2021届高三数学第一轮复习 函数的概念及表示教案 文

高三数学一轮复习函数及其表示1教案教材分析：以函数的概念与表示，分断函数及应用为重点，并注意新型概念与思维创新，高考以选择题、填空题为主出现。

学情分析：学生以C类为主，教学中注意基础知识的回顾与巩固。

教学目标：1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域。

2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。

3.了解简单的分断函数，并能简单应用。

教学重点、难点：会求一些简单的函数定义域和值域，了解简单的分断函数，并能简单应用。

教学流程：一、课堂提问——知识回顾1.映射的概念与判定方法C设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f:A→B。

2.函数的三要素及其表示法B①函数的三要素是定义域，值域，对应法则。

判断两个函数是否为相等函数只需判定两点: 定义域是否相同和对应法则是否相同。

函数的定义域：使f（x）有意义的自变量x的取值范围。

函数的值域：函数值的取值范围。

②函数的三种表示方法有解析法、图象法和列表法。

3.区间的概念C4.分段函数与复合函数B/A①如果一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。

②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。

二、课堂练习——习题讲练例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：C(1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|；(2)A=N,B=N f:x→|x-2|；(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x2.[分析](1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0B，故该对应不是从集合A到集合B的映射；(3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.[小结]函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射.练习1.下列从M到N的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？B(1)M={直线A x+B y+C=0}，N=R，f1:求直线A x+B y+C=0的斜率;(2)M={直线A x+B y+C=0}，N={α|0≤α＜π}，f2:求直线A x+B y+C=0的倾斜角;(3)当M=N=R，f3:求M中每个元素的正切；(4)M=N={x|x≥0}，f4:求M中每个元素的算术平方根.解：(1)当B=0时，直线Ax+C=0的斜率不存在，此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了.(2)对于M 中任一元素Ax +By +C=0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈［0，π)，故f 2是从M 到N 的映射.但由于M 不是数集，从而f 2不是从M 到N 的函数.(3)由于M 中元素2k ππ+ (k ∈Z )的正切无意义，即它在N 中没有象，故f 3不是从M 到N 的映射，自然也不是函数.(4)对于M 中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故f 4是从M 到N 的映射，又M 、N 均为非空数集，所以f 4是从M 到N 的函数.例2.求下列函数的定义域C/B (1)2121y x =+ (2) 1y x x =-(3) 12y x =-(4) ()211x y x +=-+练习2.(1)已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，求函数(21)f x -的定义域.C(2)已知函数(23)f x +的定义域是[)4,5-，求函数(23)f x -的定义域.B/A(3) 已知函数1()1f x x =+，求函数[]()f f x 的定义域.B/A例3.试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B(1) 1,y x x R =-∈与1,y x x N =-∈(2) y =与y =(3) 1y x =+与1y t =+练习3. 试判断以下各组函数是否表示相等函数？C/B (1) ()0()1,()1f x x g x =-=(2) ()1,()f x x g x =-=(3) ()22(),()1f x x g x x ==+(4) 22()1,()1f x x g u u =-=-例4.已知二次函数2()y a x b x c x R =++∈的部分对应值如下表:C/B(1) 求函数的解析式；(2) 求(3),(4)f f -；(3)求函数的定义域和值域；(4) 求不等式20a x b x c ++≤的解集.练习4.求例4中二次函数[)2,3,2y a x b x c x =++∈--的值域.C三、作业布置1.求函数y =的定义域.C2. 求函数2ln (2)x x y x x +-=-的定义域.C3. 若函数(1)f x +的定义域为[]0,1,求函数(22)x f -及函数0(2)(1)f x x -的定义域.B4.已知函数22()1x f x x =+,求111(1)(2)()(3)((4)()234f f f f f f f ++++++的值.C 5.函数()f x 的定义域是R,值域是[]1,2,求函数(21)f x -的定义域和值域. A四、板书设计。

一．课题：函数（1）——函数概念二．教学目的：1. 能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“()y f x =”，掌握区间的概念；2. 培养学生理解抽象概念的能力。

三．教学重点、难点：函数的概念 四．教学过程： （一）复习：（提问）1．什么映射？一一映射？2．下列对应是不是从A 到B 的映射？（1）A R =，{|0}B x R x =∈>，f ：||x y x →=； （不是） （2）A B N ==，f ：|3|x y x →=-； （是）（3）{|0}A x R x =∈>，B R =，f ：x y →= （不是） （4）{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，f ：12x y x →=f ：13x y x →= f ：x y x →= f ：16x y x →= （是） （是） （不是） （是） （二）新课讲解： 1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做定义域，自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）近代定义：（从映射的观点定义函数）如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A B →就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。

说明：①映射f ：A B →，,A B 都是非空的数集；②函数的三要素：定义域、值域、对应法则；③函数符号()y f x =表示“y 是x 的函数”，可简记为函数()f x ，有时也用(),()g x F x 。

④()f a 的意义：自变量x 取确定的值a 时，对应的函数值用符号()f a 表示； ⑤定义域：自变量x 的取值的集合， 值域：函数值y 的集合； ⑥两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同。

