泛函分析讲义(黎永锦编著)思维导图

泛函分析一、课程说明课程编号：130111Z10课程名称：泛函分析/Functional Analysis课程类别：专业教育课程（专业核心课）学时/学分：56/3.5先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何、实变函数、拓扑学适用专业：数学与应用数学教材、教学参考书：1. 黎永锦, 泛函分析讲义，科学出版社，20112. 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社，19873. 刘培德, 泛函分析基础,武汉大学出版社，20014. 夏道行，吴卓人等，实变函数与泛函分析（下），高等教育出版社，20055. 程其襄，张奠宙等，实变函数与泛函分析基础（下），高等教育出版社，2010二、课程设置的目的意义《泛函分析》是数学与应用数学专业核心课程，是现代数学中的主要数学分支之一。

泛函分析的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。

它综合地运用分析、代数和拓扑的观点与方法研究数学中的诸多问题，它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题，形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法。

该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础。

三、课程的基本要求通过该课程的学习，使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用，掌握泛函分析中诸如度量，范数，线性算子，内积，直交投影等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论等，学会用代数、分析和拓扑学知识综合处理问题的新方法，弄清有限维空间与无穷维空间的差别，学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法。

1、知识要求：（1）正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念；理解并掌握度量空间中的内点，极限点，开集、闭集、闭包等概念；（2）理解并掌握列紧集及紧集的概念以及紧集、列紧集上的连续映射的性质；（3）熟练掌握压缩映照原理及其应用；（4）理解线性空间和范数的概念以及相关的例子；掌握范数的等价性及判别方法；（5）掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质；（6）理解并掌握线性连续泛函与Hahn-Banach保范延拓定理；（7）熟练掌握线性算子范数的计算；（8）熟练掌握一致有界原理；熟练掌握开映射定理、闭图像定理、逆算子定理以及应用；（9）掌握求序列空间的共轭空间的基本方法，具体空间上的有界线性泛函的表示；（10）理解并掌握共轭算子及其性质；（11）理解并掌握弱收敛；（12）掌握内积的定义，内积中的一些不等式；理解并掌握内积空间的正交集及其性质；（13）理解投影定理；理解并掌握Riesz表示定理。

第三章 赋范空间3.1. 范数的概念“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。

为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。

那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？3.1.1. 向量的长度为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。

回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。

这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。

可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。

实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x 的如下三种长度（称为“范数”）：● 2-范数（也称为欧氏范数）：2x =● 1-范数：11n k k x x ==∑；● ∞-范数：1max k k nx x ∞≤≤=。

