二次函数图象与字母系数的关系课件

二次函数系数a ，b ，c 与图像的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像确定后，解析式中的系数a ，b ，c 也随之确定，反之，根据所给字母系数a ，b ，c 的符号，也可以判断抛物线的开口方向和位置．这一知识点在中考也属于必考知识点，在选择题第10题考察，难度中等，综合性较强．那么，字母系数a ，b ，c 又是分别对图像有着怎样的影响，下面我们来一一归纳：一、a 的作用1．决定开口方向：0>a 开口向上；0<a 开口向下； 2．决定开口的大小：∣a ∣越大，抛物线的开口越小．二、b 的作用与抛物线的对称轴和a 有关，b 与a 的符号共同决定抛物线的对称轴 1．b 与a 同号．⇔<-02ab对称轴在y 轴的左边．如图一，对称轴在 y 轴的左边，所以b 与a 同号，因为抛物线开口向下，所以0<a ，则0<b ； 2．b 与a 异号．⇔>-02ab对称轴在y 轴的右边．如图二，对称轴在 y 轴的右边，所以b 与a 异号，因为抛物线开口向下，所以0<a ，则0>b ；3．0=b ．顶点在y 轴上． 简记：左同右异三、c 的作用：由抛物线与y 轴的交点坐标决定 1． 0>c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 2． 0<c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 3． c = 0⇔抛物线过原点．图一 图二四、抛物线与x 轴的交点个数决定ac b 42-的符号 1．抛物线与x 轴有两个交点042>-⇔ac b ； 2．抛物线与x 轴有一个交点042=-⇔ac b ； 3．抛物线与x 轴没有交点042<-⇔ac b ．五、b a ±2的符号由对称轴所在位置来决定1．判断b a +2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1的大小关系； ①如果对称轴在1的右面，则12>-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2>-，移项可得02>+b a ；②如果对称轴在1的左面，则12<-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2<-，移项可得02<+b a ；例如：在图三中，抛物线对称轴在1=x 的左侧，则12<-ab，因为开口向下，所以0<a ，两边同时乘以a ，不等号方向改变，则有02<+b a ．根据这一方法，很容易推出图四中02>+b a ．2．判断b a -2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1-的大小关系； ①如果对称轴在1-的右面，则12->-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2->-，移项可得02>-b a ；图三 图四1-=x 1-=x ②如果对称轴在1-的左面，则12-<-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2-<-，移项可得02<-b a ．例如：在图五中，抛物线对称轴在1-=x 的左侧，则12-<-ab，因为开口向下，所以0>a ，两边同时乘以a ，不等号方向不变，则有02<-b a ．根据这一方法，很容易推出图六中02>-b a ．六、其他情况（解析式c bx ax y ++=2中x 取特殊值）1．当1=x ，则c b a y ++=，所以抛物线c bx ax y ++=2必过),1(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．如图七，抛物线c bx ax y ++=2与1=x 的交点位置在第一象限，所以0>++c b a ．当1-=x 时，c b a y +-=图五 图六2．当2=x ，则c b a y ++=24，所以抛物线c bx ax y ++=2)24,2(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．c bx ax y ++=2与2=x 的交点位置在第四象限024<++c b a ．当2-=x 时，c b a y +-=24，用同样的方法即可判断符号；3．当3=x ，则c b a y ++=39，所以抛物线c bx ax y ++=2)39,3(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．c bx ax y ++=2与3=x 的交点位置在第四象限，所以39+b a 当3-=x 时，c b a y +-=39，用同样的方法即可判断符号．以上总结的知识点，在考试中也经常考察，在中考也有直接考察；这一部分知识点属于二次函数性质中非常重要的部分，必须熟练掌握．下面给出几道例题，供大家试试身手：例1：二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，用<，>，=填空：a 0，b 0，c 0， b a -2 0， ac b 42- 0，c b a ++ 0， c b a +- 0，xy例2：已知，二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点M （cb，a ）在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限xy。

模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。

（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。

直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x …﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.875…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a bc->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．315．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4。