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习函数及其表示教案A版1.(必修1P24练习5改编)假设f(x)＝x－x2，那么f＝________，f(n＋1)－f(n)＝________．答案：－2n2.(必修1P29习题8改编)假设函数f(x)和g(x)分别由下表给出：那么f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x值是________．答案：31解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x＝1.3.(必修1P31练习4)以下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．4.(必修1P31练习3改编)用长为30cm的铁丝围成矩形，假设将矩形面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，那么函数解析式为____________，其函数定义域为______________.答案：S＝x(15－x)x∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x，且x>0，15－x>0.5.(必修1P32习题7改编)函数f(x)＝假设f(a)＝a，那么实数a＝________．答案：或者者－1解析：假设a≥0，那么1－a＝a，得a＝；假设a<0，那么＝a，得a＝－1.1.函数的定义一般地，设A、B是两个非空的数集，假设按照某种对应法那么f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．2.函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法那么．由于值域是由定义域和对应法那么决定的，所以假设两个函数的定义域和对应法那么完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3.函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．4.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，假设按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．[备课札记]题型1函数的概念例1判断以下对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝B＝N*，对应法那么f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2)A＝[0，＋∞)，B＝R，对应法那么f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；(3)A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法那么f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；(4)A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法那么：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.解：(1)对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2)集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3)由y3＝x，即y＝，因为A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法那么f：x→y，符合函数对应．(4)由于集合A不是数集，所以此对应法那么不是函数．以下说法正确的选项是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法那么f：x→y＝＋，x∈A，y∈B，满足条件的对应法那么f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，那么这样的映射f一一共有1个．答案：①④解析：②中满足y＝＋的x值不存在，故对应法那么f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中假设不含x＝1的值，那么其图象与直线x＝1没有交点．题型2函数的解析式例2求以下各题中的函数f(x)的解析式．(1)f(＋2)＝x＋4，求f(x)；(2)f＝lgx，求f(x)；(3)函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；(4)f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．解：(1)(解法1)设t＝＋2，那么＝t－2，即x＝(t－2)2，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(解法2)∵f(＋2)＝(＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)设t＝＋1，那么x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．(3)由2f(x)＋f＝2x，①将x换成，那么换成x，得2f＋f＝，②①×2－②，得3f(x)＝4x－，得f(x)＝x－.(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知∴f(x)＝x2－x＋1.求以下函数f(x)的解析式．(1)f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2)f＝x2＋，求f(x)；(3)一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．解：(1)(换元法)设t＝1－x，那么x＝1－t，∴f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴f(x)＝2x2－3x＋2.(2)(配凑法)∵f＝x2＋＝2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，那么f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或者者∴f(x)＝2x－或者者f(x)＝－2x＋1.(4)(消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．题型3分段函数例3实数a≠0，函数f(x)＝(1)假设a＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2)假设f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值．解：(1)假设a＝－3，那么f(x)＝所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合．综上可知，a＝－.如下列图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．解：(1)y＝(2)y＝f的图象如图．1.(2021·期末)假设函数f(x)＝那么f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.2.(2021·一模)定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝4x，那么f(2013)＝________．答案：解析：由，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2013)＝f(－1)＝4－1＝.3.(2021·期末)函数f(x)＝那么使f(f(x))＝2成立的实数x的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或者者x＝2}解析：当x∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x[0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x，要使f(f(x))＝2成立，只需x＝2.综上，实数x的集合为{x|0≤x≤1或者者x＝2}．4.(2021·苏南四一模)函数f(x)＝＋＋＋，那么f＋f＝________．答案：8解析：因为f(x)＝＋＋＋＝4－.设g(x)＝＋＋＋，那么g(－5－x)＝－，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故f＋f＝8.1.函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，假设f＝4，那么f(2014)的值是________．答案：0解析：∵f＝alog2－blog3＋2＝－(alog22014－blog32014)＋2＝4，∴f(2014)＝alog22014－blog32014＋2＝(－2)＋2＝0.2.函数f(x)＝那么满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log2x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.3.集合M＝{f(x)|存在实数t使得函数f(x)满足f(t＋1)＝f(t)＋f(1)}，那么以下函数(a、b、c、k都是常数)：①y＝kx＋b(k≠0，b≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝ax(0<a<1)；④y＝(k≠0)；⑤y＝sinx.其中属于集合M的函数是________．(填序号)答案：②⑤解析：对于①，由k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b，得b＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t＋1)2＋b(t ＋1)＋c＝at2＋bt＋c＋a＋b＋c，得t＝，符合题意；对于③，由at＋1＝at＋a1，所以at＝，由于0<a<1，at＝<0，无解；对于④，由＝＋k，无解；对于⑤，由sin(t＋1)＝sint＋sin1，取t＝2kπ，k∈Z，符合题意．综上，属于集合M的函数是②⑤.4.f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是，且对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x＋1)－2(a＞0)，∵函数f(x)对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cosβ＝－1，那么f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴f(1)＝0，∴a＝，∴f(x)＝x2＋x－.1.函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A到B的一个映射，A、B假设不是数集，那么这个映射不是函数．2.函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法那么是否给出；②根据给出的对应法那么，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3.函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法表达的方程思想，即根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[备课札记]。

