与名师对话2019届高三数学(文)一轮课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49含解析

[学生用书P260(单独成册)]一、选择题1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A ．由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A ．因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝22．所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8．故选A ．3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B ．圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1．4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D ．由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2． 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)，B (0，1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0．求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2．故满足条件的点P 有2个，选C ．6．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，△P AB 的面积的最大值为8，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3， 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a ．再根据AB ＝4，可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，所以a ＝1，故选A ．二、填空题7．已知动点M (x ，y )到点O (0，0)与点A (6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知|MO ||MA |＝2，即x 2＋y 2（x －6）2＋y 2＝2，化简整理得(x －8)2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆． 所以其面积为S ＝πR 2＝16π． 答案：16π8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4．答案：3π49．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)， 半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝510．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6． 答案：(0，6] 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40． 12．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C (2，7)，半径r ＝22．(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210． (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2，3)所在直线的斜率， 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大、最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－3．所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．1．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5．因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85．(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165． 2．在△OAB 中，已知O (0，0)，A (8，0)，B (0，6)，△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，P 是圆上一点．(1)求点P 到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2，求S 的最大值和最小值．解：(1)由题意得圆心(2，2)到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32＝255＝5>2，故点P 到直线l 的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3．(2)设点P 的坐标为(x ，y )，则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88，而(x －2)2≤4，所以－2≤x －2≤2， 即0≤x ≤4，所以－16≤－4x ≤0， 所以72≤S ≤88， 即当x ＝4时，S min ＝72， 当x ＝0时，S max ＝88．。

章末总结双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．P42A组T7一、选择题1．(必修2 P110B组T5改编)已知A(1，2)，B(3，4)，点P在x轴的负半轴上，O为坐标原点，若△P AB的面积为10，则|OP|＝()A．9B．10C．11 D．12解析：选C．设P(m，0)(m<0)，P到直线AB的距离为d，因为|AB |＝（3－1）2＋（4－2）2＝22， 由S △P AB ＝10得12×22×d ＝10．所以d ＝52． 又直线AB 的方程为x －y ＋1＝0， 所以|m ＋1|2＝52．解得m ＝－11或m ＝9(舍去)， 所以|OP |＝|m |＝11．选C ． 2．(必修2 P 133A 组T 8改编)Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1 的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D ．法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2．所以|AP |2＋|AQ |2＝2|AP |2＝2(12＋22)＝10．选D ．法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)，P (－1，0)，Q (1，0) 设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1． 即x 20＋y 20＝4．所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2＝2×4＋2＝10．即|AP |2＋|AQ |2＝10．故选D ． 3．(选修1-1 P 35例3改编)如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA ＝45°，tan ∠MAB ＝13，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．32 C ．33D ．63解析：选D ．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝13(x ＋a )，y ＝－x ＋a ．联立解得M 的坐标为⎝⎛⎫a 2，a 2，所以⎝⎛⎭⎫a 22a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22b 2＝1，化简得a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以c 2a 2＝23，所以c a ＝63．故选D ．4．(选修1-1 P 61例4改编)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B ．设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α． 则BE ＝m |cos α|，所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m (1－|cos α|)， 所以|cos α|＝AD AC＝m （1－|cos α|）2m ．解得|cos α|＝13．由抛物线焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝81－19＝9．故选B ．或：由|cos α|＝13得tan α＝±22．所以直线l 的方程为y ＝±22(x －2)，代入y 2＝8x 得 8(x 2－4x ＋4)＝8x ，即x 2－5x ＋4＝0．所以x A ＋x B ＝5，则|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9．故选B ． 二、填空题5．(选修1-1 P 54B 组T 1改编)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为__________________．解析：由于椭圆x 249＋y 224＝1的焦点为(±5，0)，所以可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以a 2＋b 2＝25．① 由渐近线方程4x ＋3y ＝0得 b a ＝43，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为x 29－y 216＝1．答案：x 29－y 216＝16．(选修1-1 P 68A 组T 5改编)已知α∈(0，π)，若曲线C ：x 2＋y 2 cos α＝1的离心率为22，则α＝________． 解析：由题意知，曲线C 为椭圆， 所以cos α∈(0，1)，且C 的焦点在y 轴上． 所以a 2＝1cos α，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1cos α－1．由e ＝22得c 2a 2＝12，即1cos α－11cos α＝12．所以cos α＝12，所以α＝π3．答案：π3三、解答题7．