高考数学复习资料第9章 平面解析几何 9.9课时1 含答案

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.9 圆锥曲线中求值与证明问题题型一 求值问题例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程； [切入点：双曲线定义](2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. [关键点：利用等式列式]教师备选已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆C 的一个焦点，点M (0,2)且|MF |＝10.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，且满足|AM |＝|BN |，求l 的方程．解 (1)由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，c 2＋4＝10，b 2＋c 2＝a 2，解得a ＝22，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)根据题意可得，点A 必在点B 的上方，才有|AM |＝|BN |.当l 的斜率不存在时，|AM |＝2－2，|BN |＝2，|AM |≠|BN |，不合题意，故l 的斜率必定存在．设l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0，Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，即k 2>14. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2. 设N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－8k 1＋4k 2. 由|AM |＝|BN |可得，|AB |＝|MN |，所以1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，则x 1＋x 22－4x 1x 2＝|x 0|， 即424k 2－11＋4k 2＝⎪⎪⎪⎪8k 1＋4k 2， 整理得k 2＝12>14， 故k ＝±22，l 的方程为y ＝±22x ＋2. 思维升华 求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设A (4,0)，直线y ＝kx ＋1与椭圆M 交于C ，D 两点，若直线AC ，AD 均与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切，求k 的值．解 (1)当点P 位于椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，即(12PF F S △)max ＝12·|F 1F 2|·b ＝3， 解得b ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝1，a ＝2，∴椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，Δ>0，∴x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2， ∵直线AC ，AD 都与圆相切，∴k AC ＋k AD ＝0，即y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝0， ∴y 1x 2－4y 1＋y 2x 1－4y 2x 1－4x 2－4＝0， ∴2kx 1x 2＋(1－4k )(x 1＋x 2)－8＝0，即－83＋4k 2×2k －(1－4k )8k 3＋4k 2－8＝0， 即－24k ＝24，∴k ＝－1.题型二 证明问题例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. (1)解 由题意得， 椭圆半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63， 所以a ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±x －2，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1·x 2＝34， 所以|MN |＝1＋1·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋b (kb <0)，即kx －y ＋b ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|b |k 2＋1＝1，所以b 2＝k 2＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 23＋y 2＝1， 可得(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－6kb 1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2， 所以|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫－6kb 1＋3k 22－4·3b 2－31＋3k 2 ＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3， 化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1，所以⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝－2或⎩⎨⎧ k ＝－1，b ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立，所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.高考改编在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点P ，证明：O ，P ，M 三点共线．(1)解 由⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，P (x 3，y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12， 整理得3(m 2y 2＋2my ＋1)＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m 3m 2＋4， x 0＝43m 2＋4， ∴k OM ＝－34m . 直线l 1的方程为x 1x 4＋y 1y 3＝1，① 直线l 2的方程为x 2x 4＋y 2y 3＝1，② ②－①⇒y 3(y 2－y 1)＝x 4(x 1－x 2) ⇒y x ＝34·x 1－x 2y 2－y 1＝－34m ， ∴y 3x 3＝－34m ＝k OP ， ∴k OM ＝k OP ，即O ，P ，M 三点共线．教师备选(2022·湖南师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为 6.(1)求该椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，求证：直线l 与某个定圆E相切，并求出定圆E 的方程．解 (1)∵椭圆的短轴顶点到焦点的距离为6， ∴b 2＋c 2＝a ＝6，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 26＋y 23＝1. (2)∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，则OA →·OB →＝0，①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，代入椭圆方程得，y ＝±6－t 22， 不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，6－t 22，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－6－t 22， 由OA →·OB →＝0得，t 2－3＋t 22＝0，解得t ＝±2， 此时l ：x ＝±2，与圆x 2＋y 2＝2相切；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝6，y ＝kx ＋m 得， (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)>0，化简得m 2<6k 2＋3，①由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2， 则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－6k 21＋2k 2， 由OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0可得，2m 2－61＋2k 2＋m 2－6k 21＋2k 2＝0， 整理得，m 2＝2k 2＋2，满足①式， ∴|m |k 2＋1＝2，即原点到直线l 的距离为2， ∴直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切．综上所述，直线l 与圆E ：x 2＋y 2＝2相切．思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 跟踪训练2 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 点为圆心，a 为半径的圆与C 的渐近线相切．(1)求C 的离心率；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，过F 点的直线与C 的右支交于M ，N 两点，证明：F 点到AM ，AN 的距离相等． (1)解 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0，令点F (c,0)，则c 2＝a 2＋b 2，因为以F 点为圆心，a 为半径的圆与C 的渐近线相切， 则bc a 2＋b 2＝a ， 整理得b ＝a ，c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝ 2. (2)证明 由(1)知，双曲线C 的方程为2x 2－2y 2＝c 2，点A ⎝⎛⎭⎫12c ，0，显然直线MN 不垂直于y轴，设直线MN ：x ＝my ＋c ，因为直线MN 与双曲线右支交于两点，则直线MN 与双曲线的两条渐近线x ±y ＝0在y 轴右侧都相交，于是得－1<m <1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋c ，2x 2－2y 2＝c 2消去x 得2(m 2－1)y 2＋4cmy ＋c 2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2cm m 2－1，y 1y 2＝c 22m 2－1， 直线AM 的斜率k AM ＝y 1x 1－12c ＝y 1my 1＋c －12c ＝2y 12my 1＋c ， 同理，直线AN 的斜率k AN ＝2y 22my 2＋c ， 于是得k AM ＋k AN ＝2y 12my 1＋c ＋2y 22my 2＋c＝8my 1y 2＋2c y 1＋y 22my 1＋c 2my 2＋c＝8m ·c 22m 2－1＋2c ⎝⎛⎭⎫－2cm m 2－12my 1＋c 2my 2＋c＝0， 因此，直线AM 与AN 的倾斜角互补，则直线AM 与AN 关于x 轴对称，而点F 在x 轴上， 所以点F 到直线AM 与AN 的距离相等．课时精练1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴的交点为A (－1,0)．(1)求C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．求证：1|PM |2＋1|QM |2为定值． (1)解 由题意，可得－p 2＝－1，即p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4my －8＝0，则Δ＝16(m 2＋2)>0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，又|PM |＝1＋m 2|y 1|，|QM |＝1＋m 2|y 2|.∴1|PM |2＋1|QM |2＝11＋m 2y 21＋11＋m 2y 22＝y 21＋y 221＋m 2y 21y 22＝16m 2＋16641＋m 2＝1＋m 241＋m2＝14. ∴1|PM |2＋1|QM |2为定值．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2， 所以直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k. 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305. 所以直线PB 的斜率为2305或－2305.3．(2022·莆田质检)曲线C 上任意一点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比等于22，过点M (4,0)且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点A ，B . (1)求C 的方程；(2)求证：△ABF 内切圆的圆心在定直线上． (1)解 设P (x ，y )，由题意，x －22＋y 2|x －4|＝22⇒(x －2)2＋y 2 ＝12(x －4)2， 化简得x 28＋y 24＝1， 即C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设直线l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 代入C 得(m 2＋2)y 2＋8my ＋8＝0，∴⎩⎨⎧ Δ＝64m 2－32m 2＋2>0⇒m 2>2，y 1＋y 2＝－8m m 2＋2，y 1·y 2＝8m 2＋2.设直线AF 与BF 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1my 1＋2＋y 2my 2＋2 ＝2my 1y 2＋2y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2 ＝2m ·8m 2＋2＋2⎝⎛⎭⎫－8m m 2＋2my 1＋2my 2＋2＝0. ∴k 1＝－k 2，则∠BFM ＝π－∠AFM ，∴直线x ＝2平分∠AFB ，而三角形内心在∠AFB 的角平分线上， ∴△ABF 内切圆的圆心在定直线x ＝2上．4．(2022·深圳光明区模拟)已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，E (0,1)，过焦点F 2，且斜率为16的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且满足AF 1→＝2BO →. (1)求C 的方程；(2)过点D ⎝⎛⎭⎫－32，0且斜率不为0的直线l 交C 于M ，N 两点，且|EM |＝|EN |，求直线l 的方程． 解 (1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1ax ， 过F 2(c,0)，且斜率为16的直线方程为 y ＝16(x －c )， 由⎩⎨⎧ y ＝1a x ，y ＝16x －c得A ⎝⎛⎭⎫ac a －6，c a －6， 由⎩⎨⎧ y ＝－1a x ，y ＝16x －c得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋6，－c a ＋6， 由于AF 1—→＝2BO →，即⎝⎛⎭⎫－c －ac a －6，－c a －6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋6，2c a ＋6， 所以－c a －6＝2c a ＋6，解得a ＝2. 所以双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1. (2)设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋32(k ≠0)， 由⎩⎨⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋32，x 24－y 2＝1，消去y 并化简得(1－4k 2)x 2－12k 2x －9k 2－4＝0，Δ＝144k 4＋4(1－4k 2)(9k 2＋4)＝16－28k 2>0，k 2<47且k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21－4k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋3)＝k ⎝⎛⎭⎫12k 21－4k 2＋3 ＝3k 1－4k 2， 所以M ，N 的中点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6k 21－4k 2，32k 1－4k 2， 由于|EM |＝|EN |，所以EG ⊥MN ，k EG ·k MN ＝－1，32k 1－4k 2－16k 21－4k 2－0·k ＝－1， 化简得8k 2＋15k －2＝0，(k ＋2)(8k －1)＝0，解得k ＝－2或k ＝18， 由于k 2<47且k ≠0， 所以k ＝18， 所以直线l 的方程为y ＝18⎝⎛⎭⎫x ＋32.。

§9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法．(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件． (3)相关点法若动点P (x ，y )随已知曲线上的点Q (x 0，y 0)的变动而变动，且x 0，y 0可用x ，y 表示，则将点Q 的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法)． 概念方法微思考1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件吗？提示 是．如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，则曲线C 上的点的坐标满足f (x ，y )＝0，以f (x ，y )＝0的解为坐标的点也都在曲线C 上，故f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．2．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？ 提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 教材改编2．[P64T10]已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________． 答案 y 2＝x解析 由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．[P64T9]设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹方程为________． 答案 x 2＝8y －84．[P64T8]设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．答案 x 2－4y 2＝1解析 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入x 204－y 20＝1， 得x 2－4y 2＝1. 题组三 易错自纠5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________． 答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．到定点(0,7)和到定直线y ＝－7的距离相等的点的轨迹方程是________． 答案 x 2＝28y7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是__________．答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 连结OP ，则OP ＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆，∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．题型一 定义法求轨迹方程例1 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．跟踪训练1 在△ABC 中，BC ＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且BD －CD ＝22，则顶点A 的轨迹方程为______________． 答案 x 22－y 22＝1(x >2)解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点． 则BE ＝BD ，CD ＝CF ，AE ＝AF .所以AB －AC ＝22<4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2， 所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．题型二 直接法求轨迹方程例2 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ， 则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2， 则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得PF 2＝F 1F 2， 即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，代入直线方程得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， ∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， ∴y 1,2＝－2y 0±4y 20＋64x 02x 0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．跟踪训练3 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．题型四 参数法求轨迹方程例4 (2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)(m ≠0)，使得过点P 任意作一条抛物线y 2＝4x 的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由． (1)证明 由OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )， 可知点C 的轨迹是直线MN ，∴点C 的轨迹方程为y ＋31＋3＝x －15－1，即y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，得x 2－12x ＋16＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝6±25， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4) ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝2×16－4×12＋16＝0， ∴OA ⊥OB .(2)解 假设存在这样的点P ，由已知弦所在直线斜率不为0，故设弦所在直线为x ＝ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2－4ky －4m ＝0， 设弦端点D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)， 则y 3,4＝4k ±16k 2＋16m 2＝2k ±2k 2＋m ，∴y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4m ， 由已知OD →⊥OE →，∴x 3x 4＋y 3y 4＝0，∴y 234×y 244＋y 3y 4＝m 2－4m ＝0， 解得m ＝0(舍去)或m ＝4， ∴存在点P (4,0)满足条件， 设弦DE 的中点为M (x ，y )， 则x ＝x 3＋x 42，①＝ky 3＋4＋ky 4＋42＝k (y 3＋y 4)＋82＝2k 2＋4， y ＝y 3＋y 42＝2k ，②由①②消去k 得y 2＝2x －8， 这就是所求圆心的轨迹方程．