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数学分析（二）课程考试A 卷适用专业 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。
（ ）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。
（ ）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。
（ ）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。
（ ）6、若在可积，则在可积。
（ ）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为 。
2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为 、 、 。
3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于 。
4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是 。
5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为 、 。
6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为 。
三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。
六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。
浙江大学20 11 -20 12 学年 秋冬 学期《 数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 1 月 11 日，考试时间： 120 分钟. 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、6分）0002()()00013214()().lim ()..0min{1}00251251322.lim 3.111x x x f x U x A x x x x x x x x f x A f x x x x A f x x x A εδδεδεεδε→→∀>∃><-<<<<+<∀>∃=><-<----=<-<=+++-<=设在内有定义，如果存在常数，对，，当时，不妨令，则：对，，，当，有；则称在处有极限，记作：：因此二、 计算下列极限：（每题6分，共18分）1. ()21211cos 12cos 101lim cos lim 1(cos 1).x ux u u u x u u e x =--⋅-→∞→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭令2.222303330003322200limlim limarcsin [()]()662arctan 26lim 6lim 4.33x x x x x x x x x x x x xx x o x xo x x x x xx +++++→→→→→==⋅-++-+===⎰⎰⎰ 3. tan 0.x x n x e e x n αα→-设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值tan tan 3330000(1)tan 1lim lim lim lim 1313.3x x x x x n n n n x x x x e e e e x x x x x x x x x n ααααα-→→→→---==⋅====，因此，，三、 导数及应用：（每题7分，共21分） 1.21211(1)11111..242x y x x x y x y x π='=⋅=-+-'===+-则：故，在处的切线方程为2.342242444cos 42(1)2.(2).2cos 2cos cos dy dy dy t t d y t dt dt t dx dx dx t t dx t t t dt dt'======3.(2012)2(2012)12(2011)22(2010)2012201220122201120102(2012)0(2)()(2)()(2)()(1)(2)(1)2012(22)(1)20122011(2)2012(22)20122011.=20122x x x x x x xxxx y x x e C x x e C x x e x x e x e e x x e x ee y ---------='''=-+-+-=--+--+-⨯=---+⨯⨯因此，013=4050156.四、 计算下列积分：（每题7分，共28分） 1.ln(1)x x dx +⎰222222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111ln(1)(1)ln(1).242x x x dx x dx x x dx x x x x dxx x x x x C +=+=+-+⎛⎫=+--+ ⎪+⎝⎭=+---++⎰⎰⎰⎰2.66333(2(2(3)63(27.2x x x u u π--+=+-==+==⎰⎰⎰⎰令3.22222tan 1422220002124220002(1).1(1)2=2sin 1(1)3132.4228(2)sin 2sin cos .3sin tan 2sin cos 2sin .8u t u uu x dx du u u u u u du tdtu u x u dx u udu u u u udu udu ππππππ=+∞===++⋅⋅=++=⋅⋅⋅====⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则：，则：令：，则：则：4. 211()().xt f x e dt f x dx -=⎰⎰设，计算：()22111111001()()().22xxe ef x dx xf x xf x dx xedx ----'=-=-==⎰⎰⎰五、(1)(2)2.D D x =计算：的面积；绕直线旋转一周所得立体的体积 （9分）322221111222001(1)(21).211(2)21.23144(3)212(22(1).335444(2)(1).335l y x A D S V x x dx V x dy y dy ππππππππππ==⋅⋅-=⎫=⋅⋅--=--=⎪⎭=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰切线的方程为，切点，的面积或：证明题：（每题6分，共18分）1.21121111311(1)()()0.().41(41)11111(2).1()().22222(3){}.2()().3{}{}.(4n n n n n n n n n n n n n x f x f x f x x x x x x x f x f x x x x x x f x f x x x x +-+--'==>-->=>>=>==<<=<=【方法一】：令，则：则：单调递增下面证明：显然；假设，则：下面证明：单调递减，假设，则：由此可得，单调递减且有下界，因此，数列收敛11121113111)lim .lim .41221(1){}.21113112110.2224122(41)11.{}.222(2){}.3n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x n N x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞+++-+-==⇒==-∀∈>--•=>>-=-=>-->=<<设，则：故，【方法二】：数列有下界：对，；假设，则：因此，即：数列有下界数列单调递减，假设，则：111131310.{}.4141(41)(41)(3)(1)(2){}{}.3111lim .lim .4122n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→+∞→+∞----=-=>-----==⇒==-因此，单调递减由、可得，数列单调递减有下界，因此，收敛令：，则：故，().()[)()f x I f x a g x +∞叙述函数在区间上一致连续的定义设在，上一致连续，[)lim[()()]0.