第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。

利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。

（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。

（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。

图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。

诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。

高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示[考纲解读] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1．函数及有关概念(1)函数的概念设A，B是□01非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的□02任意一个数x，在集合B中都有□03唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作□04y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的□05定义域；与x的值相对应的y值叫做□06函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□07值域．(3)函数的三要素：□08定义域、□09对应关系和□10值域．(4)相等函数：如果两个函数的□11定义域和□12对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有□01解析法、□02图象法和□03列表法．3．分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的□01对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(2)分段函数的相关结论①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的□02并集，值域等于各段函数的值域的□03并集．1．概念辨析(1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (2)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身 (1)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3，所以已知函数的定义域为⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)． (2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1答案 B解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(3)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 f (1)＝21－4＝－2，f [f (1)]＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.(4)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．(图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交)答案 [－3,0]∪[1,4) [1，＋∞) [1,2)∪(5，＋∞)解析 观察函数y ＝f (x )的图象可知，f (x )的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y ∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x 值与之对应．(5)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 答案5x ＋1x 2(x ≠0) 解析 令t ＝1x ，则t ≠0，x ＝1t ，f (t )＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋5·1t ＝5t ＋1t 2.所以f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．题型一 函数的定义域1．函数y ＝lg (2－x )12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是( )A ．{x |－3＜x ＜1}B ．{x |－3＜x ＜2且x ≠1}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}答案 B解析要使函数解析式有意义，须有⎩⎨⎧2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，解得⎩⎨⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1.故已知函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．2．函数f (x )的定义域是[2，＋∞)，则函数y ＝f (2x )x －2的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得⎩⎨⎧2x ≥2，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数y ＝f (2x )x －2的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]答案 D解析 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.1.函数y ＝f (x )的定义域2.抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．如举例说明2中f (x )的定义域是[2，＋∞)，f (2x )中x 应满足2x ≥2.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 3.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.1.函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A.[1,10] B ．[1,2)∪(2,10] C.(1,10] D ．(1,2)∪(2,10]答案 D解析要使原函数有意义，则⎩⎨⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，32. 3.已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.答案 [0,3)解析 当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎨⎧ k ＞0，4k 2－12k ＜0，得0＜k ＜3.⎩⎨⎧k <0，4k 2－12k <0，无解.综上，0≤k ＜3.题型二 求函数的解析式1.已知f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，则f (x )＝________. 答案 lg2x ＋1(x >－1) 解析 令t ＝2x －1，则由x >0知2x －1>－1，x ＝2t ＋1，所以由f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，得f (t )＝lg 2t ＋1(t >－1)，所以f (x )＝lg2x ＋1(x >－1). 2.已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2)解析 因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 且当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，所以f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).3.已知f (x )是二次函数且f (0)＝5，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案12x 2－32x ＋5 解析 因为f (x )是二次函数且f (0)＝5， 所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0). 又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋5－(ax 2＋bx ＋5)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎨⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋5.4.已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 答案 2x －1x(x ≠0)解析 因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0).求函数解析式的四种方法1.若函数f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.2.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，且x ＋1≥1.∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).解法二：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1).题型三 分段函数角度1 求分段函数的函数值1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 5x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125等于( ) A.4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 B解析 f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝－2，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝14. 角度2 分段函数与方程、不等式的综合问题2.设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ＋a ，x <1，2x ，x ≥1，若f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23＝4，则实数a ＝( ) A.－23B ．－43C.－43或－23D ．－2或－23答案 A解析 因为23<1，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝4×23＋a ＝a ＋83. 若a ＋83≥1，即a ≥－53时，2a ＋83 ＝4，即a ＋83＝2⇒a ＝－23>－53(成立)；若a ＋83<1，即a <－53时，则4a ＋323＋a ＝4，即a ＝－43>－53(舍去)，综上a ＝－23.3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C.(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎨⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．故选D.1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间. ②代入该区间对应的解析式求值. (2)两种特殊情况①当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求出f ⎝⎛⎭⎫23后再求f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23要分类讨论. 2.解分段函数与方程或不等式综合问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤1，－lg x ，x >1，则f [f (－4)]＝________.答案 －1解析 f [f (－4)]＝f (16－4－2)＝f (10)＝－1.2.函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________.答案 [－1，＋∞)解析 当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，所以a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1且a ≠0，所以－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞).3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不符合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.。

2021年高考数学一轮复习函数的定义与表示教案（无答案）一、考纲要求：函数的概念(B 级要求)二、复习目标：理解函数的概念，会判断同一函数；会选择恰当的方法表示函数且能求常见函数的函数值；能写出简单情境中的分段函数；会画函数的图象．三、重点难点：会判断同一函数、选择恰当的方法表示函数、求常见函数的函数值．四、要点梳理：(1)函数的定义域、值域：在函数中，所有的输入值组成的集合叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 ，函数的值域是集合B 的 ．（2）函数的三要素：___________,__________,___________.(3) 相等函数：________________________________________________________．3．函数的表示方法：___________,__________,___________.4．分段函数：________________________________________________________．五、基础自测：1．设集合{}{}|12,|14A x x B x x =≤≤=≤≤，有以下四个对应法则：①；②；③；④，其中不能构成从到的函数的是2．以下给出的对应法则是从集合到B 的映射的有 (填序号)．①集合{}A P P =是数轴上的点，集合，对应法则数轴上的点与它所代表的实数对应；②集合{}A P P =是平面直角坐标系中的点，集合，对应法则平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合{},A x x =是三角形集合，对应法则每一个三角形都对应它的内切圆；④集合，集合{}B x x =是致远中学的学生，对应法则每一个班级都对应班里的学生.则((1))__________;(())(())f g f g x g f x =>的．4．下列函数中：22lg (1);(2);(3)10;(4)lg10,x x x y y y y x====与函数表示同一函数的是 5．若()()()()11f a b f a f b f +==且，()()()()()()232014122013f f f f f f +++= ． 六、典例精讲:例1:求函数的解析式及函数值（1）已知求；（2）已知是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求；（3）定义在上的函数满足2(2000)(),((6))(2000)n n f n f f n n +≤⎧=⎨->⎩求的值．变式：（1）设则；(2) 已知2211()1(0),f x x x x x +=++>则 ； （3）设，则 ． 例2： 已知函数()21, 01 , 0, <0x x f x x x x -⎧>⎪==⎨⎪-⎩．（1）画出函数的图象；（2）求的值．例3:如图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为．（1）求的面积与点移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并由图象求的最大值．例4：已知定义域为的函数满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+（1）若，求； （2）若，求；（3）设有且仅有一个实数，使得，求的解析式．A D七、千思百练1．若，则(23)________________f x -=．2．有以下判断：①()()()()1010x xf xg x x x ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩与表示同一个函数；②函数的图象与直线的交点最多有1个；③()()2221,21f x x x g t t t =-+=-+与是同一个函数；④若()11,02f x x x f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则．其中正确的是 (填序号). 3．已知若，则．4．已知，则()________________f x =5．函数对于任意实数满足条件，若，则．6．设函数，若，则实数的取值范围是 ．7．设集合()()()()(){}11M f x t f x f t f t f =+=+存在实数使得函数满足，则下列函数(都是常数)：①； ②；③； ④．其中属于集合的函数是 (填序号)．8．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3,,,,,A k B a a a a k x A y B *==+∈∈∈N 是从定义域到值域的一个函数，求的值．9.已知二次函数满足条件：①对任意，均有；②函数的图象与直线相切．(1)求的解析式；(2)当且仅当时，恒成立，试求的值．10．函数对一切实数均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且．(1)求的值；(2)试确定函数的解析式八、学后反思。