思维升华 利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等． 跟踪训练4 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F (0,1)，长轴和短轴的长度之比为t . (1)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右侧部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且OPOQ ＝t t 2－1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 解 (1)设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，a b ＝t ，解得⎩⎨⎧a 2＝t 2t 2－1，b 2＝1t 2－1.所以椭圆方程为t 2(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＝t 2. (2)设点P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧t 2(t 2－1)x 21＋(t 2－1)y 21＝t 2，y 1＝tx 1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(t 2－1)，y 1＝t2(t 2－1).由OP OQ ＝t t 2－1和OP OQ ＝|x ||x 1|， 得⎩⎨⎧x ＝t2，y ＝t22，或⎩⎨⎧x ＝－t2，y ＝－t22，其中t >1.消去t ，得点P 的轨迹方程为x 2＝22y ⎝⎛⎭⎫x >22和x 2＝－22y ⎝⎛⎭⎫x <－22. 其轨迹为抛物线x 2＝22y 在直线x ＝22右侧的部分和抛物线x 2＝－22y 在直线x ＝－22左侧的部分．1．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且P A ＝1，则点P 的轨迹方程是________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2 解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连结MA ，PM ， 则MA ⊥P A ，且MA ＝1，又∵P A ＝1，∴PM ＝MA 2＋P A 2＝2， 即PM 2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP →＋AP →|＝2，则P 点的轨迹方程是________________． 答案 4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0解析 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AP →＝(x －1，y －2)，OP →＋AP →＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.3．在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程是________． 答案 x ＋2y －5＝0解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________________． 答案 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(a －x )，y －b ＝－2y ，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.由题意得，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________． 答案 y 2－x 248＝1(y ≤－1)解析 由两点间距离公式，可得AC ＝13，BC ＝15，AB ＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以AF ＋AC ＝BF ＋BC ，AF －BF ＝BC －AC ＝2<14，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支．由c ＝7，a ＝1⇒b 2＝48，F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，由P A ＝2PB ， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.7．直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点连线的中点的轨迹方程是______________．答案 x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1)解析 直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0且a ≠2，所以x ≠0且x ≠1.8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，垂足分别为A 1，B 1，O 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝F A ＋FB ，所以F A ＋FB ＝4>2，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，其方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．9.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是________．答案 椭圆解析 可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．10．如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是____________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1—→＋PF 2—→， 又PF 1—→＋PF 2—→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.11.如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (2,1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，求证：直线AB 的斜率为定值． (1)解 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)． 因为点P (2,1)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2. 故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)证明 由题意知k AP ＋k BP ＝0，所以y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0.所以x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，所以x 1＋24＋x 2＋24＝0，所以x 1＋x 2＝－4.所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 214－x 224x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－1.所以直线AB 的斜率为定值．12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程． 解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝24k 2±(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)2(1＋4k 2)，∴x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是________． ①x ＋y ＝5； ②x 2＋y 2＝9； ③x 225＋y 29＝1； ④x 2＝16y .答案 ②解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.①中，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；②中，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； ③中，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；④中，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．14．设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为________． 答案 [2，＋∞)解析 设F 1(0，－1)，F 2(0,1)，则满足x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2＝22的点P 的轨迹是以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆，其方程为x 21＋y 22＝1.曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)为如图所示的菱形ABCD ，C ⎝⎛⎭⎫1a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，1b . 由于x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2≤22， 所以菱形ABCD 在椭圆上或其内部， 所以1a ≤1，1b ≤2，即a ≥1，b ≥22.所以a ＋2b ≥1＋2×22＝2.15．已知过点A (－3,0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为______________． 答案 x 29＋y 294＝1(y ≠0)解析 设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |(m －n )2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD的交点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋3＝y －m x －3，yx －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6y x ＋3，n ＝－6yx －3，所以－36y 2x 2－9＝9，所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0)．16．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离的积等于常数a 2(a 2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离的积是4，又a 2>4，所以曲线C 不过原点，即①错误； 设动点P 在曲线C 上，因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12F PF S＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。

第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率一、 填空题1. 已知过点P(－2，m)和Q(m ，4)的直线的斜率不存在，则m 的值为________． 答案：－2解析：由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2.2. 若直线过(－23，9)，(63，－15)两点，则直线的倾斜角为__________． 答案：120°解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝－15－963＋23＝－3，∵ 0°≤α＜180°，∴ α＝120°.3. 如果图中的三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3从小到大的排列顺序为__________．答案：k 3<k 1<k 2解析：由图知，k 1<0，k 2>0，k 3<0.另外，tan α1＝k 1<0，α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α3＝k 3<0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，而α3<α1，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以 k 3<k 1.综上，k 3<k 1<k 2. 4. 直线l ：xtan π5＋y ＋1＝0的倾斜角α＝________．答案：4π5解析：∵ α∈[0，π)，k ＝tan α＝－tan π5＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π5＝tan 4π5，∴ α＝4π5. 5. 已知某直线l 的倾斜角α＝45°，且P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，则x 2＋y 1＝________．答案：7解析：由α＝45°，得直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1.又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0，∴ x 2＋y 1＝7.6. 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π 时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上，k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.7. 若直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为____________．答案：y ＝－34(x －1)解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1，0)即可求得直线方程为y ＝－34(x －1)．8. 若点A(3，－4)，B(5，－3)，C(4－m ，m ＋2)能构成三角形，则实数m 应满足条件________．答案：m≠－113解析：假设点A ，B ，C 不能构成三角形，则点A ，B ，C 共线．若m ＝1，则点A ，B ，C 不共线；若m≠1，则k AB ＝k AC .因为k AB ＝12，k AC ＝6＋m 1－m ，所以12＝6＋m 1－m ，解得m ＝－113.所以若点A ，B ，C 能构成三角形，则m≠－113.9. 直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.10. 若实数x ，y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，则yx的最小值为__________．答案：－1解析：设k ＝y x ，则yx表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵ A(1，－1)，B(3，2)，作图易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝k OA ＝－1.二、 解答题11. 已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P ，使直线PA 的倾斜角为60°. 解：① 当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)．∵ A(1，2)，∴ 直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.∵ 直线PA 的倾斜角为60°，∴ tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233.∴ 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.② 当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)，同理可得b ＝2－3，∴ 点P 的坐标为(0，2－3)．12. 已知经过A(m ，2)，B(－m ，2m －1)的直线的倾斜角为α，且45°＜α＜135°，求实数m 的取值范围．解：∵ 45°＜α＜135°，∴ k ＞1或k ＜－1或k 不存在， ∴ 2m －3－2m ＞1或2m －3－2m＜－1或m ＝0，解得0＜m ＜34或m ＜0或m ＝0，∴ m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34. 13. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．解：由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB .由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴ 43≤k ≤8， 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43. 第2课时 直线的方程一、 填空题1. 斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是________．答案： y －3＝32(x ＋4)解析：∵ 直线y ＝32x 的斜率为32，∴ 过点(－4，3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x ＋4)．2. 经过两点(3，9)，(－1，1)的直线在x 轴上的截距为________．答案：－32解析：由两点式，得所求直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32.3. 已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________________． 答案：y ＝3x ＋5解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.4. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 答案：三解析：由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y ＝－A B x －CB，∵ A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴ A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，∴ 直线过第一、二、四象限．5. 斜率为16的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为______________．答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知得|－6b·b|＝6，∴ b ＝±1.∴ 直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.6. 已知经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则该直线的方程为________．答案：2x ＋y －6＝0解析：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．∵ 点P 在此直线上，∴ 1a ＋4b＝1.∵ a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时等号成立，∴ a ＋b 取得最小值9时，a ＝3，b ＝6，此时直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.7. 已知方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )的直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a ＝__________．答案：0或2解析：令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a≠－1)．∵ 截距相等，∴ a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0.8. 已知3a ＋2b ＝5，则直线ax ＋by －10＝0必过定点__________________． 答案：(6，4)解析：由3a ＋2b ＝5得到b ＝5－3a 2，代入直线ax ＋by －10＝0得到ax ＋5－3a 2y －10＝0，即a ⎝⎛⎭⎪⎫x －3y 2＋52y －10＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －32y ＝0，52y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，所以直线经过定点(6，4)． 9. 已知直线l 过点P(2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．答案：2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y2a＝1.∵ 点P 在l 上，∴ 2a －12a ＝1，则a ＝32，∴ l 的方程为2x ＋y －3＝0；当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴ k ＝－12，∴ x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0.10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析：①正确，如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错误，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点；⑤正确，如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．二、 解答题11. 若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0. (1) 求参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x 轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4m m 2－m ，因为直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4mm 2－m＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.12. 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解： (1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn≤98.当且仅当2m 3＝n3时等号成立，解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98.