图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。

我们注意到：通常将2或3中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。

由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。

因此，长度是比距离更本质的概念。

3.1.2. 范数的定义我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。

泛函分析讲义-黎永锦134部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L. Bers （贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2 设∑=∞≤∈=n i ii i x R x x l 11}||,|){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞=-=1||),(i iiy x y x d ,||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ⊂,1l x o ∈,使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1l 上的两个度量.（2）取111(,,,,0,)n x n n n= 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时()0n ix =,则1n x l ∈且()1(,0)sup |0|0n n inx xρ=-=→,但()111(,0)|0|1nn n in i i d x x∞===-==∑∑.因此(,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.黎永锦-部分习题解答1351.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得=),(z x d ),(21),(y x d z y d =. 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1,.x y x y ⎧=⎨≠⎩当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =,但不存在2z R ∉,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集.1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ⊂.故(,)x U y r x G +⊂+,因而G x r y x U +⊂+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x FF G x G ∈+=+ 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集. 1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,()0n ix =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且lim n n x x →= ,这里112(1,,,,)n x = ,但x M ∉,因此M 不是闭集,所以M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明CC F F )(0=.1.10证明：对于任意0x F ∈,有0(,)U x r F ⊂,故φ=C F r x U ),(,因而C C F x )(∈,从而C C F F )(0⊂.对于任意C C F x )(∈,有()Cx F ∉,因而存在φ=C F r x U ),(,故(,)U x r F ⊂,从而0x F ∈,故0)(F F C C ⊂.所以,0()C CF F ⊂.1.12 设),(d X 为度量空间,X F ⊂,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到 ),0[+∞的连续算子.泛函分析讲义-黎永锦1361.12 证明：对于任意,x z X ∈,有.(,)inf{(,)|}inf{(,)(,)|}(,)inf{(,)|}(,)(,)d x F d x y y F d x z d y z y F d x z d y z y F d x z d z F =∈≤+∈=+∈=+故(,)(,)(,)d x F d z F d x z -≤类似地,有(,)(,)(,)d z F d x F d z x -≤因此|(,)(,)|(,)d x F d z F d x z -≤所以,0n x x →时,必有0(,)(,)n d x F d x F →,即(,)d x F 是连续函数. 1.14 设),(d X 为度量空间,F 为闭集,试证明存在可列个开集n G ,使n G F =.1.14 证明：由于F 是闭集,因此{|(,)0}F x d x F ==,又因为(,)d x F 是连续的,所以对任意1,{|(,)}n n x d x F <是开集,从而对于开集1{|(,)}n n G x d x F =<,有1{|(,)0}{|(,)1/}n F x d x F x d x F n ∞====< ，所以1n n F G ∞== .1.16 试证明∞l 是完备的度量空间.1.16证明：设{}n x 为 ∞l 的Cauchy 列,则对于任意0ε>,存在 N,使得n N >时有()()(,)sup ||n p n n p n i i d x x x x ε++=-<.故对每个固定的i,有()()||(,1)n p n i i x x n N p ε+-<>>.因此(){}n i x 是Cauchy 列.因而存在i x ,使得()lim n ii n x x →∞=,令()i x x =,则由可知(1)||N i i x x ε+-≤故黎永锦-部分习题解答137(1)||||N i i x x ε+≤+由于(1)1()N N ix x l ++∞=∈,因此存在常数1N M +使得11sup ||N i N x M ++≤<+∞.又由()()||n p n ii x x ε+-<可知||n i i x x ε-<对任意i 及n N ∈成立.故()(,)sup ||n n i i d x x x x ε=-<所以,n x x →,即l ∞是完备的度量空间. 