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专题5 函数基本性质考点9 函数的单调性与最值
考场高招1 因地制宜,恰当判断函数单调性两法
1.解读高招
2.典例指引
1(1)讨论函数f(x)=(a>0)在(-1,1)内的单调性.
(2)求函数f(x)=lg x2的单调递减区间.
(2)(复合法)f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
设u=x 2,则y=lg u.y=lg u 在(0,+∞)内为增函数,u=x 2在(-∞,0)内为减函数,在(0,+∞)内为增函数, 故f (x )在(-∞,0)内单调递减.所以函数f (x )的单调递减区间是(-∞,0).
3.亲临考场
1． (2016·北京,文4)下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A ．y ＝11－x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝ln(x ＋1)
D ．y ＝2－x 【答案】D
【解析】y ＝11－x
在(－1,1)上为增函数,故A 错；y ＝cos x 在(－1,1)上先递增后递减,故B 错；y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数,故C 错；而D 中y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在(－1,1)上为减函数,故选D. 2. (2015·湖南,文8)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x ),则f (x )是( )
A ．奇函数,且在(0,1)上是增函数
B ．奇函数,且在(0,1)上是减函数
C ．偶函数,且在(0,1)上是增函数
D ．偶函数,且在(0,1)上是减函数。
一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。
第二章函数概念与基本初等函数知识点与方法1．函数解析式的求法主要有换元法和待定系数法等:利用函数的解析式研究问题时要特别注意分析自变量x与函数值y的关系,尤其要注意分段函数各段的自变量所对ƒ的解析式．已知函数解析式,计算有限个函数值的和．fl类问题一般都具有明显的规律,或者函数具有周期性,或者函数具有对称性（自变量具有某种关系,其函数值和fi定值）．如£（x）＝,求+的值（这$£（x）+£（1—x）＝）．²．确定函数定义域的基本原则．（1）分式函数y＝中,满足分母g（x）≠0．（²）偶次式y＝（n∈N*）中,满足被开方式£（x）≥0．（3）对数函数y＝log£（x）g（x）中,满足且£（x）≠1．（4）幂函数y＝［£（x）］0中,满足£（x）≠0．（±）fl切函数y＝tanx中,满足x≠kπ+（k∈Z）．（6）在实际问题中考虑自变量的实际意义．3．函数值域（最值）的求法．（1）二次型函数——配方法．（²）©曲函数——均值н等式．（3）利用换元法转化fi二次型函数或©曲函数．（4）函数单调性法．（±）导数法．对于н等式恒成立、fl在性问题h要通过求函数最值的方法解决．4．判断函数单调性的方法．（1）定义法:一般地,设函数y＝£（x）的定义域fiA,区间W⊆A,∀x1,x²∈W,（x1—x²）［£（x1）—£（x²）］>0⇔>0⇔£（x）在区间W L是增函数．若£（x）在区间W L fi增函数,x1, x²∈W,则有x1<x²⇔£（x1）<£（x²）,减函数有类似结论．（注意:在涉þ到н等式的求解、证明等有关问题时可以考虑构造函数,利用函数单调性求解）．（²）用已知函数单调性判断（下列函数都在¿共单调区间L）: ķ增函数+增函数＝增函数:ĸ减函数+减函数＝减函数:③复合函数单调性:④奇（偶）函数在对称区间L的单调性相¼（相反）．