()[).x a f x g x g x a →+∞+∞-=+∞在，上连续，且证明：在，上一致连续(1)00()()().li (2)()[)00()().300.m [()()]0()(300)x x x I x x f f x a x f x f x I f x g x f x g x x x f x f x G x G x x εδδεεδδεεδεε→+∞'''+∞'''''''''∀>∃>∈-<-<∀>∃>-<'''-<∀>∃->><'''=∀>->∃由于在，内一致连续，则对，，当时，由于对，，当时，则：对，对，，当、，且时，，当，则称在区间上一致连续，、()()()[1)()()()()()()()()()()()()()().()[1).()[1]()[).G x x g x g x g x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x g x g x G g x a G g x a δε'''∈++∞-<''''''''''''-=-+-+-'''''''''≤-+-+-<++∞++∞，，且时，因此，在，内一致连续而，在，上一致连续，因此，在，内一致连续2. 2240()[02](02)()2(2).x f x e f x dx f -=⎰设在，上连续，在，内可导，且 (02)()2().f f ξξξξ'∃∈=证明：，，使得()2222242(1)()()()()2().(2)(02)2()2(2)()(2).()(2).(3)()[2](2)(2)(02)()0.()2().x xF x e f x F x e f x xf x e f f e f e f F F F x Rolle F f f ηηηηηηηηξηξξξξ-----''==-∃∈=⇒==∃∈⊂''==令：，则：根据积分中值定理，，使得，即：又在，上连续，在，内可导，根据定理，，，使得即：友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。
2003年浙江大学数学分析试题答案2003年浙江大学数学分析试题答案一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<->>∀m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{kn a ，a a k n k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减， 又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
2023年浙江大学强基计划数学测试题考试时间2023年6月12日1.已知a,(30,^j,则一、21a彳1+a tan—tan二V22----------------」的最大值为一cot a+cot/32.|2'3，—2“3[=2的正整数解3,y,〃,v）个数为3.A B_C={1,2,,2023）,A B C=（j）,设满足条件的集合数A,B,C为孔时，则十进制下n的最后2位数为4.2023支球队循环赛，2队一场，胜队得3分，负得0分，平局各加1分，赛后各队总分构成d=l得等差数列，则最后一名的分的最大值为o5.已知x,y w N*,且x,y司1,1897],且x+1为X的倍数，则整数对（x,y）个数为（）A.2898B.3793C.4686D.51336.四边形人8C。
外切于圆0,过。
直线交AB,CD,AC,CD于K,L,M,N,且/BKL=/CLK,AM=\,MC=2,BN=3,则ND=7.已知正整数〃满足，对任意等差数列Qi，%-%,若。
1+2。
2+3%+为有理数，则。
1，。
2，。
〃中有一个有理数，则〃可以为（）A.6B.8C.10D.128.已知正〃边形顶点中任取3点，构成钝角三角形的概率为二土，则〃的可能值得和为1259.已知椭圆&+当=1(。
＞人＞0)得过右焦点作相互垂直得弦AC,BD,已知四边形a bABCQ的面积0.—，则生=oL2J b10.f(x)=x2-2x-+4x-2W^T+6i的最小值为。
11.设虚数Cl,b,C有W+|/?|+|c|=1,贝'J|—/?2)+bc(b^—C2)+C€Z(C2—)|的最大值为o12.下列说法正确的是()A.自然数集合与有理数集合无双射B.有理数集合与实数集合间不双射C.实数集合与整数集合间无双射D.以上都不对13-已知｛福中有“十(1一面*“+国+1(〃亵*)，则1四何tan96-tan12(1+-)14.求-------------------=_______ol+tan96tan12(1+^^)sin615.{%}有％=1,。
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2. (122)().f x y z gradf=，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的211.n Fourier n+∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从(2).B D ππ-点沿直线到点，2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，。
高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。
（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B =。
（ ）3、函数y x =与函数y =是相同的函数。
（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。
（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。
（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。
（ ）7、函数()sin f x x =是有界函数。
（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。
（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。
（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
（ ）14、100000x是无穷大。
（ ）15、零是无穷小。
（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。
（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。
（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。
诚信考试 沉着应考 杜绝违纪浙江大学2008–2009学年 夏 学期《数学分析（下）》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___笔__入场 考试时间： 2009 年 6 月 23 日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号： 专业： ______考生承诺：“我确认本次考试是完全通过自己的努力完成的。
”考生签名：一、 计算下列各题——级数理论：（共28分） 1、（6%）将函数1()3f x x =-展开成关于)1(-x 的幂级数，并确定其收敛区间.2、 （6%）判别级数111(2)nnn a a∞-=+-∑的敛散性.3、（6%）求幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛区域及和函数。
4、（10%）将函数)20()(2π<<=x x x f 展开成Fourier 级数；并证明：.61211222π=++++ n二、 计算下列各题——多元函数微分学：（共20分）5、（6%）求曲面222y x z +=上点（1，1，3）处的切平面方程和法线方程。
6、（6%）设333),,(z y x z y x f ++=，求：).()(gradf rot gradf iv d gradf ，，7、（8%）设22().x z z z f x y y x x y ∂∂=∂∂∂，，求：，三、 计算下列各题——多元函数积分学：（共36分）8、（8%）221{()0101}.Dx y d D x y x y σ+-=≤≤≤≤⎰⎰计算二重积分，其中，，.9、（8%）计算三重积分2222||1||()x y z z x y dV ++≤+⎰⎰⎰。