(选修1-1 P 36练习T 3改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，过F 1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆的左，右顶点，若直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点Q 是椭圆上异于A ，B 的一个动点，直线AQ 交l 于点M ，过点M 垂直于QB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由椭圆的定义知|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，|FF 1|＋|FF 2|＝2a ，又已知△EFF 2的周长为8，所以4a ＝8，故a ＝2． 又e ＝c a ＝22，故c ＝2，所以b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1．(2)由题意A (－2，0)，B (2，0)，直线l ：x ＝2，显然直线AQ 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线AQ 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），可得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x ＝2，可得点M (2，4k )．又B (2，0)，则k BQ ＝4k2k 2＋12－4k22k 2＋1－2＝－12k ，所以k m ＝2k ， 故直线m 的方程为y －4k ＝2k (x －2)，即y ＝2kx ， 所以直线m 过定点(0，0)．8．(选修1-1 P 64A 组T 2(1)、P 41练习T 3(1)改编)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32． (1)分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；(2)经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，切线l 1与l 2相交于点M ．证明：AB ⊥MF ． 解：(1)由已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，可得抛物线C 的方程为x 2＝4y ．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ．由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不符合题意． 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4．因为抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，所以过抛物线C 上A ，B 两点的切线方程分别是y －y 1＝12x 1(x －x 1)，y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 1x －14x 21，y ＝12x 2x －14x 22，解得两条切线l 1，l 2的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24，即M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1， 所以FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 21)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0． 所以AB ⊥MF ．。

课时跟踪训练(五十三)[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2(k 2＋2)k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x[解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A. [答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________．[解析] 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案] 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2psin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝P A →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)， ∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，P A →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝P A →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.[答案] 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－(a ＋c )24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2. [答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时， l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

[学生用书P268(单独成册)]一、选择题1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A ．2．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B ．3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32解析：选D ．法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32．故选D ． 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32．故选D ．4．(2017·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解析：选D ．由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba ＝tan 60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a＝1，b ＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1．5．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：选B ．因为∠F 1AF 2＝90°， 故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ， 故10a 2＝4c 2，故c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102．6．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4C ．13D ．15解析：选C ．由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ， |AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2， |AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，因为|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ， 所以a ＝k ，所以|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a ， 又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2， 即13a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝13．二、填空题7．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为____________．解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1．答案：x 24－y 212＝18．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169．又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53．答案：539．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1．又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2．答案：210．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为________．解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝ (|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝ (|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝ 2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13． 答案：13 三、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且点(4，－10)，点M (3，m )都在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ． 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6． 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：设F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 则MF 1→＝(－23－3，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )． 所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2，因为M 点在双曲线上， 所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0， 所以MF 1→·MF 2→＝0．(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43． 由(2)知m ＝±3．所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6．12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3．(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23， 所以一条渐近线方程为y ＝b23x ．即bx －23y ＝0． 所以|bc |b 2＋12＝3． 所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0．将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12．所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

