(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 五十二 8.7 抛物线

第八章平面解析几何 8.2 直线的交点坐标与距离公式【巩固强化】1. 已知两直线方程分别为，，若，则（B）A. 2B.C.D.解：因为，所以，解得.故选.2. 点到直线的距离为（B）A. B. C. D.解：点到直线的距离为.故选.3. 已知点，，则线段的垂直平分线方程为（B）A. B. C. D.解：由题设，知，故线段的垂直平分线的斜率为2.因为线段的中点坐标为,，所以线段的垂直平分线方程为，整理得.故选.4. 已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大1，则直线的方程为（A）A. B. C.D.解：（方法一）由题意,设,则直线在轴上的截距为,在轴上的截距为.则,解得.所以直线的方程为,即.（方法二）若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不符合题意.设直线的方程为，其中且，则直线的斜率为.解得.所以直线的方程为，即.故选.5. 点关于直线对称的点的坐标为（A）A. B. C. D.解：设对称点的坐标为，则,，所以,.故选.6. 若两平行直线与之间的距离是，则（C）A. 0B. 1C.D.解：因为，所以解得所以直线.又，之间的距离是，所以，解得或（舍去）.所以.故选.7. 已知点和到直线的距离相等，则或.解：（方法一）利用点到直线的距离公式,可得,解得或.（方法二）直线与直线平行,或过线段的中点,即或,解得或.故填或 .8. 已知直线经过直线与的交点.（1）点到的距离为3，求的方程；解：经过两已知直线交点的直线系方程为，即，所以.解得或.所以的方程为或.（2）求点到的距离的最大值.[答案]由解得交点.如图，过作任始终线，设为点到的距离，则（当时等号成立）.所以.【综合运用】9. 已知直线，，且，则的最小值为（A）A. B. C. D.解：因为，所以，即.所以.可知当，时，取得最小值故选.10. 已知角，点到直线的距离为，则（A）A. B. C. D.解：由题意,得，则或，可得（舍）或，即.又，所以.故选.11. 【多选题】若三条直线，,能围成一个三角形，则的值不行能是（ACD）A. B. 1 C. D.解：由得所以两条直线交于点.当也过点时，有.解得.此时三条直线交于同一点，不能构成三角形.当与平行时，有，则，不能构成三角形.当与平行时，有，则，不能构成三角形.综上,且且.故选.12. 已知光线经过直线和的交点，且射到轴上一点后被轴反射.（1）求点关于轴的对称点的坐标；解：由解得所以.所以点关于轴的对称点的坐标为.（2）求反射光线所在的直线的方程;[答案]（方法一）设直线的倾斜角为 ,则直线的倾斜角为 .易知,所以直线的斜率.故直线的方程为,即.（方法二）由题意,知反射光线所在直线的方程即直线的方程.易知直线的方程为,整理得.故直线的方程为.（3）求与直线距离为的直线方程.[答案]设与直线平行的直线方程为.由两平行线间的距离公式,得.解得或.故所求直线方程为或.【拓广探究】13. 已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则13.解：对于直线，令，得,所以.直线可化为.令,得,所以.因为，所以.因为与相交于点，所以是以为斜边的直角三角形.所以.故填13.。

8・5椭E课后作业孕谀［重点保分两级优选练］A级一、选择题2 1・（2018 •江西五市八校模拟）已知正数/〃是2和8的等比中项，则圆锥曲线/+~=1 m的焦点坐标为（）A.（土0）B. （0, 土羽）C. （±萌，0）或仕0）D. （0, 土羽）或仕0）答案B解析因为正数/〃是2和8的等比中项，所以駢=16,则〃尸4,所以圆锥曲线/+-= m2 _1即为椭圆%+f=l,易知其焦点坐标为（0, 土寸5）,故选B.32.（2017 •湖北荆门一模）已知〃是△肋C的一个内角，且sin 〃+cos 0 =-,则方稈/sin 0 —ycos〃 = 1 表示（）A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在％轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆答案D9 7解析因为（sin 0 +cos 〃）'=l+2sin 〃cos 0 =77,所以sin 〃cos 0 = —~<0,结合3〃w(0, JI ),知sin 〃>0, cos 〃〈0,又sin 〃+cos 〃 =[>(),所以sin 〃>—cos 0>O,] 1 2 2故---- >—-7>0,因为Ain ^-/cos 0 = \可化为V=1,所以方程— cos u sm u ] ]cos & sin 0xsin 〃一ycos 〃 = 1表示焦点在y轴上的椭圆.故选D.3.（2018 •湖北八校联考）设凡用为椭圆1的两个焦点，点戶在椭圆上，若线\PFA 段〃的中点在y轴上，则=的值为（5A•肓)5B-B5D-9答案B解析 由题意知自=3, b=弟,c=2.设线段〃的中点为必则有如〃/雄，V OMA_F^, ・•・％丄F\F?.,E 5/. I PFi I =一=孑又・・•丨朋丨+丨朋I =2^=6,a o・・・|〃|=2日一|处|=¥，扌X^=鲁，故选B.x y _4. （2017 •全国卷III ）已知椭圆a -+4=l （a>Z7>0）的左、右顶点分别为几 血 且以a b线段畀/2为直径的圆与直线bx-ay+2ab= 0相切，则C 的离心率为（）1 D -3答案A解析 由题意知以昇必2为直径的圆的圆心为（0, 0）,半径为日. 又直线bx — ay+2ab=^与圆相切，•••圆心到直线的距离d=~F==a,y/a + b1 D -I 答案# / X V因为椭圆飞+〒=1 （日〉力>0）与双曲线飞一==1 （刃>0, 〃>0）有相同的焦点（一G 0）和 a bm n （c, 0）,所以 C=a —li=m +因为c 是日，/〃的等比中项，/是2〃,与d 的等差中项，所以c=am, 2n=2m + c ,所以殳 9 c cc 1 c 1 卜刁所以—+y=c,化为7=了所以尸一=孑故选C.Z d Z d T 3 Z6. （2017 •荔湾区期末）某宇宙飞船运行的轨道是以地球屮心为一焦点的椭圆，测得近地 点距地面刃千米，远地点距地面/7千米，地球半径为厂千米，则该飞船运行轨道的短轴长为解得 a=yfib,b 1 訂乔c J 孑 e=——=a ax y 5.已知椭圆~+y?= 1（臼〉方＞0）与双|tt|线厂汗iS>o,讪有相同的焦点（-小和（。

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答案
y21＝4x1， ① y22＝4x2， ②
所以 y1－2 ＝－ y2－2 ，所以
41y21－1
41y22－1
y1＋2＝－(y2＋2)．
所以 y1＋y2＝－4.
由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，
所以 kAB＝yx11－ －yx22＝y1＋4 y2＝－1(x1≠x2)．
A 组 基础关
1．点 M(5,3)到抛物线 y＝ax2(a≠0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方
程是( )
A．y＝12x2
B．y＝12x2 或 y＝－36x2
C．y＝－36x2
D．y＝112x2 或 y＝－316x2
答案 D
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答案
解析
抛Байду номын сангаас线
y＝ax2(a≠0)的方程可化为
第九页，共四十一页。
答案
解析 设抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)，过点 P(x0，y0)作准线 l：x＝－1 的垂线，垂足为 N，则 x0＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|CF|－2＝
1＋22＋42－2＝5－2＝3，当且仅当 C，P，F 三点共线且点 Q 在线段 CF 上时取等号，则 x0＋|PQ|的最小值是 3.故选 C.
A．2
B．4
3 C.2
5 D.2
答案 D
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答案
解析 ∵OD⊥AB，∴kOD·kAB＝－1.又 kOD＝42＝2，∴kAB＝－12，∴直线
AB 的方程为 y－4＝－12(x－2)，即 y＝－12x＋5，由xy2＝＝－2p12yx，＋5， 消去 y 可