1.18 证明0c 中的有界闭集不一定是紧集.1.18 证明：令{()|||1}i i M x x =≤,则M 是0c 的有界闭集,但M 是不紧集.1.20 设),,1[+∞=X |/1/1|),(y x y x d -=,试证明),(d X 为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证|/1/1|),(y x y x d -=是),(d X 的度量.取X x n ∈,),1[+∞∈=n x n ,则}{n x 为X 的Cauchy 列，但}{n x 没有极限点，因此}{n x 不是收敛列，所以不是完备的.1.22 试证明度量空间),(d X 上的实值函数f 是连续的当且仅当对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.1.22证明: 若度量空间),(d X 上的函数f 是连续的,则明显地,对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集.如果对于任意R ∈ε,})(|{ε≤x f x 和})(|{ε≥x f x 都是),(d X 的闭集,则于任意R ∈21,εε,容易知道})(|{})(|{\})(|{2121εεεε≥≤=<<x f x x f x X x f x 是开集,对于R 上的开集G ,有G 的构成区间),(n n βα,使得),(n n G βα =,因而)(1G f -是开集,所以f 是连续的.1.24 设R 为实数全体,试在R 上构造算子T ,使得对任意R y x ∈,,y x ≠,都有||||y x Ty Tx -<-,但T 没有不动点.泛函分析讲义-黎永锦1381.24证明：(1) 设R 为实数全体,12:,tan T R R Tx x x π-→=+- 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知22|()()|||||1f x f y x y x y ξξ-=-<-+ 但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x = ,则1tan 2x π-=,因而矛盾.(2) 设),,1[+∞=X 11:,x T X X Tx x +→=+ 则对任意,,x y R x y ∈≠,由'()()()()f x f y f x y ξ-=-可知21|()()|[1]||||(1)f x f y x y x y ξ-=--<-+但f(x)没有不动点.实际上,若()x f x =,则110x +=,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25 设函数),(y x f 在)},(],,[|),{(+∞-∞∈∈=y b a x y x H 上连续,处处都有偏导数),('y x f y ,且满足+∞<≤≤<M y x f m y ),('0试证明0),(=y x f 在],[b a 上有唯一的连续解)(x y ϕ=. 提示：定义:],[],[:b a C b a C T →为),(1ϕϕϕx f MT -= 证明T 为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.1.26 设),(d X 为度量空间,T 为X 到X 的算子,若对任意X y x ∈,,y x ≠,都有 ),(),(y x d Ty Tx d <,且T 有不动点,试证明T 的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A 有两个不动点12,x x ,使得1122,A x x A x x ==,则121212(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x =<但这与12x x ≠矛盾,所以A 只有唯一的不动点.黎永锦-部分习题解答1391.27 设),(d X 为度量空间,且X 为紧集,T 为X 到X 的算子,且y x ≠时,有),(),(y x d Ty Tx d <,试证明T 一定有唯一的不动点.证明思路：构造X 上的连续泛函),(),(y x d Ty Tx d <,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在X x ∈0,使得}|)({inf )(0X x x f x f ∈=,0x 就是T 的不动点. 1.28 试构造一个算子22:R R T →,使得T 不是压缩算子,但2T 是压缩算子.1.28证明：定义)0,(),(:221x x x T →,则T 不是压缩算子,但2T )0,0(),(:21→x x 是压缩算子.1.30 设||),(),,1[y x y x d X -=+∞=,x x Tx X X T /13/,:+=→,试证明T 是压缩算子. 1.30证明：由 x x Tx /13/+=,可知|/13//13/|||y y x x Ty Tx +--=-),(32|||131|2y x d y x ≤--=ξ,所以T 是压缩算子.习题二2.2 设X 为赋范线性空间,||||⋅为X 上的范数,定义⎩⎨⎧≠+-==.y x 1||||；y x ,0),(时当时当，y x y x d试证明),(d X 为度量空间,且不存在X 上的范数1||||⋅,使得1||||),(y x y x d -=. 2.2证明：由度量的定义可知是X 上的度量.假设存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-,则对于,K x X λ∈∈,一定有11||||||||||x x λλ=⋅.泛函分析讲义-黎永锦140如果取001,,||||12x X x λ=∈=,则 001000013||||||||1||||||1122x x x λλλ=+=⋅+=+= , 但是1)11(21)1||(||||||||||00100=+=+=x x λλ,因此11||||||||||x x λλ=⋅不成立,所以一定不存在X 上的范数1||||⋅,使得1(,)||||d x y x y =-.2.4设M 是赋范空间X 的线性子空间,若M 是X 的开集,证明M X =.2.4证明：由于M 是线性子空间,因此0M ∈.由M 是开集可知存在(0,){|||||}U x x M εε=<⊂.