SD_第07章杆件的变形

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第七章 杆件的变形 简单超静定问题
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引
言
构件发生在工作中所不容许的过大变形称为刚度不足。 为了保证构件安全、正常工作，必须将其弹性变形限制 在一定范围之内。必须研究构件的变形和位移。 研究杆件变形和位移，一方面是为了分析杆件的刚度问 题，另一方面是为了求解超静定问题。
A
y
A F
A2
A
x
A1
A3
2
AA1 l1 1mm AA2 l2 0.6mm A1 x l2 0.6mm l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
FNi li l li i 1 i 1 EAi
4
n
n
山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
二、拉压杆的横向变形与泊松比
横向变形：直杆在轴向拉力或压力作用下，杆沿垂直于轴线 方向的变形。 杆件的横向变形及横向正应变为：
b b b1 b, b 实验表明，当应力不超过材料的某一极限值时，横向正应变 与轴向正应变之比的绝对值为一常数，即：
d 2w M( x ) 2 dx EI z
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y M (x) > 0 M (x) > 0
§7-3 梁弯曲时的变形
y M (x) < 0 M (x) < 0
dy dx 2 > 0 O
2
x
O
dy dx 2 < 0
2
x
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶 导数符号一致，所以挠曲线近似微分方程为：
w w(x)
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挠度转角关系： tan dw
dx
§7-3 梁弯曲时的变形
截面形心在x方向的位移忽略不计。 二、挠曲线近似微分方程
M 推导弯曲正应力时，得到： EI z 1 M ( x) 忽略剪力对变形的影响， ( x) EI z 由数学知识可知： d2w 1 dx 2 dw 2 3 [1 ( ) ] dx 1 d 2w 略去高阶小量，得 2 dx 1
工程上为使梁满足刚度要求通常对梁的最大挠度或最大 转角加以限制，即： w max [w], max [ ] l l ~ 建筑钢梁的挠度： [ w] 250 1000 1 机械传动轴的转角： [ ] 3000 1 精密机床的转角： [ ] 5000 注意：许用挠度和许用转角，其数值由不同工程规范和特殊 工程要求确定。

：单位为rad（弧度），符号与扭矩T相同。
GIp：圆轴的扭转刚度。
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§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
二、刚度条件 在工程中，对圆轴的刚度要求通常是限制单位长度的扭转 角，单位长度扭转角即为扭转角沿轴线的变化率，即 d T
FN A
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
轴向变形与轴向正应变为：
l l l1 l , l 根据胡克定律 E 有：
FN l E A l
EA称为杆件的抗拉刚度。
FN l l EA
当同一杆件而不同横截面上的轴力不同或截面面积不同时
v v
E v称为横向变形系数或泊松比。且有： G 2(1 v)
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
例：如图所示的等直杆，横截面面积A=500mm2，材料的弹性模 量E=200GPa，试求杆件沿轴向的总变形。 解：作轴力图
解：（1）、内力分析
圆轴的内力图如 图，且有：
TAD TDB 200N m TBC 400N m
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（2）、计算截面的极惯性矩
AD段： I p1 DC段： I p 2
§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
d14
32
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（4）、刚度校核
§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
应分别校核AD段和BC段的扭转刚度
TAD 180 200 180 AD GI p1 80 109 7.95 108 1.88( /m)
d w M ( x) 2 dx EI z
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。 经常用w代表某一特定截面的挠度。
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三、用积分法求梁的变形
§7-3 梁弯曲时的变形
挠曲线近似微分方程为： d 2 w M (x) d2w EI 2 M (x) 2 dx EI dx 积分一次得转角方程
FN 1
FN 2
300
y
A
F F
x y
0
FN1 cos FN 2 0
x
0 FN 1 sin F 0 FN1 F / sin 2F 20kN FN 2 FN1 cos 3F 17.32kN
20 103 2 110 3 m 1mm 斜杆伸长 l1 E1 A1 200 109 200 106 FN 2l2 17.32 103 1.732 0.6 103 m 0.6mm 水平杆缩短 l2 E2 A2 200 109 250 10 6
20
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§7-3 梁弯曲时的变形
y
A F B
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0,
wA 0
x
B
1 2 1 3 l 代入求解 C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 EI F ( x l ) 2 Fl 2 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax w B 2 EI 3 EI
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
一、拉压杆的轴向变形
轴向变形：直杆在轴向拉力或压力作用下，杆沿轴线方向的 变形称为轴向变形或纵向变形。 杆件原长为l，横截面面积为A，横向尺寸为b，在轴向拉力 F作用下，杆件长度为l1，横向尺寸为b1，则杆横截面上的正应 力为：
FNi li l li i 1 i 1 EAi
l l1 l2 l3 FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 EA 6 103 1 2 103 2 3 103 1.5 200 109 500 106 0.065mm
FF l N1 1
2、根据胡克定律计算杆的变形。
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
FN 1l1 1mm E1 A1 F l 水平杆缩短 l2 N 2 2 0.6mm E2 A2
斜杆伸长 l1
3、节点A的位移（以切代弧）
FN 1 300 FN 2 A
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一、圆轴扭转时的变形
§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
圆轴扭转时的变形用两个横截面间绕轴线的相对扭转角 来度量。
d T dx GI P
沿轴线积分有：
d
l
T dx l GI p
Tl GI p
若两截面之间的扭矩保持不变，且为等直圆轴，则有：

(30 103 )4
32
7.95 108 m4
d 24
32

(40 103 )4
32
25.1108 m4
（3）、计算相对扭转角AC
AC AD DB BC
TAD l AD TDBl DB TBC lBC GI p1 GI p 2 GI p 2 5.45 103 rad
~
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
A
A
wA 0
wA 0 A 0
wA
－弹簧变形
w AL w AR w AL w AR AL AR
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~
A
A
A A A
A
A A
A
AA A
AA
A
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五、梁的刚度条件
§7-3 梁弯曲时的变形
dw EI EI M (x )dx C dx
再积分一次得挠度方程
EIw M (x)dxdx Cx D
其中：C，D为积分常数，由边界条件与连续条件确定。
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四、边界条件与连续条件
§7-3 梁弯曲时的变形
积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件 光滑连续条件