[学生用书P269(单独成册)]一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义， x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2， 所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°． 又AP ∥MF ，所以∠P AF ＝60°． 又|P A |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′， 则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|≥|AA ′|， 即当P 点为AA ′与抛物线交点时， |P A |＋|PF |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫14，1． 故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P＝±22，所以P ⎝⎛⎭⎫14，±22． 答案：⎝⎛⎭⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ， AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上， 故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线 x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)， 因为|P A |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53． 答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°， 得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34．所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为 x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立， 消去x 得y 2－4my －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24．所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ．则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。

课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A. B. C ．4 D ．33053223[解析]　由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝，则10圆心到直线的距离d ＝＝，所以弦长为2＝2|1－9＋3|12＋(－3)2102r 2－d 2＝.10－10430[答案]　A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋)和圆3C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. C.或0 D.或03333[解析]　因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝＝1，|－1＋k |＝，解得k ＝0或k ＝，故选|－1＋3k |1＋k 231＋k 23D.[答案]　D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案]　A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为( )A ．49πB ．36πC ．7πD ．6π[解析]　圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C (a,1)到直线y ＝ax 的距离为＝，解得a 2＝7，所以|a 2－1|a 2＋132a 2－1圆C 的面积为π()2＝6π，选D.a 2－1[答案]　D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O ：x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( )A. B. C ．2 D ．25656[解析]　由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0.又圆心O (0,0)到公共弦所在直线2x ＋y －15＝0的距离为＝3，则两圆的公共弦长为2＝2.故选C.|－15|22＋12550－(35)25[答案]　C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A. B. C. D ．222266[解析]　圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线2l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝＝，所以|－2－2＋3|212直线m 被圆C 所截得的弦长为2＝.故选C.2－126[答案]　C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析]　圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－，则弦MN 所12在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案]　2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝__________.[解析]　圆C 1和圆C 2的标准方程分别为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3和2.＝5，解得(m ＋1)2＋(m ＋2)2m ＝2或m ＝－5.[答案]　2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析]　直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r ＝＝，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1－2)2＋(0＋1)22[答案]　(x －1)2＋y 2＝2三、解答题10．直线l 的方程为mx －y ＋m ＋2＝0(m ∈R )，圆O 的方程为x 2＋y 2＝9.(1)证明：不论m 取何值，l 与圆都相交；(2)求l 被圆截得的线段长的最小值．[解]　(1)证明：证法一：圆心O 到l 的距离为d ＝，圆|m ＋2|1＋m 2O 的半径长为3.若l 与圆相交，则有<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)|m ＋2|1＋m 2⇔8m 2－4m ＋5>0⇔82＋>0，(m －14)92显然82＋>0(对任意的m )总成立，(m －14)92<3总成立，|m ＋2|1＋m 2∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝＝，∴l 被圆截得的线段长的最小值为212＋225＝4.9－(5)2[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以为中点的弦的长为( )(a 4，－a4)A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]　因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以＝(1，－1)．又点(1，－1)(a 4，－a4)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝＝1，圆(1－1)2＋(－1＋2)2C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝，5所以圆C 中以为中点的弦的长为(a 4，－a 4)2＝2×＝4.故选D.r 2－d 25－112．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线＋x 4＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，y 2则直线AB 经过定点( )A. B.(12，14)(14，12)C.D.(34，0)(0，34)[解析]　因为点P 是直线＋＝1上的一动点，所以设x 4y 2P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是，且半径的平方r 2＝(2－m ，m 2)，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋2＝(4－2m )2＋m 24(y －m 2)，①(4－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由Error!得Error!所以直线AB 过定点.故选B.(14，12)13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析]　由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝＝，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直|－k －2＋1－k |k 2＋15线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝.12[答案]　1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且＝2，则直线l 的方程为____________________．