第二章 函数的概念及其基本性质第1讲 函数的概念及其表示考纲展示 命题探究考点一 函数的概念及其表示1 函数与映射的概念函数映射两集合 A ，BA ，B 是两个非空数集 A ，B 是两个非空集合 对应关系 f ：A →B按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数f (x )和它对应 按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．3 函数的三要素定义域、值域和对应关系．4 相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．5 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 注意点 求函数的定义域需注意的问题 (1)求定义域时对于解析式先不要化简．(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.1．思维辨析(1)f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) (5)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(6)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．(1)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)由f (x )解析式得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，∴f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．(2)由函数的概念知C 错，由函数的定义域M 知A 错，再由函数的值域N 知D 错，故选B.3．函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.[考法综述] 求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解．函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，要求在熟练掌握有关技能的同时，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．高考中以选择题或填空题形式考查，属于基础题．命题法1 求函数的定义域典例1 (1)f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．(2)∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， ∴0≤x <1，即函数g (x )的定义域是[0,1)． [答案] (1)C (2)[0,1)【解题法】 函数定义域的求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题法2 求函数的解析式典例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝f (－2)＝f (－3)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－12x (x ＋1)．[答案] (1)C (2)－12x (x ＋1)【解题法】 求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )．1.函数y ＝x ln (1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.故函数y ＝x ln (1－x )的定义域为[0,1)．故选B.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )． ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.3.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.4．已知f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝x －2，则f [g (2)]与g [f (2)]的大小关系是( )A ．f [g (2)]>g [f (2)]B ．f [g (2)]＝g [f (2)]C ．f [g (2)]<g [f (2)]D ．无法确定答案 A解析 g (2)＝0，∴f [g (2)]＝f (0)＝0.又f (2)＝0， ∴g [f (2)]＝g (0)＝－2.∴f [g (2)]>g [f (2)]．故选A.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 解法一：当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.解法二：当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0，显然无解． 所以a ＋b ＝－32.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.答案 23x ＋13解析 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x －1， ①将①式代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝4f (x )－2x －1， 故f (x )＝23x ＋13.考点二 分段函数及其应用1 分段函数的定义若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2 分段函数的定义域分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．注意点 分段函数求值时需注意的问题 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.1．思维辨析(1)分段函数分几部分就是几个函数．( )(2)f (x )＝|x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0－x x <0是同一函数．( )(3)函数是特殊的映射．( )(4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( )(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，x ＋1 (x >1或x <－1)，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，－x ＋1 (x >1或x <－1).( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23D.139(2)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.(2)由函数图象可知，张大爷先是离家越来越远，然后在一段时间内他离家的距离不变，最后他离家越来越近，分析可知D 正确．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析 若a >2，则f (2)＝2与已知矛盾；若a ≤2，则f (2)＝22＝4成立．故a 的取值范围是(－∞，2]．[考法综述] 在分段函数的考查中，主要以分段函数求值、解分段函数有关的不等式、分段函数求参数(范围)等形式出现，主要以选择题的形式出现，题目一般不难，偶尔也会出现难度较高的题目．命题法 分段函数求值典例 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.(2)当a ≥0时，f (a )＝－a 2≤0，又f (0)＝0，故由f (f (a ))＝f (－a 2)＝a 4－a 2≤2，得a 2≤2，∴0≤a ≤ 2.当－1<a <0时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)<0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝(a 2＋a )2＋(a 2＋a )≤2，得a 2＋a －1≤0，得－1＋52≤a ≤－1＋52，则有－1<a <0.当a ≤－1时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)≥0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝－(a 2＋a )2≤2，得a ∈R ，故a ≤－1.综上，a 的取值范围为(－∞，2]． [答案] (1)1 (2)(－∞，2]【解题法】 分段函数问题的解题策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式，代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)． 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 由题意知，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <12a ，a ≥1.由f (a )<1，解得a <23.所以f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )<12f (a )，f (a )≥1⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a <2323a －1，23≤a ＜122a，a ≥1故当a <23时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为9a －4＝23a －1，即18a －8＝23a . 如图，分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23不符合题意．当23≤a <1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．当a ≥1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.3．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 因为f (x )是R 上的增函数，又a >1，所以当x >0时，f (x )<f (ax )，即g (x )<0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x <0时，f (x )>f (ax )，即g (x )>0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，0，x ＝0，1，x <0∴sgn[g (x )]＝－sgn x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D解析 作出f (x )的图象如图所示，可排除A 、B 、C ，故D 正确．5．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 故应选C. 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34 D.32或－34[错解][错因分析] 在解题过程中误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论，直接代入求解，导致错误．[正解] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1则 f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ， ∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ， ∴a ＝－32(舍)；(2)当a <0时，1－a >1,1＋a <1，则 f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝3a ＋2，∴a ＝－34.综上可知a ＝－34，故选B. [答案] B [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·枣强中学周测]已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x答案 D解析 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. [·冀州中学预测]函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0. 3．[·冀州中学猜题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．[·武邑中学仿真]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7.5．[·衡水中学模拟]已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30答案 C解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．[·冀州中学期中]函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.43答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－x (1－x )≤43.7．[·衡水中学仿真]已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1,3]C ．[5，3)D ．(0，5)答案 B解析 根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．[·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析 因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．[·冀州中学一轮检测]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________． 答案 (－∞，1]解析 函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)， 故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]． 10．[·武邑中学一轮检测]已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．[·武邑中学月考]甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解 当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．[·衡水中学热身]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0. 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174. ∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减． ∴－194≤f (a )≤4.即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 能力组13.[·衡水二中期中]函数y ＝log 12 (x 2－1)的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．(－3，－1)∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A 解析由题意得⎩⎨⎧log 12(x 2－1)≥0，x 2－1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤1，x 2－1>0，也就是1<x 2≤2，所以x ∈[－2，－1)∪(1，2]．14．[·枣强中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13 ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]． 15．[·衡水二中期末]若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝23－x解析 ∵f (x )＋2f (1－x )＝x ，① ∴f (1－x )＋2f (x )＝1－x .② ①－2×②，得f (x )＝－x ＋23.16. [·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cx ＋1 (0<x <c )，2－xc 2＋1(c ≤x <1)满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ， 由f (c 2)＝98得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )>28＋1，得当0<x <12时，则有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12； 当12≤x <1时，则有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58.所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪24<x <58.。