答案 B
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答案
解析 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点 P′(x′，y′)必在直线l上．由xy′ ′＋ ＋xy＝ ＝22， ， 得P′(2－x,2－y)，所以4(2－x) ＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.
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2x＋y＋1＝0， x＋y－1＝0，
得xy＝ ＝3－，2，
所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝43－＋32＝15，
所以直线l的斜率kl＝－5.
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12/11所/2021以1＋2c＝±2，解得c＝2或－6.
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答案 解析
10．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的 直线方程是________．
答案 2x＋y－14＝0
解析
由A，B两点得kAB＝
1 2
，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故
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答案 解析
2．若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0互相平行，则m 的值等于( )
A．0或－1或3 B．0或3 C．0或－1 D．－1或3
答案 D
解析 当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0,3x＝0，此时
两条直线不平行；当m≠0时，由于l1∥l2，则
A组 基础关
1．已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直

答案 B
解析 将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其 斜率为k＝csoins4400°°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
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答案 解析
6.(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和 直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
No
Image
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答案
所以A(
3，
3 )．因为P(1,0)，所以kAB＝kAP＝
3 3－1
＝
3＋ 2
3 ，所以
lAB：y＝3＋2 3(x－1)，即直线AB的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
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答案
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答案(dá àn)
内容(nèiróng)总结
答案 B 解析 a，b≠0时，两直线在x轴上的截距符号相同，故选B.
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答案 解析
7．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率 的取值范围是( )
A．－1<k<15 B．k>1或k<12 C．k>1或k<15 D．k>12或k<－1 答案 D
3 3
，所以直
线lOA：y＝x，lOB：y＝－ 33x.设A(m，m)，B(－ 3n，n)，所以线段AB的中点
C的坐标为m－ 2
3n，m＋n 2
，由点C在直线y＝12x上，且A，P，B三点共线得

