概率论与数理统计 - 浙江大学数学系

A1 : “至少有一人命中目标 ” :
ABC A6 : “三人均未命中目标” : B C A
A5 : “三人均命中目标” :
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？
* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
(3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率
1.3.2. 概率的公理化定义
A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N () 8
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）
i 1
Ai
n
3.积事件(p4) :事件A与事件B同时发生， 记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件(5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生。AB＝
P p m
n m n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天

8
定理5.2 契比雪夫定理的特殊情形 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，且具有相同的 数学期望 和相同的方差 2，作前n个随机变量的算术平均： Yn 1 X k , n k 1
n
则 0，有：
1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1 n 1 P 即， X k . n k 1 1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n 2 1 n 1 n 2 1 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n n k 1 n k 1
师介绍——》统计研究所——》张彩伢
►
2
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
3
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
4
定理5.1 契比雪夫不等式 ：设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随 机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。
定理5.3 辛钦定理 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，服从同一分布， 且存在数学期望，作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。

然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）

例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
9
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
例：
➢ ➢
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
概率论
第一章概率论的基本概念
6
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
7
§1 随机试验
确定性现象
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。

P(
A
B),
P(
A
B),
P(
___
AB),
P[(
A
B)(
___
AB)]
。
解： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.625，
P(AB) P[(S A)B] P(B) P(AB) 0.375 ，
___
P(AB) 1 P(AB) 0.875 ，
___
P[(A B)(AB)] P[(A B)(S AB)] P(A B) P[(A B)(AB)] 0.625 P(AB) 0.5
每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一
2
概率论与数理统计及其应用习题解答
特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的概率。
解：根据题意， n(n M ) 张提货单分发给 M 个销售点的总的可能分法
有 M n 种，某一特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的可能分法有
C
k n
6 7 5 4 840 0.0408。
11 12 13 12 20592
9，一只盒子装有 2 只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取 一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另
一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件 A ，“另一只
也是红球”记为事件 B 。则事件 A 的概率为
P(N1
|
M)
P( N1 )P(M P(M )
|
N1 )
0.6 0.01 0.025
0.24
，
P( N 2
|
M)
P(N2 )P(M P(M )
|
N2)

记 （） ij ij i j , ——水平Ai 和水平B j的交互效应, i 1,..., r , j 1,..., s. 易证 （） ij 0,
i 1 r
（） 0.
j 1 ij
s
当（） ij＝0对于一切的i 1,..., r , j 1,..., s都成立时， 称因子A与因子B对响应无交互作用，否则称有交互作用。 当因子A与因子B对响应无交互作用时， 模型可写成 X ijk i j ijk , ijk ~ N (0, 2 ), 各 ijk 独立， i 1,..., r , j 1,..., s, k 1,..., t. 称为可加（主）效应模型 r s i 0, j 0. i 1 j 1 4 2 , i , j , 均未知.
5
二、 可加效应模型的统计分析
因素A有r个水平A1 , A2 , 因素B有s个水平B1 , B2 , , Ar， , Bs .
现对因素A，B的水平的每对组合( Ai , B j ) i 1,
因素B
, r; j 1,
, s
只作一次试验（此时无法分离交互作用与误差），得到如下结果
因素A
B1
则

i 1
r
i
0,
j 1s来自j 0.7
注意到现在不存在交互作用，故 （） i 1,..., r, j 1,..., s. ij 0,
即 ij i j , i 1,..., r, j 1,..., s.
模型可写成 X ijk i j ij , 2 ij ~ N (0, ), 各 ij 独立， i 1,..., r , j 1,..., s. r s i 0, j 0. i 1 j 1 2 , i , j , 均未知.