第2章函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为2～3个客观题.2.考查内容高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断,函数的图像,函数的奇偶性、单调性及周期性综合,指数、对数运算以及指数、对数函数的图像与性质,分段函数求函数值等.3.备考策略(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质,注意分析函数解析式的特征,同时注意函数图像的作用.(2)重视对基本初等函数的研究,复习时通过选择、填空题加以训练和巩固,将问题和方法进行归纳整理.第一节函数及其表示[最新考纲] 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段)．(对应学生用书第9页)1．函数与映射的概念函数映射两集合A,B 设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f：如果按照某个对应关系f,对于集合如果按某一个确定的对应关系f,使对(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x ),x ∈A 中,自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数．[常用结论]1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0.(5)y ＝a x(a ＞0且a ≠1),y ＝sin x ,y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a ＞0,a ≠1)的定义域为{x |x ＞0}．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z. 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时,值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a ＜0时,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的值域是(0,＋∞)． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ,其值域是集合B . ( )(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数． ( ) (3)函数是一种特殊的映射．( )(4)若A ＝R ,B ＝(0,＋∞),f ：x →y ＝|x |,则对应f 可看作从A 到B 的映射． ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的． ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、教材改编1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2},值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数y ＝f (x )的图像可能是( )A B C DB [由函数定义可知,选项B 正确．] 2．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞,3)∪(3,＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3,＋∞) D ．(3,＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．下列函数中,与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1,且函数定义域为R ,故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23,f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1,若f (a )＝5,则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5,解得a ＝12.](对应学生用书第10页)⊙考点1 求函数的定义域已知函数解析式求定义域已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可．1.(2019·济南模拟)函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,1]D ．[0,2] B [由题意知,x ≥0且2－x ＞0, 解得0≤x ＜2, 故其定义域是[0,2)．] 2．函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2,＋∞) [要使函数f (x )有意义,则(log 2x )2－1＞0,即log 2x ＞1或log 2x ＜－1,解得x ＞2或0＜x ＜12,故所求函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2,＋∞)．][逆向问题]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a ＋b 的值为________． －92 [∵函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}． ∴不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}．可知a ＜0,不等式化为a (x －1)(x －2)≥0, 即ax 2－3ax ＋2a ≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＝ab ，2a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝－32.∴a ＋b ＝－92.]求函数定义域时,对函数解析式先不要化简,求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符合“∪”连接．如T 2.抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域是[0,4],则F (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．[1,3] [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3.故F (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．] [逆向问题]已知函数y ＝f (x －1)的定义域为[－3,3],则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－3－1,3－1] [因为f (x －1)的定义域为[－3,3],所以－3－1≤x －1≤3－1,所以函数y ＝f (x )的定义域为[－3－1,3－1]．]函数(())的定义域为自变量的取值范围,而不是()的取值范围．(如本例[逆向问题])1.函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13A [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1,故选A.]2．函数f (x －1)的定义域为[0,2 020],则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域为________．[－2,1)∪(1,2 018] [∵函数f (x －1)的定义域为[0,2 020],∴－1≤x －1≤2 019.∴要使函数g (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，解得－2≤x ≤2 018且x ≠1.∴函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ,则实数a 的取值范围为________． [－2,2] [∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R , ∴a 2－4≤0,即－2≤a ≤2.] ⊙考点2 求函数的解析式求函数解析式的四种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式,令t ＝g (x ),从中求出x ＝φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x )．(1)[一题多解]已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5,求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x,求f (x )． [解](1)法一：(待定系数法)因为f (x )是二次函数,所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法二：(换元法) 令2x ＋1＝t (t ∈R ),则x ＝t －12,所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R ),所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法三：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9,所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．(2)解方程组法 由f (－x )＋2f (x )＝2x, ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x,②①×2－②,得3f (x )＝2x ＋1－2－x,即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R )． 谨防求函数解析式的两种失误(1)在求函数解析式时,一定要注意自变量的范围,也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1,求函数f (x )的解析式,可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1,函数f (x )的定义域是[0,＋∞),而不是(－∞,＋∞)．1.