因而对于任意,0x M x ∈≠,有),0(2εεU x∈,从而M x∈2ε,因为M 是线性子空间,所以x M ∈,即M X =.2.6设X 是赋范线性空间,若λλλλ→∈∈n n n X x x K ,,,,且x x n →,试证明x x n n λλ→.2.6证明：由n x x →可知存在0M >,使得||||x M ≤,故||||||||||||||||||||||||||||||||0n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x M x x λλλλλλλλλλλλ-≤-+-≤-⋅+⋅-≤-+⋅-→所以,n n x x λλ→.2.10 在∞l 中,若M 是∞l 中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M 是∞l 的线性子空间,但M 不是闭的.2.10证明：明显地M 是线性子空间,取112(1,,,,0,0)n n x = ,则n x M ∈ 且0n x x →,但1102(1,,,,0,0)n x M =∉ ,所以M 不是闭的子空间.2.12 设R R f →:,满足)()()(y f x f y x f +=+对任意X y x ∈,成立，若f 在R 上连续,试证明f 是线性的.黎永锦-部分习题解答1412.12证明：由)()()(y f x f y x f +=+可知,)()(x nf nx f =对所有正整数N n ∈都成立.并且)()()(m x mf m x m x m x f x f =+⋅⋅⋅++=,故)(1)(x f mm x f =对所有正整数N m ∈都成立.因此所有正有理数Q q ∈都有)()(x qf qx f =成立,由)()())((x f x f x x f -+=-+和)0()0()0(f f f +=可知0)0(=f 并且)()(x f x f -=-,因而)()(x qf qx f =对所有有理数Q q ∈都有成立.由于f 在R 上连续,因此,对于任意R ∈α,有Q q n ∈,使得α→n q ,从而)()(lim )(lim )(x f x f q x q f x f n n n n αα===∞→∞→,所以f 是线性的.2.14设X 是有限维Banach 空间,n i i x 1}{=为X 的Schauder 基,试证明存在*∈X f i ,使得1)(=i i x f ,且0)(=j i x f ,对j i ≠成立.2.14证明：令{|}i j M span x i j =≠,则M 是 n-1维的闭子空间,且i i x M ∉,由Hahn Banach -定理可知存在*,||||1i g X x ∈=,使得()(,)i i i i g x d x M =,且()0g x =对任意i x M ∈成立,令(,)ii i g i d x M f = ,则*i f X ∈,且()1,()0i i i j f x f x ==,对任意i j≠成立.2.16设X 是赋范空间,M 为X 的闭线性子空间,M X x \0∈,试证明存在*∈X f ,使得),(1||||,1)(00M x d f x f ==,且0)(=x f ,对所有M x ∈成立.2.16证明： 由M 是闭线性子空间,M X x \0∈因此,因此0(,)0d x M >存在*,||||1g X g ∈=,使得00()(,)g x d x M =,且()0g x =对于任意x M ∈成立.令0(,)gd x M f =,则00||||10(,)(,)()1,||||g d x M d x M f x f ===,且()0f x =对任意x M ∈成立.2.18设X 是严格凸空间,试证明对任意,0,0,,≠≠∈y x X y x 且||||||||||||y x y x +=+时,有0>λ 使得x y λ=.2.18证明：假设存在00,x y ,使得0000||||||||||||x y x y +=+,但00x y λ≠,对任意0λ>成泛函分析讲义-黎永锦142立,则0000||||||||xy x y ≠,故有0000000000||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1x x y yx y x x y y ++⋅+⋅<因而0000||||||||||||1x yx y ++< 但这与0000||||||||||||x y x y +=+矛盾,所以||||||||||||y x y x +=+时,有x y λ=对某个0λ>成立.2.20试证明1l 和∞l 都不是严格凸的赋范线性空间. 2.20证明：在1l 中,取1111(,0,,0,0,,0),(0,,0,,0,,0)2222x y == ,则||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但||||2x y +=,因而1l 不是严格凸的.类似的,在∞l 中,取(1,0,1,0,0,,0),(1,1,0,,0)x y == ,则 ||||1,||||1x y ==,且x y ≠,但 ||||2x y +=,所以l ∞不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.2.22证明：令{()|N 0}i i i X x x R i N x =∈>=存在某个，使得时，有,定义1||||||()||||i i i x x x ∞===∑,则(,||||)X ⋅是赋范空间,取12(0,0,,0,,0,0,,0)n n x = ,则1211||||nni i x∞∞===∑∑,因此1ni x∞=∑绝对收敛,但级数1ni x∞=∑不收敛.2.24 设是X 赋范线性空间,,,X x x n ∈x x n →,试证明对任意*∈X f ,有)||||()||||(x xf x x f n n →. 2.24证明：由x x n →可知, ||||||||x x n →,因而,||||||||x xx x n n →,所以, ≤-|)||||()||||(|x x f x x f n n 0||||||||||||||||→-x xx x f n n . 2.26在]1,0[C 中,]},[),()(|)({b a C x b x a x t x M ∈==,试证明M 是]1,0[C 的完备线性子空间.黎永锦-部分习题解答1432.26证明：容易验证M 是]1,0[C 的线性子空间.由于]1,0[C 是完备赋范线性空间,M 是]1,0[C 的闭子空间,因此M 是]1,0[C 的完备线性子空间.2.28 在2R 中,取范数||||||||21x x x +=，}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的线性子空间,对20)1,0(R x ∈=,试求出M y ∈0,使得),(||||000M x d y x =-.2.28证明：由于1||})1,(inf{||}|||inf{||),(100≥=∈-=x M y y x M x d ,并对于M y ∈=)0,0(0,有1||)1,0(||||||00==-y x ,所以1),(0=M x d ,且),(||||000M x d y x =-.