必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件

定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,


P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)

nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn

P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。

数据挖掘
02
通过对大量数据进行挖掘和分析，发现数据间的关联和规律，
为人工智能系统的决策提供依据。
自然语言处理
03
自然语言处理中需要进行文本分类、情感分析等任务，需要概
率论与数理统计的知识进行模型训练和优化。
05
概率论与数理统计的未来发展
概率论与数理统计与其他学科的交叉发展
概率论与数理统计与计算机科学的交叉
概率论与数理统计的应用领域
金融
风险评估、投资组合优化、保 险精算等。
科学研究
物理、生物、化学、医学等领 域的数据分析和实验设计。
工程
可靠性工程、质量控制、系统 优化等。
人工智能和机器学习
数据挖掘、模型训练和评估等 。
概率论与数理统计的发展历程
概率论的起源
可以追溯到17世纪中叶，当时赌 博游戏引发了对概率计算的兴趣。
掌握点估计的概念和方法， 如矩估计和最大似然估计。
区间估计
了解区间估计的概念，掌 握单个和多个参数的区间 估计方法。
估计量的评价准则
了解无偏性、有效性和一 致性等评价估计量的准则。
假设检验
假设检验的基本原理
理解假设检验的基本思想、假设的设定和检验步骤。
单个总体参数的检验
掌握单个总体均值、比例和方差的假设检验方法。
概率论与数理统计教学 ppt浙大第三版
• 概率论与数理统计简介 • 概率论基础 • 数理统计基础 • 概率论与数理统计的应用 • 概率论与数理统计的未来发展
01
概率论与数理统计简介
概率论与数理统计的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过 概率模型和随机变量描述随机事 件和随机结果。
数理统计

fn ( A )
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：



称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含

P(X 3) P(AAA) 0.033 C330.033
P( X k) C3k 0.03k0.973k , k 0,1,2,3
这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来 看一个重要的试验——伯努利（Bernoulli）试验。
•第21页/共105页
二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布 1、伯努利（Bernoulli）试验 (1)n次独立重复试验 将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的. (2)n重伯努利试验 满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验: ①每次试验都在相同的条件下重复进行；
•第5页/共105页
（3）随机变量的特点: 具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个 值，但事先知道它全部可能的取值。
随机变量的取值具有一定的概率： 例如：上例中P(X=2)=1/4； P(X≥１)=3/4；
)随机变量的类型： 离散型与连续型随机变量。 这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各
证明：在n重伯努利试验中，事件A在前k次出 现，而在后n-k次不出现的概率为:
•第23页/共105页
k
n k
__ __
__
P( AA A A A A) pk (1 p)nk
而事件A在n次试验中发生k次的方式为：Cnk
P(X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,n.
n
由 于 Cnk pk (1 p)nk p (1 p) n 1, k0
第一节 随 机 变 量
在上一章中，我们把随机事件看作样本空间 的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念， 用随机变量的取值来描述随机事件。 一、随机变量 引例： E1: 将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。

为什么？
答：只有(4)不是统计量。
17
随机变量独立性的两个定理
定理6.1：设X1, X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，
又设y gi x1, , xni , x1, , xni Rni , i 1, 2, k是k个连续函数，
且有n1 n2 nk n, 则k个随机变量：
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，
则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：
n
fn x1, x2, xn f xi
i 1
16
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本
1.
样本均值
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
n
9
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
解：设机器出故障的台数为X,则X b400,0.02，分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.98400 4000.020.98399 0.9972
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969

7
一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特 在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》， 标志着这门学科的诞生。
数理统计学的另一个重要源头来自天文和测地学中的误差 分析问题。人们希望通过多次量测获取更多的数据，以便 得到对量测对象的精度更高的估计值。量测误差有随机性， 适合于用概率论即统计的方法处理，远至伽利略就做过这 方面的工作，他对测量误差的性态作了一般性的描述，法 国大数学家拉普拉斯曾对这个问题进行了长时间的研究， 现今概率论中著名的“拉普拉斯分布”，即是他在这研究 中的一个产物。这方面最著名且影响深远的研究成果有二： 一是法国数学家兼天文家勒让德19世纪初（1805） 与德 国大学者高斯发明的“最小二乘法”，另外一个重要成果 是高斯1809年在研究行星绕日运动时提出用正态分布刻画 测量误差的分布。正态分布也常称为高斯分布。
i 1
S AB
S AB
✓ 当AB=Φ时，称事件A与B不相容的，或互斥的。
S
AB
21
✓ A B AB { x| xA 且 xB }
S AB
✓
A的逆事件记为A,