(2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N(0，2＋a)．又a ＞－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥12×(2（a ＋1）×1a ＋1＋2)＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.13. 已知直线l 过点P(0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B(如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵ 点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a)． 由P(0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A(－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴ 点B 的坐标是(4，0)．因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.第3课时 直线与直线的位置关系一、 填空题1. 过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是____________． 答案：x －2y －1＝0解析：与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1，0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2. 已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________． 答案：1解析：若l 1⊥l 2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1.3. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0，10]解析：若由题意知，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a∈[0，10]．4. 已知点A(1，－2)，B(m ，2)．若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．答案：3解析：∵ 点A(1，－2)和B(m ，2)的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，∴ 1＋m 2－2＝0，∴ m ＝3.5. 一束光线从点A(－2，3)射入，经x 轴上点P 反射后，通过点B(5，7)，则点P 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0 解析：(解法1)由光的反射原理，知k AP ＝－k BP .设P(x ，0)，则0－3x －（－2）＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. (解法2)设p(x ，0)，由题意，知x 轴是镜面，入射点A(－2，3)关于x 轴的对称点为A 1(－2，－3)，则点A 1应在反射光线所在的直线上，即A 1，P ，B 三点共线，即kA 1P ＝k PB ，0＋3x ＋2＝75－x，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. 6. 已知定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 解析：因为定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x－y ＝0垂直，直线AB 的方程为y ＋x －1＝0，与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 7. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________． 答案：(0，2)解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．8. 若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．答案：3 2解析：依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，解得m ＝－6，所以直线l 的方程为x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.9. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)．若∠C 的平分线所在直线的方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．答案：12x －31y －31＝0解析：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113.∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1）3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.10. 直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点的坐标是__________．答案：(5，6)解析：易知A(4，－1)，B(3，4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0，1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．二、 解答题11. 已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：设直线l 1，l 2交点为P ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A ，B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A ，B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －252－2＝x －14－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 12. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1 ①.又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0 ②.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95③，y ′＝3x ＋4y ＋35④.(1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.13. 已知三条直线l 1：ax －y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay －a(a ＋1)＝0，l 3：(a ＋1)x －y ＋a ＋1＝0，a>0. (1) 求证：这三条直线共有三个不同的交点； (2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．假设直线l 1与l 2交于点A ，直线l 1与l 3交于点B ，直线l 2与l 3交于点C.(1) 证明：(证法1)由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，x ＋ay －a （a ＋1）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a a 2＋1，y ＝a ()a 2＋a ＋1a 2＋1， 所以直线l 1与l 2相交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，a ()a 2＋a ＋1a 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －a （a ＋1）＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝a ＋1， 所以直线l 2与l 3相交于点C(0，a ＋1)．因为a ＞0，所以a a 2＋1≠－1，且aa 2＋1≠0，所以A ，B ，C 三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点． (证法2)① 设三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝a ，k 2＝－1a，k 3＝a ＋1.由k 1·k 2＝－1得l 1⊥l 2，所以直线l 1与直线l 2相交． 由k 1≠k 3，得直线l 1与直线l 3相交．由a(a ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0知k 2≠k 3，所以直线l 2与直线l 3相交． 所以直线l 1，l 2，l 3任何两条均不平行．② 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)．又－1－a(a ＋1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34≠0， 所以直线l 2不过点(－1，0)，所以直线l 1，l 2，l 3不可能交于同一点． 综上，这三条直线共有三个不同的交点．(2) 解：(解法1)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 由两点间距离公式及(1)，得AB ＝a 2＋a ＋11＋a 2，AC ＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12AB ·AC ＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤12＋12×21＝34， 当且仅当a ＝1时取等号．所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为34.(解法2)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 点B 到直线l 2的距离d 1＝1＋a （a ＋1）1＋a 2，点C 到直线l 1的距离d 2＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12d 1d 2＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）， 以下同解法1.第4课时 圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则实数a 的值为________． 答案：1解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1. 2. 圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为________________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：由题意知圆心纵坐标y ＝－3，代入直线2x －y －7＝0得圆心C(2，－3)，r 2＝22＋12＝5，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.3. 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.4. 若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋12－4m ＞0，1＋（－1）2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12. 5. 若圆的方程为x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________． 答案：(0，2)解析：将圆的方程x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －2)2＝4－3k 24.∵ r 2＝4－3k24≤4，∴ k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，2)． 6. 已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________． 答案：5＋ 5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5.7. 已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝PQ 2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案：10 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD ＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC ＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积为12AC ×BD＝12×210×25＝10 2. 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．答案：2 2解析：设满足条件AC ＝2BC 的C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S ＝12×2×|y|≤22，所以△ABC 的面积的最大值是2 2.10. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为________．答案：6 解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ，因为∠APB＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m.要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.二、 解答题11. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1) 求直线CD 的方程； (2) 求圆P 的方程．解：(1) 直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2) 设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0 ①. ∵ 直径CD ＝410，∴ PA ＝210，∴ (a ＋1)2＋b 2＝40 ②.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴ 圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为63m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1) (解法1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．则有E(－33，0)，F(33，0)，M(0，3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ F(33，0)，M(0，3)都在圆上， ∴ ⎩⎨⎧（33）2＋b 2＝r 2，02＋（3－b ）2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.∴圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(解法2)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，OE ＝33，GE ＝r ，OG ＝r －3.由勾股定理，得r 2＝(33)2＋(r －3)2，解得r ＝6， 则圆心G 的坐标为(0，－3)，故圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2) 设限高为h ，作CP⊥AD，交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得(11)2＋(y ＋3)2＝36，得y ＝2或y ＝－8(舍)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 答：车辆的限制高度为3.5 m.13. 已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)． (1) 求MQ 的最大值和最小值；(2) 若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1) 由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2.又QC ＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42， 所以MQ max ＝42＋22＝62， MQ min ＝42－22＝2 2.(2) 由题意可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率．设直线MQ 的方程为y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k.由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.第5课时 直线与圆的位置关系一、 填空题1. 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为______________． 答案：x ＋2y －5＝0解析：由点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上知，此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0.2. 圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为 ________． 答案：4 5解析：公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－（5）2＝4 5.3. (2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点．若MN≥23，则k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：由圆的方程，得圆心(2，3)，半径r ＝2，∵ 圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k ＋3－3|k 2＋1，MN ≥23， ∴ 2r 2－d 2＝24－4k2k 2＋1≥23， 变形得4－4k 2k 2＋1≥3，即4k 2＋4－4k 2≥3k 2＋3，解得－33≤k ≤33， 则k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 4. 过点P(2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为______________． 答案：x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k(x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k|k 2＋（－1）2＝|3－k|k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴ 所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.5. (2017·扬州期中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为________．答案：27解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，所以圆心C(2，1)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离d ＝|4×2－3×1＋15|42＋（－3）2＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝2×25－16＝6.因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×AB ×9＝27.6. (2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________．答案：－1解析：由题意，得C(1，2)，直线l ：m(x －2)＋y －1＝0恒过定点A(2，1)．当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l⊥CA.因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m×(－1)＝－1，即m ＝－1.7. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为____________．答案：2解析：过点O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过点P 作圆O 的切线PA ，连结OA ，易知此时PA 的值最小．由点到直线的距离公式，得OP ＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又OA ＝1，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2. 8. 在直角坐标系xOy 中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．答案：2解析：设P(x ，y)，由PA 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理得x ＋y －2＝0.又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个．9. (2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB PA的最大值是________．答案：2解析：(解法1)设点P(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝（x －1）2＋（y ＋1）2x 2＋（y ＋2）2＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4 ＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3.令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3，所以x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，解得0＜λ≤4，所以PBPA 的最大值为2. (解法2)当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP＝∠ADB ， 所以△ABP∽△ADB，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤2，所以PBPA 的最大值为2.10. (2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP＝300，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0 解析：过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR≥∠OQP＝30°；反过来，如果∠OQR≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP＝30°.