习题三3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i i i∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T .3.2证明： 由T 的定义可知T 是线性算子,且||||31||31||)3(||||||1x x x Tx i i i =≤=∑∞=, 因此13||||T ≤,从而T 是线性有界算子.取0(1,0,,0)x = ,则01x l ∈,且0||||1x =,故01||||||||3T Tx ≥=,所以1||||3T =. 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.4证明：由于||||||||sup ||||supsup 111T x Txx Tx Tx x x x =≤≤≠<<,因此Tx T x 1||||sup ||||<≥.对于任意10n >,由||||sup ||||||||sup ||||||||sup||||1||||0||||0||||Tx x xT x Tx T x x x =≠≠===可知,有||||1n x =,使得1||||||||n n Tx T ≥-,故111||(1)||(1)(||||)n n n n T x T -≥--,因而111||||1sup ||||||(1)||(1)(||||)n n n n x Tx T x T <≥-≥--对任意n 成立泛函分析讲义-黎永锦144从而||||1||||sup ||||x T Tx <≤,所以||||sup ||||1||||Tx T x <=3.6 设X 是赋范空间,X x ∈α,若对任意*f X ∈,有+∞<|)(|sup ααx f ,试证明+∞<||||sup ααx .3.6 证明：定义*:,()()T X K T f f x ααα→=,则T α是*X 到K 的线性有界算子,且对于任意*f X ∈,有sup |()|sup |()|T f f x ααα=<+∞因为任意赋范空间X 的共轭空间 *X 都是完备的,因此由一致有界原理,有sup ||||T α<+∞.由αT 的定义可知||)(||sup |)(||sup ||||1||||1||||αααx f f T T f f ====故||||||||T x αα=,所以,sup ||||x α<+∞.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.证明思路：明显地,只需证明),(Y X L 是Banach 空间时,Y 是Banach 空间.由于}0{≠X ,因此有1||||,00=∈x X x ,故由Hahn-Banach 定理存在1||||=f ,使得1||||)(00==x x f .若Y y n ∈}{是Cauchy 列,定义算子列),(Y X L T n ∈为n n y x f x T )(=,则),(Y X L T n ∈,并且||||||||n m n m y y T T -=-,因而}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,所以存在),(Y X L T ∈,使得T T n →.不难证明0Tx y n →,从而Y 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f .3.8证明： 由于lim ()()n n f x f x →∞=,因此sup{|()|}n f x <∞对任意x 成立,由X 是Banach黎永锦-部分习题解答145空间可知sup{||||}n f M <<∞因而|()|||||||||||||n n f x f x M x ≤⋅<,所以|()|||||f x M x ≤,即f 是X 的线性连续泛函. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT1||||1≤-. 3.10 证明：由||||||||Tx M x ≥可知T 是单射,因而1T -存在,且对于任意y Y ∈,由T 满射可知存在x X ∈,使得y Tx =,容易验证T 是线性算子,故1111||||||||||||||||||||T y T Tx x Tx y --==≤=,所以,1T -连续,且11||||MT-≤.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射. 3.12证明：由0f ≠可知存在00x ≠,使得0()1f x =,故对于X 的开集G 及任意()f G α∈,必有x G ∈,使得()f x α=,由于是G 开集,故有0ε>,使(,)U x G ε⊂,因此对00,||||||x x x λλε+<,有0x x G λ+∈,因而0()f x x G λ+∈,但00()()()f x x f x f x λλαλ+=+=+,故(,)()f G αεαε-+⊂ ,即α为G 的内点,所以()f G 为开集,即f 一定开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.证明思路：先证S 为闭算子,从而S 是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach 定理的推论可泛函分析讲义-黎永锦146知, 当0≠Sx 时,存在1||||,*=∈f X f ,使得||||)(Sx Sx f =,不难进一步证明T 为是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.14证明：若()n y T F ∈,且0n y y →,则存在n x F ∈使得()n n y f x =,由于F 是紧集,因此存在k n x ,使得0k n x x →,且0x F ∈.由0y Tx k n →及T 是闭线性算子可知0y Tx =,所以0()y T F ∈,即)(F T 是闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.证明思路：由于T 的定义域为X ,因此明显地,只需证明T 为闭线性算子.设有点列X x n ∈}{,X y x ∈,,当∞→n 时,x x n →,y Tx n →.由)(T R 是闭的,)(T R Tx n ∈可知必有X x ∈0,使得0Tx y =.由于T T=2,因此0)(2=-=-n n n n Tx x T x Tx T ,即)(T N x Tx n n ∈-.由)(T N 是闭的,可得)()(lim T N x Tx x y n n n ∈-=-∞→,从而0)(=-x y T .因此y Tx Tx T Ty Tx ====00)(,所以T 为闭线性算子.