第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材·夯基固本激活思维1. ABCD 【解析】对于A，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；对于E，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确．故选ABCD.2. B 【解析】化直线方程为y＝3x＋a，所以k＝tan α＝3.因为0°≤α<180°，所以α＝60°.3. B 【解析】由已知得k1＝1，k2＝m＋15.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，所以1×m＋15＝－1，即m＝－6. 故选B.4. C 【解析】由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.5. ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝2－0 1－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.知识聚焦1. (1) 向上方向平行或重合(2) [0，π)2. (1) tan α (2) y2－y1x2－x13. y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠04. (1) ①l 1∥l 2 l 1⊥l 2 k 1＝k 2，b 1＝b 2②A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1A 1A 2＋B 1B 2＝0 A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝05. (1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2) |Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)|C1－C2|A2＋B2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 设直线的倾斜角为θ，因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ π3，3π4，所以当θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2时，k ＝tan θ＞3.当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，k ＝tan θ＜－1，所以其斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞) 【解析】若要使l 过点P (2,2)，且与线段AB 相交，则k ≥k AP ＝4－23－2＝2或k ≤k BP ＝－3－2－4－2＝56，即k ≥2或k ≤56.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞)．(1) 【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ cos θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.故选D. (2) 【答案】 AD【解析】 方法一：如图，当l 过点B 时，k l ＝－1，当l 过点A 时，k l ＝1，所以k l ∈[－1,1]，又k ＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.(变式(2))方法二：由题可知l 的斜率存在，可设l ：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，易知A ，B 两点在直线l 两侧，所以(k ＋1)·(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1，以下同方法一．【解答】 (1) 由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0；(2) x ＝－3，即x ＋3＝0；(3) y ＝4x －2，即4x －y －2＝0； (4) y ＝3，即y －3＝0；(5) 由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0；(6) 由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.【解答】(1)由题意知，直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)，整理得4x －y －3＝0.(2) 由题意可知，直线的斜率k ＝tan 150°＝－33，所以直线的斜截式方程为y ＝－33x －2，整理得3x ＋3y ＋6＝0.(3) 根据题意可得，直线的两点式方程为y ＋12＋1＝x ＋22＋2，整理得3x －4y ＋2＝0.【解答】 方法一： (1) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.(2) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二：(1) 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2) 因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝2 3.【答案】－10【解析】因为l1∥l2，所以4－m m＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.(1) 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(2) 【答案】 2或－6【解析】依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋132＋(－2)2＝21313，解得c＝2或－6.(1) 【答案】 BC【解析】直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172或－232，故选BC.(2) 【答案】 2 2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 【解析】显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意．设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，所以k ＝2或k ＝－23. 所以直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 课堂评价 1.D【解析】由题意，直线的斜率为k ＝－33，即直线倾斜角的正切值是－33.又倾斜角∈[0°，180°)，因为tan 150°＝－33，故直线的倾斜角为150°，故选D.2.C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.故选C.3.A【解析】若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－1或m ＝－7.经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7.故“l 1∥l 2”是“m <－1”的充分不必要条件，故选A.4.x ＋2y －3＝05【解析】 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，最大距离为AB ＝5.5. 【解答】 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.第41讲 圆的方程链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. D 3.A【解析】根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. (x －2)2＋y 2＝10【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，所以圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.5.5【解析】方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以⎩⎨⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，所以a ＋b －2＝0，① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a |＝|b |，②由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5. 方法二：因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C 到两坐标轴的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，所以圆C 的半径为5.知识聚焦1. 定点 定长 (a ，b ) r D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D2＋E2－4F研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AB 【解析】由题知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r (r ＞0)，则r sinπ3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ±332＝43. (2) 【答案】 213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝213. (1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918 【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2，消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r2－a2， 所以在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r2－b2， 所以在x 轴上的截距之和是2a . 所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，所以b ＝56.所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－562＝16918.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918. (2) 【答案】 x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解析】 由题知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又因为半径长r ＝D2＋E2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解答】 (1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图(1)，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(例2(1))(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图(2)，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(例2(2))(3)如图(3)，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(例2(3))【解答】(1) 因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2,7)，半径r＝2 2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2) 记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，知|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k≤2＋3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(1) 【答案】 BC【解析】 由题意知AB ＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝45＝455，所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455＋1＝2＋52， S △PAB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－1＝2－52. (2) 【答案】 5－27【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (1，3)，设P (x ，y )，则PB→＝(4－x ，－y )，PC →＝(1－x ，3－y )，所以PB →·PC →＝(4－x )(1－x )－y (3－y )＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－3，其中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32之间距离PM 的平方，由几何图形可得PM min ＝AM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝7－1，所以(PB →·PC →)min＝(7－1)2－3＝5－27.(例3(2))(1) 【答案】 A【解析】由点P 是x 轴上任意一点，知PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，所以PC 1＋PC 2＝P C 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝52，即(PM ＋PN )min ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4，故选A.(2) 【答案】 22【解析】设P (x ，y )，因为PA→·PB→≤3，所以x 2＋y 2≤4，即点P 在以原点为圆心，2为半径的圆O 上或圆内，又因为点P 在圆C 上，所以圆O 与圆C 内切或内含，即圆心距(－a )2＋a2≤2－1，所以－22≤a ≤22，所以a 的最大值为22.课堂评价 1.A【解析】 由题意可知圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a ＋32，因为该圆过原点，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝1242＋(a －3)2，解得a ＝1，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝5，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选A.2.ABD【解析】由圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，化为标准形式得(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆M 的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.令y ＝0，得x ＝0或x ＝8，故圆M 被x 轴截得的弦长为8；令x ＝0，得y ＝0或y ＝－6，故圆M 被y 轴截得的弦长为6，显然选项C 不正确．ABD 均正确．3.CD【解析】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点P (x ，y )与点M (1,0)连线的斜率，如图，易知，y x －1的最大值为33，最小值为－33.故选CD.(第3题)4. (0，－1)【解析】 因为圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心为(0，－1)．5.3【解析】因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过定点A (2,0)，所以d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系链教材·夯基固本 激活思维 1.D【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0的圆心坐标为(2,3)，半径为2，因为直线l 过点(0,2)，被圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0截得的弦长为23，所以圆心到所求直线的距离为1，易知所求直线l 的斜率k 存在，设所求直线方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，所以|2k －1|k2＋1＝1，解得k ＝0或43，所以所求直线方程为y ＝43x ＋2或y ＝2.故选D.2. C 【解析】 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， 因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，所以直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交． 3.D【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 2(2,1)，半径长r 2＝1.所以圆心距d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．4. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＋1＝0，x2＋y2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可化成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故弦长为23－(2)2＝2.5.ACD【解析】将点(0,1)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得4＋16＝20>16，所以点(0,1)在圆C 外，故A 不正确；由圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16知圆心为(2，－3)，半径为r ＝4，则圆心(2，－3)到直线3x ＋4y －14＝0的距离d ＝|3×2＋4×(－3)－14|32＋42＝4＝r ，故B 正确；将点(2,5)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得0＋64＝64>16，所以点(2,5)在圆C 外，故C 不正确；圆心(2，－3)到直线x ＋y ＋8＝0的距离d ＝|2－3＋8|12＋12＝72≠r ，故D 不正确，故选ACD.知识聚焦1. < > ＝ ＝ > <2. d >r 1＋r 2 无 d ＝r 1＋r 2 一组 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的 |r 1－r 2| ≤<研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 26【解析】 圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，直线l ：kx －y －k ＋2＝0，即k (x －1)－(y －2)＝0，过定点P (1,2)，当AB 取最小值时，AB ⊥PC ，此时CP ＝2，故AB min ＝2CA2－CP2＝26.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，53【解析】 因为A (0，a )，B (3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a .因为S△ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即|3a|5<1，解得－53<a <53.(1) 【答案】 1023 【解析】易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，所以最短弦的长为2r2－PC2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.(2) 【答案】 3 【解析】圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．【解答】 (1) 设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b|2＝10，所以b ＝1±25，所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2) 设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3) 因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.【解答】由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径长为2.当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k2＋1＝2，所以k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x .当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a|2＝2，所以a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【解答】因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m .(1) 当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2) 当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0，故两圆的公共弦长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. (1) 【答案】 9或－11 【解析】依题意可得C 1(0,0)，C 2(3,4)，则C 1C 2＝32＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m，25－m ＞0.当两圆外切时，r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9；当两圆内切时，|r 2－r 1|＝5，即|25－m －1|＝5，得25－m＝6，解得m ＝－11.(2) 【答案】 1 【解析】将x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题知22－(3)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，a ＞0，解得a ＝1. 课堂评价 1.C【解析】圆C 2化简得(x －4)2＋(y －5)2＝35－m ，由圆的方程得C 1(1,1)，C 2(4,5)，半径分别为2和35－m ，因为两圆外切，所以(4－1)2＋(5－1)2＝35－m ＋2，解得m ＝26.故选C. 2.B【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.3. A【解析】因为圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以AB＝22，所以△ABP 的面积S ＝12AB ·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．4.BD【解析】 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5，故选BD.5. 4【解析】 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4.(第5题) 第43讲 椭 圆链教材·夯基固本 激活思维1. C2. D3. 724. x236＋y227＝15. 45 18 【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.知识聚焦1. (1) 焦点 焦距 (2) PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)2. F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2ca＝1－b2a21 0研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C 【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋y b＝1，因为点O 到直线BF 的距离为3，所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C.(2) 【答案】x236＋y216＝1 【解析】 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝25.又由OP ＝OF ＝OF ′，知∠FPF ′＝90°.在Rt△PFF ′中，PF ′＝FF ′2－PF2＝(4 5 )2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝PF ＋PF ′＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故椭圆C 的方程为x236＋y216＝1.(1) 【答案】x24＋y23＝1【解析】因为3AF1＝5AF2，由椭圆定义有AF1＋AF2＝4，解得AF2＝32，又AF2⊥x轴，故AF2＝b2a＝b22，所以b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 【答案】x23＋y22＝1【解析】如图，由已知可设F2B＝n，则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·13＝4，解得n＝32.所以2a＝4n＝23，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(变式(2))(1) 【答案】 C【解析】椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，所以11＋m＜1m，所以a＝mm，所以椭圆的长轴长2a＝2mm.故选C.(2) 【答案】 8【解析】 因为椭圆x2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(3) 【答案】 3【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝3.(1) 【答案】 D【解析】 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， 设F 1F 2＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， 所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，因为OF 2＝c ，所以点P 的坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )． 因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3 c 2c ＋a＝36，解得c a＝14，所以e ＝14，故选D.(例3(1))(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 【解析】不妨设椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以c2a2≥14，即e ≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. (1) 【答案】255【解析】 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得OP ＝PQ 2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝OP OA＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a216b2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2—c 2)，所以椭圆C 的离心离e ＝255.(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1 【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1＝2PF 2， 所以PF 1＝43a ，PF 2＝23a ，又PF 1－PF 2≤F 1F 2，即23a ≤2c ，所以e ≥13，又0<e <1，所以椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1.【解答】(1)由题意得c ＝3，c a＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，y ＝kx ，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2. 因为F2A →＝(x 1－3，y 1)，F2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F2A →·F2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18.所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫24，＋∞. 课堂评价 1. A2. C 【解析】 由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.故选C.3. ACD【解析】由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，所以椭圆C 的方程为y23＋x 2＝1.如图，PQ ＝2b2a＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.(第3题)4.C【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝ca ＝12，故选C.5.4【解析】如图，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x2a2＋y2b2＝1，可得y 2＝a2b2b2t2＋a2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ca2b2b2t2＋a2≤cb ，当且仅当t ＝0时取等号．所以bc ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4， 当且仅当b ＝c 时取等号，此时a ＝2. 所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.(第5题) 第44讲 双曲线链教材·夯基固本 激活思维 1.A【解析】由双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，知c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.2.A【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bc a2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2，所以e 2＝c2a2＝5，所以e ＝5.3. AC 【解析】 设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入(3，2)得λ＝13，即x23－y 2＝1，故A 正确；由a ＝3，c ＝2，得e ＝23，故B 错误；焦点(2,0)在y ＝e x －2－1上，故C 正确；联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y2＝1，x －2y －1＝0，消去x 得y 2－22y ＋2＝0，可得Δ＝0，所以直线x －2y －1＝0与曲线C 只有1个交点，故D 错误．故选AC.4. A 【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.故选A.5. 5＋12 【解析】 将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b4a2⇒y ＝±b2a，则2c ＝2b2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．知识聚焦 1. 焦点 焦距2. |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )ca ＝1＋b2a2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B 【解析】由y28＋x22＝1，得a 2＝8，b 2＝2，所以c 2＝6，得c ＝6，即椭圆的半焦距为6.设与双曲线x22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝λ，因为所求双曲线的焦点在y 轴上，则λ<0，双曲线方程化为y2－λ－x2－2λ＝1，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则m 2＝－λ，n 2＝－2λ， 所以m 2＋n 2＝－λ－2λ＝(6)2，解得λ＝－2.所以所求双曲线的方程为y22－x24＝1.故选B.(2) 【答案】 x24－y26＝1【解析】不妨设B (0，b )，由BA→＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1，即49·a2＋b2a2＝109，所以b2a2＝32①.又|BF →|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16②.由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x24－y26＝1.(1) 【答案】 y22－x24＝1【解析】因为所求双曲线与已知双曲线x22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x22－y 2＝－2，即y22－x24＝1.(2) 【答案】 x 2－y23＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.(1) 【答案】 (0,2) 【解析】对于焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx ±ay ＝0的距离为|bc|b2＋a2＝b .本题中，双曲线x28－m＋y24－m＝1，即x28－m－y2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．故焦点到渐近线距离的取值范围是(0,2)．(2) 【答案】 y ＝±2x 【解析】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .(1) 【答案】 D 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则PF 1>PF 2.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＋PF 2＝6a ，所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32， 即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D. (2) 【答案】 x23－y29＝1【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以e 2＝1＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 因为b2a2＝3，所以渐近线方程为y ＝±3x .则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|2 3 a －3a|2＝2 3 －32a ，d 2＝|2 3 a ＋3a|2＝23＋32a .又因为d 1＋d 2＝6， 所以23 －32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3， 所以b 2＝9.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(1) 【答案】655【解析】 设BF 1＝x ，则AF 2＝3x .由图及双曲线的定义知AF 1－AF 2＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，则AB ＋x －3x ＝2a ，BF 2－x ＝2a .因为AF 2⊥BF 2，所以AB 2＝AF2＋BF 2，即(2a ＋2x )2＝9x 2＋(2a ＋x )2，解得a ＝3x 2，所以AB ＝5x ，BF 2＝4x ，所以cos ∠BAF 2＝35.在△AF 1F 2中，由余弦定理知AF 21＋AF 2－2·AF 1·AF 2·cos ∠BAF 2＝F 1F 22＝4c 2，所以36x 2＋9x 2－108x25＝4c 2，所以c ＝313x 2 5，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝655.(例3(1))(2) 【答案】3【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，F 2O ＝c ，所以PO ＝a ，所以PF 1＝6a .又F 1O ＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a2＋c2－( 6 a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝3.(1) 【答案】 (1,2) 【解析】若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，AF ＝b2a，FE ＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，b 2＜a 2＋ac,2a 2－c 2＋ac ＞0，e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2.又e ＞1，则1＜e ＜2.(2) 【答案】 53【解析】 由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值．因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.【题组强化】 1.D【解析】由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.故选D.2. C 【解析】 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 2＝F 1F 2.由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2，整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ，所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝ca ，且e ＞1，可得1<e ≤102.故选C.3.2【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨设右焦点F (c,0)，过点F 与渐近线平行的直线为l ：y ＝b a(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，y ＝b a (x －c )，得x ＝c 2，则y ＝－b a×c 2＝－bc 2a ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，PF 的中点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 4，－bc 4a .又点A 在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 42a2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－bc 4a 2b2＝1，化简得c2a2＝2，即e ＝c a＝2.4.53【解析】由线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，由直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，可得OA ＝a ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得MF 2＝2a ，在Rt △PMF 2中，可得PM ＝4c2－4a2＝2b ， 即有PF 1＝4b ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，即4b －2c ＝2a ，即2b ＝a ＋c ，即有4b 2＝(a ＋c )2， 即4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2，可得a ＝35c ，即e ＝53.(第4题)课堂评价 1. B 2. C【解析】 根据渐近线方程为x ±y ＝0，可得a ＝b ，所以c ＝2a ，则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C. 3. A 【解析】 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.4. x28－y28＝1 【解析】 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a＝1，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.5. 23 23 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (4,0)，PF ＝b ＝23，△POF 的面积为12ab ＝12×43＝23.第45讲 抛物线链教材·夯基固本 激活思维 1. C2. AC 【解析】根据抛物线定义知选项A 正确；对于B ，符合条件的抛物线的焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上，故B 错误；对于C ，抛物线焦点为(－1,0)，所以p ＝2，抛物线方程是y 2＝－4x ，故C 正确；对于D ，因为p 的符号不确定，所以方程不唯一，故D 错误．故选AC.3.B【解析】因为M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 4.B【解析】抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF ＝3BF ，所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32，所以x 1＝3x 2＋3， 因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32＝8.故选B. 5.y 2＝8x 6【解析】由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，所以FN ＝2FM ＝2(x M ＋2)＝2×(1＋2)＝6.知识聚焦1. 相等 焦点 准线 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 22【解析】 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点为F 1(－2，0)，且抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2＝－2，解得p ＝22.(2) 【答案】 13 【解析】由题意得抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.因为AF ＝(6－2)2＋32＝5，所以求△PAF 周长的最小值即求PA ＋PF 的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，如图，连接PD ，根据抛物线的定义，可知PF ＝PD ，所以PA ＋PF 的最小值即PA ＋PD 的最小值．根据平面几何的知识，可得当D ，P ，A 三点共线时PA ＋PD 取得最小值，所以PA ＋PF 的最小值为x A －(－2)＝8，所以△PAF 周长的最小值为8＋5＝13.(例1(2))(1) 【答案】 A 【解析】设焦点为F ，准线为l ，过P 作PA⊥l ，垂足为A ，则PF ＝PA ，PF ＋PQ ＝PQ ＋PA ，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，和最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1，故选A. (2) 【答案】 4 【解析】因为双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，所以p ＝4.【解答】 (1) 由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 易知y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 2＝2px 2， 所以y 21y 2＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2) 由题意知AF ＝x 1＋p2，BF ＝x 2＋p2，所以1AF ＋1BF＝1x1＋p 2＋1x2＋p 2＝x1＋x2＋px1x2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24.因为x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝AB －p ，所以1AF ＋1BF ＝ABp24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(例2)【解答】 (1) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2.因为直线OP 的方程为y＝y1x1·x ，它与准线的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y0，所以y 0＝y1x1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝2p y1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝－p2y1＝y1y2y1＝y 2，故直线MQ ∥x 轴．(2) 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y2，则k OM ＝y2－p 2＝－2y2p ，k OP ＝y1x1＝2p y1. 因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－p2y1，所以k OM ＝－2y2p ＝2py1，所以k OM ＝k OP ，所以P ，O ，M 三点共线． (3)如图，连接PF 并延长交抛物线于Q ′，由(1)知MQ ′∥x 轴，所以Q 与Q ′重合，故PQ 为焦点弦．(例3)【解答】 (1) 由题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1，x212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2，x222p ，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )． 由x 2＝2py 得y ＝x22p ，则y ′＝xp ，所以k MA ＝x1p ，k MB ＝x2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x2p (x －x 0)．所以x212p ＋2p ＝x1p (x 1－x 0)，①x222p ＋2p ＝x2p (x 2－x 0)．② 由①②得x1＋x22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x1＋x22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．。