10、22(-20(20)4ABCydx xdy I ABC A y B x y-==+⎰计算，其中是由点，）沿，，再 沿直线到点(22).C --，（10%）11、 （10%）333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中2221(0)x y z z ∑++=≥是上半球面的上侧.四、 证明题：（共16分）12、 （6%）证明：存在00δ>以及在00()δδ-，内具有连续导数的函数()f x ，满足：(0)0f =， 且对一切00()x δδ∈-，，2()sin((()))f x x f x =+。
1．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）； （2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠I I ； （3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解 （1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。
2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x yφ≠-}){()(P E P U I1. 设求1. 解 令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y 2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6) ()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解 （1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y x y xy eexy()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2) ()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解 令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解 因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明 对0∀>ε，要使22-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ-<ε，所以()(,0,0lim0→=x y习题7.21.设()(),sin1arctan,π==+-xyxz f x y e y xy试求()1,1xf及()1,1yf1.解()221,sin arctan1=+++Q xyxx yf x y ye y xxyyπ22=sin arctan+++xyx xyye yy x yπ.()()222,sin cos11-=++-+xy xyyxyf x y xe y e y xxyπππ222sin cos-=+++xy xyx xxe y e yx yπππ()()1,1,1,1∴=-=-x yf e f e2.设(),ln2⎛⎫=+⎪⎝⎭yf x y xx，求()1,0'xf，()1,0'yf.2. 解()()222122,22--==++Qxyx yxf x yy x x yxx()2112,22==++yxf x yy x yxx()()11,011,02∴==，x y f f .3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解 （1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,xz yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x x y y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4. 证明 因为ln,z =所以zz xy∂∂====∂∂从而有12z z xy x y ∂∂+=+==∂∂ 5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin =+z x y y x ，求2∂∂∂z x y ；(2)已知ln =xz y ，求2∂∂∂z x y；(3)已知(ln =z x ，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y ；(4) arctan =y z x 求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂z y x .5. 解 （1）3323sin sin ,3sin cos zz x y y x x y y x x ∂=+∴=+∂Q从而有223cos 3cos zx y y x x y∂=+∂∂（2） ln ln 1,ln x x z z y y y x x ∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭Q 从而有()()()ln 1ln 1ln 11ln ln ln ln 1x x x z y xy y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222ln ,zz x x yx -∂=∴===+∂Q从而有()()3322222222122z x y x x x y x --∂=-+=-+∂ ()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解 因为()ln ,z y xy =Q 所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂。
浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点,使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ,其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在0>x 时连续，3)1(=f ,并且⎰⎰⎰+=xy xy dt t f y dt t f x dt t f 111)()()(，)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续,若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及，则对A ，B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →，使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且,试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1）求极限10(1)limxx e x x →-+（2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续,()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数 四．（共15分）1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =,求)1(F '五．（共30分)1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y x e z --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分)(1)求极限10(1)limxx e x x →-+解:原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
数学分析考研浙江大学819考研真题
1．浙江大学819数学分析考研真题及详解
2013年浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：数学分析（A）（819）
考生注意：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（40分，每小题10分）
（1）；
（2）；
（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；
（4）设.求.