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ,则当x ≠0且x ≠1时,f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1B [(换元法)令1x ＝t ,得x ＝1t (t ≠0且t ≠1),∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1(t ≠0且t ≠1),∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．]2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ,则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1 C [(配凑法)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1,所以f (x )＝x 2－x ＋1.] 3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ,则f (x )＝________.2x －1x(x ≠0) [(解方程组法)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ,①把①中的x 换成1x,得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．]4．已知f (x )是二次函数,且f (0)＝0,f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1,求f (x )的解析式． [解] (待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 由f (0)＝0,知c ＝0,f (x )＝ax 2＋bx , 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1,得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1, 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．⊙考点3 分段函数求函数值解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段范围,就用哪一段的解析式来解决问题．(1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ≤0，f x －3x ＞0，则f (5)的值为( )A ．－7B ．－1C ．0 D.12(1)C (2)D [(1)因为f (1)＝12＋2＝3,所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D.]求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点．[教师备选例题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －1＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32 D.52B [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.故选B.]解决此类问题时,先在分段函数的各段上分别求解,然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集,最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，且f (a )＝－3,则f (6－a )＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2,则a ＝________.(1)－32 (2)2 [(1)当a ≤1时,f (a )＝2a－2＝－3,无解；当a ＞1时,由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3,得a ＋1＝8,解得a ＝7,所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32.(2)当a ＞0时,f (a )＝－a 2＜0,f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2,得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时,f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0,f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2,此方程无解．故a ＝ 2.]求解本题的关键是就a 的取值讨论f (a )的情形,另本题也可作出f (x )的图像,数形结合求解,即f (a )＝0或f (a )＝－2,从而求得a 的值．分段函数与方程、不等式问题解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图像比较容易画出,也可以画出函数图像后,结合图像求解．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞,－1]B ．(0,＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞,0)D [当x ≤0时,函数f (x )＝2－x是减函数,则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图像如图所示,结合图像可知,要使f (x ＋1)<f (2x ),则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0,故选D.]本例借助图像较直观地求解得出不等式的解集,另注意求解时要思考全面,需考虑变量可能落在同一区间,也可能落在不同区间的情况．[教师备选例题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [根据分段函数的性质分情况讨论,当x ≤0时,则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1＞1,解得－14＜x ≤0.当x ＞0时,根据指数函数的图像和性质以及一次函数的性质与图像可得,f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1恒成立,所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.]1.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 D [由题意得a ＞0.当0＜a ＜1时,由f (a )＝f (a －1),即2a ＝a ,解得a ＝14, 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8, 当a ≥1时,由f (a )＝f (a －1),得2a ＝2(a －1),不成立．故选D.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥1，11－x，x ＜1，则不等式f (x )≤1的解集为( ) A ．(－∞,2]B ．(－∞,0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞,0]∪[1,2]D [当x ≥1时,不等式f (x )≤1为log 2x ≤1,即log 2x ≤log 22,∵函数y ＝log 2x 在(0,＋∞)上单调递增,∴1≤x ≤2.当x ＜1时,不等式f (x )≤1为11－x ≤1, ∴11－x －1≤0,∴x 1－x ≤0,∴x x －1≥0, ∴x ≤0或x ＞1(舍去),∴f (x )≤1的解集是(－∞,0]∪[1,2]．故选D.]以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题．【典例】 (2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f (x )的图像恰好经过n (n ∈N *)个整点,则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④ C [对于函数f (x )＝sin 2x ,它的图像(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ；对于函数g (x )＝x 3,它的图像(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A ； 对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,它的图像(图略)经过整点(0,1),(－1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B.故选C.][评析] 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解．如本例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图像恰好经过1个整点,问题便迎刃而解．【素养提升练习】1．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y ＝x 2＋1,值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 C [由x 2＋1＝1得x ＝0,由x 2＋1＝3得x ＝±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,－2},{0,2,－2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]2．若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得f (－x )＝f (x ),则称f (x )为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2xD[A中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)＝f(－x),不符合题意；B中,当x＝kπ(k∈Z)时,满足f(x)＝f(－x),不符合题意；C中,由f(x)＝f(－x),得x2－2x＝x2＋2x,解得x＝0,不符合题意；D中,由f(x)＝f(－x),得x3－2x＝－x3＋2x,解得x＝0或x＝±2,满足题意,故选D.]。