若圆O 上存在点P ，使得∠OQP＝30°，则∠OQR≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2≤9，解得－65≤a ≤0.二、 解答题11. 已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1) 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2) 过圆心C 作CD⊥AB，垂足为D ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a|a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12. (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l的距离d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为2－2＜（2－0）2＋（0－1）2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.13. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝4. (1) 若直线l 过点A(4，－1)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆C 1和圆C 2都相交，且l 被两圆截得的弦长相等？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)－1， 即kx －y －4k －1＝0，由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1, 化简得24k 2＋7k ＝0，所以k ＝0或k ＝－724.故直线l 的方程为 y ＝－1或y ＝－724(x －4)－1，即y ＝－1或7x ＋24y －4＝0.(2) 假设存在，设点P(a ，b)，l 的方程为y －b ＝k(x －a)，即kx －y ＋b －ak ＝0.因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的圆心到直线l 的距离也相等，即|－3k ＋b －ak|1＋k 2＝|4k －4＋b －ak|1＋k2， 整理得(14a －7)k 2－(8a ＋14b －32)k ＋8b －16＝0. 因为k 的个数有无数多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧14a －7＝0，8a ＋14b －32＝0，8b －16＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.第6课时 椭 圆(1)一、 填空题1. 经过点(0，4)且焦距为10的椭圆的标准方程为____________________．答案：x 241＋y216＝1解析：因为焦距为10，所以2c ＝10，c ＝5.因为4＜5，所以b ＝4，且焦点在x 轴上，a 2＝b 2＋c2＝16＋25＝41，故椭圆的标准方程为x 241＋y216＝1.2. 已知椭圆方程为x 2k －3＋y25－k＝1，则k 的取值范围是______________．答案：(3，4)∪(4，5)解析：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －3>0，5－k ＞0，k －3≠5－k ，∴ k ∈(3，4)∪(4，5)．3. 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．答案：6解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4. 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB ＝3，则椭圆C 的方程为________________．答案：x 24＋y23＝1解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长AB ＝3知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.5. 若椭圆C ：x 29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1＝4，则∠F 1PF 2＝________．答案：2π3解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则PF 2＝2.在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－（27）22×4×2＝－12.∵ ∠F 2PF 1∈(0，π)，∴ ∠F 1PF 2＝2π3.6. (2017·淮阴高级中学模考)已知过椭圆x 225＋y216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是________．答案：18解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知FQ ＝PF 2，OP ＝OQ ，所以△PQF 的周长为PF ＋FQ ＋PQ ＝PF ＋PF 2＋2PO ＝2a ＋2PO ＝10＋2PO ，易知2PO 的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值，最小值是18.7. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为________．答案：263解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x ，y)，则 MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y)＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.8. (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．答案：5－12解析：由题意得，A(a ，0)，B 1(0，－b)，B 2(0，b)，F(c ，0)，所以B 2F →＝(c ，－b)，AB 1→＝(－a ，－b)．因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F →·AB 1→＝0，即b 2＝ac ， 所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0.又椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以e ＝5－12. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC＝90°，则椭圆的离心率是____________．答案：63解析：由题意得，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，因为FB⊥FC，FB →·FC →＝0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2，因此c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝0，3c 2＝2a 2，解得e ＝63.10. 如图，A ，B 是椭圆的两个顶点，点C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝ 2.若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．答案：x 24＋y22＝1解析：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则A(a ，0)，B(0，b)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F(a 2－b 2，0)．依题意得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b a a 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求椭圆的方程是x 24＋y 22＝1. 二、 解答题11. 分别求下列椭圆的标准方程．(1) 经过点P(－23，0)，Q(0，2)两点；(2) 长轴长是短轴长的3倍，且经过M(3，2)；(3) 与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点，且过点(3，－2)．解：(1) 由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，所以a ＝23，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 212＋y24＝1.(2) 当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，32a 2＋22b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5，所以椭圆的标准方程为x 245＋y25＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，22a 2＋32b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859，椭圆的标准方程为x 2859＋y285＝1.综上，椭圆的标准方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y285＝1.(3) 由椭圆4x 2＋9y 2＝36得c ＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5＋b 2，32a2＋（－2）2b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10， 所以椭圆的标准方程为x 215＋y210＝1.12. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，求椭圆C 的离心率．解： 右准线l ：x ＝a 2c ，d 2＝a 2c －c ＝b2c，在Rt △BOF 中，由面积法得d 1＝bca，若d 2＝6d 1，则b 2c ＝6×bca，整理得6a 2－ab －6b 2＝0，两边同除以a 2，得6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a －6＝0，解得b a ＝63或－62(舍)，∴ e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝33.13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解：(1) 若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2) 由题意知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)．由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.第7课时 椭 圆(2)一、 填空题1. 已知椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距为2，则m 的值为________．答案：5或3解析：当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，∴ c ＝m －4，∴ m －4＝1，∴ m ＝5；当焦点在y轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴ c ＝4－m ，∴ 4－m ＝1，∴ m ＝3.2. 已知以椭圆两焦点F 1，F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________．答案：22解析：由题意得b ＝c ，∴ a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴ e ＝c a ＝22.3. 已知椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为______________．答案：x 28＋y24＝1解析：由2c ＝4，a 2c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝8，b 2＝4，则该椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.4. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是____________．答案：x 281＋y272＝1解析：依题意知2a ＝18，∴ a ＝9，∴ 2c ＝13×2a ，c ＝3，∴ b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴ 椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.5. 已知椭圆x 24＋y22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点．若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．答案：6解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．若P 到两焦点的距离之比为2∶1，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 解析：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ， 根据椭圆定义可知3k ＝2a.又由椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥13.因为0＜e ＜1，所以13≤e ＜1.故椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1. 7. 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上一点．若|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为3c 2，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率为________．答案：33解析：∵ |PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴ |PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，∴ a 2＝3c 2，∴ e 2＝13，∴ e＝33. 8. 已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．答案：12解析：直线AB 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，则它们的交点的横坐标满足xc－x a ＝2，而x ＝a 2c ，可得a 2－ac ＝2c 2，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12. 9. 已知椭圆x 24＋y2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是__________．答案： 3解析：由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B(－c ，－32)，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3.10. 设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →，则椭圆C 的离心率为________．答案：23解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)，直线l 的方程为y ＝3(x －c)，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b2＝1，消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析一、选择题1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C．短轴长为14D．离心率为32答案D解析由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2 1 16＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，长轴2a＝1，焦距2c＝32，短轴2b＝12，离心率e＝ca＝32.故选D.2．双曲线x23－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±3x B．y＝±13xC．y＝±3x D．y＝±33x 答案C解析因为x23－y29＝1，所以a＝3，b＝3，渐近线方程为y＝±ba x，即为y＝±3x，故选C.3．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与抛物线x2＝8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3x B．y＝±3xC．y＝±13x D．y＝±33x答案A解析∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C 的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案A解析直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b 2＋c 2＝a 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A.5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是()A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案A 解析双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于()A.13B.23C.23D.223答案D解析＝k (x ＋2)，2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k 2－4，①x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，∵0<k <1，∴k ＝223.故选D.7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为()A ．2 B.2147C ．22D ．23答案C解析由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即ba＝7，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案A解析如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于()A ．2 B.3C ．23D ．3答案A解析由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为()A.2B.32C.3D ．2答案A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点()B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案B解析根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0，所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于()A ．4B ．23C ．2D ．3答案A解析如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A.二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案22解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2.14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|PA |＝________.答案4解析由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，即x 2－y 24＝1(x >0)，故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案1解析设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D为椭圆的短轴端点，动点P 满足|PA ||PB |＝2，△PAB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案32解析依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|PA |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得－53a ＋y 2，r ＝4a3.所以△PAB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2，△PCD 的最小面积为12·2b b ·a 3＝23，解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－14＝32.三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．解(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立，即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ，去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4，再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10，解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.所以k1·k2＝y1－1x1－1·y2－1x2－1＝y1－1y21－1·y2－1y22－1＝1(y1＋1)(y2＋1)＝1y1y2＋y1＋y2＋1＝1－t－3＋t＋1＝－12，所以k1·k2是定值．。