由闭图像定理可知),(X X L T ∈3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T . 3.16证明：由于n T 强收敛于,因此T 对任意x X ∈,有||||0n T x Tx -→,故对于任意*f Y ∈,有|()()||()|||||||||0n n n f T x f Tx f T x Tx f T x Tx -=-≤⋅-→,所以n T 弱收敛于T .黎永锦-部分习题解答147习题四4.2 试证明∞=l l *1.4.2证明：对于任意1x l ∈,有11lim ni ii i n i i x x ex e ∞→∞====∑∑,故对于任意*1f l ∈,有11()lim ()lim ()nni i i i n n i i f x f x e x f e →∞→∞====∑∑由于1111|()||||()|||||||||||||||||n n n niiiiiiii i i i x f e x f e x f e x f ====≤≤⋅⋅=⋅∑∑∑∑因此由1()i x x l =∈可知1||n ii x =∑收敛,从而1()niii x f e =∑绝对收敛,且11|()||()|sup |()|sup |()|||||i i i i i i i f x x f e f e x f e x ∞∞===≤=⋅∑∑令()(())i i y f e α==,则y l ∞∈,且对于任意,都1()i x x l =∈,有1()i i i f x x α∞==∑ 且||||||||f y =.反过来,对于任意 ()i y l α∞=∈,则定义f 为11(),()i iii f x x x x l α∞==∀=∈∑则f 是上的线性连续泛函,且||||sup ||||||i f y α==,所以 ∞=l l *1 4.4 试证明1*l l ≠∞.4.4证明： 用反证法,假设 *1l l ∞=,则由于1l 是可分的,因此是l ∞可分的,但这与1l 不可分矛盾,所以1*l l ≠∞泛函分析讲义-黎永锦1484.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.4.6证明：若()(0)202(),()n n i i x x l x x l =∈=∈,且0n x x →,则()(0)21/21(||)0n i i i x x ∞=-→∑因此,对于任意i 有()(0)()(0)21/21||(||)n n iii i i xxx x ∞=-≤-∑从而()(0)n ii x x →,所以强收敛比按坐标收敛强.4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.证明思路：对于任意的自然数n ,由于X 是无穷维的赋范空间,因此存在n 个线性无关的的X e e e n ∈⋅⋅⋅,,,21,由Hahn-Banach 定理,不难证明存在*21,,,X f f f n ∈⋅⋅⋅,使得都成立对任意并且j i e f e f j i i i ≠==,0)(,1)(,从而只需证明n f f f ,,,21⋅⋅⋅是线性无关的,则n X >)dim(*,所以*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x wn −→−,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n −→−. 4.8证明：由于{}n x 是相对紧的,因此存在子列{}k n x 收敛于y ,但n x 弱收敛于x ,因此对于任意*f X ∈,有()()k n f x f x →.由{}k n x 收敛于y 可知|()()|||||k kn n f x f y f x y -≤⋅-→,从而()()f x f y =,对任意成*f X ∈立.因而x y =.故k n x x →,所以x x n −→−. 4.10设Y X ,为赋范空间,),(Y X L T ∈,若x x w n −→−,试证明Tx Tx wn −→− 4.10证明：对于任意*g Y∈,定义X 上的泛函()()f x g T x =,则由|()||()||||||f x g T x g T x =≤⋅⋅,可知f 是X 上的线性连续泛函,由于n x 弱收敛x ,因黎永锦-部分习题解答149此()()n f x f x →,因而()()n g Tx g Tx →,所以n Tx 弱收敛Tx .4.12 设X 为Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明)()(x f x f n n →.4.12证明：由于n x 弱收敛于x 时,有0M >,使得||||n x M ≤<∞,因此|()()||()()||()()||||||||||()()||||||()()|n n n n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f f x f x f x M f f f x f x -≤-+-≤-⋅+-≤-+-所以,当n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f 时,有()()n n f x f x →.4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1-T 存在且有界,试证明*T 的逆存在且*11*)()(--=T T .4.14证明：由 **11*()()T T T T I --==及 1**1*()()T T TT I --==可知*1()T -存在,并且*11*)()(--=T T .4.16设X 是赋范空间,}{,0n w n x span M x x =−→−,试证明M x ∈0. 4.16证明：反证法,假设0x M ∉,则由于M 是闭子空间,因此0(,)0d x M >,故由Hahn Banach-定理可知存在*f X ∈,使得00()(,)f x d x M =且对于任意 ,()0x M f x ∈=,所以00()0,()(,)0n f x f x d x M ==>,但这与n x 弱收敛于0x 矛盾,因而n x 弱收敛0x 时,一定有0x M ∈.