2019届九年级数学下册 小专题(二)二次函数的图象与字母系数的关系练习 (新版)湘教版

二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜37．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c ＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专数形结合．题：分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c ＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。

中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝03．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c=0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；⑤点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A．a＜0B．－3＜a＜0C．a<−32D．−92<a<−325．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是A．B．C．D．6．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于()A．－2B．－1C．1D．27．对于二次函数y=﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（）A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大C．当x=﹣1时，y有最小值为﹣3D．图象的对称轴是直线x=18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是D．抛物线的对称轴是直线9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是（）．A．B．C．D．11．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤212．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列答案正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，△＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，△＞0C．a＞0，b＜0，c＜0，△＞0D．a＜0，b＜0，c＞0，△＜0二、填空题13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a＜3b；⑤x＜1时，y随x的增大而增大；⑥a+b＜m（am+b）（m为实数且m≠1）其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则由此可得a0，b0，c 0.（填“<”或“>”）15．老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．16．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有。

小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y轴，则b＝0；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可；(5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b2a＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1时，x＝－b2a＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系；(6)b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；b2－4ac<0⇔抛物线与x轴无交点．1．(2018·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A．abc＞0B．2a＋b<0C．3a＋c<0D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根2．(2017·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2018·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．44．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D)A ．a ＋bB ．a －2bC ．a －bD ．3a5．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0；③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25.其中正确的有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②10a＋3b ＋c>0；③抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1>y 2；④无论a ，b ，c取何值，抛物线都经过同一个点(－c a，0)；⑤am 2＋bm ＋a≥0.其中所有正确的结论是②④⑤．。

专题训练(二)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系知识储备二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:项目字母字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下bb=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有一个交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c若a+b+c>0,则当x=1时,y>0若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系▶类型一利用二次函数图象考查以上表格中的问题1.[2020·宁波江北区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列关系式错误的是()A.a<0B.b>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0图 1 图22.[2020·宁波]如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是A.abc<0 B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()图 3▶类型二利用二次函数图象考查ma+nc或mb+nc(m,n为非零整数)与0的关系4.如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1.给出下列结论:①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c=0.其中,正确的结论有()图4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2020·遵义改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点在点(-4, 0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图5所示,下列结论中正确的有()①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.图5A.1个B.2个C.3个D.4个▶类型三利用二次函数图象考查am2+bm+c(a≠0,a,b,c为常数)与a+b+c的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,其图象如图6所示,现有下列结论:①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0,④a+b>n(an+b)(n ≠1),⑤2c<3b.其中正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤图6 图77.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分如图7所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c.其中正确的有() A.5个B.4个C.3个D.2个▶类型四利用二次函数图象解一元二次方程或不等式8.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=59.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解是()图8A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3▶类型五利用一次函数、二次函数的图象解一元二次方程或不等式10.如图9所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解为()图9A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥911.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图10所示,则方程ax2+（32b x+c=0的两根之和()图10A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定专题二教师详解详析1.D[解析] 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.故选D.2.D[解析] ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-b2a=-1,∴b=2a.又∵a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴交于点C,∴c>0,∴abc>0,故A错误;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误;∵b=2a,∴当x=-1时,y=a-b+c=c-a<0,故C 错误;当x=-n2-2(n为实数)时,y=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c=a( n2+1)2-a+c.∵n为实数,∴n2≥0,(n2+1)2≥1.又∵a>0,∴a(n2+1)2-a≥0,∴y≥c,故D正确,因此本题选D.3.C4.C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0,故③错误;∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,∴点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0),即抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故④正确.综上可知,正确的结论有①②④,共3个.5.C[解析] 由-b2a=-2,得4a-b=0,故①正确;由抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,当x≤-2时,y随x的增大而增大,可知当x=-3时,y>0,由抛物线的对称性可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.又4a=b,∴a-4a+c>0,即c>3a.故②错误; 由图象得,关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根正确; 由4ac-b24a=3,得4ac-b2=12a,∴4ac=12a+b2=3b+b2.易知a<0,b<0,c<0,∴4ac<2b+b2 ,故④正确.故选C.6.D[解析] ①由图象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故此选项错误;②当x=-2时,y=4a-2b+c<0,即b-2a>c2>0,故此选项错误;③当x=-1时,y=a-b+c<0,故此选项错误;④当x=1时,y的值最大,此时,y=a+b+c,而当x=n 时,y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c(n≠1),故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b)(n≠1),故此选项正确.⑤由抛物线的对称性可知当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴a=-b2,代入9a+3b+c<0,得9-b2 +3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;故④⑤正确.因此本题选D.7.B8.D9.D[解析] 根据图象可知,当y=0时,对应的x的值分别为x1=-1,x2=3.当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,当函数值y>0时,x的取值范围是x<-1或x>3.故选D.10.A[解析] 由图象可以看出:二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的图象的交点的横坐标分别为-1,9.而当y1≥y2时,对应的图象正好在两交点之间,所以-1≤x≤9.故选A.11.A。