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数概念、图象性质教案学习重点难点：时，则不仅要考虑使紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问2＋【解析】注意到当0<a <1时，函数y ＝a x－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知，选4．(2012·冀州中学模拟)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是(23，＋∞)，则＝________.【解析】由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是(所以a 3＝23，a ＝2.自主﹒合作﹒探究例1．(2012·江西卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))A ．lg101 B ．2 C ．1 D ．0【解析】 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A ；令y ＝＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为(π12，0)，又函数y ＝2x －数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x>0，cos6x >0，所以函数y ＝cos6x 2x －2－x >0选D.例3(1)(2012·全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21，则( A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <xD ．y <z <x(2)(2012·重庆卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )，故排除解析】由题意知，函数y个单位，)*为偶数，∴011)时，。

第二章 函数第1课时 函数的概念一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程： （一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义； 2．函数的传统定义和近代定义； 3．函数的三要素及表示法． （二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析： 例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应（2）是A 到B 的映射．例2．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，则集合N = （ D ）()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为2x y +=，所以2222xyx y+⋅==．例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是 （ D ）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=．例4．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； （2）求S 的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯-22113113169()22228x x x =-+=--+．∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，∴函数()S f x =的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； （2）∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20．例5．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围． 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a ax <,显然不成立． 当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩1a ≤< ∴a的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43-．2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ C ）()A 2x y x= ()B 2y = ()C lg10xy =()D 2log 2xy =3．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝8．五．课后作业：《高考A 计划》考点7，智能训练5，7，9，10，13，14．第2课时 函数的解析式及定义域一．课题：函数的解析式及定义域二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解． （二）主要方法：1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出． （三）例题分析： 例1．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B = （ D ）解法要点：{}|1A x x =≠，121[()]()(1)11x y f f x f f x x x+===-+=---， 令2111x-+≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠ ． 例2．（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg(1)1f x x x =>-．（3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（4）12()()3f x f x x += ①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法． 例3．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ①当1p ≤时，①不等式解集为φ；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<， ∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >．（2）原函数即22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值． 例4．《高考A 计划》考点8，智能训练15：已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式． 解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=．②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-．∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩． 例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a 3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)c x ay b x a c x a+≤≤⎧=⎨+-+>⎩由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，于是就有198(15)338(22)b a c b a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+ 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤．从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =． 故10a =，2b =，1c =． （四）巩固练习：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为(,0]-∞．2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈． 五．课后作业：《高考A 计划》考点8，智能训练4，5，10，11，12，13．第3课时 函数的值域一．课题：函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用． 三．教学重点：求函数的值域． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． （三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x -=-．解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥ ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y ．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（4）换元法（代数换元法）：设0t ≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =+2y ax b =+2y ax b =+（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[1-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)11112121212122x x x xy x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即12x +=时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x yx y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==， ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围． 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--， 令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．（2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =2五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．第4课时 函数的奇偶性一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶 偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．解：（1）由101xx +≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数． （2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ．解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中， 令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩．（2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠- 此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤．②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-， （1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数． （参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A 计划》考点10，智能训练2，3， 8，9，10，11，13．第5课时 函数的单调性一．课题：函数的单调性二．教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 三．教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数单调性的定义；2．判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．例2．设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．解：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+ ∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则10a a-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．（2）设120x x <<，则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x xx x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．（1）（《高考A 计划》考点11“智能训练第9题”）若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞ ．例4．（《高考A 计划》考点10智能训练14）已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x xf x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，即不等式的解集为(． 例5．函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．分析：由函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80ax x+->恒成立．解：∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得121288a a x x x x +-<+-，即1212()(1)0ax x x x -+<，∵120x x -<，∴1210,ax x +> 121,a x x >- 12a x x >-，∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥；又∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1ag x x'=+，∴180a +->，且210ax+≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．（四）巩固练习： 1．《高考A 计划》考点11，智能训练10； 2．已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性为 ．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5， 7，8，12，13，15．第6课时 反函数一．课题：反函数二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题．三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系． 四．教学过程： （一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数， 函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈； 3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称． （二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域． （三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<；（3）32331y x x x =-++．解：（1）由1)y x ≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥．（2）当01x ≤≤时，得10)x y -≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x axa x ax--=++，∴1a =．例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值． 解：∵(2,1)既在()f x =∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩． 例4．（《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”）设函数xxx f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+，∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23xx -=+，得(2)2g =-．解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．例6．（《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21x xa f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>．解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xxx x xf x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1xy y y+=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x -+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：1．设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15()4f -= ．2．设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于 （ ）()A x 轴对称 ()B y 轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3．已知函数1()()12xf x =+，则1()f x --的图象只可能是 （ ）()A ()B ()C4．若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上，则()f x = ． 五．课后作业：《高考A 计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14．第7课时 二次函数一．课题：二次函数二．教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．四．教学过程： （一）主要知识：1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式． 2．二次函数的图象及性质；3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系． （二）主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性； 2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． （三）例题分析：例1．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ A ）()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <分析：对称轴2b x =-，∵函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数，∴对称轴2bx =-在区间[0,)+∞的左边，即02b-≤，得0b ≥．例2．已知二次函数的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为x =2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =-．例3．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．（2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =．（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例4． 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围． 解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤．解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤≤．例5．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++， 设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a =-=-≥-++12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立，∴b的最小值为（四）巩固练习：1．若函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈的图象关于1x =对称则b = 6 ．2．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．3．m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．五．课后作业：《高考A 计划》考点13，智能训练3，5，6，9，10，12，13．第8课时 指数式与对数式一．课题：指数式与对数式二．教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．三．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明． 四．教学过程： （一）主要知识：1．指数、对数的运算法则；2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．（二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析：例1．计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg2)lg2lg50lg25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯213332113222118811⨯=++-⨯=+-=．（2）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=．例2．已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值．解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-．例3．已知35abc ==，且112a b+=，求c 的值． 解：由3ac =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a=； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b+= 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >．由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t-+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =，∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．例5．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b +-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==……………………………②由①+②得2b a -=……………………………………………………③⑤由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =．（四）巩固练习：12b ，则a 与b 的大小关系为 ；2．若2lglg lg 2x y x y -=+的值．五．课后作业：《高考A 计划》考点14，智能训练4，6，10，13，14，15．第9课时 指数函数与对数函数一．课题：指数函数与对数函数二．教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．三．教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题． 四．教学过程： （一）主要知识：1．指数函数、对数函数的概念、图象和性质；2．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：例1．（1）若21a b a >>>，则log bba，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235x y z==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ；（3）设0x >，且1x xa b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ） （A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b <<解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b b a<log b a 1<<log a b ．（2）令235x y zt ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg5t z =，∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<．（3）取1x =，知选（B ）．例2．已知函数2()1xx f x a x -=++(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++，∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；∵121x x -<<，且1a >，∴12x xa a <，∴120x x a a -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201xx a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++， ① 当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03121x ->+，而由1a >知01x a <，∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．综上所述，方程()0f x =没有负数根．例3．已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）．（《高考A 计划》考点15，例4）． 求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：（1）由10xa ->得：1xa >，∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121xxa a <<，∴12011xxa a <-<-，∴121011x xa a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12110x xa a ->->， ∴12111x xa a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．（四）巩固练习：1．已知函数()|l g|f x x =，若11a b c >>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ()()()f b f a f c <<；（注：1()()f f c c=）2．若a 为方程20xx +=的解，b 为不等式2log 1x >的解，c 为方程12log x x =的解，则a 、b 、c 从小到大依次为a c b <<；3．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是01m <≤．五．课后作业：《高考A 计划》考点15，智能训练3，5，7，10，12，15．第10课时 函数的图像一．课题：函数的图象二．教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．三．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换． 四．教学过程： （一）主要知识：1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图； 2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． （二）主要方法： 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． （三）例题分析： 例1．（《高考A 计划》考点16“智能训练第5题”）函数()y f x =与()y g x =的图像如下图： 则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）ABCD例2．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像． 解：方法一：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像； （2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像； （3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像． 方法二：（1）作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x y -=的图像； （2）把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．例3．（《高考A 计划》考点16“智能训练第11题”）如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 C ； （2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 A ； （3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 D ； （4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 B ．例4．设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ，（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：24t s t =-．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，()A ()B ()C ()D。

