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某车间生产A、B两种产品，为了生产A和B，所需原料分别 为2和3个单位，而所需的工时分别为4和2个单位。现在可以应用 的原材料为100个单位，工时为120个单位，每生产一台A和B分 别可获得利润6元和4元。那么应该安排生产A、B各多少台才能 获得最大利润？ max z = 6x + 4y min z = −6x − 4y
为了摧毁敌方军事目标尽可能最大，试确定飞机轰炸的方案。
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2、二次规划(quadprog)
1 −1 −1 2 x1 + x2 ≤ 2 −x1 + 2x2 ≤ 2 2x1 + x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 x1 x2 x1 x2
min f (x ) = 1 2 (x1 , x2 ) S .T
2 )2 + (1 − x )2 求函数f (x ) = 100(x2 − x1 1
在[−1.5, 1.5] × [−0.6, 2.8]上极小值
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banana = @(x) 100∗(x(2) − x(1)ˆ2)ˆ2 + (1−x(1))ˆ2; [xmin, fval , flag ,out] = fminsearch(banana, [−1.9,2]) ; opt = optimset(’TolFun’,1e−8,’TolX’,1e−8,’Display ’ , ’ iter ’ ) ; [xmin, fval , flag ,out] = fminsearch(banana, [−1.9,2], opt) ; %[xmin,fval , flag ,out] = fminunc(banana, [−1.9,2],opt) ;
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练习II：优化轰炸方案
已知目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。此 项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸 弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸 弹时每升汽油可飞行3千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸 弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞 行4千米）外，起飞和降落每次各消耗100升。数据如表所示 要害部位 1 2 3 4 离机场的距离 （千米） 450 480 540 600 摧毁的可能性 每枚重型炸弹 0.10 0.20 0.15 0.25 每枚轻型炸弹 0.08 0.16 0.12 0.20
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练习I:四元线性规划
3 1 max( x1 − 150x2 + x3 − 6x4 ) 4 50 s.t.
1 1 4 x1 − 60x2 − 50 x3 + 9x4 ≤ 0 1 −1 2 x1 + 90x2 + 50 x3 − 3x4 ≥ 0
x ≤ 1, x ≥ −5, x ≥ −5, x ≥ −5, x ≥ −5 3 1 2 3 4
如求f (t ) = e −3t sin(4t + 2) + 4e −0.5t cos (2t ) − 0.5的极值。
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y = exp(−3∗t)∗sin(4∗t+2)+4∗exp(−0.5∗t)∗cos(2∗t)−0.5; y1 = diff (y, t) ; ezplot (y1 ,[0,4]) ;
如下是导函数y1 和目标函数y 在[0,4]上的图形
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1、线性规划(linprog)
min S .T −5x1 + 4x2 + 2x3 6x1 − x2 + x3 ≤ 8 x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 10 3 ≥ x1 ≥ −1 2 ≥ x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 此问题即为线性规划问题的标准型，在MATLAB中求解： c = [−5, 4, 2]; a = [6, −1, 1; 1, 2, 4]; b = [8; 10]; vlb = [−1, 0, 0]; vub = [3, 2, Inf ]; [x , fval ] = linprog (c , a, b , [], [], vlb , vub ); 采用单纯型方法求解，更具体格式参考help linprog;
− (2, 6)
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h = [1,−1; −1,2]; c = [−2,−6]; a = [1,1;−1,2;2,1]; b = [2;2;3]; [x, fval ]=quadprog(h,c,a,b ,[],[],[0;0]) ;
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3、无约束非线性优化fminsearch/fminunc
其中opt参数结构(help optimset)： 选项名 ’Display’ ’MaxFunEvals’ ’MaxIter’ ’TolFun’ ’TolX’ 描述 设定现实方式 最大函数执行次数 最大算法循环次数 函数解（极值）的误差容忍度 变量解（位置）的误差容忍度 默认值 ’notify’ 200*length(x) 200*length(x) 1e-4 1e-4
第七讲：MATLAB优化
胡贤良
浙江大学数学系 科学与工程计算研究所
2012年6月28日
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MATLAB数值优化工具箱
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MATLAB代码优化
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算法优化
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优化问题
数学上所谓的优化问题，就是求解如下形式的最优解 min fun(x )
Sub . to [ConditionEquation] [BoundaryCondition]
s .t . 2x + 3y ≤ 100 4x + 2y ≤ 120 x, y ≥ 0 ⇒
s .t . 2x + 3y ≤ 100 4x + 2y ≤ 120 x, y ≥ 0
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c = [−6,−4]; a = [2,3;4,2]; b=[100,120]; vlb =[0,0]; vub=[Inf, Inf ]; [x, zval ] = linprog(c,a,b ,[],[], vlb ,vub);
根据优化变 量、目标 函数和约 束函数 的不同，常见的有 线性优化：目标函数和约束函数均为线性函数； 二次优化：目标函数为二次函数，而约束条件为线性方程； 与线性优化统称为简 单优化 ； 非线性优化：目标函数为非二次函数，或约束条件非线性； 多目标优化：目标函数不止一个。
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0、解析法与图形法求简单问题