习题五泛函分析讲义-黎永锦1505.2设X 是内积空间,X y ∈,试证明),()(y x x f =是X 上的线性连续泛函,且||||||||y f =.5.2证明： 由()(,)f x x y =可知f 线性泛函,且|()||(,)|||||||||f x x y x y =≤⋅,因此f 是X 上的连续线性泛函,并且||||||||f y ≤,取||||y y x =,则||||||||1,|()||(,)|(,)||||y y x f x x y y y ====，所以，||||||||f y =.5.4 设X 是内积空间,X e e n ∈,,1 ,若=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j,0j i ，i试证明n e e ,,1 线性无关.5.4证明：若12,,,n e e e X ∈ ,且=),(j i e e ⎩⎨⎧=≠.1j ,0j i ，i则对于i K α∈,当10ni ii eα==∑时,有1(,)0ni i i i i e e αα===∑.因此120n ααα==== ,所以12,,,n e e e 线性无关.5.6 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥M 含有非零元素.5.6 证明： 由M 是X 的真子空间,因而对\x X M ∈,存在0x M ⊥∈,使得 00x x y =+,由x M ∉及0x M ∈可知00x x -≠所以0y ≠,且y M ⊥∈,即M ⊥含有非零元.5.8 设M 是Hilbert 空间X 的闭真子空间,试证明⊥⊥=M M .5.8证明：由于M M⊥⊥⊂,因此只须证MM ⊥⊥⊂.对于任意x M ⊥⊥∈有y M ⊥∈使得0x x y =+,由M M ⊥⊥⊂可知0x M ⊥⊥∈,故0x x M ⊥⊥-∈,因此0y x x M ⊥⊥=-∈,所以y y ⊥,因而0y =,从而MM ⊥⊥⊂.黎永锦-部分习题解答1515.9 设f 是实内积空间3R 上的线性连续泛函,若32132)(x x x x f ++=,试求X y ∈,使得),()(y x x f =.5.9 解答:取)3,2,1(,3=∈y R y ,则一定有32132)(x x x x f ++=. 5.10 设M 是内积空间X 的非空子集,试证明⊥⊥⊥⊥=M M . 5.10 证明：由()MM ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=可知, M M ⊥⊥⊥⊥⊂.反过来,对任意x M ⊥⊥⊥∈,及y M M⊥⊥∈⊂,可知(,)0x y =,因而x y ⊥对于任意y M ∈成立,故x M ⊥∈因此M M ⊥⊥⊥⊥⊂,所以M M ⊥⊥⊥⊥=.5.12 设X 是Hilbert 空间,M 、N 是X 的闭真空间,N M ⊥,试证明N M +是X 的闭子空间.5.12证明：明显地N M +是X 的线性子空间,因此只须证N M +在X 中是闭的,若,,n n n n x y M N x M y N +∈+∈∈,且n n x y z +→,则由于X 是Hilbert 空间,M 是闭子空间,因此,,z x y x M y M ⊥=+∈∈,故,n n x x M y y M ⊥-∈-∈.因而22222||||||||||||||()||||||0n n n n n n n n x x y y x x y y x y x y x y z -+-=-+-=+-+=+-→,所以,n n x x y y →→,故,,z x y x M y N =+∈∈,即N M +是的X 闭子空间. 5.14 设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥的充要条件为对任意K ∈α,有||||||||y x y x αα-=+.5.14 证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有2222||||(,)(,)(,)(,)(,)||||||||||x y x y x y x x x y y x y y x y αααααααα+=++=+++=+ 且2222||||||||||||||x y x y αα+=+ 因此||||||||y x y x αα-=+.泛函分析讲义-黎永锦152反过来,若K α∈,有||||||||y x y x αα-=+,则由(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα++=+++和(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x x x y y x y y αααααα--=--+可知2(,)2(,)0x y y x αα+=令(,)x y α= ,则22|(,)||(,)|0x y x y += 因而(,)0x y =,所以x y ⊥.5.16设X 是内积空间,X y x ∈,,试证明y x ⊥当且仅当对任意K∈α,有||||||||x y x ≥+α.5.16证明：若x y ⊥,则对任意K α∈,有x y α⊥,因此 22222||||||||||||||||||x y x y x αα+=+≥，所以||||||||x y x ≥+α.反过来,若对任意K α∈,有||||||||x y x ≥+α,则 令2(,)||||x y y α=-,由22||||||||0x y x α+-≥及|||||),(|),(|||||),(||||||),(||||||),(|),(||),(),(),(),(),(),(),(),(),(224222222≥-=+--=++=-+++=-++y y x y y y y x y y x y y x y y x y y x x x y y x y y x x x x x y x y x αααααααα因此(,)0x y =,所以,x y ⊥.5.17 设}|{N i e i ∈是内积空间X 的正交规范集,试证明黎永锦-部分习题解答153|||||||||),)(,(|1y x e y e x i ii⋅≤∑∞=对任意X y x ∈,成立.5.17证明：由于{|}i e i N ∈是X 的正交规范集,因此对任意,x y X ∈,有222211|(,)|||||,|(,)|||||ii i i x e x y e y ∞∞==≤≤∑∑故21/221/2111|(,)(,)|[|(,)|][|(,)|]||||||||iiiii i i x e y e x e x e x y ∞∞∞===≤=⋅∑∑∑5.18设}|{N i e i ∈为Hilbert 空间的正交规范集,}{i e span M =,试证明M x ∈时,有i i i e e x x ∑∞==1),(.5.18证明：若x M ∈,则由于{}i e 是正交规范集,因此221|(,)|||||ii x e x ∞=≤∑.因为X 是完备的,所以由22||(,)|||(,)|0n p n p iiii ni nx e e x e ++===→∑∑ 可知1(,)i ii x e e ∞=∑是收敛级数,记1(,)iii y x e e ∞==∑,则1(,)((,),)(,)(,)0j i i j j j i x y e x x e e e x e x e ∞=-=-=-=∑故x y M -⊥,由,x y M ∈,可知x y M -∈,因而x y x y -⊥-,所以,0x y -=,即ii iee x x ∑∞==1),(.