A
U
A

S
,
A A
若
A A
U B
B
S
,称A,
B互逆、互斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
9
20世纪以前数理统计学发展的一个重要成果， 是19世纪后期由英国遗传学家兼统计学家高尔顿 发起，并经现代统计学的奠基人之一K·皮尔逊和 其他一些英国学者所发展的统计相关与回归理论。 所谓统计相关，是指一种非决定性的关系如人的 身高X与体重Y，存在一种大致的关系，表现在X 大（小）时，Y也倾向于大（小），但非决定性的： 由X并不能决定Y。现实生活中和各种科技领域中， 这种例子很多，如受教育年限与收入的关系，经 济发展水平与人口增长速度的关系等，都是属于 这种性质，统计相关的理论把这种关系的程度加 以量化，而统计回归则是把有统计相关的变量， 如上文的身高X和体重Y的关系的形式作近似的估 计，称为回归方程，现实世界中的现象往往涉及 众多变量，它们之间有错综复杂的关系，且许多 属于非决定性质，相关回归理论的发明，提供了 一种通过实际观察去对这种关系进行定量研究的 工具，有着重大的认识和实用意义。

多元线性回归分析的原理
探讨多元线性回归分析的原理和 应用。
一元线性回归分析的求解 方法
介绍一元线性数理统计的重要性
强调概率论与数理统计在现实生活中的重要作用。
数理统计的应用领域和未来发展趋势
展示数理统计在不同领域的应用和未来的发展趋势。
对于实际问题解决的建议和探讨
提供解决实际问题的建议和探讨。
1
假设检验的定义
介绍假设检验的基本概念和作用。
假设检验的基本原理和方法
2
解释假设检验的基本原理和主要方法。
3
参数检验和非参数检验的区别
比较参数检验和非参数检验的异同。
假设检验的解释和判断
4
讨论如何解释和判断假设检验的结果。
线性回归分析
简单线性回归分析的基本 概念
介绍简单线性回归分析的基本原 理和步骤。
浙大概率论与数理统计课 件——数理统计
数理统计是概率论与数理统计课程的重要组成部分，通过本课程的学习，你 将了解到概率论与数理统计的基本概念、数据分析方法、假设检验原理以及 线性回归分析等内容。
基本概念
概率论与数理统计的定义
介绍概率论与数理统计的基本概念和研究对象。
数据集合的定义
探讨数据集合的概念和重要性。
参数与统计量的区别
解释参数与统计量之间的区别和作用。
抽样与样本的定义
讲解抽样和样本的概念以及抽样方法的应用。
数据分析
数据的标记与分类
介绍数据的标记方法和不同的 分类方式。
描述统计学概念
讲解描述统计学的基本概念和 数据分析方法。
统计学中数据的可视 化方法
探讨统计学中常用的数据可视 化方法。
假设检验

在相同条件下 重复进行
即每次试验结果 互不影响
18

独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的 结果:正面，反面，
P 出现正面 1 2

将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次
试验只有两个结果： A, A,
P A 1 6
从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红 牌}，则每次只有两个结果： A, A,
称X服从参数p的几何分布
例：从生产线上随机抽产品进行检测，设 产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品 就得停机检修，设停机时已检测到X只品， 则X服从参数p的几何分布。
38
巴斯卡分布
若随机变量X的概率分布律为
1 r k r P( X k ) Ckr p (1 p ) , k r , r 1, r 2,..., 1

n


e
31
例：某地区一个月内每200个成年人中有1 个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独 立。若该地区一社区有1000个成年人，求某 月内该社区至少有3人患病的概率。
32
解：设该社区1000人中有X 个人患病，则 X P ( X 3) 1 P ( X 0) P ( X 1) P ( X 2 人患病，则 X ~ B(1000, p), 其中p 1/ 200
k 0

c
k 0


k
k!
ce


ce
例：某人骑自行车从学校到火车站，
一路上要经过3个独立的交通灯，设各 灯工作独立，且设各灯为红灯的概率
为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通
过的交通灯数，求X的概率分布律。