专题 二次函数的图象与系数a 、b 、c 的关系1．（2019·黑龙江省中考模拟）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；①9a+3b+c ＜0；①c ＞﹣1；①关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1a-，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解：由图象开口向下，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以02ba->，所以b>0，故①正确； 由图象可知当x=3时，y>0，①9a+3b+c>0，故①错误；由图象可知OA<1，①OA=OC ，①OC<1，即-c<1，c>-1，故①正确： 假设方程的一个根为x=1a -，把x=1a -代入方程可得10bc a a-+= ，整理可得ac-b+1=0， 两边同时乘c 可得ac 2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c ，由①可知-c=OA ，而x=OA 是方程的根， ①x=-c 是方程的根，即假设成立，故①正确；综上可知正确的结论有三个；故答案为C.2．（2019·山东省初三二模）二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x ＝1，下列结论：①ab ＜0；①b 2＞4ac ；①a +b +2c ＜0；①3a +c ＜0． 其中正确的是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①①【答案】C【解析】①抛物线开口向上，①a>0，①抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，①c<0，①ab<0，所以①正确； ①抛物线与x 轴有2个交点，①①=b 2-4ac>0，所以①正确； ①x=1时，y<0，①a+b+c<0，而c<0，①a+b+2c<0，所以①正确； ①抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，①b=-2a ，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，①a+2a+c>0，所以①错误．3．（2019·合肥市第四十八中学初三月考）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ①4a+2b+c ＞0 ①4ac ﹣b 2＜8a ①13＜a ＜23①b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ） A ．①① B ．①①① C ．①①①D ．①①①①【答案】D 【解析】①①函数开口方向向上，①a ＞0；①对称轴在y 轴右侧，①ab 异号，①抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，①c ＜0，①abc ＞0，故①正确；①①图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，①图象与x 轴的另一个交点为（3，0），①当x=2时，y ＜0，①4a+2b+c ＜0，故①错误；①①图象与x 轴交于点A （﹣1，0），①当x=﹣1时，y=()()211a b c -+⨯-+=0，①a ﹣b+c=0，即a=b ﹣c ，c=b ﹣a ，①对称轴为直线x=1，①2ba-=1，即b=﹣2a ，①c=b ﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，①4ac ﹣2b =4•a•（﹣3a ）﹣()22a -=216a -＜0，①8a ＞0，①4ac ﹣2b ＜8a ，故①正确；①①图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，①﹣2＜c ＜﹣1，①﹣2＜﹣3a ＜﹣1，①23＞a ＞13，故①正确；①①a ＞0，①b ﹣c ＞0，即b ＞c ，故①正确4．（2019·安徽省初三期末）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；①当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小；①a+b+c ＜0；①若方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，则m ＞2； ①3a+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】（1）①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2−4ac >0，①结论①不正确．（2）抛物线的对称轴x =−1，①当x >−1时，y 随x 增大而减小，①结论①正确．（3）①抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，①抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，①当x =1时，y <0，①a +b +c <0，①结论①正确． （4）①y =ax 2+bx +c 的最大值是2，①方程ax 2+bx +c −m =0没有实数根，则m >2，①结论①正确． （5）①抛物线的对称轴x =2ba-=−1，①b =2a ， ①a +b +c <0，①a +2a +c <0，①3a +c <0，①结论①正确． 综上，可得正确结论的序号是：①①①①,正确的结论有4个.5．（2019·山东省中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1．