BM → MA → [解析]　解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(1－x 2，－y 2)，＝(x 1－1，y 1)，BM → MA → y 1＋y 2＝－，①2mm 2＋1y 1y 2＝－.②4m 2＋1因为＝2，所以－y 2＝2y 1，③BM → MA →联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝.11＋m 2又＝2，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝，BM → MA → 5＋＝2(－)，即3r 2－d 2|OM |2－d 2r 2－d 2|OM |2－d 2＝，|OM |2－d 2r 2－d 2所以9＝5－，解得m 2＝1，(1－11＋m 2)11＋m 2又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案]　x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.OM → ON → [解]　(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以<1.|2k －3＋1|1＋k 2解得<k <.4－734＋73所以k 的取值范围为.(4－73，4＋73)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4(1＋k )1＋k 271＋k 2·＝x 1x 2＋y 1y 2OM → ON → ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝＋8.4k (1＋k )1＋k 2由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为4k (1＋k )1＋k 2y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解]　(1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即＝2，解得k ＝，|3k －4－k |k 2＋134故直线l 的方程为y ＝(x －1)，即3x －4y －3＝0.34综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝.∵S △CPQ ＝d ×2＝d ·＝＝|2k －4|1＋k 2124－d 24－d 24d 2－d 4，∴当d ＝时，S △CPQ 取得最大值2.－(d 2－2)2＋42∴d ＝＝，解得k ＝1或k ＝7.|2k －4|1＋k 22故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析]　由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－≤a ≤0.65[答案]　[－65，0]。

课时跟踪训练(四十六)[基础巩固]一、选择题1、(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合、故选D 、[答案] D2、(2017·江西南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A 、3x ＋4y ＋5＝0B 、3x ＋4y －5＝0C 、－3x ＋4y －5＝0D 、－3x ＋4y ＋5＝0[解析] 在所求直线上任取一点P (x ,y ),则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ,－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上,所以3x －4(－y )＋5＝0,即3x ＋4y ＋5＝0,故选A 、[答案] A3、(2017·山西忻州检测)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A 、x ＋2y －4＝0B 、x －2y ＝0C 、2x －y －3＝0D 、2x －y ＋3＝0[解析] 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,所以直线l 的斜率为2,且直线l 过点(2,1),故选C 、[答案] C4、(2018·河北师大附中)三条直线l 1：x －y ＝0,l 2：x ＋y －2＝0,l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形,则k 的取值范围为( )A 、{k |k ≠±5且k ≠1}B 、{k |k ≠±5且k ≠－10}C 、{k |k ≠±1且k ≠0}D 、{k |k ≠±5}[解析] 三条直线围成一个三角形,则三条直线互不平行,且不过同一点,∴－k ±5≠0,且5×1－k －15≠0,∴k ≠±5且k ≠－10、故选B 、[答案] B5、若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限,则m 的取值范围是( )A 、{m |m <2}B 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m >32 C 、⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <－32 D 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<m <2 [解析]解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ，得x ＝2m ＋37,y ＝3m －621＝m －27、∵其交点在第四象限,∴2m ＋37>0,且m －27<0、 解得－32<m <2、[答案] D6、两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行,则它们之间的距离为( )A 、4B 、21313 C 、52613D 、72010[解析] 由题意知,m ＝2,把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0,则两平行线间的距离为d ＝|1－(－6)|62＋22＝72010、[答案] D 二、填空题7、直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________、[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0,直线l 2：3x ＋y －23＝0,联立方程组可求得x ＝1,y ＝3、[答案] (1,3)8、直线2x －y －4＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π4所得直线的方程是________、[解析] 由已知得所求直线过点(0,－4),且斜率k ＝2＋tan45°1－2tan45°＝－3,故所求直线的方程为y ＋4＝－3x ,即3x ＋y ＋4＝0、[答案] 3x ＋y ＋4＝09、过点P (－4,2),且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________、[解析] 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k ,则其方程为y －2＝k (x ＋4),即kx －y ＋4k ＋2＝0,由点到直线的距离公式得|k －1＋4k ＋2|k 2＋1＝5,解得k ＝125,此时直线方程为12x －5y ＋58＝0、当直线的斜率不存在时,x ＝－4也满足条件、综上可知所求直线方程为12x －5y ＋58＝0或x ＝－4、[答案] 12x －5y ＋58＝0或x ＝－4 三、解答题10、已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0,求满足下列条件的a ,b 的值、(1)l 1⊥l 2,且直线l 1过点(－3,－1)；(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等、 [解] (1)∵l 1⊥l 2,∴a (a －1)－b ＝0、又∵直线l 1过点(－3,－1),∴－3a ＋b ＋4＝0、 故a ＝2,b ＝2、(2)∵直线l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在、 ∴k 1＝k 2,即ab ＝1－a 、又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b ＝b 、故a ＝2,b ＝－2或a ＝23,b ＝2、[能力提升]11、(2017·武汉调研)在直角坐标系中,过点P (－1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )A 、x －2y ＋5＝0B 、2x ＋y ＋4＝0C 、x －3y ＋7＝0D 、3x －y －5＝0[解析] 所求直线过点P 且与OP 垂直时满足条件,因为直线OP 的斜率为k OP ＝－2,故所求直线的斜率为12,所以所求直线方程为y －2＝12(x ＋1),即x －2y ＋5＝0,选A 、[答案] A12、(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A 、(－2,4)B 、(－2,－4)C 、(2,4)D 、(2,－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0、同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3),∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)·(x ＋4),即x －3y ＋10＝0、联立得⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)、故选C 、[答案] C13、(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m )且 Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c 的最小值为( )A 、92B 、94 C 、1 D 、9[解析] 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m ),所以a ＋bm ＋c －2＝0,又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,∴(4－1)2＋(－m )2＝3,解得m ＝0、∴a ＋c ＝2,则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥ 12⎝⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94,当且仅当c ＝2a ＝43时取等号,故选B 、 [答案] B14、过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2,求直线l 的方程、[解] 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1),由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4、∵|AB |＝2, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5k 3k ＋42＝2,整理,得7k 2－48k －7＝0,解得k 1＝7或k 2＝－17、因此,所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0、。