第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3.答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x －0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－24．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB .[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法： ①直线l 的斜率为－m ； ②直线l 的斜率为－1m ；③直线l 过定点(0,1)； ④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m ，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2016·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________． 解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2015·福建高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2016·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎡⎦⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎫33，＋∞2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当b a＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5， 此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝⎛⎭⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a≥9， 当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6. ∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号，所以e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝⎛⎭⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝⎛⎭⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________． 解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2016·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b . 则12×4a ×4b ＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2016·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)． 答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2， 故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：24．(2016·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2016·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.答案：29103．(2015·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：14．(2016·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，126．(2016·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝08．(2016·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′， 则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12. 答案：22，122．(2016·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋(－1)2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________． 解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________． 解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2016·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。

§9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤知识拓展1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解． (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 教材改编2．[P64习题T10]已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________． 答案 y 2＝x解析 由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其轨迹方程为y 2＝x .3．[P64习题T9]设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹方程为________．答案 x 2＝8y －8 题组三 易错自纠4．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________________． 答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．5．到定点(0,7)和到定直线y ＝7的距离相等的点的轨迹方程是________． 答案 x 2＝28y6．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是__________．答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 连结OP ，则OP ＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆，∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．题型一 定义法求轨迹方程典例 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程． 解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．跟踪训练 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，可知MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，可知MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4＝O 1O 2.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支， ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 题型二 直接法求轨迹方程典例 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，知O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于点H ，则H 是MN 的中点，∴O 1M ＝x 2＋42.又O 1A ＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，整理得2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入到③中并化简得8(b ＋k )＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2， 于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2， 经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13. 题型三 相关点法求轨迹方程典例 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， ∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．跟踪训练 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (10分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOQ ＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[2分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由OP OQ ＝λ可得OP 2OQ 2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得⎝⎛⎭⎫λ2－14x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[4分] 当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[6分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴为y 轴的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[8分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[10分]1．下列命题正确的是________．(填序号) ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上截距为－2的直线的方程； ②△ABC 的三个顶点分别是A (－3,0)，B (3,0)，C (0,3)，则中线CO (O 为坐标原点)的方程为x ＝0；③方程y ＝x 2＋2x ＋1表示两条射线． 答案 ③解析 ①中表示的直线中应除去点(2,0)，故①错误；②中，中线为一条线段，而方程x ＝0表示的是一条直线，故②错误；将③中的方程化为y ＝|x ＋1|，当x ≥－1时，y ＝x ＋1，当x <－1时，y ＝－x －1，所以该方程表示的是两条射线，③正确．2．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且P A ＝1，则点P 的轨迹方程是________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连结MA ，则MA ⊥P A ，且MA ＝1， 又∵P A ＝1，∴PM ＝MA 2＋P A 2＝2， 即PM 2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.3．在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程是________． 答案 x ＋2y －5＝0解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0.4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________． 答案 y 2－x 248＝1(y ≤－1)解析 由两点间距离公式，可得AC ＝13，BC ＝15，AB ＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以AF ＋AC ＝BF ＋BC ，AF －BF ＝BC －AC ＝2<14，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支．由c ＝7，a ＝1⇒b 2＝48，F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．5．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是________． 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ， MC 2－BC 2＝MB ， 因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2，即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2<6，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，由P A ＝2PB ， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.8．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为____________． 答案 x 22－y 22＝1(x >2)解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E ，F 分别为两个切点，则BE ＝BD ，CD ＝CF ，AE ＝AF .∴AB －AC ＝22<4＝BC ，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．9．已知△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________． 答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 及正弦定理可知b ＋a ＝54c ＝10，则AC ＋BC ＝10>8＝AB ，∴满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3， 则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．10.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.11.已知点C (1,0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)连结CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ，∴CP ＝AP ＝BP ＝12AB ，由垂径定理知，OP 2＋AP 2＝OA 2， 即OP 2＋CP 2＝9，设点P (x ，y )，则(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，其中p2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4，得x 2＋3x －4＝0， 解得x ＝1或x ＝－4.因为x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程． 解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是________．(填序号) ①x ＋y ＝5；②x 2＋y 2＝9；③x 225＋y 29＝1；④x 2＝16y .答案 ②解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.对于①，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；对于②，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； 对于③，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；对于④，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．14．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝F A ＋FB ，∴F A ＋FB ＝4>2＝AB ，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．15．在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2，0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹方程为________________． 答案 x 24＋y 212＝1，y ≠0解析 设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0， 即G 为△ABC 的重心，得G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3. 又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|， 即M 为△ABC 的外心，所以点M 在y 轴上， 又GM →∥AB →，则有M ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 由|MC →|＝|MA →|，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.16．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，又a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ≤12PF 1·PF 2＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。

第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）111～112页 （理）116～117页1. (原创)设m 为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________． 答案：90°解析：因为过点A(2，－1)，B(2，m)的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2. (必修2P 80第1题改编)过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.3. (原创)若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ＜1解析：tan α＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －12＋a .由a －12＋a ＜0，得－2＜a ＜1.4. (必修2P 70练习4改编)已知A(－1，23)，B(0，3a)，C(a ，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．答案：2π3解析：若a ＝0，则B ，C 重合，不合题意，从而由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1.从而B(0，3)，此三点所在直线的斜率为k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－3，而α∈[0，π)，所以α＝2π3.5. 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是______________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：由k ＝tan α关系图(如下)知k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系, 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x－y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________．答案：k 1<k 3<k 2解析：设三条直线的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，另外，tan α2＝k 2>0，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α3＝k 3>0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，而α3<α2，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以， k 3<k 2.综上，k 1<k 3<k 2.题型2 求直线的倾斜角和斜率, 2) 已知点M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．解：设直线l 的倾斜角是θ，则直线MN 的倾斜角为2θ，由已知得tan2θ＝k MN ＝15－32＋4＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2， 所以tan 2θ＋tan θ－1＝0，解得tan θ＝－1＋52或tan θ＝－1－52，由tan2θ＝2>0知，2θ必为锐角，从而θ为锐角，故tan θ＝－1＋52.备选变式（教师专享）已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标．解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tan θ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围, 3) (2014·苏州调研)经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、B(2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴ －1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k<0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.备选变式（教师专享）直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：k ＝tan α＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.1. (2014·山西联考)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 解析：由题意知直线l 恒过定点P(2，1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵ k PA ＝－2，k PB ＝12，∴ －2≤k≤12.3. 已知实数x 、y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，求z ＝y ＋1x的最大值与最小值．解：y ＋1x表示过点A(0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y)的直线的斜率．如图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx－1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.因此，z max ＝4＋73，z min ＝4－73.4. 如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的斜率．解： 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以射线OA 的方程为y ＝x(x≥0)，射线OB 的方程为y ＝－33x (x≥0)． 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32.1. 已知x 轴上的点P 与点Q(－3，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为________．答案：(－23，0)解析：设P(x ，0)，由题意k PQ ＝tan30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为(－23，0)．2. 有以下几个命题：① 直线的倾斜角越大，则斜率越大； ② 垂直于x 轴的直线没有方程；③ 若直线的斜率为a ，则其倾斜角正切值一定为tana ；④ 只要直线不过坐标原点，则它一定可以用截距式方程式表示； ⑤ 斜率存在的直线，其倾斜角一定不等于90°. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：⑤解析：根据直线的倾斜角与斜率的关系，可知①不正确，⑤正确；x ＝a(a∈R )是垂直于x 轴的直线，所以②错误；直线倾斜角的正切值是斜率，所以③错误；不过原点但垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程式表示，所以④错误； 故答案为⑤.3. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．答案： 3解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴ 所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.4. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB相交，即应满足－a≥3＋12或－a≤2＋1－3，得a≤－2或a≥1.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．请使用课时训练(B )第1课时(见活页)．第2课时 直线的方程⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）113～115页 （理）118～120页1. 把直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．答案：y ＝－A B x －C B x －C A ＋y－CB＝1解析：因为ABC≠0，即A≠0，B ≠0，C ≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y ＝－A B x －C B ，截距式为x －C A ＋y－CB＝1.2. (必修2P 77习题3改编)直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：直线3x －4y ＋12＝0在x 轴上的截距为－4，在x 轴上的截距为3，因此它与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|－4|×3＝6.3. 下列四个命题：① 过点P(1，－2)的直线可设为y ＋2＝k(x －1)；② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为x a ＋ya ＝1(a≠0)；③ 经过两点P(a ，2)，Q(b ，1)的直线的斜率k ＝1a －b；④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0解析：① 当直线过原点时，直线方程为y ＝－43x ；② 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a.代入点(3，－4)，∴ a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0. 5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点(0，－1)，又所求直线过点P(1，2)，故由两点式得直线方程为y ＋1x －0＝2＋11－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222(1) 若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1． (2) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1． (3) 若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0． (4) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0． (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． [备课札记]题型1 求直线方程, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：(1) 当直线l 过原点时，l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上：l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. (2) 显然两直线与x 轴不垂直．∵ 直线l 经过点P(5，2)，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k(x －5)(k≠0)，则直线在x 轴上的截距为5－2k ，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－2k ·|2－5k|＝52，即(5k －2)2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为(5k －2)2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为(5k －2)2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15(x －5)或y －2＝45(x －5)，即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练(2014·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－32，∴ 直线方程为y ＝－32x ；(2) l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a ＝1，∴ 直线方程为x ＋y ＝1.综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.题型2 含参直线方程问题, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )．(1) 若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2) 若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围； (3) 求证：无论a 为何实数值，直线l 恒过一定点M.(1) 解：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴ a＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴ a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴ a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2) 解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴ a≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． (3) 证明：∵ (x－1)a ＋(x ＋y ＋2)＝0，∴ 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.故直线l 恒过定点M(1，－3)．备选变式（教师专享）直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点． (1) 当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程； (2) 当||MA ||MB 最小时，求直线l 的方程．解：(1) 如图，设||OA ＝a ，||OB ＝b ，△ABO 的面积为S ，则S ＝12ab ，并且直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，由直线通过点(2，1)，得2a ＋1b＝1，所以a 2＝11－1b＝b b －1.因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b －1>0.由此得S ＝a 2×b ＝b b －1×b ＝b 2－1＋1b －1＝b ＋1＋1b －1＝b －1＋1b －1＋2≥2＋2＝4.当且仅当b －1＝1b －1，即b ＝2时，面积S 取最小值4，这时a ＝4，直线的方程为x 4＋y2＝1.即直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则||MA ＝1sin θ，||MB ＝2cos θ， 所以||MA ||MB ＝1sin θ·2cos θ＝4sin2θ， 当θ＝45°时，||MA ||MB 有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x ＋y －3＝0.题型3 直线方程的综合应用, 3) 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a>－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn ≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，可解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0、N(0，2＋a)，又a>－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2（a ＋1）×1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 备选变式（教师专享）直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：(解法1：借助点斜式求解)由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y －2＝k(x －3)，令x ＝0，则y ＝－3k ＋2；令y ＝0，则x ＝3－2k.由题设可得－3k ＋2＝3－2k ，解得k ＝－1或k ＝23.故l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即直线l 的方程为x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (解法2：利用截距式求解)由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a. 若a ＝0，则l 过点(0，0)．又过点(3，2)，∴ l 的方程为y ＝23x ，即l ：2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 为x a ＋ya ＝1.由l 过点(3，2)，知3a ＋2a＝1，故a ＝5.∴ l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．答案：k>12或k<－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3<1－2k <3，解不等式可得k>12或k<－1.(也可以利用数形结合)2. (2014·长春调研改编)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________．(填序号)① m>1，且n<1；② mn<0；③ m>0，且n<0；④ m<0，且n<0. 答案：②解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，且1n<0，即m>0，且n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选填②.3. 直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________．答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵ 直线l 过点P(－5，－4)，∴ －5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab.又由已知有12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.4. (2014·银川联考)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案：12解析：由题意知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2]，又动点P(a ，b)在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2]，又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式方程为6x －8y－13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0，求： (1) 参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4mm 2－m，又直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.1. 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a ＝________．答案：1解析：方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号．2. (原创)如果AC<0且BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．答案：二解析：由已知条件知A ，B ，C 均不为0，直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA>0，直线一定过一、四象限，又直线在y 轴上的截距－CB<0，故直线一定过三、四象限，故直线不通过第二象限．3. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)．① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析： ①正确．比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点．②错误．直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)．③正确．当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点．④错误．当k＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点．⑤正确．比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．4. 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 答案：(－2，3)解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 5. 对直线l 上任一点(x ，y)，点(4x ＋2y ，x ＋3y)仍在此直线上，求直线方程． 解：设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0， ∴ A(4x ＋2y)＋B(x ＋3y)＋C ＝0， 整理得(4A ＋B)x ＋(2A ＋3B)y ＋C ＝0，∴ 上式也是l 的方程，当C≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4A ＋B ，B ＝2A ＋3B ，∴ A ＝B ＝0，此时直线不存在；当C ＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－A B ＝－4A ＋B2A ＋3B，∴ A ＝B或B ＝－2A ，∴ 所求直线方程为x ＋y ＝0或x －2y ＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．请使用课时训练(A )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）116～118页 （理）121～123页1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________．答案：2－1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝2，又a ＞0，∴ a ＝2－1.2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．答案：－1解析：由l 1∥l 2得a(a －2)－3＝0且2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.3. 经过点(－2，3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为________． 答案：2x ＋y ＋1＝0解析：由题意，所求直线的斜率与直线2x ＋y －5＝0的斜率相同为－2，又过点(－2，3)，所以直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x ＋2y －1＝0和2x －3y ＋8＝0的交点，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．答案：3x ＋2y －1＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，2x －3y ＋8＝0，得两直线的交点坐标为(－1，2)，又由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为____________．答案：7x ＋y ＋22＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q(2，0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ′)的方程为y ＋92－95－92＝x ＋52175－52，即7x ＋y ＋22＝0.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式：d(A ，B)＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (2) 点到直线的距离点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. (3) 两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[备课札记]题型1 两直线的平行与垂直, 1) 两条直线l 1：(m ＋3)x ＋2y ＝5－3m ，l 2：4x ＋(5＋m)y ＝16，分别求满足下列条件的m 的值．(1) l 1与l 2相交； (2) l 1与l 2平行； (3) l 1与l 2重合； (4) l 1与l 2垂直．解：可先从平行的条件a 1a 2＝b 1b 2(化为a 1b 2＝a 2b 1)着手．由m ＋34＝25＋m，得m 2＋8m ＋7＝0，解得m 1＝－1，m 2＝－7.由m ＋34＝5－3m 16，得m ＝－1.(1) 当m≠－1且m≠－7时，a 1a 2≠b 1b 2，l 1与l 2相交．(2) 当m ＝－7时，a 1a 2＝b 1b 2≠c 1c 2.l 1∥l 2.(3) 当m ＝－1时，a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，l 1与l 2重合．(4) 当a 1a 2＋b 1b 2＝0，即(m ＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，即m ＝－113时，l 1⊥l 2.变式训练已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(解法2)由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴ l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1a ＝23.(解法2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0a ＝23.题型2 两直线的交点, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A 、B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A 、B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 备选变式（教师专享）已知直线l 经过点P(3，1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：(解法1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长||AB ＝||－4＋9＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由||AB ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. (解法2)由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝||1－62＝522，且直线l 被平行直线l 1、l2所截得的线段AB 的长为5(如图)．设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝52 25＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°.又直线l 过点P(3，1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.(解法3)设直线l 与l 1、l 2分别相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5. ①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ②联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为x ＝3或y＝1.题型3 点到直线及两平行直线之间的距离, 3) 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ① 点P 在第一象限；② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1) 直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. 又a ＞0，解得a ＝3.(2) 假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝2|x 0＋y 0－1|5×2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件． 备选变式（教师专享）已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程．解：(解法1)设所求直线方程为y －2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点P 1、P 2到直线的距离相等得||2k －3＋k ＋2k 2＋1＝||－4k －5＋k ＋2k 2＋1. 化简得||3k －1＝||－3k －3，则有3k －1＝－3k －3或3k －1＝3k ＋3，解得k ＝－13或方程无解．方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为x ＝－1，它与P 1、P 2的距离都是3.∴所求直线方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.(解法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与P 1、P 2距离相等，所以l 有两种情况，如下图：①当P 1、P 2在l 的同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即y －2＝－13(x ＋1)；②当P 1、P 2在l 的异侧时，l 必过P 1、P 2的中点(－1，4)，此时l 的方程为x ＝－1.