平行投影中心投三视图

1.2.1 中心投影与平行投影、空间几何体的三视图一、学习目标1.了解中心投影和平行投影的原理；2.能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几何体;3.能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出该几何体由那些简单几何体构成。

二、学习过程（一）预习案1.温故知新（1）几何体的三视图指的是、、。

（2）反映了物体的高度和长度，反映了物体的高度和宽度，反映了物体的长度和宽度。

2.新知导学（1）投影的定义及分类：由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影。

其中我们把叫做投影线，把叫做投影面。

投影有两类：一种是光由散射形成的投影叫做中心投影；另一种是在一束照射下形成的投影叫平行投影。

在平行投影中，当投影线时，叫做正投影，否则叫做。

（2）空间几何体的三视图及特征：当光线从几何体的正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；当光线从几何体的正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；当光线从几何体的正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图；一般的，一个几何体的俯视图与正视图一样，侧视图与正视图一样，侧视图与俯视图一样。

画三视图时，侧视图在正视图的，俯视图在正视图的。

3.预习自测（1）一条直线在平面上的正投影是（）A. 直线B. 点C. 线段D. 直线或点（2）如图所示的图形中，是四棱锥的三视图的是（）(3)如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是（）侧视俯俯视图正视图AB正视图侧视俯俯视图 C正视图侧视俯俯视图D正视图侧视俯俯视图（4）根据如图所示的俯视图，找出对应的物体。

（1）对应；（2）对应；（3）对应；（4）对应；（5）对应。

（二）探究案1.投影问题1：什么叫投影？什么又叫投影线？投影面？问题2：什么叫中心投影？什么又叫平行投影？平行投影中的正投影？ 2.空间几何体的三视图问题1：什么叫正视图？侧视图？俯视图？ 问题2：作三视图时：（1）正视图和俯视图的 一样，正视图和侧视图的 一样，俯视图和侧视图的 一样。

1.2.1 中心投影与平行投影~1.2.2 空间几何体的三视图知识一中心投影与平行投影 [导入新知] 1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面． 2．中心投影与平行投影投影 定义特征 分类 中心投影 光由一点向外散射形成的投影 投影线交于一点平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影[化解疑难]平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别 (1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同． 知识二 三 视 图 [导入新知] 三视图 概念规律正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图 一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图[化解疑难]1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示． 题型一中心投影与平行投影 [例1] 下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B[类题通法]1．判定几何体投影形状的方法．(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的投影仍是直线或线段；②平行直线的投影平行或重合；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD ­A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的序号是________．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影与在平面ABB′A内的投影是全等的平行四边形．【答案】①③题型二画空间几何体的三视图[例2]画出如右图所示的四棱锥的三视图．[解]几何体的三视图如下：[类题通法]画三视图的注意事项(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．[活学活用]沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()【答案】B题型三由三视图还原空间几何体[例3]如下图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．(1)(2)(3)[解](1)该三视图表示的是一个四棱台，如右图．(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如下图．(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如右图所示．[类题通法]由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．[活学活用]如图①、图②、图③、图④为4个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【答案】C易错易误辨析画几何体的三视图常见误区[典例]某几何体及其俯视图如下图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()[解析]该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.[答案]A[易错防范]1．易忽视该组合体的结构特征是由圆柱切割而得到，对正视方向与侧视方向的判断不正确而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．[成功破障]沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如右图所示，它的俯视图是()【答案】D当堂检测1．4个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有()【答案】A2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()【答案】D3．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．【答案】24．如图甲所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．【答案】(1)(2)(3)5．如下图所示，画出下列组合体的三视图．解：三视图如图①、图②所示．6．某组合体的三视图如下图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的是组合体，如右图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．。

【本讲主要内容】投影、三视图包括投影、平行投影、中心投影、正投影、视图、主视图、俯视图、左视图。

【知识掌握】【知识点精析】1. 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。

2. 由平行光线形成的投影叫做平行投影。

3. 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。

4. 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

5. 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图。

6. 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图。

7. 画三视图时，使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。

【解题方法指导】例1. 说出下面图1、图2中画出的正方体的立体图，各是什么投影。

图1 图2分析：图1是美术中画出的正方体的立体图，它应用了透视原理，与中心投影有密切的关系，体现出近大远小的视觉效果；而图2是斜二侧投影，它与平行投影有密切的关系。

解：图1中与正面垂直的直线相交于一点，图2中与正面垂直的直线互相平行，图1中的面近大远小，图2中相对的面一样大。

评析：两种立体图各有各的用途，仔细加以体会。

例2. （2006年山东）某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（）分析：分别画出几何体的三个视图，然后作出判断。