课时跟踪训练(五十二)[基础巩固]一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，即c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4.[答案] B2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．9C ．10D ．18[解析] 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p ＝10.[答案] C3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[解析] 抛物线C 的焦点坐标为F (1,0)，PF ⊥x 轴，∴x P ＝x F ＝1.又∵y 2P ＝4x P ，∴y 2P ＝4.∵y P ＝kx P (k >0)，∴y P ＝2，∴k ＝x P y P ＝2.故选D.[答案] D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3[解析] 解法一：依题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.解法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos60°＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.[答案] C5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π，选B.[答案] B6．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p >0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.[答案] C二、填空题7．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．[解析]由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值．由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案] 28．(2017·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF 的面积为________．[解析]由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2，22m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝2，故△PFK的面积S＝4×22×2×12＝8.[答案]89．(2016·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作P A⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.[解析]设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233，设P(x0，y0)，则x0＝±233，代入x2＝4y中，得y0＝13，从而|PF|＝|P A|＝y0＋1＝43.[答案]4 3三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．[解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. [能力提升]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D12．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝R 2(R >0)，抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，A (m ，n )，∵抛物线y 2＝2px 关于x 轴对称，圆关于x 轴对称，且|AB |＝42，∴|y A |＝22，∴x A ＝y 2A 2p ＝4p .∵A 在圆上，∴16p 2＋8＝R 2.①由抛物线y 2＝2px 知，它的准线方程为x ＝－p 2， ∵|DE |＝25，∴R 2＝p 24＋5.②联立①②可解得p ＝4，∴C 的焦点到准线的距离为4.故选B.[答案] B13．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] 解法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.解法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.[答案] 614．(2017·山东潍坊期末)已知点A 为抛物线M ：x 2＝2py (p >0)与圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2在第二象限的一个公共点，满足点A 到抛物线M 准线的距离为r .若抛物线M 上动点到其准线的距离与到点N 的距离之和的最小上值为2r ，则p ＝________.[解析] 圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2的圆心N (－2,0)，半径为r .设抛物线x 2＝2py 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则|AN |＋|AF |＝2r . 由抛物线M 上一动点到其准线与到点N 的距离之和的最小值为2r ，即动点到焦点F 与到点N 的距离之和的最小值为2r ，可得A ，N ，F 三点共线，且A 为NF 的中点．由N (－2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 4，代入抛物线M 的方程可得，1＝2p ·p 4，解得p ＝ 2.[答案] 215．(2017·河北廊坊期末质量监测)我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C ：x 2＝y 的图象(如图)，过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线，两切线交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交C 于点N ，拖动点B 在C 上运动，会发现|NP ||NF |是一个定值，试求出该定值．[解] 由题意，得线段AB 是过抛物线x 2＝y 焦点F 的弦．过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两切线相交于P 点，则P 点在抛物线的准线上．下面给出证明：由抛物线C ：x 2＝y ，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，直线l ：y ＝kx ＋14.将直线l 的方程代入抛物线C 的方程x 2＝y ，得x 2－kx －14＝0.∴x 1x 2＝－14.①又∵抛物线C 的方程为y ＝x 2，求导得y ′＝2x ，∴抛物线C 在点A 处的切线的斜率为2x 1，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)；②抛物线C 在点B 处的切线的斜率为2x 2，切线方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)．③由①②③得y ＝－14.∴点P 的轨迹方程得y ＝－14，即点P 在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知|NF |＝|NP |，∴|NP ||NF |是一个定值1.16．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．[解] (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎨⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1. 由PM →＝λP A →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎨⎧ y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32(λ－μ)，解得⎩⎨⎧ λ＝(y 0＋2)29，μ＝(y 0－1)29， 则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.[延伸拓展](2017·广西玉林陆川中学期末)从抛物线y 2＝4x 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点．若直线AB 的倾斜角为π3，则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.233 C.433 D ．2 3[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (－1，y )，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ∵直线AB 的倾斜角为π3，∴4y 1＋y 2＝3，∴y 1＋y 2＝433. 切线P A 的方程为y －y 1＝2y 1(x －x 1)，切线PB 的方程为y －y 2＝2y 2(x －x 2)，即切线P A 的方程为y ＝2y 1x ＋12y 1，切线PB 的方程为y ＝2y 2x ＋12y 2.∴y 1，y 2是方程t 2－2yt ＋4x ＝0两个根，∴y 1＋y 2＝2y ＝433.∴y ＝233.故选B.[答案] B。