【红对勾】（新课标） 高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何单元质量检测 理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1或3D ．－1或－3解析：因为直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，所以－(a ＋2)≠0，所以3x －(a ＋2)y ＋1＝0的斜截式方程为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2，由两直线平行，得3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或a ＝－3.答案：A2．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( )A ．(1,0)，(－1,0)B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析：c 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，所以c ＝ 3.由焦点在x 轴上．所以焦点坐标为(3，0)，(－3，0)．答案：C3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3D ．1解析：圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，弦AB 的长l ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.答案：B4．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析：设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即a －52＋22＝a ＋12＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.答案：D5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案：A6．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 解析：由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b 2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C.答案：C7．过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．答案：D8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D9．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解析：对于双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1，a 21＝cos 2θ，b 21＝sin 2θ，c 21＝1；对于双曲线C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1，a 22＝sin 2θ，b 22＝sin 2θtan 2θ，c 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2θcos 2θ＝sin 2θcos 2θ＝tan 2θ.∵只有当θ＝k π＋π4(k ∈Z )时，a 21＝a 22或b 21＝b 22或c 21＝c 22，而0<θ<π4，∴A ，B ，C 均错；设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＝1cos 2θ，e 22＝tan 2θsin 2θ＝1cos 2θ. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等． 答案：D10．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，① |F 1F 2|＝2 3.又因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以∠F 1AF 2＝90°. 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，②由①②联立解得，|AF 1|＝2－2，|AF 2|＝2＋ 2.在双曲线C 2中，2c ＝23，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝22，故e ＝c a＝32＝62，故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝012．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案：x ＋y －1＝013．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．解析：椭圆的左焦点为F (－1,0)，右焦点为E (1,0)，根据椭圆的定义，|PF |＝2a －|PE |，∴|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋2a －|PE |＝2a ＋(|PQ |－|PE |)，由三角形的性质，知|PQ |－|PE |≤|QE |，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a ＋|QE |＝22＋32＝5 2.答案：(0，－1)14．已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析：将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.答案：2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，原点到过点A (a,0)，B (0，－b )的直线的距离为455.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．解：(1)因为ca ＝32，a 2－b 2＝c 2，故a ＝2b ，因为原点到直线AB ：x a －y b ＝1的距离d ＝ab a 2＋b 2＝455，解得a ＝4，b ＝2，故所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，易得Δ>0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，EF 的中点是M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－4k 1＋4k 2，y M ＝kx M ＋1＝11＋4k2， 所以k BM ＝y M ＋2x M ＝－1k， 又因为k ≠0，所以k 2＝18，所以k ＝±24.16．(10分)过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4. (1)求r 的值；(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM →＝OA →＋OB →，求|OM →|的最小值(O 为坐标原点)．解：(1)圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为O (0,0)， 于是|QO |2＝(－2)2＋(21)2＝25，由题设知，△QDO 是以D 为直角顶点的直角三角形， 故有r ＝|OD |＝|QO |2－|QD |2＝25－42＝3.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，则A (a,0)，B (0，b )，∴OM →＝(a ，b )，∴|OM →|＝a 2＋b 2. ∵直线l 与圆O 相切，∴|－ab |a 2＋b2＝3⇒a 2b 2＝9(a 2＋b 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，∴a 2＋b 2≥36，∴|OM →|≥6，当且仅当a ＝b ＝32时取到“＝”． ∴|OM →|取得最小值为6.17．(12分)如图，已知点E (m,0)(m >0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)设直线AB的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(12分)(2014·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；②求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1.当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.。