城东蜊市阳光实验学校重点中学2021届高三数学一轮复习教案：函数及其性质2021年考试手册规定的考试内容：1、函数的有关概念。

要求：对所学数学只是有理性的认识，能用自己的语言进展表达，并能据此进展判断；知道它们的由来及其与其他知识点之间的联络；知道它们的用途。

对所学技能会进展独立的尝试性操作。

2、函数的运算。

要求：对所学数学知识有本质性的认识并能与已有的数学只是建立联络，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

3、函数关系式的建立。

要求：能在新的情境中综合的、灵敏的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。

4、函数的根本性质。

要求：对所学数学知识有本质性的认识并能与已有的数学只是建立联络，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

一、知识点归纳：第一个点：什么是函数？在某个变化过程中有两个变量x、y，假设对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应x ，x叫做法那么f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f〔x〕，D自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.小提示：1、 函数的三要素：定义域、值域、对应法那么。

2、 理解关键字“任意〞：在定义域中，对于一个确定的x ，这个x 是定义域内的任意一个值。

3、 对应法那么的理解：对应法那么是某一种运算规律。

etc:〔1〕、2x y =的对应法那么为取平方。

〔2〕、12x y +=的对应法那么为乘2加1。

4、理解关键字“唯一〞：通过运算，只能得到一个确定的值。

从对应的观点来看，有两种对应可以成为函数：一对一和多对一。

图示：Xyxy一对一多对一但是有一种情况不是函数：图示：Xy一对多第二个点：反函数的定义。

对于函数y=f 〔x 〕，设它的定义域为D ，值域为A ，假设对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f 〔x 〕，这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f 〔x 〕的反函数，记作)(1y f x-=，习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为小提示：对于反函数来讲，我们对反函数和函数的定义加以区分，函数的定义是任取一个x ，都有唯一的一个y 与其对应，表达出的对应形式是一对一和多对一，但是对于反函数只有一对一才有反函数，而多对一不存在反函数，假设唯一的一个x 对应唯一的y ，这样能判断是否存在反函数。

函数的概念【课标要求】（1）理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数。

（3）了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）。

【知识要点】1.函数的概念（1）函数的定义①传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于在某一个范围内的任一个x 的值，都有唯一的y 值与它对应，则称y 是x 的函数, x 叫自变量，y 叫因变量。

②现代定义：设 A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对应于集合 A 中的任意一个数x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 )(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 x x f y ),(=∈A , 其中 x 叫自变量, x 的取值范围A 叫函数的定义域,与x 对应的值 y 叫函数值,函数值y 的集合 C 叫做函数的值域.（2）函数的三要素：定义域、对应法则、值域（3）函数的表示方法：列表法、解析式法、图像法（4）常用函数２．函数的相等函数的定义有三个要素，即定义域A ，值域 C ，和对应法则 f ．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．３．映射的概念（1）映射的定义：设A , B 是两个集合，如果按某个对应法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A , B ，以及集合A 到集合B 的对应关系 f 叫做集合A 到集合B 的映射，记作 :f A →B（2）象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。

2021年高考数学一轮复习函数第1课时函数及其表示教学案（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。

（四）幂函数1．了解幂函数的概念。

2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。

（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时函数及其表示1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。