有下列4个结论：①abc ＞0；①4a +2b +c ＞0；①2c ＜3b ；①a +b ＞m （am +b ）（m 是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， ①﹣2ba＞0，①b ＞0，①abc ＜0，故①错误； ①由对称知，当x ＝2时，函数值大于0，即y ＝4a+2b+c ＞0，故①正确； ①当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a+3b+c ＜0，且x ＝2ba-＝1， 即a ＝2b -，代入得9（2b-）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故①正确； ①当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a+b+c ，而当x ＝m 时，y ＝am 2+bm+c ， 所以a+b+c ＞am 2+bm+c ，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故①正确．6．（2019·山东省中考模拟）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点（2，0）下列说法：①abc<0；①-2b+c=0；①4a+2b+c<0；①若(-52，y 1)，(52，y 2)是抛物线上的两点，则y 1<y 2；①1142a b +>m(am+b)其中(m≠12)其中说法正确的是A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口可知：a ＜0，又抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0， 对称轴−2ba>0，①b ＞0，①abc ＜0，故①正确； ①将（2，0）代入y=ax 2+bx+c （a≠0），①4a+2b+c=0， ①−221b a =，①a=-b ，①-4b+2b+c=0，①-2b+c=0，故①正确； ①由①可知：4a+2b+c=0，故①错误； ①由于抛物线的对称轴为x=12，①（−52，y 1）与（72，y 1）关于x=12对称， 由于x ＞12时，y 随着x 的增大而减小， ①72＞52，①y 1＜y 2，故①正确； ①由图象可知：x=12时，y 可取得最大值，且最大值为14a+12b ，①m≠12①14a+12b+c ＞am 2+bm+c ，①14a+12b ＞m(am+b)，故①正确； 7．（2019·山东省中考模拟）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在()3,0-和()2,0-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：()2140b ac ->；()22a b =；()3点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、23,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、35,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<；()4320b c +<；()()5t at b a b +≤-（t 为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】（1）抛物线与x 轴有两个交点，所以方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根，所以b 2﹣4ac ＞0，此结论正确；（2）对称轴为x =﹣1=﹣2ba，即b =2a ，此结论正确； （3）由二次函数的对称性可得，x =54与x =﹣134的函数值相等，当x ＜﹣1时，y 随着x 的增大而增大，所以y 1＜y 3＜y 2，此结论错误；（4）由图像得，x =﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b +c ＜0，因为b =2a ，所以2b×9﹣3b +c ＜0，即3b +2c ＜0，此结论正确；（5）要证明t (at +b )≤a ﹣b ，即要证明at 2+bt +c ≤a ﹣b +c ，即要证明抛物线在x =﹣1时取最大值，由图像可得当x =﹣1时，y 最大，此结论正确. 正确结论的个数是4.8．（2018·江苏省中考模拟）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，下列四个结论：①4a+c ＜0；①m （am+b ）+b ＞a （m≠﹣1）；①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0没有实数根；①ak 4+bk 2＜a （k 2+1）2+b （k 2+1）（k 为常数）．其中正确结论的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【解析】①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2， 所以﹣2ba=﹣1，可得b=2a ，当x=﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b+c ＜0，9a ﹣6a+c ＜0，3a+c ＜0， ①a ＜0，①4a+c ＜0，所以①选项结论正确；①①抛物线的对称轴是直线x=﹣1，①y=a ﹣b+c 的值最大，即把x=m （m≠﹣1）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，①am 2+bm ＜a ﹣b ，m （am+b ）+b ＜a ，所以此选项结论不正确； ①ax 2+（b ﹣1）x+c=0，①=（b ﹣1）2﹣4ac ， ①a ＜0，c ＞0，①ac ＜0，①﹣4ac ＞0，①（b ﹣1）2≥0，①①＞0，①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有实数根； ①由图象得：当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，①当k 为常数时，0≤k 2≤k 2+1，①当x=k 2的值大于x=k 2+1的函数值，即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），所以此选项结论不正确；。