第5讲 椭圆1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．[解析] 因为方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，2k －1>0，2k －1>2－k 得⎩⎪⎨⎪⎧k <2，k >12，k >1，故k 的取值范围为(1，2)． [答案] (1，2)2．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为________．[解析] 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.[答案] x 28＋y 24＝13．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．[解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且AB ＝AF ＋BF ，△ABM 的周长等于AB ＋AM ＋BM ＝(AF ＋AM )＋(BF ＋BM )＝4a ＝8.[答案] 84．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． [解析] 把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．[答案] 充要5．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 PF 1＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．[解析] b 2＝2，c ＝a 2－2，故F 1F 2＝2a 2－2，又PF 1＝4，PF 1＋PF 2＝2a ，PF 2＝2a －4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3.[答案] 36．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．[解析] 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．[答案] 357．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________． [解析] 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以PF 1＋PF 2＝655c ＝2a ，所以e ＝c a ＝53.[答案]538．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c ，0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧2c <a ，c 2a 2＋c 2b 2<1⇒0<c a <12.即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 9．(2018·无锡调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．[解析] 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·OF ·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. [答案] 5310．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c2a ＝2cc ＋3c＝3－1.[答案] 3－111.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．[解] (1)由题意知b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设T (x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．12．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，右顶点到右准线的距离为2－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，若直线y ＝k 1x (k 1>0)与椭圆C 在第一象限的交点为A ，y ＝k 2x (k 2<0)与椭圆C 在第二象限的交点为B ，且OA 2＋OB 2＝3.①证明：k 1k 2为定值；②若点P 满足OP →＝2OA →，直线BP 与椭圆交于点Q ，设BP →＝mBQ →，求m 的值． [解] (1)设椭圆C 的半焦距为c ， 则由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝22＝c aa 2c －a ＝2－2，解得⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1xx 2＋2y 2＝2， 解得x 21＝21＋2k 21，y 21＝2k 211＋2k 21，所以OA 2＝2（1＋k 21）1＋2k 21，同理OB 2＝2（1＋k 22）1＋2k 22， 从而3＝OA 2＋OB 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 211＋2k 21＋1＋k 221＋2k 22，整理得4k 21k 22＝1.由于k 1>0，k 2<0，故k 1k 2＝－12.②设Q (x 3，y 3)，由OP →＝2OA →得P (2x 1，2y 1)，又由BP →＝mBQ →，得(2x 1－x 2，2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝2m x 1＋m －1m x 2y 3＝2m y 1＋m －1m y2.由点Q 在椭圆上得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m x 1＋m －1m x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m y 1＋m －1m y 22＝1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22＋2·m －1m ·2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 22＋y 1y 2＝1，(*) 由①得y 1y 2x 1x 2＝－12，即x 1x 22＋y 1y 2＝0， 而A ，B 在椭圆上，故x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，代入(*)式得4m 2＋（m －1）2m 2＝1，解得m ＝52.1．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________．[解析] 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.[答案] 72.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，13．以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是________．[解析] 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连结O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是OO 1＝12PF 2＝12(2a －PF 1)＝a －12PF 1＝R －r ，故两圆内切．[答案] 内切4．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF →1·PF →2＝0，则e 21＋e 22（e 1e 2）2的值为________．[解析] 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，F 1F 2＝2c ，P 为第一象限的交点，由题意得PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，所以PF 21＋PF 22＝2a 21＋2a 22.又因为PF →1·PF →2＝0，所以PF 1⊥PF 2. 所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即2a 21＋2a 22＝4c 2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22（e 1e 2）2＝2. [答案] 25.(2018·南京学情调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．[解] (1)因为c a ＝22，a2c＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)法一：设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)． 因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1.因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1.令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1.所以mn ＝－x 1y 1－1×x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212，所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2.所以mn 为常数，且常数为2.法二：设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1， 令y ＝0，得m ＝－1k.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k2， 所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k21＋2k2，则Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 2，－1－2k 21＋2k 2.所以k AQ ＝－1－2k21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1.令y ＝0，得n ＝－2k ，所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ×(－2k )＝2.所以mn 为常数，常数为2.6．(2018·常州市高三教育学会学业水平监测)已知圆C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B (0，－2)，F (c ，0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B .(1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？解：(1)由题意知，b ＝2，因为C (t ，0)，B (0，－2)，所以BC ＝t 2＋4＝20，所以t ＝±4， 因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24＝1，化简得(4＋5k 2)x2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P (m ，0)，由题意得k PM ＋k PN ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k （x 1－1）x 1－m ＋k （x 2－1）x 2－m＝0.所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0，即2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m ＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m )10k 24＋5k 2＋2m ＝0.所以8m －40＝0，所以m ＝5，即在x 轴上存在一定点P (5，0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．。

2021年高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练(I)一、选择题1．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16【解析】 由题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，与抛物线联立消去y 得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝8 2.【答案】 C2．(xx·舟山三模)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．23【解析】 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m22m 2＝1，可得m ＝22. 【答案】 B3．(xx·西安模拟)斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.33 D.13【解析】 由题意知，直线l 过坐标原点，从而直线l 的方程为y ＝22x . 两个交点的横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－22c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，22c ， 代入椭圆方程得c 2a 2＋c 22b2＝1，即c 2(a 2＋2b 2)＝2a 2b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2， 即2a 4－5a 2c 2＋2c 4＝0，(2a 2－c 2)(a 2－2c 2)＝0，则c 2a 2＝2或c 2a 2＝12，又因为0<e <1. 所以e ＝ca ＝22，故选A. 【答案】 A4．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12【解析】 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.【答案】 C5．(xx·福建高考)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2【解析】 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50， 即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．(xx·辽宁大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．【解析】 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 【答案】5537．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P 、Q 两点，M 为PQ 的中点，O为原点，若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为______________．【解析】 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－x 02y 0， 而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20， 所以k PQ ＝±22， 直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)， 即x ±2y ＋1＝0.【答案】 x ±2y ＋1＝08．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．【解析】 设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线和抛物线方程，整理得y 2－4my ＋4＝0，由根与系数关系得y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝4.故Q (2m 2－1,2m )．由|FQ |＝2知2m2＋2m 2－1－12＝2，解得m 2＝1或m 2＝0(舍去)，故直线l 的斜率等于±1(此时直线AB 与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．【答案】 ±1 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．【解】 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b2a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 10．(xx·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．【解】 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. ①设P (x 0，y 0)，||OQ ||OP ＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1，所以λ＝2，即||OQ ||OP ＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝216k 2＋4－m2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0＜t ≤1， 因此S ＝24－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.[能 力 练]扫盲区 提素能1．如图8­8­3，已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )图8­8­3A ．1 B. 2 C ．2D ．4【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.【答案】 C2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 【解析】 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)、右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kPA 2＝y 0x 0－2，kPA 1＝y 0x 0＋2，所以kPA 2·kPA 1＝y 20x 20－4＝－34.又kPA 2∈[－2，－1]，所以kPA 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.【答案】 B3．(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为______．【解析】 所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22. 【答案】224．(xx·郑州模拟)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则p 的值是________．【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 中点的纵坐标是6，得y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝x 1＋x 22－2x 1x 22p＝12，16＋8p22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.【答案】 1或25．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .(1)若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长； (2)判断直线AB 与抛物线C 2的位置关系，并说明理由． 【解】 (1)由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k x －1，y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4x －1，y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12x －1，y 2＝36x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，三个点都在抛物线C 1上，故有y 20＝2px 0，y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，作差整理，得y 0－y 1x 0－x 1＝2p y 0＋y 1，y 0－y 2x 0－x 2＝2p y 0＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2. 所以直线QA ：y ＝2p y 0＋y 1(x －x 0)＋y 0，直线QB ：y ＝2py 0＋y 2(x －x 0)＋y 0. 因为直线QA ，QB 均是抛物线C 2的切线，故分别与抛物线C 2的方程联立，令Δ＝0，可得p 2＋2y 0y 1(y 0＋y 1)＝0，p 2＋2y 0y 2(y 0＋y 2)＝0.两式相减整理，得y 0(y 1－y 2)(y 0＋y 1＋y 2)＝0，可知y 0＝－(y 1＋y 2)．k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝－2py 0， 所以直线AB 的方程为y －y 1＝－2p y 0(x －x 1)，与抛物线y ＝2x 2联立，消去y 得关于x 的一元二次方程为2y 0x 2＋2px －y 1(y 1＋y 0)＝0.其判别式Δ＝4p 2＋8y 0y 1(y 0＋y 1)＝0，故直线AB 与抛物线C 2相切． 6．如图8­8­4，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.图8­8­4(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【解】 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上， 则－c2a2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1，又e ＝22，故b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，当x ＝x 1时|QM |2取最小值，又x 1∈(－4,4)，所以当x ＝2x 0时|QM |2取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝2·4－x 20x 20＝2·－x 20－22＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取得最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6./h 38951 9827 頧20113 4E91 云 ( 33146 817A 腺EmP^23770 5CDA 峚34039 84F7 蓷。