（3）借助图像判断函数单调性．（4）导数法:对可导函数£（x）,x∈（a,b ）,£′（x）≥0⇔£（x）在（a,b）L是增函数:£′（x）≤0⇔£（x）在（a,b）L 是减函数（其中导致导数fi0的点是孤立的）．±．函数的奇偶性．（1）判定函数奇偶性的方法．函数具有奇偶性的必要条fl是定义域fi 关于原点对称的区间．判断函数奇偶性首先确定函数定义域．ķ定义法:∀x∈D£,£（x）±£（—x）＝0: ĸ用已知函数奇偶性判定:（i）奇±奇＝奇:偶±偶＝偶:奇±偶＝非奇非偶（非零函数）: 奇×偶＝奇:奇×奇＝偶:偶×偶＝偶．（ii）复合函数奇偶性,内偶则偶,两奇fi奇．③借助图像确定奇偶性．（²）奇偶函数的性质．ķ定义域含0的奇函数图像必过原点: ĸ奇函数若fl在最大（小）值,则它们的和fi0:③£（x）是偶函数,则有£（—x）＝£（x）＝£（|x|）:④既奇又偶的函数的解析式必fi£（x）＝0:⑤对于奇（偶）函数,已知y轴一侧的图像、解析式、单调性,能够确定y轴另一侧的图像、解析式、单调性．题目中出现x与—x的函数值问题,需考虑函数的奇偶性．（3）奇偶函数性质推广（对称性问题）．已知函数£（x）,x∈D．ķ满足£（a+x）＝£（b—x）⇔£（x）关于直线x＝对称, 特别地,£（—x）＝£（x）⇔£（x）关于y轴（x＝0）对称: ĸ满足£（a+x）＝—£（b—x）⇔£（x）关于点,0 对称, 特别地,£（—x）＝—£（x）⇔£（x）关于原点（0,0）中心对称:③函数y＝£（x）与y＝£（—x）的图像关于y轴对称:④函数y＝£（x）与y＝—£（x）的图像关于x轴对称:⑤函数y＝£（a+x）与y＝£（b—x）的图像关于x＝对称． 6．函数的周期性．（1）定义:已知函数y＝£（x）,x∈D,若对任意x∈D,fl在非零fl 常数T,满足:ķ£（x+T）＝£（x）,周期fiT:ĸ£（x+T）＝—£（x）,周期fi²T:£（x+T）+£（x）＝G,周期fi²T:③£（x+T）＝±,周期fi²T:£（x+T）·£（x）＝G（G≠0）,周期FI²T:④£（x+T）＝—£（x—T）,周期fi4T:⑤£（x+T）+£（x—T）＝£（x）,周期fi6T．（²）对称性与周期性关系:若函数£（x）具有两个对称性（中心、轴）þ周期性三个性质中的两个,则必定具有第三个性质．例如:ķ若£（x）的图像关于直线x＝a和x＝b对称（a≠b）,则£（x）是周期fi²|a—b|的周期函数．ĸ若£（x）的图像关于点（a,0）和（b,0）对称（a≠b）,则£（x）是周期fi²|a—b|的周期函数．③若£（x）的图像关于直线x＝aþ点（b,0）对称（a≠b）,则£（x）是周期fi4|a—b|的周期函数．7．三个二次（一元二次方程、二次н等式、二次函数）间的问题可相互转化．如二次函数零点是相ƒ二次方程的,二次н等式的求解依赖于二次方程与二次函数的图像等．（1）一元二次方程．ķ判别式,求¿式, 与系数关系:ĸ的分布问题,要由判别式、对称轴、端点值三者确定．例如:（i）二次方程ax²+BX+G＝0（A>0）两都大于k⇔（ii）一大于k,一小于k⇔£（k）<0．（²）二次函数的三种表现形式． y＝ax²+bx+G＝a（x—m）²+n＝a （x—x1）（x—x²）（a≠0）,其中（m,n）是顶点,x1,x²fi零点．对于限定区间L的二次函数最值要注意对称轴与区间的ƒ置关系．（3）一元二次н等式解法依赖于相ƒ方程与二次函数图像．（4）对于二次函数£（x）＝ax²+bx+G,若£（x1 ）＝£（x²）, x1≠x²,则x1+x²＝—．8．关于幂、指数、对数函数问题．（1）幂函数£（x）＝xα在第一象限的图像如图1—3所示,单调性fi:当α>0时,函数£（x）在（0,+∞）Lfi增函数:当α<0时,函数£（x）在（0,+∞）Lfi减函数．图1－3（²）指数与对数．