整体微分几何简介
课程号：06191440
课程名称：整体微分几何英文名称：Global Differential Geometry
周学时：3-0 学分：3
预修要求：微分几何（局部理论）
内容简介：
《整体微分几何》主要介绍曲线与曲面的大范围整体几何性质，包括某些拓扑性质。内容分四章：第一章介绍活动标架法，它是研究整体微分几何和几何分析的有力工具。第二章介绍3维欧氏空间中闭曲线的整体微分几何性质。第三章介绍3维欧氏空间中曲面的整体微分几何性质。第四章介绍曲面的内蕴几何。通过本课程学习，使学生掌握整体微分几何的基本概念和重要思想方法，了解数学各方向之间相互交织、相互渗透的现代数学概貌。
选用教材或参考书：
《整体微分几何初步》沈一兵编着浙江大学（原杭州大学）出版社 1998
《整体微分几何》教学大纲
一、课程的教学目的和基本要求
随着现代数学的发展，整体微分几何已成为核心数学的一个重要组成部分。为了使数学专业的大学生具备较高的数学素质，有必要让他们了解这方面的基本内容和思想方法。
通过对《整体微分几何》的学习，使学生初步掌握整体微分几何的基本概念和重要思想方法，学会简单的外微分计算和活动标架法，了解有关整体曲线和整体曲面的著名定理和重要公式，以及它们的证明主要思路。要求学生通过本课程学习，了解数学各方向之间相互交织、相互渗透的现代数学概貌，为今后进一步深造打下扎实基础。
二、相关教学环节安排
1．采用课堂讲授和课外作业，强调启发式教学。
2．每周讲课3学时。每周布置作业，作业量1-2学时。主要针对基本概念和解问题的思路。
三、课程主要内容及学时分配（打▲号为重点讲授部分）
每周3学时，共17周。
主要内容：
（一）外微分与活动标架法10学时1．幺正标架3学时
2．外微分形式▲3学时
3．可积系统2学时
4．曲面论的活动标架法2学时（二）曲线的整体微分几何 14 学时1．平面曲线的某些整体性质▲ 7学时
2．空间曲线的某些整体性质▲ 7学时
（三）E3中曲面的整体微分几何 21 学时1．曲面的Gauss-Bonnet公式 3学时
2．球面的刚性定理▲ 3学时
3．凸曲面与积分公式▲ 3学时
4．全平均曲率与Willmore猜想▲ 3学时
5．常负曲率曲面与Backlund变换▲ 3学时
6．极小曲面的Bernstein定理▲ 3学时
7．常平均曲率曲面 3学时（四）曲面的内蕴几何 6学时1．向量场与指标定理▲ 3学时
2．完备曲面与Hopf-Rinow定理 3学时
四、教材及主要参考书
教材：《整体微分几何初步》沈一兵编著浙江大学（原杭州大学）出版社 1998 主要参考书：（1）《微分几何》苏步青、胡和生等编著高等教育出版社 1984
（2）《黎曼几何初步》白正国、沈一兵等编著高等教育出版社 1992
五、有关说明
为了讲课方便，可以先讲（二）曲线的整体微分几何，然后讲（一）外微分与活动标架法。此外，（三）中各节内容相对独立，可以不必按此顺序讲授。