8.6 双曲线【巩固强化】1. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于（D）A. B. 5 C. 7 D.解：依据题意,知双曲线的标准方程为.由其焦距为4，得，则有，解得.故选.2. 若双曲线的离心率大于2，则正数的取值范围是（A）A. ,B. ,C. ,D. ,解：由题意，可知,，则.因为离心率大于2，所以，即.所以且，解得.故选.3. 已知双曲线的焦距为，且两条渐近线相互垂直，则该双曲线的实轴长为（B）A. 2B. 4C. 6D. 8解：双曲线的两条渐近线方程为.因为两条渐近线相互垂直，所以，得.因为双曲线的焦距为，所以.由得，解得，所以实轴长为.故选.4. 在平面直角坐标系中，过点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为（B）A. B. C. D.解：因为双曲线的渐近线方程为，所以设所求双曲线的标准方程为.又点在双曲线上，则,即双曲线的方程为,所以双曲线的标准方程为.故选.5. 经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）A. B. C. D.解：由题意，知已知直线的斜率的确定值小于等于渐近线的斜率，所以，离心率，所以.故选.6. 已知椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（D）A. ,B. ,C. ,D. ,解：由题意，得，因此双曲线的两条渐近线方程为.所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，.故选.7. 【多选题】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的右支上一点，则下列结论正确的是（ACD）A. B. 的离心率是C. 的最小值是6D. 点到两渐近线的距离的乘积是3解：已知双曲线，得,,，则,,.由双曲线的定义及点为的右支上一点，得，所以正确.离心率，所以不正确.当点在右顶点时，取得最小值，即，所以正确.双曲线的渐近线方程为.设点，则，即.则点到与到的距离乘积为，所以正确.故选.8. 在①双曲线的焦点在轴上；②双曲线的焦点在轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，.（1）求双曲线的标准方程；解：设双曲线的标准方程为，则解得所以双曲线的标准方程为.（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长.注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.[答案]双曲线的渐近线方程为.选①，设双曲线的标准方程为，则解得所以双曲线的实轴长为2.选②，设双曲线的标准方程为，则解得所以双曲线的实轴长为.【综合运用】9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于，两点，若是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是（C）A. B. C. D.解：由题意,得为直角三角形，且 .设，则,,如图所示.由双曲线的定义,得.所以,.所以.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选.10. [2024年全国Ⅲ卷]设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为.是上一点，且.若的面积为4，则（A）A. 1B. 2C. 4D. 8解：因为，所以.依据双曲线的定义,可得.，即.因为，所以.所以，即，解得.故选.11. 图1为陕西博物馆保藏的金筐宝钿团花纹金杯，该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图2所示.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（C）图1图2A. B. C. D.解：由题意,设,,,.代入双曲线方程,得即作差得,解得,则.所以杯身最细处的周长为.故选.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程；解：因为双曲线的离心率为，所以该双曲线为等轴双曲线.设其方程为，代入点，得 .故双曲线的标准方程为.（2）设双曲线的两条渐近线分别为,，已知直线交，于,两点，若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的面积.[答案]设与轴交于点.在直线方程中，令，得,.联立整理得.由题意,得，故.联立得.联立得.所以.【拓广探究】13. [2024年新课标Ⅰ卷]已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上.点在轴上，，，则的离心率为.解：（方法一）（坐标法）依题意，设，，.由，得,.因为，且,，，所以，即.又点在上，所以，即.代入，得，即，解得或（舍去），故.（方法二）（特值法及数形结合）考虑离心率是比值，不妨取，则易知,.由对称性得，再由垂直得.，,,则离心率.（方法三）（解三角形）由，得.设，.由对称性,得.由定义,得，.设，则，解得，所以，.在中，由余弦定理,得，即，则离心率.。

