考研数学辅导数字特征PPT课件

C
nk NM
C
n N
，
E( X ) n M ， D( X ) n M (1 M ) N n ； (n M )
N
N N N 1
（5）几何分布： X ~ G( p) ，
pk PX k (1 p)k1 p ， k 1,2,，.
E(X) 1 ，
p
D( X ) 1 p ；
p2
（6）均匀分布： X ~ U(a,b) ，
i
连续型： X ~ f (x)
E(Y ) g( x) f ( x)dx
2、二维的情形 Z g( X ,Y )
离散型 ( X ,Y ) ~ PX xi ,Y yi pij ,
E(Z)
g( xi , y j ) pij
i
j
连续型 ( X ,Y ) ~ f ( x, y) ,
E(Z )
件是相互独立的，其概率均为 2 ，求途
5
中遇到红灯次数的数学期望.
例 2 、 设 X ~ P(2) ， 即 ： PX k 2k e2 ，
k! k 0,1,2,
求 Z 3X 2的数学期望.
例3、 设有超几何分布
P(X
i)
C
i M
C
ni NM
C
n N
,(i
0,1,2,, n
N,i
M)，
求随பைடு நூலகம்变量 X 的数学期望.
3．了解切比雪夫不等式.
4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独 立同分布随机变量的大数定律)
5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布) 和列维—林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)；（经济类还要 求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率
一、 数学期望与方差（标准差）
E(X) a b ，
2
D( X ) (b a)2 ；
12
（7）指数分布： X ~ E( )，
e x
f (x) 0
x 0，
x0
E(X) 1 ，
D( X ) 1 ；
2
（8）正态分布： X ~ N (, 2 ) ，
E(X) ，
D( X ) 2 ；
例1、 从学校乘汽车到火车站的途中有三个 交通岗，设在各个交通岗遇到红灯的事
1. 定义(计算公式)
离散 PX xi pi , E( X ) xi pi
i
连续 X ~ f ( x) ,
E( X ) xf ( x)dx
方差： D( X ) E( X E( X ))2 E( X 2 ) E( X )2
标准差： D(X ) ,
2. 期望的性质：
1° E(C) C, E(E( X )) E( X ) 2° E(C1 X C2Y ) C1E( X ) C2E(Y )
D( X ) p(1 p) ；
（2）二项分布： X ~ B(n, p) ，
E( X ) np ， D( X ) np(1 p) ；
（3）Poisson 分布： X ~ P() ，
E( X ) ， D( X ) ；
（4）超几何分布：
X
~
H(N , M, n) ，
pk
PX
k
C
k M
例 10、设 X ～ N (1,2)，Y ～ P(3) 且它们相互独 立，求 D( XY ) .
三、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：
协方差 Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y))
相关系数 XY Cov(X,Y)
D(X ) D(Y )
k阶原点矩 E( X k )
g( x, y) f ( x, y)dxdy
例 7、对圆的直径作近似测量，其值均匀 地分布在[a, b] 内，求圆面积的数学期望.
例 8、 设 X 与 Y 独立且均服从 N (0，1)， 求 Z＝ X 2 Y 2 的数学期望与方差.
例 9、假设公共汽车起点站于每时的10分， 30 分，50 分发车，某乘客不知发车的时间， 在每小时内任一时刻到达车站是随机的， 求乘客到车站后等车时间的数学期望.
例 6、 设有 20 人在某 11 层楼的底层 乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层(2-11 层)下是等 可能的, 且乘客之间相互独立, 试求 电梯须停次数的数学期望.
二、随机变量函数的期望（或方差）
1、一维的情形 Y g(X)
离散型： P{ X xi } pi ， E(Y ) g( xi ) pi
k阶中心矩 E (X E(X ))k
2 性质：
1° Cov(X,Y) Cov(Y, X )
2° Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)
例 4、（03）已知甲、乙两箱中装有同种产 品。其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次 品；乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中 任取 3 件产品放入乙箱后， 求：（1）乙箱中次品件数 X 的数学期望；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的 概率.
例5、 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从
中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的 数学期望与方差: (1) 试开过的钥匙即被除去; (2) 试开过的钥匙重新放回.
3° 若X与Y独立， 则E(XY ) E( X )E(Y ) 4° E( XY )2 ≤E( X 2 )E(Y 2 )
3. 方差的性质：
1° D(C) 0, D(E( X )) 0, D(D( X )) 0
2° X与Y相互独立，则 D( X Y ) D( X ) D(Y )
3° D(C1 X C2 ) C12 D( X )
4° 一般有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y )
D(X ) D(Y ) 2 D(X ) D(Y ) 5° D( X ) E( X C)2 , C E( X )
4、常见分布的期望与方差
（1）两点分布： X ~ (0 1) ， 0 p 1 ，
E(X) p ，
第四讲 数字特征与极限定理
考试要求
1．理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、 相关系数)的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数 字特征.
2．会根据随机变量 X 的概率分布求其函数 g(X ) 的数学期望 Eg( X ) ；会根据随机变量 X 和Y 的联合概率分布求其函数 g(X,Y ) 的数学 期望 Eg( X ,Y ) .