a b＝N⇔b＝log a N（a>0,a≠1）,a log a N＝N,log a a b＝b,＝,log a m b n＝log a b．（3）指数函数y＝a x（a>0,a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0, a≠1）．ķ互fi反函数: ĸ定义域、值域之间的关系fl好相反:③单调性:在各自定义域L,当0<a<1时,均fi减函数:当a>1 时,均fi增函数．（4）以各自的䘀算规则fi模型的抽象函数的表示法．ķ幂函数:£（xy）＝£（x）£（y）,£＝（y≠0,£（y）≠0）,£（1）＝1:ĸ指数函数:£（x+y）＝£（x）·£（y）,£（x—y）＝,£（0）＝1:③对数函数:£（x y）＝£（x）+£（y）,£＝£（x）—£（y）,£（1）＝0．（±）会画y＝a|x|,y＝log a|x|,y＝|log a x|（a>0,a≠1）的图像．9．图像问题．（1）注意以下两个函数图像．ķ形如y＝的函数能变fi形如y＝n±的函数,其图像是关于点（m,n）对称的反比例函数图像:ĸ形如y＝ax+ 的“©曲函数”,若ab>0,则fi“对勾函数”: 若ab<0,则fi单调函数．（²）图像变换．ķᒣ移变换:ĸ伸缩变换:③对称变换:函数y＝£（—x）的图像与函数y＝£（x）的图像关于y轴对称．函数y＝—£（x）的图像与函数y＝£（x）的图像关于x轴对称．函数y＝—£（—x）的图像与函数y＝£（x）的图像关于原点对称．④翻折变换:y＝£（|x|）与y＝£（x）之间的关系,y＝£（x）与y＝£（x）之间的关系．（3）研究问题方法．会由图像特征研究函数性质,能用性质描函数图像,养成用图像、性质分析思考问题,即数形结合思想解题的习惯．查漏补缺1. 函数是数集到数集的特殊映射，其对应法则必须满足自变量在定义域内的任意性，函数值的唯一性例8 已知集合A＝(1,²,3,…,²3),求证:нfl在这fi的函数£:A→(1,²,3),使得对任意的整数x1,x²∈A,若|x1—x²|∈(1,²,3),则£（x1）≠£（x²）．变式1 函数y＝£（x）的图像与直线x＝a（a∈R）的交点个数fi （）．A．0B．1 C．0或 1 D．可多于12. 结合函数图像研究函数性质如图1—4所示,以函数fi核心,其核心内容包括函数的图像与性质,函数的图像包括基本初等函数的图像的作法þ图像变换,函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性, 对称性þ特殊点．函数知识的外延主要体现在函数与方程（函数零点）þ函数与н等式的结合．而函数与方程（函数零点）þ函数与н等式问题可通过转化思想,利用函数图像与性质求解．图1－4例9 关于x的方程（x—a）（x—b）＝²（a<b）的两实fiα, β,且α<β,试比较α,β,a,b的大小．变式1 已知函数£（x）＝,若£（²—a²）>£（a）,则实数a的ᒣ值范围是（）．（—1,²）A．（—∞,—1）∪（²,+∞） B．C．（—²,1）D．（—∞,—²）∪（1,+∞）3. 已知函数的解析式研究函数的性质给出函数的解析式,常常需要¼学们能够有意识地通过函数的解析式来研究函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、周期性þ函数值的分布等,进而解决函数的有关问题．已知函数£（x）＝x²—GOSX,对于L的任意x1 ,x²,有如下条fl:ķx1>x²:ĸ>:③|x1|>x²,其中能使£（x1 ）>£（x²）恒成立的条fl序号是．4. 构造函数的解析式研究函数的性质看似与函数无关的问题，如果我们能够分析其本质特点，引入变量并根据其模型构造函数，利用函数性质求解．这才是函数的真正魅力例10 若α,β∈,且αsinα—βsinβ>0,则下列结论fl确的是（）．A．α>βB．α+β>0C．α<βD．α²>β²变式1 比较, ,ln 这三个实数的大小,并说明理由．变式2 比较, , 的大小．。