课时作业一、选择题1．设动点 P 在直线 x －1＝0 上， O 为坐标原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角极点作等腰直角三角形 OPQ ，则动点 Q 的轨迹是( )A ．椭圆C ．抛物线B ．两条平行直线D ．双曲线B [设 Q(x ，y)， P(1， a)，a ∈R ，则有 OP ―→,·OQ ―→,＝0，且 |OP ―→,|＝|OQ ―→,|，x 2＋y 2＝1＋a 2， ∴x ＋ ay ＝0，22 222x x ＋ y消去 a ，得 x ＋ y ＝1＋ 2＝y 2 .y∵ x 2＋y 2≠ 0，∴ y ＝±1.即动点 Q 的轨迹为两条平行直线y ＝ ±1.]2．已知点 M(－ 3， 0)，N(3，0)， B(1，0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B ，过 M 、N与圆 C 相切的两直线订交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为()22A ．x 2－y＝ 1(x ＞ 1)B ．x 2－y＝1(x ＜－ 1)8822C ．x 2＋y＝ 1(x ＞ 0)D ．x 2－y＝1(x ＞1) 810A [设另两个切点为 E 、F ，如下图，则|PE|＝|PF|，|ME|＝ |MB|，|NF|＝|NB|，进而 |PM|－|PN|＝ |ME|－|NF|＝|MB|－ |NB|＝4－2＝2＜ |MN|，所以 P 的轨迹是以 M 、N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支． a ＝ 1，c ＝3，则 b 2＝ 8.2故方程为 x2－ y8 ＝1(x ＞1)．]3．已知定点 F 1(－2，0)， F 2(2，0)， N 是圆 O ：x 2＋y 2＝ 1 上随意一点，点 F 1 对于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1M 的中垂线与直线 F 2M 订交于点 P ，则点 P 的轨迹是( )A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．圆B[设 N(a ，b)，M(x ，y)，则 a ＝ x －2 2，b ＝ y2，代入圆 O 的方程得点 M 的轨迹方程是 (x －2)2＋y 2＝22，此时 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 1 |－(|PF 1|±2)＝±2，即 ||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线． ]4．若点 P(x ， y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y ＋ 4＝ 0 的距离小 2，则点 P(x ，y)的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ． y 2＝－ 8xC ．x 2＝8yD ． x 2＝－ 8yC [点 P(x ，y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y ＋4＝0 的距离小 2，说明点 P(x ，y)到点 F(0，2)和到直线 y ＋2＝0 的距离相等， 所以 P 点的轨迹为抛物线， 设抛物线方程为 x 2＝2py ，此中 p ＝4，故所求的轨迹方程为 x 2＝8y.]5．已知 A(0，7)，B(0，－ 7)，C(12，2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 ()2x 22－ x 2A ．y － ＝1(y ≤－ 1)B ． y ＝1(y ≥1)48 482－ y 22－y 2C ．x＝1(x ≤－ 1) D ． x ＝ 1(x ≥ 1)4848A [ 由题意知 |AC|＝13，|BC|＝15， |AB|＝ 14，又∵ |AF|＋ |AC|＝ |BF|＋ |BC|，∴ |AF|－ |BF|＝|BC|－ |AC|＝ 2，故点 F 的轨迹是以 A ，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线2的下支．又 c ＝ 7，a ＝1，b 2＝48，∴点 F 的轨迹方程为 y 2－48x＝ 1(y ≤ －1)．]6．设过点 P(x ，y)的直线分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于 A ，B 两点，点 Q 与点 P 对于 y 轴对称， O 为坐标原点，若，则点 P 的轨迹方程是()3 2 2A. 2x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)3 2 2B.2x －3y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)23 2C ．3x －2y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)23 2D ．3x ＋2y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)A [设 A(a ，0)，B(0，b)(a ，b ＞0)．可得 BP ―→,＝ (x ，y －b)，PA ―→,＝ (a －x ，－ y)， OQ ―→, ＝ ( － x ， y)， AB ―→ ,＝ (－ a ， b)．由 BP ―→ ,＝ 2PA ―→ , 得x ＝2a －2x ，33 22a ＝ x ， y －b ＝－ 2y ， 即 2由 OQ ―→,·AB ―→,＝ 1 得 ax ＋by ＝ 1.所以 2x ＋3y ＝b ＝3y.1(x ＞ 0， y ＞ 0)．]二、填空题7．点 P 是圆 C ： (x ＋2)2＋y 2＝4 上的动点，定点 F(2，0)，线段 PF 的垂直均分线与直线 CP 的交点为 Q ，则点 Q 的轨迹方程是 ________．分析依题意有 |QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝ 4＞2，故点 Q 的轨迹是以 C 、F 为焦点的双曲线， a ＝ 1， c ＝2，得 b 22＝3，所求轨迹方程为 x 2－y3 ＝1.2答案 x 2－y3 ＝1．直线 x＋ y＝1 与 x ， y 轴交点的中点的轨迹方程 __________．8a 2－a分析设直线 x＋ y ＝1 与 x ，y 轴交点为 A(a ，0)，B(0，2－ a)，A ，B 中点为a－a2 M(x ，y)，则 x ＝a ，y ＝1－ a，消去 a ，得 x ＋ y ＝1，2 2∵a ≠0，a ≠2，∴ x ≠0，x ≠1.答案x ＋ y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．由抛物线 y 2＝ 2x 上随意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q ，连结极点 O 与 P的直线和连结焦点 F 与 Q 的直线交于点 R ，则点 R 的轨迹方程为______________．分析设 P(x 1 ，y 1)， R(x ， y)，11则 Q －2，y 1 ，F 2，0 ，y 1则直线 OP 的方程为 y ＝ x 1x ，①1直线 FQ 的方程为 y ＝－ y 1 x －2 ，②由①②得 x 1＝2x，y 1＝ 2y，1－ 2x 1－2x将其代入 y 2＝ 2x ，可得 y 2＝－ 2x 2＋x.即点 R 的轨迹方程为 y 2＝－ 2x 2＋ x.答案y 2＝－ 2x 2＋x三、解答题10．已知定点 F(0，1)和直线 l 1： y ＝－ 1，过定点 F 与直线 l 1 相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l 2 交动点 C 的轨迹于 P ，Q 两点，交直线 l 1 于点 R ，求,的最小值．分析 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l 1 的距离，∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l 1 为准线的抛物线，∴动点 C 的轨迹方程为 x 2＝ 4y.(2)由题意知，直线 l 2 方程可设为 y ＝ kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去 y ，得 x 2－4kx －4＝0.设 P(x 1 ，y 1)， Q(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－ 4.2又易得点 R 的坐标为 － k ，－ 1 ，＝ 1 ＋2，y 1＋1 · x2＋2， y 2＋1, xkk22 ＝ x 1＋k x 2＋k ＋(kx 1＋ 2)(kx 2 ＋2)＝(1＋k 22 (x 1＋x 2 ＋ 4＋＋2k＋4)x xk) k224＝－ 4(1＋k )＋4k k ＋2k ＋k 2＋4＝4 2 1k ＋ 2 ＋8.k21 2 ∵k ＋2≥ ，当且仅当k ＝ 1 时取等号，k2≥4×2＋8＝16，即 RP ―→,·RQ ―→,的最小值为 16.11．已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点 F 1，F 2 在 y 轴上，它的一个极点为 A( 2，0)，且中心 O 到直线 AF 1 的距离为焦距的 1，过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆交于4不一样的两点 P ， Q ，点 N 在线段 PQ 上． (1)求椭圆的标准方程；(2)设 |PM| |NQ|·＝|PN| ·|MQ|，求动点 N 的轨迹方程．y 2 x 2分析 (1)设椭圆的标准方程是 a 2＋b 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)． 因为椭圆的一个极点是 A(2，0)，故 b 2＝ 2.依据题意得∠ AF 1 O ＝π，sin ∠AF 1 ＝b，6 Oa即 a ＝2b ，a 2＝8，y 2 x 2所以椭圆的标准方程是 8 ＋ 2 ＝1.(2)设 P(x 1， y 1 )，Q(x 2 ，y 2)， N(x ，y)，由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l的方程为 y ＝k(x －2)．直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由 ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－ 2＜k ＜2.22依据根与系数的关系得 x 1＋ x 2＝4k2，x 1x 2＝4k－8 2 .4＋ k 4＋ k又|PM| ·|NQ|＝ |PN| ·|MQ|，即(2－x 1)(x 2－ x)＝(x －x 1)(2－x 2)．解得 x ＝ 1，代入直线 l 的方程得 y ＝－ k ，y ∈(－2，2)．所以动点 N 的轨迹方程为 x ＝ 1， y ∈(－2，2)．12．(2012 ·辽宁高考 )如图，动圆 C 1：x 2＋y 2＝ t 2，1<t<3，与椭圆2x 2C 2 ： 9 ＋ y ＝1 相交于 A ， B ， C ，D 四点，点 A 1，A 2 分别为 C 2 的左，右极点．(1)当 t 为什么值时，矩形ABCD 的面积获得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线 AA 1 与直线 A 2B 的交点 M 的轨迹方程．分析(1)设 A(x 0， y 0)，则矩形 ABCD 的面积 S ＝4|x 0||y 0|.22x 022x 0由 9 ＋y 0＝ 1 得 y 0＝ 1－ 9 ，2x 02－92＋9.进而 x 02y 02＝x 021－x 0＝－ 19 92429 21当 x 0＝ 2，y 0＝2时， S max ＝ 6.进而 t＝ 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6.(2)由 A(x 0，y 0 )， B(x 0，－ y 0)，A 1(－3，0)，A 2(3，0)知直线 AA 1 的方程为 y ＝ y 0＋ ．①x 0＋ 3(x 3)直线 A 2B 的方程为 y ＝－y 0②0－3(x －3)．x －y 02由①②得 y 2＝ x 02－9(x 2－9)．③又点 A(x 0 ，y 0)在椭圆 C 上，故 y 02＝ 1－ x 029 .④x 2 2 将④代入③得 9 －y ＝1(x<－3，y<0)．2所以点 M 的轨迹方程为 x9 － y 2＝1(x<－ 3， y<0)．。

12/11/2021
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解析
3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐
近线方程为( )
A．y＝± 2x B．y＝± 3x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±
3 2x
答案 A
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答案
解析 ∵e＝ca＝ 3，∴ba22＝c2－a2a2＝e2－1＝3－1＝2，∴ba＝ 2.因为该双 曲线的渐近线方程为 y＝±bax，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x，选 A.
答案
→→ →
→ →→
解析 设线段 AC 的中点为 D，则BA＋BC＝2BD，因为(BA＋BC)·AC＝0，
→→ 所以BD·AC＝0，所以 BD⊥AC，所以 AB＝BC.因为 B(c，0)，BC＝AB＝2c， 且∠ABC＝23π，所以点 C 的坐标为(2c， 3c)．代入ax22－by22＝1 得4ac22－3bc22＝1， 所以4ac22－c23－c2a2＝1，所以 4e2－1－3 e12＝1，整理得 4e4－8e2＋1＝0，又 e>1，
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答案
解析 ∵点 P 是双曲线右支上一点，∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2| ＝2a，若设△PF1F2 的内切圆圆心在 x 轴上的投影为 A(x,0)，则该点也是内切 圆与 x 轴的切点．设 B，C 分别为内切圆与 PF1，PF2 的切点．由切线长定理， 则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c ＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以 x＝a.所以内切圆圆心的横坐标为 a.