二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.
三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.
四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，
，同时对于任意，有.
证明：对于任意的，都有.
五、（5分）；
（10分）.
六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在
上无界；
（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.
七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.
八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：
，
其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.
七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.
八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：
，
其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.。
2005年浙江大学数学分析试题及解答浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22x e x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e dx e ππ=-⎰ 由分部积分法0cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2x e xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以0cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x x x x x x x →→-++==-++332243343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕 四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
证明存在数列{}n x [,)a ⊂+∞满足条件lim n n x →∞=∞lim ()0n n f x →∞=（2）设()f x 在[,)a +∞上连续，()0,f x ≥且()af x dx +∞⎰收敛，问是否必有lim ()0x f x →∞=？为什么？证明：（1）因为()af x dx +∞⎰收敛，所以对于任意的0ε>，存在120,,G x x G >>当时21()x x f x dx ε<⎰考虑1()n nf x dx +⎰，由积分中值定理，存在(,1)n n ξ∈+，使得1()()n nf x dx f ξ+=⎰，将ξ记做n x ，易见lim n n x →∞=∞当n G >时，1()()n n nf x dx f x ε+=<⎰，即lim ()0n n f x →∞= 证毕（2）不一定有.举一个例子:()f x 是这样一个函数:112()[,)221()2()1[,]20nn n n n x n x n n f x x n x n n ⎧-+∈-⎪⎪⎪=--+∈+⎨⎪≥⎪⎪⎩其它,x 0 1,2.3......n =显然函数()0,f x ≥0()f x dx +∞⎰=121112=-,但lim ()0x f x →∞≠(因为在整点处函数值为1) 解毕六（20分）设()f x 在[0,)+∞上具有二阶连续导数，且已知(){}0sup ();0,M f x x =∈+∞和(){}2sup ''();0,M f x x =∈+∞均为有限数。
证明： （1）022'()2M tf t M t ≤+对任何0,(0,)t x >∈+∞均成立. （2）(){}1sup '();0,M f x x =∈+∞也是有限数，并且满足不等式1M ≤ 证明:(1) 考虑()f t t +在t 处Talyor 展开: ()f t t +=2''()()'()2f f t f t t t ξ++,t>0,整理一下有: (2)()''()'()2f t f t f f t t t ξ-=-,,所以()(2)''()'()2f t f t f f t t t ξ+≤+ 所以 022'()2M tf t M t ≤+ 证毕 (2) 因为022'()2M tf t M t ≤+对任何0,(0,)t x >∈+∞均成立.