解：它的主视图如图1；图1 它的左视图如图2；①②③④⑤（2）n=8，9，10，11。

它的立体图如下：【综合测试答案】1. 平行投影解：这是由于太阳离地球非常遥远，因此可以看作是平行投影。

2. 1.8米解：由于同一时刻太阳光照射可以看作是平行投影，所以AC//'C'A，'B'A⊥又AB⊥BC，'C'B∆∴∽'C'B'AABC∆ABBC∴。

2投影法和三视图2.1体的三视图及其投影规律2.1.1常用的投影方法在工程上常用各种投影方法绘制工程图，常用投影方法有中心投影法、平行投影法。

（1）中心投影法如图2-1-1所示的投影法中，所有的投影线都汇交于一点，称为中心投影法。

中心投影法得到的物体的投影与投影中心、空间物体和投影面三者之间位置有关，投影不能反映物体的真实大小，但是图形富有立体感。

因此，中心投影法通常用来绘制建筑物或富有逼真感的立体图，也称为透视图。

图2-1-1 中心投影法（2）平行投影法如图2-1-2所示，投射线Aa、Bb、Cc是相互平行的，称为平行投影法。

平行投影法又称为正投影法和斜投影法。

(a)正投影法 (b)斜投影法图2-1-2 平行投影法投射线垂直于投影面，为正投影法；投影线倾斜于投影面为斜投影法。

在平行投影法中，如果平面与投影面平行，得到的投影就能反映平面的真实形状和大小并且投影同平面和投影面的距离无关。

2.1.2投影规律在机械图中常用正投影法，它具有以下规律：1.真实性：当空间物体平行于投影面时，投影反映空间物体的实形。

2.积聚性：当空间物体垂直于投影面时，投影积聚为直线和点。

3.类似性：当空间物体倾斜于投影面时，投影与原图形类似。

2.2点的投影特性点是组成形体的最基本的几何要素。

2.2.1点的单面投影（如图2-2-1所示）设定投影面P，由一个空间点A做垂直于P面的投影线，相交于P面上一点a，点a就是空间点A在P面上的投影。

由此可见：一个空间点在一个投影面上有唯一确定的投影。

反之，如果已知点A在投影面P上的投影a，不能唯一地确定该点的空间位置，这是由于在从点A所做的P面的垂直线上所有各点的投影都位于a处。

图2-2-1 点的单面投影由于单面投影不能够确定点的唯一位置，所以在工程上常把几何体想象成放在相互垂直的两个或两个以上投影面间，在投影面上形成的投影就是多面正投影。

2.2.2点的两面投影（1）两投影面体系的建立相互垂直的正投影面V和水平投影面H它们相交投影轴OX，便组成了V、H投影面体系。

高一年级数学必修二学案2011.5.4 编制：韩金红审定：张党辉§1.2.1 中心投影与平行投影§1.2.2 空间几何体的三视图
学习目标
1. 了解中心投影与平行投影的区别；
2. 能画出简单空间图形的三视图；
3. 能识别三视图所表示的空间几何体；
学习过程
一、课前准备
复习 1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是怎么旋转得到的.
复习 2：简单组合体构成的方式： ____________________和_____________________.
二、新课导学
探究 1：中心投影和平行投影的有关概念
新知1：投影的有关概念
探究 2：柱、锥、台、球的三视图
新知2：三视图的有关概念
探究 3：简单组合体的三视图
问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗?
典型例题
例 1 画出下列物体的三视图：
例 2 说出下列三视图表示的几何体：
※当堂检测
1. 下列哪种光源的照射是平行投影（）.
A.蜡烛
B.正午太阳
C.路灯
D.电灯泡
2. 左边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）.
A.四棱锥
B.圆锥
C.三棱锥
D.三棱台
3. 如图是个六棱柱,其三视图为（）。

1.2.1 中心投影与平行投影~1.2.2 空间几何体的三视图1．投影的概念及分类思考：画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？初试身手1．哪个实例不是中心投影()A．工程图纸B．小孔成像C．相片D．人的视觉2．如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是()A B C D3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．(填序号)①②③④合作探究A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点(2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()A B C D【规律方法】判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．跟踪训练1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC()A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对()(2)画出如图所示几何体的三视图：①②【规律方法】1．画组合体三视图的“四个步骤”(1)析：分析组合体的组成形式；(2)分：把组合体分解成简单几何体；(3)画：画分解后的简单几何体的三视图；(4)拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图．2．画三视图时要注意的“两个问题”(1)务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．(2)把可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线要画成虚线，重合的线只画一条．跟踪训练2．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．1．如何由三视图确定几何体的长、宽、高？2．如图所示的三视图，其几何体是什么？其正视图、侧视图中的三角形的腰是几何体的侧棱长吗？例3(1)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A B C D【规律方法】由三视图确定几何体一般分两步：第一步：通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．跟踪训练3．根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．①②课堂小结1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．2．画组合体的三视图的步骤特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．当堂达标1．中心投影的投影线()A．相互平行B．交于一点C．是异面直线D．在同一平面内2．如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱3．一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．4．画出如图所示的几何体的三视图．参考答案新知初探1．影子投影线投影面一点一点平行平行正对2.思考：[提示]正确．由画三视图的规则要求可知正确．初试身手1．【答案】A【解析】根据中心投影的概念可知A不是中心投影．2．【答案】A【解析】矩形的投影可以是线段，矩形，平行四边形，但不会是梯形．3．【答案】棱台【解析】从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．4．【答案】③④【解析】①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．合作探究【解析】矩形的平行投影可能是线段、平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影还是相交直线．因此A、B、C均错，故D正确．(2)【答案】A【解析】由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．跟踪训练1．【答案】B【解析】本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．由图易得OAOA′＝ABA′B′＝OBOB′＝BCB′C′＝OCOC′＝ACA′C′，则△ABC∽△A′B′C′.【解析】依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．故选B.(2) [解]①此几何体的三视图如图③所示；②此几何体的三视图如图④所示．①④跟踪训练2．[解]它的三视图如图所示．类型3由三视图还原几何体1．[提示]由正视图可确定几何体的长、高；由俯视图可确定几何体的宽．2．[提示]由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．正视图、侧视图中三角形的腰长不是四棱柱的侧棱长，应为四棱椎的侧面高线．【例3】【答案】(1) C【解析】正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．(2)【答案】D【解析】对于选项A，B，正视图均不符合要求；对于选项C，俯视图显然不符合要求．只有D符合要求．跟踪训练3．[解]由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：当堂达标1．【答案】B【解析】由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.2．【答案】B【解析】由题意知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．3．【答案】2，4【解析】由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为23×23＝4.4．[解]该几何体的三视图如图所示．。