∴所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.题型4 对称问题, 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3) 直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2) 在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4，3)．∵ m ′经过点N(4，3)，∴ 由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0.(3) 设P(x ，y)为l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵ P ′在直线l 上，∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享）在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．答案：43解析：以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P(x ，0)，x ∈(0，4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x)，P 2(－x ，0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－（4－x ）43－4，求得x ＝43.题型5 三角形中的直线问题, 5) 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4，2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC 上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4＝－12，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴ A ′(4，－2)．∴ 直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得C(2，4)． ∴ k AC ＝13，k BC ＝－3，∴ AC⊥BC.∴ △ABC 是直角三角形． 备选变式（教师专享）已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10，5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＋32－4·y′－12＋10＝0，y ′＋1x′－3·14＝－1 A ′(1，7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.1. (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n ＝________．答案：－10解析：∵ l 1∥l 2，∴ k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.∵ l 2⊥l 3，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，∴ m ＋n ＝－10.2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案：(2，4)解析：由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为(2，4)． 3. 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 答案：3x ＋4y ＋5＝0 解析：与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y)＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.4. m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．① 若m≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m ，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．② 若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：x －2＝0，此时三条直线能围成三角形．∴ 当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m≠0且m≠4且m≠－16.将y ＝－mx 代入4x ＋y －4＝0，得x ＝44－m，即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m，－4m 4－m ，将P 点坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴ 当m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m 为－1或－16或23或4时，三条直线不能围成三角形．1. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______．答案：3 2解析：依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2|m ＋7|＝|m ＋5|m ＝－6，所以l 的方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________．答案：－1或2解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3. (2014·金华调研)当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 4. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．解：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，同理，点B 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613，4113. ∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1） 3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.同理，直线AC 的方程为y －5＝5－4113－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613(x ＋1)，整理得24x －23y ＋139＝0.直线AB 的方程为y ＝5－（－1）－1－0x －1，整理得6x ＋y ＋1＝0.1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称① 点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y ′)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y ′＝2b －y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2) 轴对称① 点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B·b ＋n2＋C ＝0.② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．。

专题九平面解析几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.特别注意近两年高考将此综合题前移,难度降低.1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用韦达定理解题.4.合理运用“同理可得”进行类比计算.5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).6.直线与椭圆或直线与抛物线为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.近几年这类题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)第二问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.二、两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.三、直线、圆的位置关系1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.四、椭圆、双曲线、抛物线1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.【真题探秘】§9.1 直线方程与圆的方程基础篇固本夯基【基础集训】考点一 直线方程1.过不重合的A(m 2+2,m 2-3),B(3-m-m 2,2m)两点的直线l 的倾斜角为45°,则m 的值为( ) A.-1 B.-2 C.-1或2 D.1或-2 答案 B2.已知角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为83,则cos α等于( ) A.35B.-35C.45D.-45答案 D3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 . 答案 4x-3y+9=04.已知A(1,-2),B(5,6),直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为 . 答案 x+y-5=0或2x-3y=0考点二 圆的方程5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A.(x -12)2+(y+1)2=25 B.(x +12)2+(y-1)2=25C.(x -12)2+(y+1)2=254D.(x +12)2+(y-1)2=254答案 D6.若a ∈{-2,0,1,34},则方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B7.若平面内两定点A,B 间的距离为2,动点P 与A 、B 距离之比为√2,当P,A,B 不共线时,△PAB 面积的最大值是( ) A.2√2 B.√2 C.2√23D.√23答案 A8.已知△ABC 三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC 外接圆的方程为 . 答案 (x+3)2+(y-1)2=25综合篇知能转换【综合集训】考法一 求直线的倾斜角和斜率1.(2018陕西延安期中,5)直线a 2x-b 2y=1(其中a,b ∈R,且ab ≠0)的倾斜角的取值范围为( )A.(0,π2) B.(π4,3π4) C.(π2,3π4) D.(π2,π)答案 A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.[π4,3π4] B.[0,π4]∪[3π4,π)C.[0,π4] D.[π4,π2)∪(π2,3π4]答案 A考法二求直线的方程3.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案 D4.(2019江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为()A.2x-3y-1=0B.2x+3y-7=0C.3x-2y-4=0D.3x+2y-8=0答案 B5.(2019四川眉山仁寿一中第一次调研)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0过定点.答案(-2,-13)考法三对称问题6.(2018重庆模拟,8)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案 B7.(2019豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为.答案x+7y-6=08.(2018豫北六校联考,15)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则||PA|-|PB||最大时点P的坐标为.答案(2,5)考法四求圆的方程9.(2019广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案 A10.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为.答案x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)11.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=2512.(2018四川峨眉山第七教育发展联盟适应性考试(节选))圆C 与x 轴相切于点T(2,0),与y 轴正半轴相交于两点M,N(点M 在点N 的下方),且|MN|=3.则圆C 的方程为 . 答案 (x-2)2+(y -52)2=254【五年高考】1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43 B.-34 C.√3 D.2答案 A2.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 答案 x 2+y 2-2x=03.(2016浙江,10,6分)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);54.(2019浙江,12,6分)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 答案 -2;√55.(2019北京,11,5分)设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=46.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8. (1)求l 的方程;(2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析 (1)由题意得F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由{y =k(x -1),y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0. Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k 2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2.由题设知4k 2+4k 2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则 {y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16.解得{x 0=3,y 0=2或{x 0=11,y 0=-6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.7.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程.解析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2. 由{x =my +2,y 2=2x 可得y 2-2my-4=0,则y 1y 2=-4. 又x 1=y 122,x 2=y 222,故x 1x 2=(y 1y 2)24=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y1x 1·y 2x 2=-44=-1,所以OA ⊥OB.故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m,x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=2m 2+4. 故圆心M 的坐标为(m 2+2,m),圆M 的半径r=√(m 2+2)2+m 2.由于圆M 过点P(4,-2),因此 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0, 即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0. 由(1)可得y 1y 2=-4,x 1x 2=4. 所以2m 2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为√10,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为(94,-12),圆M 的半径为√854,圆M 的方程为(x -94)2+(y +12)2=8516.解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)表示:(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.教师专用题组1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 . 答案 [-5√2,1]2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围.解析 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7, 于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=|2×6-7+m|√5=|m+5|√5. 因为BC=OA=√22+42=2√5,而MC 2=d 2+(BC 2)2,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤√[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t ≤2+2√21.因此,实数t 的取值范围是[2-2√21,2+2√21].【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2019湖南衡阳八中10月月考,3)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(√3,1),其中sin (θ-π2)=12,则直线l 的方程为( ) A.√3x-y-2=0 B.√3x+y-4=0 C.x-√3y=0 D.√3x-3y-6=0 答案 B2.(2019重庆綦江中学模拟,9)已知圆C:x 2+y 2=1,点P 为直线x+2y-4=0上一动点,过点P 向圆C 引两条切线PA,PB 且A,B 分别为切点,则直线AB 经过定点( ) A.(12,14) B.(14,12) C.(√34,0) D.(0,√34)答案 B3.(2019辽宁丹东模拟,3)圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0外切,则C 的方程为( ) A.x 2+y 2+4x+2=0 B.x 2+y 2-4x+2=0 C.x 2+y 2+4x=0 D.x 2+y 2-4x=0 答案 D4.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC 的外接圆的方程是( )A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5 答案 D5.(2018湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a≠0,b≠0),若f(π4-x)=f(π4+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D6.(2018豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为()A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16答案 B7.(2019河北九校第二次联考,4)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2-y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2-4x=0D.x2+y2+2x-3=0答案 C8.(2019河南中原名校联盟第三次联考,9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x+4y-12=0或x=0答案 D9.(2020届山东夏季高考模拟,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是() A.3 B.4 C.3√2 D.4√2答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为()A.x=-2B.x=2C.4x-3y+4=0D.4x+3y-4=0答案BC11.(改编题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,下列命题中为真命题的是()A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切答案BD三、填空题(每题5分,共10分)12.(2019豫北名校2月期初调研,14)直线l过点P(6,4),且分别与两坐标轴的正半轴交于A,B两点,当△ABO的面积最小时,直线l的方程为.答案2x+3y-24=013.(2020届百师联盟期中联考)已知圆心在直线x-3y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,且截x 轴所得弦长为4√2,则圆C 的方程为 ,点P(6,5)到圆C 上动点Q 的距离最大值为 . 答案 (x-3)2+(y-1)2=9;8四、解答题(共10分)14.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(-2,0),直角顶点B 的坐标为(0,-2√2),顶点C 在x 轴上,点P 为线段OA 的中点. (1)求BC 边所在直线的方程;(2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心,求圆M 的方程;(3)在(2)的条件下,若动圆N 过点P 且与圆M 内切,求动圆N 的圆心的轨迹方程.解析 (1)易知k AB =-√2,AB ⊥BC, ∴k CB =√22,∴BC 边所在直线的方程为y=√22x-2√2.(2)由(1)及题意得C(4,0), 易知AC 为圆M 的直径, ∴M(1,0),AM=3,∴外接圆M 的方程为(x-1)2+y 2=9. (3)∵圆N 过点P(-1,0), ∴PN 是动圆的半径, 又∵动圆N 与圆M 内切, ∴MN=3-PN,即MN+PN=3,∴点N 的轨迹是以M,P 为焦点,长轴长为3的椭圆. ∵P(-1,0),∴c=1, 又a=32,∴b=√a 2-c 2=√54, ∴所求轨迹方程为x 294+y 254=1,即4x 29+4y 25=1. §9.2 直线、圆的位置关系基础篇固本夯基【基础集训】考点一 两直线的位置关系1.若直线l 1:(m-2)x-y-1=0与直线l 2:3x-my=0互相平行,则m 的值等于( ) A.0或-1或3 B.0或3 C.0或-1 D.-1或3 答案 D2.已知曲线y=2xx -1在点P(2,4)处的切线与直线l 平行且距离为2√5,则直线l 的方程为( )A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或2x-y-18=0 答案 B3.已知动直线l 0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过定点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l 0的最大距离为3,则12a +2c的最小值为( ) A.92 B.94C.1D.9 答案 B4.若直线l 1:x+a 2y+6=0与直线l 2:ax+3y+2a=0互相垂直,则实数a 的值为 . 