取t =所以'()f t ≤所以(){}1sup '();0,M f x x =∈+∞也是有限数，并且满足不等式1M ≤ 证毕七 （10分）()f x 在任何有限区间上Riemann 可积，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明：lim ()sin()0n f x nx dx +∞-∞→∞=⎰证明: 因为()f x dx +∞-∞⎰收敛,所以0,0,G ε∀>∃>使得()()2GGf x dx f x dx ε+∞--∞+<⎰⎰在[,]G G -上因为()f x Riemann 可积,由Riemann Lebesgue -引理lim ()sin()0GGn f x nx dx -→∞=⎰即 : 0,,N ε∀>∃当n N ≥时()sin()2GGf x nx dx ε-<⎰所以0,,N ε∀>∃当n N ≥时,()sin()f x nx dx +∞-∞⎰()sin()()()GGGGf x nx dx f x dx f x dx +∞---∞≤++⎰⎰⎰ε<即:lim ()sin()0n f x nx dx +∞-∞→∞=⎰证毕八 （15分）（1）将arctan x 展开为幂级数，求收敛半径.（2）利用（1）证明：4444......(1) (3521)n n π=-+-+-++.（3）利用（2）中公式近似计算π的值，需要用多少项求和，误差会不超过10m -（m 为自然数）解：（1）由幂级数理论arctan x =()21121nn n x n +∞=-+∑由收敛半径的求法收敛半径：____1111n ρ====（2）在级数()21121nn n x n +∞=-+∑中，令1x =，由莱布尼茨对交错级数的判别法，级数收敛，所以4444arctan14......(1) (3521)n n π==-+-+-++（3）对于误差的计算，取决于余项，不妨近似地用421n +代替余项， 41021mn -≤+，所以410121410,2m m n n ⨯-+≥⨯≥所以至少计算410112m ⎡⎤⨯-+⎢⎥⎣⎦项，这里[]y x =是取整函数. 解毕 九 （15分）设(,)u x y 是()2\{0,0}R 上2C 径向函数，即存在一元函数()f x使得(,)(),u x y f r r ==若22220u ux y∂∂+=∂∂，求f 满足的方程及函数(,)u x y .解：'(u f r x ∂=∂，'(u f r y ∂=∂ 所以()2223222222''()'()u x y f r f r x x yxy∂=+∂++ ()2223222222''()'()u y x f r f r y x yxy∂=+∂++由22220u u x y ∂∂+=∂∂1''()'()0f r f r r ⇒+= 所以''()1'()f r f r r =-，所以1ln '()ln f r C r=+ 所以1121'(),()ln f r C f r C r C r=∴=+ 这里12,,C C C 均为常数。
所以(,)u xy 12C C =+ 解毕十 （25分）(1)设f 是1R 上1C ，周期为L 的函数（0L >）,且0()0Lf x dx =⎰。
利用f 的Fourier 级数展开证明： 22224'()()LLf x dx f x dx Lπ≥⎰⎰，等号成立当且仅当存在常数11,a a -，使得2211()t t iiLLf t a ea eππ--=+（2）设Ω是2R 上具有1C 光滑边界的连通区域，设()A Ω是Ω的面积，则2()A div rdxdy r v ds →→→Ω∂ΩΩ==⋅⎰⎰其中向量场12(,)(,)(,)r x y r x y i r x y j →→=+，12(,),(,)r x y x r x y y ==，,i j 是x 轴和y 轴的单位向量.，v →是边界∂Ω的单位外法向量，ds 是边界∂Ω的弧长微分.（3）设Ω同上，()l ∂Ω是Ω的边界∂Ω的长度，利用（1），（2）证明：2()4()l A π∂Ω≥Ω等号成立当且仅当Ω是圆盘.证明：（1）因为f 是1R 上1C ，所以,'f f 均是连续函数，所以满足Passeval 等式，又注意到()0Lf x dx =⎰所以()222012()L n n n f x dx a b L ∞==+∑⎰ 这里,n n a b 均为f 的Fourier 系数，由Fourier 级数理论可得：'f 的Fourier 系数为22,n n na nb L Lππ，由Passeval 等式： ()22222220124'()L nnn f x dx n a n bL Lπ∞==+∑⎰，显然22224'()()LLf x dx f x dx Lπ≥⎰⎰如若等号成立，说明,0,2n n a b n =≥，由f 的Fourier 级的复数形式：存在常数11,a a -，使得2211()t t iiLLf t a ea eππ--=+ 证毕（2）证明：div r →=122r r x y ∂∂+=∂∂，所以2div rdxdy dxdy →ΩΩ==⎰⎰ 2()A Ω 将第一类曲线积分向第二类曲线积分转化：r v ds xdy ydx →→∂Ω∂Ω⋅=-⎰⎰2Green dxdy Ω−−−−→⎰⎰由公式=2()A Ω 证毕(3) 将坐标(,)x y 看作是弧长s 的函数((),())x s y s ，因为有：222()()()dx dy ds += 所以：221dx dy ds ds ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()l L ∂Ω=，(),()x s y s 是周期为L 的1C 函数 由格林公式和（2）的结果。