课时分层训练(四十七) 双曲线A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1C [由于焦点在y 轴上，且渐近线方程为y ＝±2x . ∴a b＝2，则a ＝2b .C 中a ＝2，b ＝1满足．]2．(2015·湖南高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54 C.43D ．53D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.]3．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y >0)B.x 24－y 25＝1(x >0)C.y 24－x 25＝1(y >0)D.y 24－x 25＝1(x >0) B [由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5.所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．]4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3mD ．3mA [由双曲线方程知a 2＝3m ，b 2＝3， ∴c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3.不妨设点F 为右焦点，则F (3m ＋3，0)． 又双曲线的一条渐近线为x －my ＝0， ∴d ＝|3·m ＋1|1＋m＝ 3.]5．(2017·成都调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )【导学号：66482409】A.433B ．2 3C ．6D ．4 3D [由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.]二、填空题6．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．210 [由双曲线的标准方程，知a 2＝7，b 2＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝10，所以c ＝10，从而焦距2c ＝210.]7．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝__________.33 [双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.]8．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2，并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．] 三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程.【导学号：66482410】[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 3分设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，8分 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，10分∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 12分10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．[解] (1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 2分 ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. 4分(2)证明：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. 6分 ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 8分 (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3. 10分 ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·河南中原名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B ．53 C.132D ．133D [由题意可求得|AB |＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133.因此e ＝133.] 2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为__________．x 2－y 23＝1 [由双曲线的渐近线y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，∴|2b |a 2＋b2＝3，则b 2＝3a 2.①又双曲线的一个焦点为F (2,0)， ∴a 2＋b 2＝4，②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.]3．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【导学号：66482411】[解] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 4分故C 2的方程为x 23－y 2＝1. 5分(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. 8分∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3. ②10分由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 12分。

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课时分层作业四十九椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分，共35分）1。

椭圆x2+4y2=1的离心率为( ）A.B。

C.D。

【解析】选A。

因为椭圆方程化为x2+=1,所以c==,离心率e==.2。

设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+｜PF2|等于( ) A。

4 B。

5 C.8 D。

10【解析】选D.由椭圆的第一定义知｜PF1|+｜PF2|=2a=10.3。

已知动点P(x，y)与两点A1(—2，0)，A2(2,0）的连线斜率之积为·=-,则点P(x,y)的轨迹方程为（）A.+=1（y≠0）B。

+=1(y≠0）C。

+y2=1（y≠0） D.+=1(y≠0）【解析】选B.因为·=·=-,整理得+=1.又因为点P不能在x 轴上，所以y≠0。

【变式备选】若过椭圆的一个焦点作长轴的垂线,交椭圆于两点P,Q，线段PQ的长度为2,椭圆的一个焦点是(2,0)，则椭圆的标准方程是_________.【解析】由题意可知，=2，c=2，又因为a2=b2+c2,解得a2=80，b2=20，所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=14.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（）A.B。

分层限时跟踪练(四十七)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·兰州双基考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 【解析】 设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p ＞0)，所以p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.【答案】 B2．(2015·四川绵阳二诊)抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22 B.24 C.12 D.14【解析】 ∵抛物线y 2＝2x 上一点M (x ，y )到它的焦点F 的距离为32，∴x ＋12＝32，∴x＝1.当x ＝1时，y ＝±2，∴△OFM 的面积为12×12×2＝24.故选B.【答案】 B3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意p22＝2，则p ＝8，所以C 2的方程为x 2＝16y .【答案】 D4．(2015·洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝( )A.14 B ．1 C.54D ．2【解析】 由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋1＝5，解得x 1＝4，y 21＝4x 1＝16，由对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程得4x 2－17x ＋4＝0，∴x 1＝4，x 2＝14，∴|BF |＝x 2＋1＝54.【答案】 C5．(2015·九江一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3 【解析】 设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22x －2，解得B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3.【答案】 D 二、填空题6．(2015·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝__________.【解析】 抛物线的准线方程为x ＝－p2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.【答案】 2 27．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若点A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1.焦点F (1,0)，又A 到准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3.∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.【答案】1638．(2015·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．【解析】 由题意，从点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形知|MA |＋|MM 1|的最小值为圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于5.因此|MA |＋|MF |的最小值为5.【答案】 5 三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，∴p ＝4， 从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.图8­7­410．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解】 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1＝223，k GB ＝－2－012－－1＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．[能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·成都模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223【解析】 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt △PAN 中，sin ∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin ∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，|PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos ∠NPA ＝22， 故选B. 【答案】 B2．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且|RA |＝|RB |，|FA |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A.32 B ．1 C ．2 D.12【解析】 依题意知|FA |＋|FB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋2＝5，解得p ＝1，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减并整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2y 2＋y 1＝21×2＝1，∴k AB＝1.【答案】 B3．已知P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．【解析】 由于P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上的点，且横坐标分别为4，－2，则P (4,8)，Q (－2,2)，从而在点P 处的切线斜率k 1＝4，由点斜式得曲线在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，同理在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)．联立这两个直线方程，可解得交点A 的纵坐标为－4.【答案】 －44．(2015·绵阳诊断)已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线FA 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为___________________________________________________________________．【解析】 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF 的方程为y ＝－3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝－3x －1，y 2＝4x y ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝233.此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.②若点A 位于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综上所述，点A 的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.【答案】 (3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2335．如图8­7­5，已知直线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，且点D 的坐标为(3，3)．图8­7­5(1)求p 的值；(2)若F 为抛物线的焦点，M 为抛物线上任一点，求|MD |＋|MF |的最小值．【解】 (1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，k OD ＝33，则k AB ＝－3，直线AB 的方程为y －3＝－3(x －3)，即3x ＋y －43＝0，将x ＝y 22p代入上式，整理得3y 2＋2py －83p ＝0，∴y 1y 2＝－8p ，由OA ⊥OB 得y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＋4p 2＝0，∴－8p ＋4p 2＝0，又p ＞0，则p＝2.(2)由抛物线定义知|MD |＋|MF |的最小值为D 点到抛物线y 2＝4x 准线的距离，又准线方程为x ＝－1，因此|MD |＋|MF |的最小值为4.6．(2015·湖南高考)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．【解】 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k29＋8k22＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9k2＋19＋8k22，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.。

故选B.
2
3.椭圆
4
A.1
√
2
+ 2

=
2
解：因为椭圆
4
2
1与双曲线

B. 2
2
+ 2

点在轴上，即 <
−
2
2
= 1有相同的焦点，则的值为(
C.2
)
D.3
2
2
= 1与双曲线 − = 1有相同的焦点，所以 > 0，且椭圆的焦

2
2.所以4 − 2 = + 2，解得 = −2（舍去），或 = 1.故选A.
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分.
2
9.已知方程
−2
2
+
4−
= 1，则(
)
A.若此方程表示椭圆，则2 < < 4
B.若此方程表示双曲线，则 < 2或 > 4
√
C.若此方程表示焦点在轴的双曲线，则 > 4
D.若此方程表示圆，则圆的半径为1
√
− 2 > 0,

2
+ 2

= 1 > > 0 ，则 = 1.
3
2
由题意,知当 = −1时， = .
1
+
2
2
故
9
4
2
= 1.
又 = 2 + 2 ，所以 = 2, = 3.
2
故椭圆方程为
4
故选B.
2
+
3
= 1.
=1
2
D.
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2019/8/8
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解法二：设所求直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则 2a＋1b＝1.
又∵a2＋b1≥2 a2b⇒21ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即 a ＝4，b＝2 时，△AOB 面积 S＝12ab 有最小值为 4.
此时，直线 l 的方程是4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0.
最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.
2019/8/8
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解法二：设∠OAB＝θ， 则|PA|＝si1nθ，|PB|＝sin902°－θ＝co2sθ， ∴|PA|·|PB|＝sinθ2cosθ＝sin42θ，当 sin2θ＝1，θ＝π4时， |PA|·|PB|取得最小值 4，此时直线 l 的斜率为－1，又过定点 (2,1)，∴其方程为 x＋y－3＝0.
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5
5.[2018·荆州模拟]两直线mx －ny＝a 与nx－my ＝a(其中 a 是 不为零的常数)的图象可能是( )
解析 直线方程mx －ny＝a 可化为 y＝mn x－na，直线nx－my
＝a 可化为 y＝mn x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故
选 B.
2019/8/8
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10
10.[2018·衡阳模拟]一条直线经过点 A(2，－ 3)，并且
它的倾斜角等于直线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线
的一般式方程是______3_x_－__y_－__3__3_＝__0_____．
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