位置。

2. 点、直线和平面：在解析几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状。

直线是由无数个点组成的集合，它可以通过两个点确定，也可以通过一点和斜率确定。

平面是由无数个点组成的集合，它可以通过三个点确定。

3. 距离和斜率：在解析几何中，我们可以通过两点之间的距离来计算它们的位置关系。

对于二维空间中的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

对于三维空间中的两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]。

斜率是直线倾斜程度的度量，可以通过两点之间的纵坐标差除以横坐标差得到。

二、常见的几何曲线1. 直线：直线是解析几何中最简单的曲线之一，可以通过一个点和斜率确定。

在二维空间中，直线的一般方程可以表示为：y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。

在三维空间中，直线可以用参数方程表示。

2. 圆：圆是由平面上离一个定点距离相等的所有点组成的集合。

浙江大学数学与应用数学（基地班）专业指导性教学计划培养目标：本专业培养掌握数学学科的基本理论与基本方法，具有扎实的数学基础，受到科学研究训练，并能攻读高一级学位的高级基础数学人才。

培养要求：本专业毕业生应获得以下几方面的知识和能力：1．数学基本理论、基本方法2．在数学理论及其应用两方面都受到良好的教育，具有较高的科学素养和较强的创新意识；3．具备科学研究、教学、解决实际问题及软件开发方面的基本能力和较强的更新知识的能力。

4．受到计算机和数学软件等方面的基本训练；主要课程：数学分析、高等代数、抽象代数、解析几何、复变函数、实变函数、点集拓扑、微分几何、常微分方程、偏微分方程、泛函分析、概率论。

特色课程：自学或讨论的课程：前沿数学专题讨论。

研究型课程：测度论、环论、黎曼几何、现代偏微分方程、点集拓扑、代数几何引论. 微分几何采用外语教材的课程：点集拓扑、现代偏微分方程、黎曼几何。

采用外语教学课程：点集拓扑。

计划学制：四年授予学位：理学学士。

毕业最低学分：167.5+4。

浙江大学统计学专业指导性教学计划培养目标：本专业主要包括数理统计和经济统计两类专业方向，培养具有统计学所需要的良好的数学基础，具有经济学或其他相关学科的专门知识，掌握统计学的基本理论和方法，能熟练地运用计算机分析数据。

本专业毕业生除可报考研究生继续深造外，可到高校、科研机构、金融、证券、保险、医约、电信、国家机关等企事业单位，从事统计调查、统计信息管理、数据分析等开发、应用和管理工作。

培养要求：本专业学生主要学习统计学的基本理论和方法，打好数学基础，掌握经济学或其他领域的必要知识，具有较好的科学素养和较强的创新意识，受到理论研究、应用技能和使用计算机的基本训练，具有数据处理和统计分析的基本能力和较强的更新知识的能力。

主要课程：数学分析、高等代数、解析几何、复变函数、常微分方程、概率论、数理统计、回归分析、抽样调查、时间序列分析。

特色课程：自学或讨论的课程：前沿数学专题讨论。

《解析几何》课程介绍解析几何课程是高等院校数学类各专业的最重要的主干基础课之一。

多年来这门课程一直由教学经验丰富、业务能力较强的教师担任主讲。

上世纪八十年代学院的前身师范专科学校时期，我校数学专业所开设的基础课程包括解析几何，在山西省教委组织的同类学校基础课会考和专升本的历年考试中，成绩一直居于全省的前列。

自1989年，由师范专科学校、教育学院、河东大学三校合并为高等专科学校后，本课程的校内发展大致分为两个阶段：第一阶段（1989－2001），专科阶段。

1978年起开设解析几何课程,使用的教材有吕林根、许子道等编写的《解析几何》（第一版）、（第二版）,主讲解析几何课程的老师责任心强、教学经验丰富、业务素质比较高。

自1990年三校合一起，教研室活动逐步走向正规化、规范化，制订了一整套教学常规管理制度和教师的业务进修制度，修订了教学计划和教学大纲，对解析几何等重要的基础课程，制订了教学目标大纲、考试大纲和卡片试题库。

解析几何教学目标大纲对课程在质的方面提出了具体要求和相应的教学措施，对教学质量的提高，发挥了很好的作用。

为此，1996年《解析几何教学目标大纲》荣获校优秀教学成果奖。

系里先后多次派教师到一些名牌大学进修,为《解析几何》课程的本科教学积累了一定的经验,奠定了基础。

第二阶段(2002－现在)，本科阶段。

解析几何是数学专业三大基础课之一，教学内容属经典型的，知识体系完善，逻辑性强，因此教材建设起步较早，数学系领导和解析几何课程组成员悉心选择了吕林根、许子道等编的《解析几何》（第二版、第三版）（国优）作为该课程的教材，选择苏步青等编写的《解析几何》，朱鼎勋编写的《空间解析几何》，南开大学几何教研室编写的《空间解析几何引论》，等作为参考书目；借鉴老本科院校的经验，制定了适合我校校情的教学大纲和教学计划；教研活动有秩序的开展，提高教师的教学水平，适应本科教学是这个阶段的主要目标。

自校领导开始有计划的部署迎接教育部本科教学水平评估工作，解析几何乘这个大好形势得到了飞速发展，表现最突出的是教师队伍建设，课程组成员的职称、学历结构发生了巨大的变化，引进了硕士3人，其中在读博士1人；教研活动从单纯的教学研究向教学改革研究转变，课堂教学由教师一言堂向以学生为主体的开放式教学转变；解析几何课程对学生其它课程的理论知识学习和理解，以及科研素质的培养和提升有着至关重要的影响，为使学生对“几何”体系有更深层次地了解，我院还为学生开设了《高等几何》、《微分几何》等课程，为学生提供了几何方面的毕业论文选题和考研支持；为解析几何课程组积累了较丰富的教学研究资料。