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数理方程公式大集合1. 考察两端固定的弦的自由振动问题● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律:● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为2. 有界长杆的热传导问题3. 二维拉普拉斯方程的边值问题4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标)⎪⎩⎪⎨⎧====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0(),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψϕ sin )cos sin (),(1∑∞=+-=nn n tlxn l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin)(2dx lxn x la ln ⎰=πϕ,sin)(2dx lxn x an b ln ⎰=πψπ⎪⎩⎪⎨⎧===><<= ),()0,( ,0),( ,0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ϕ,sin ),(1)(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin)(20dx l x n x l a l n ⎰=πϕ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0,(),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin) (),(1∑∞=-+=n y an n y an n x an eb ea y x u πππ,sin )(20⎰=+an n xdx an x f a b a π,sin)(2⎰=+-ab an n b an n xdx an x g aeb ea πππ11),0(0r r <<5. 圆域内的泊松公式6. 无限长弦自由振动问题的达朗贝尔解为公式其中方程(3)的通解形式为7. 无限长弦强迫振动问题的解为公式和差化积sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2).(|θf u r r ==)20(πθ≤≤.)sin cos (21),(10∑∞=++=n n n n r n b n a a r u θθθ⎰=πθθθπ20cos )(1d n f r a n n ⎰=πθθθπ20sin )(1d n f r b nn), ,2 ,1 ,0( =n ),,2 ,1( =n ),( )(cos 2)(21),(0200220220r r d n r r r r r r f r u <--+-=⎰ϕϕθϕπθπ),0 ,( 2>+∞<<-∞=t x u a u xx tt)()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ.)(21⎰+-+atx atxd a ααψ).()(),(at x g at x f t x u ++-=(3)),0 ,( ),(2>+∞<<-∞+=t x t x f u a u xx tt )()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ⎰+-+atx atxd aααψ)(21..),(21)()(⎰⎰-+--+t t a x t a xd d f aτξτξττ222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆是三维拉普拉斯算子。
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
一． 判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二． 填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
（12分）七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）0xx yy yu xu +=八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。
（12分）数理方程试卷答案一 判断题（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V 二 填空题 （1）抛物 （2）2222220,xx yy x y Ru u x y Ru φ+=⎧+=+<⎪⎨=⎪⎩（3）0212()()33P x P x +（4）11[()()]()22x at x atx at x at t dt φφφ-+++--⎰（5）1!()m m s a +-三 解 ：有条件知 固有值为2()n n l πλ=，固有函数系为 ：cos,0,1,2,...nn x n lπφ== （3分）设0(,)()cos n n n u x t T t x lπ∞==∑带入方程得 20['()()()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l lππω∞=+=∑ （2分）02'()sin ()'()()()0(0)0n n n T t A t n a T t T t lT ωπ∴=+== （4分）得0()(1c o s ),()0,1,2,...n AT t tT t n ωω=-==（4分）(,)(1cos )Au x t t ωω∴=- （1分）四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换， 不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分） 对方程两端同时作Laplace 变换得((,)1)1,d pU x p dx p-=（3分）(,)1dU x p p dxp∴=2(,)1dU x p dxp=（3分）且211(0,)U p p p =+22111(,)U x p xppp∴=+ （3分）(,)1u x y xy y ∴=++ （2分）（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分）对原方程两端同时作Laplace 变换得：21()12()3()1p Y p pY p Y p p -+-=- （4分）2311131()1614(1)163Y p p p p ∴=+---+ （3分）3313()16416ttty t e te e-∴=+-（4分）五．解：建立方程20000,00,cos 0tt xx t tt x x u a u x t u u x u===⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪=⎩ （3分）由方程的 边界条件，对原问题做偶延拓 ，得到无界弦的转动方程 2'',0'0,'cos tt xx t t t u a u x t u u x ===-∞<<+∞>== （4分）根据达兰贝尔公式得11'(,)cos sin cos 2x at x atu x t sds x at aa +-==⎰ （3分）从而，原问题的解为11(,)cos sin cos 2x at x atu x t sds x at aa+-==⎰（2分）六．解：定解问题为0000,00,00,xx yy x x a y y bu u x a y bu u u ux====⎧+=<<<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩（2分）由初值条件得 固有值 2(),n nx aλ= 固有函数系为 ()sin,1,2,...n n x X x n aπ== （2分）方程的解为0(,)()()n n n u x y X x Y y +∞==∑=0sin()n n n xY y aπ+∞=∑()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分）()n n aa yyn n n Y y C eD eππ-∴=+代入原方程得 1(,)()sinn n aa yyn n n n u x y C eD ex aπππ+∞-==+∑又 (,0)0,(,)u x u x b x ==解得()sinsinn n aa n nb bbn n C D n n C e D ex x xdxaaππππ-+=+=⎰（3分）n ban bn b aan b an b n b aan n e C ee eD eeππππππ---=-=- （3分）()()1(,)sinn b y n b y aan b n b n ee n u x y x aeeπππππ---+∞-=-∴=-∑（2分）七．解：显然 x ，y 不同时 为零，xy ∆=-，特征方程为2()0dy y x dx+= （1分）（1） 当0xy ∆=->时，方程式双曲型的。
（1分）0,0x y <>时，特征方程是dy dx= ，解得33221,2()x y c -±=，（1分）令 3322(),x y ξη=-=，得标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） 当 0,0y x <>时，特征方程是dy dx=标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） （2）0xy ∆=-= ，抛物型。
标准型为 0,xx u = 或 0yy u =。
（1分） （3）0xy ∆=-<，椭圆型。
特征方程解为 33221,2()x iy c -±=（1分） 令 3322,x y ξη==，得 标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη+++=。
（1分）八．证明：微分性质[()]()[()]()(0)d L f t s sL f t s f dt=-（2分）[()]()()()()()(0)()[()]()(0)stststststd d L f t s ef t dtdtdtedf t f t ef t def s ef t dt sL f t s f +∞-+∞+∞--+∞-+∞-===-=-+=-⎰⎰⎰⎰（3分）卷积性质1212[()*()]()[()]()[()]()L f t f t s L f t s L f t s = （2分）12120()12012012[()*()]()[()()][()()]()()[()]()[()]()tsts s t ststL f t f t s f f t d edtf ef t e dt d f t edt f t edtL f t s L f t s τττττττττ+∞-+∞+∞---+∞+∞--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（5分）第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法 1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x xu a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n nt x u＝lx n l t an D l t an C n n nπππ∑∞=+1sin)sincos(其中：⎰=lndx lx n x lC 0sin)(2πϕ，⎰=ln dx l x n x an D 0sin)(2πφπ2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu atu (2.18)0),(,0),0(=+∂∂=t l hu x t l u t u ），（ (2.19))()0,(x x u ϕ= (2.20)其中ρc k a =2，00>=kk h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。