小专题(二) 二次函数的图象与字母系数的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b同号；若对称轴在y轴的右边，则a，b异号；若对称轴为y 轴，则b＝0；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线经过原点，则c＝0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x轴的位置关系即可；(5)当对称轴为直线x＝1时，x＝－b2a＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1时，x＝－b2a＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系；(6)b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；b2－4ac<0⇔抛物线与x轴无交点．1．(2018·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A．abc＞0B．2a＋b<0C．3a＋c<0D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根2．(2017·黔东南)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b 2＝4ac ；②abc＞0；③a＞c ；④4a－2b ＋c ＞0，其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2018·滨州)如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．44．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D)A ．a ＋bB ．a －2bC ．a －bD ．3a5．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0；③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25.其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②10a＋3b ＋c>0；③抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1>y 2；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线都经过同一个点(－c a ，0)；⑤am 2＋bm ＋a≥0.其中所有正确的结论是②④⑤．。

北师大版初三数学下册练习：小专项(六) 二次函数的图象与字母系数的关系抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与字母系数a ，b ，c 之间的关系：(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；(2)若对称轴在y 轴的左边，则a ，b 同号；若对称轴在y 轴的右边，则a ，b 异号；若对称轴为y 轴，则b ＝0；(3)若抛物线与y 轴的正半轴相交，则c>0；若抛物线与y 轴的负半轴相交，则c<0；若抛物线通过原点，则c ＝0；(4)当x ＝1时，y ＝ax2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ；当x ＝－1时，y ＝ax2＋bx ＋c ＝a －b ＋c ；当x ＝2时，y ＝ax2＋bx ＋c ＝4a ＋2b ＋c ；当x ＝－2时，y ＝ax2＋bx ＋c ＝4a －2b ＋c ；…故要比较a ＋b ＋c 与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与x 轴的位置关系即可；(5)当对称轴为直线x ＝1时，x ＝－b 2a ＝1，因此－b ＝2a ，现在2a ＋b＝0；当对称轴为直线x ＝－1时，x ＝－b 2a ＝－1，因此b ＝2a ，现在2a －b＝0；判定2a ＋b 大于或小于0，看对称轴与直线x ＝1的位置关系；判定2a －b 大于或小于0，看对称轴与直线x ＝－1的位置关系；(6)b2－4ac>0⇔抛物线与x 轴有两个交点；b2－4ac ＝0⇔抛物线与x 轴有一个交点；b2－4ac<0⇔抛物线与x 轴无交点.1.(2021·深圳)二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A.abc ＞0B.2a ＋b<0C.3a ＋c<0D.ax2＋bx ＋c －3＝0有两个不相等的实数根2.(2021·黔东南)如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①b2＝4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a －2b ＋c ＞0，其中正确的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2021·滨州)如图，若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3，其中正确的个数是(B)A.1B.2C.3D.44.已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝(D)A.a ＋bB.a －2bC.a －bD.3a5.(2021·达州)如图，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc ＜0；②9a ＋3b ＋c ＞0；③若点M(12，y1)，点N(52，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2；④－35＜a ＜－25.其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个6.(2021·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc<0；②10a ＋3b ＋c>0；③抛物线通过点(4，y1)与点(－3，y2)，则y1>y2；④不管a ，b ，c 取何值，抛物线都通过同一个点(－c a ，0)；⑤am2＋bm ＋a ≥0.其中所有正确的结论是②④⑤.。

北师大版九年级数学下册练习：小专题(六) 二次函数的图象与字母系数的关系系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝－1的位置关系；(6)b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac ＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；b2－4ac<0⇔抛物线与x轴无交点.1.(2019·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A.abc＞0B.2a＋b<0C.3a＋c<0D.ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根2.(2019·黔东南)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2019·滨州)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的个数是(B)A.1B.2C.3D.44.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝(D)A.a＋bB.a－2bC.a－bD.3a5.(2019·达州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点M(12，y1)，点N(52，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2；④－35＜a＜－25.其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个6.(2019·乌鲁木齐)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)，且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc<0；②10a＋3b＋c>0；③抛物线经过点(4，y1)与点(－3，y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(－ca，0)；⑤am2＋bm＋a≥0.其中所有正确的结论是②④⑤.。