答案 0或-13考点二 直线与圆的位置关系5.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x 2+(y-1)2=5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 A6.直线l:x-y+m=0与圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m 的取值范围是( ) A.[-√2,√2] B.[-2√2,2√2]C.[-√2-1,√2-1]D.[-2√2-1,2√2-1] 答案 D7.已知点P(a,b)(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点,直线m 是以P 为中点的弦所在的直线,直线l 的方程为ax+by=r 2,那么( )A.m ∥l,且l 与圆相交B.m ⊥l,且l 与圆相切C.m ∥l,且l 与圆相离D.m ⊥l,且l 与圆相离 答案 C8.一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案 D考点三 圆与圆的位置关系9.圆C 1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C 2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m 的值为( ) A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定 答案 C10.已知圆M:x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案 B11.已知圆C 1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab 的最大值为 .答案9412.两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|=.答案4√55综合篇知能转换【综合集训】考法一两直线的位置关系1.(2018广东江门4月模拟,3)已知三条直线l1:4x+y=1,l2:x-y=0,l3:2x-my=3,若l1关于l2对称的直线与l3垂直,则实数m的值是()A.-8B.-12C.8 D.12答案 D2.(2018河北五个一联盟联考,3)已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是l1平行于l2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C3.(2018河南顶级名校第二次联考,6)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则√(m-a)2+(n-b)2的最小值为()A.√3B.√2C.1D.12答案 C考法二直线和圆的位置关系4.(2018河北衡水中学五调,13)设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦长为2√3,则a的值是. 答案05.(2018山西晋中二模,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.答案√76.(2019皖南八校联考,14)设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则|AB|=.答案√67.(2019河北衡水金卷,14)过M(-3,1),N(0,a)两点的光线经y轴反射后所在直线与圆x2+y2=1存在公共点,则实数a的取值范围为.答案[-54,1]考法三圆和圆的位置关系8.(2018河南郑州外国语中学3月调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则1 a2+1b2的最小值为()A.2B.4C.8D.9答案 D9.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为. 答案(x+3)2+(y+3)2=1810.(2019河北冀州中学第五次模拟,14)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为.答案 4【五年高考】1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]答案 A2.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.√2D.2√2答案 C3.(2018北京,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案 C4.(2018课标全国Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案2√25.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.答案4π6.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.答案 47.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A的横坐标为.答案 38.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1·-1x2=-12,所以不能出现AC⊥BC的情况.(2)证明:BC的中点坐标为(x22,12),可得BC的中垂线方程为y-12=x2(x-x22).由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2.联立得{x=−m2,y-12=x2(x-x22),又x22+mx2-2=0,可得{x=−m2,y=−12.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-m2,-12 ),半径r=√m2+92.故圆在y轴上截得的弦长为2√r2-(m2)2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.教师专用题组1.(2014课标Ⅱ,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.[-12,12] C.[-√2,√2] D.[-√22,√22]答案 A2.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案 B3.(2014安徽,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.(0,π6] B.(0,π3] C.[0,π6] D.[0,π3]答案 D4.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案 B5.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.答案0或66.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于···圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.解析本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=45 .所以PB=BDcos∠PBD =1245=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)不能,理由如下:①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B,E)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连接AD,由(1)知AD=√AE 2+ED 2=10, 从而cos ∠BAD=AD 2+AB 2-BD 22AD ·AB =725>0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F,OF ≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求. 设P 1为l 上一点,且P 1B ⊥AB,由(1)知,P 1B=15, 此时P 1D=P 1Bsin ∠P 1BD=P 1Bcos ∠EBA=15×35=9; 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中,PB>P 1B=15. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=√QA 2-AC 2=√152-62=3√21. 此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且CQ=3√21时,d 最小,此时P,Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3√21. 因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为(17+3√21)百米. 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l 的方程为y=9,点A,B 的纵坐标分别为3,-3.因为AB 为圆O 的直径,AB=10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB,所以直线PB 的斜率为-43,直线PB 的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=√(-13+4)2+(9+3)2=15. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x ≤4). 在线段AD 上取点M (3,154),因为OM=√32+(154)2<√32+42=5,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F,OF ≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求. 设P 1为l 上一点,且P 1B ⊥AB,由(1)知,P 1B=15,此时P 1(-13,9); 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中,PB>P 1B=15. 由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=√(a -4)2+(9−3)2=15(a>4),得a=4+3√21, 所以Q(4+3√21,9).此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3√21,9)时,d 最小,此时P,Q 两点间的距离PQ=4+3√21-(-13)=17+3√21. 因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为(17+3√21)百米.7.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.解析 (1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y).由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM.因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.评析 本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性质可简化运算. 8.(2013四川,20,13分)已知圆C 的方程为x 2+(y-4)2=4,点O 是坐标原点.直线l:y=kx 与圆C 交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)设Q(m,n)是线段MN 上的点,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.请将n 表示为m 的函数.解析 (1)将y=kx 代入x 2+(y-4)2=4中,得 (1+k 2)x 2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k 2)×12>0,得k 2>3,所以,k 的取值范围是(-∞,-√3)∪(√3,+∞).(2)因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1),(x 2,kx 2),则|OM|2=(1+k 2)x 12,|ON|2=(1+k 2)x 22.又|OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2,由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得2(1+k 2)m 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22, 即2m 2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22.由(*)式可知,x 1+x 2=8k1+k2,x 1x 2=121+k2,所以m 2=365k 2-3.因为点Q 在直线y=kx 上,所以k=n m,代入m 2=365k 2-3中并化简,得5n 2-3m 2=36.由m 2=365k 2-3及k 2>3,可知0<m 2<3,即m ∈(-√3,0)∪(0,√3),根据题意知,点Q 在圆C 内,则n>0,所以n=√36+3m25=√15m 2+1805.于是,n 与m 的函数关系为n=√15m 2+1805(m ∈(-√3,0)∪(0,√3)).评析 本题主要考查直线、圆、函数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程等数学思想,并考查思维的严谨性.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2019广东广州调研,4)a=3是直线ax+2y+3a=0和3x+(a-1)y=a-7平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C2.(2019安徽合肥调研,8)已知直线l:x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=r 2(r>0)相交所得的弦长为2√2,则圆C 的半径r=( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.4 答案 B3.(2019湖南五市十校联考,6)两圆x 2+y 2+4x-4y=0和x 2+y 2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN 的长为( ) A.3√55B.4C.6√55D.12√55答案 D4.(2019河南信阳二模,9)若直线y=kx+1(k ≠0)与圆x 2+(y-1)2=1相交于A,B 两点,C 点坐标为(3,0),若点M(a,b)满足MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则a+b 等于( ) A.1 B.52 C.53 D.73答案 C5.(2019豫西南五校3月联考,7)已知圆C:(x-2)2+y 2=4,直线l 1:y=√3x,l 2:y=kx-1,若l 1,l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2,则k 的值为( )A.√3B.1C.12 D.√33答案 C6.(2019赣中南五校4月联考,8)已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A,B 两点,O 为坐标原点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32,则实数m=( )A.±1B.±√32C.±√22D.±12答案 C7.(2020届广东珠海9月摸底测试,11)已知点M(-1,0),N(1,0),若直线l:x+y=m 上存在点P 使得PM ⊥PN,则实数m 的取值范围是( )A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-√2,√2]D.(-√2,√2) 答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)若三条直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:x+y+a=0不能围成三角形,则a 的可能取值为( ) A.a=1 B.a=-1 C.a=-2 D.a=2 答案 ABC9.(改编题)已知两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a=()A.±2√13B.±2√5C.0D.以上均有可能答案BC三、填空题(每题5分,共30分)10.(2020届山东滕州一中10月月考)过点M(12,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,直线l的方程为.答案2x-4y+3=011.(2020届重庆第二外国语学校第三次质量检测,15)若直线ax+by=1(a,b都是正实数)与圆x2+y2=4相交于A,B两点,当OA⊥OB(O 是坐标原点)时,ab的最大值为.答案1412.(2020届江苏南京六校联合体10月联考,13)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a为实数).若圆O与圆M上分别存在点P,Q,使得∠OQP=30°,则a的取值范围为.答案[-65,0]13.(2020届广东惠州综合高级中学月考,15)曲线y=1+√4−x2(|x|≤2)与直线y=k(x-2)+4只有一个公共点时,实数k的取值范围是.答案{k|k=512或k>34}14.(2020届江苏南京期中,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+y2=4,动点P在直线x+√3y-2=0上的两点E,F之间,过点P分别作圆O,圆C的切线,切点为A,B,若满足PB≥2PA,则线段EF的长度为.答案2√39315.(2020届江苏南京六校联合体期中检测,13)已知圆C1:(x+1)2+(y-6)2=25,圆C2:(x-17)2+(y-30)2=r2.若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A,B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是.答案[5,55]四、解答题(共10分)16.(2018河北武邑中学4月模拟,20)已知☉H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,且☉H截x轴所得线段的长为2.(1)求☉H的方程;(2)若存在过点P(a,0)的直线与☉H相交于M,N两点,且|PM|=|MN|,求实数a的取值范围.解析(1)设☉H的方程为(x-m)2+(y-n)2=r2(r>0),因为☉H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,所以圆心H(m,n)一定是两互相垂直的直线x-y-1=0,x+y-3=0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m=2,n=1.又☉H截x轴所得线段的长为2,所以r2=12+n2=2.所以☉H的方程为(x-2)2+(y-1)2=2.(2)设N(x0,y0),由题意易知点M是PN的中点,所以M(x0+a2,y02).因为M,N两点均在☉H上,所以(x0-2)2+(y0-1)2=2①,(x0+a2-2)2+(y02-1)2=2,即(x0+a-4)2+(y0-2)2=8②,设☉I:(x+a-4)2+(y-2)2=8,由①②知☉H与☉I:(x+a-4)2+(y-2)2=8有公共点,从而2√2-√2≤|HI|≤2√2+√2,即√2≤√(a-2)2+(1−2)2≤3√2,整理可得2≤a2-4a+5≤18,解得2-√17≤a ≤1或3≤a ≤2+√17,所以实数a 的取值范围是[2-√17,1]∪[3,2+√17].思路分析 (1)先设出圆H 的标准方程,然后结合已知得到圆心坐标,最后由弦长求出半径即可;(2)先设出点N 的坐标,依据M 是PN 的中点,得到点M 的坐标,将N 、M 的坐标代入圆H 的方程,进而得两相应圆有公共点,由此确定a 的取值范围.§9.3 椭圆基础篇固本夯基【基础集训】考点一 椭圆的定义及标准方程1.已知椭圆y 2m +x 22=1的一个焦点为(0,12),则m=( ) A.1 B.2 C.3 D.94答案 D2.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3,则C的方程为( )A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 答案 A3.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆y 24+x 23=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A4.椭圆x 29+y 225=1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m,当m 取最大值时,点P 的坐标是 . 答案 (-3,0)或(3,0)考点二 椭圆的几何性质5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是( ) A.13B.√33C.√34D.2√23答案 D6.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A.√36B.13C.12D.√33答案 D7.设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(b ≥√32a >0),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax 2+bx-c=0的两实根分别为x 1,x 2,则x 12+x 22的取值范围是( )A.(0,32]B.(1,32] C.(1,34] D.(1,74] 答案 D考点三 直线与椭圆的位置关系8.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆x 22+y 2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为( ) A.√22B.√55C.12D.15答案 B9.椭圆x 225+y 216=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,弦AB 过F 1,若△ABF 2的内切圆周长为π,A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|的值为( ) A.53 B.103C.√103D.√53答案 A10.已知P(1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,且弦与椭圆交于A 、B 两点,则此弦所在直线的方程为 . 答案 x+2y-3=011.设F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b. 解析 (1)根据题意知F 1(-c,0),M (c,b 2a). 由k MN =34得b2a -0c -(-c)=34, 即2b 2=3ac,将b 2=a 2-c 2代入得2(a 2-c 2)=3ac,2c 2-2a 2+3ac=0, 2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),故C 的离心率为12.(2)由题意,知原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a=4,即b 2=4a,① 由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|. 设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则 {2(−c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=−32c,y 1=−1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.②。