泛函分析讲义-黎永锦1545.19设}{n x 是Hilbert 空间X 的正交集,试证明1{}ii x ∞=∑弱收敛当且仅当21||||ii x ∞=<∞∑.5.19证明：若1ii x ∞=∑弱收敛,则存在0M >,使得M x ni i≤∑=||||1对任意n 成立,故由{}ix 是正交集可知22211||||||||ii i i x x M ∞∞===≤∑∑,所以21||||i i x ∞=<∞∑.反之,若21||||ii x ∞=<∞∑,则由0||||||||2121→=∑∑++=++=pn n i ipn n i ix x 可知1{}i i x ∞=∑是X 的Cauchy 列,所以1i i x ∞=∑在Hilbert 空间X 中收敛,因而1i i x ∞=∑弱收敛.5.20设}|{∧∈=ααe S 是内积空间X 的正交规范集,则对于任意}|),{(,∧∈∈ααe x X x 中最多只有可列个不为零,且22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α.5.20证明：若Λ是有限集,则明显地,有22|||||),(|x e x i≤∑∧∈α若Λ不是有限集,则对于任意}1),(|{,me x e S N m m ≥=∈αα,只能是有限集,因而'1m m S S ∞== 是可数集,且对任意'\e S S α∈,有(,)0x e α=,故22|||||),(|x e x i ≤∑∧∈α5.21 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若1-T 存在,且),(1X X L T∈-,试证明1*)(-T 存在且*11*)()(--=T T .5.21 证明：由于X 是Hilbert 空间,且),(1X X L T∈-,因此1*()T -存在.对于任意,x y X ∈,有11**1*(,)(,)(,())(,())x y T Tx y Tx T y x T T y ---===黎永锦-部分习题解答155又因为11*1**(,)(,)(,)(,())x y TT x y T x T y x T T y ---===,所以,*1*1**()()T T T T --=,因而*11*)()(--=T T .5.22 设X 是Hilbert 空间,),(,X X L T T n ∈,若T T n →,试证明**T T n →.5.22证明：由***()n n T T T T -=-及*||()||||||n n T T T T -=-,可知n T T →时,有**||||||||0n n T T T T -=-→,因此**T T n →.5.24 若X 是Hilbert 空间,),(,X X L T S ∈是自伴算子,R ∈βα,,试证明T S βα+是自伴算子.5.24证明：由于,S T 是自伴算子,因此*S S = ,且*T T =,所以对于***,,()R S T S T S T αβαβαβαβ∈+=+=+.5.25 设X 是Hilbert 空间,),(X X L T ∈,若T 是自伴算子,N n ∈,试证明n T 是自伴算子.5.25证明：由于*T T =,因此***()()()n nnT T T T T T =⋅⋅⋅== ,所以n T 是自伴的.5.26 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈若试证明存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得21iT T T +=,且21*iT T T -=.5.26 证明：令**111222(),()iT T T T T T =+=-,则),(,21X X L T T ∈,且*1212,T T iT T T iT =+=-由于***1111*******11122222()(),[()]()()iii T T T T T T T T T T T T T T =+=+==-=--=-=因此1T 和2T 都是自伴算子.假设存在自伴算子12,(,)S S L X X ∈,使得12T S iS =+,则1212S iS T iT +=+且**12121212()()S iS S iS T iT T iT -=+=+=-,因此1122,S T S T ==.泛函分析讲义-黎永锦156所以,存在唯一的自伴算子),(,21X X L T T ∈,使得*1212,T T iT T T iT =+=-. 5.27 设X 是Hilbert 空间,T T X X L T T n n →∈),,(,,若n T 是正规算子,试证明T 是正规算子.5.27 证明：由于n T 是正规,因此**n n n T T T T =故************************||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n n T T TT TT T T T T T T TT T T TT T T TT T T TT TT TT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T -≤-+-+-≤-+-≤-+-⋅-+-≤⋅-+⋅-+⋅-+⋅**||n T -由n T T →可知**n T T →,所以**||||0T T TT -=即T 是正规算子.5.28 设X 是复H i l b e r t 空间,),(X X L T ∈,试证明T 是正规算子当且仅当||||||||*Tx x T =对于任意X x ∈成立.5.28 证明：若T 是正规算子,则**T T TT =,因此对于任意x X ∈,有**((),)0T T TT x x -=,故**(,)(,)T Tx x TT x x =,因此**(,)(,)Tx Tx T x T x =,所以*||||||||T x T x =对任意x X ∈成立.反之,若对任意x X ∈有*||||||||T x Tx =,则**(,)(,)Tx Tx T x T x =,故**(,)(,)T Tx x TT x x =.因而**((),)0T T TT x x -=对任意x X ∈成立.所以**0TT T T -=,即是T 正规算子.5.29 设X 是Hilbert 空间, T 是X 到X 的线性算子,若对任意,x y X ∈,有(,)(,)Tx y x Ty =,试证明T 是连续线性算子.5.29 证明：由于()D T X =,因此只须证T 是闭线性算子,若00,n n x x Tx y →→,则对于黎永锦-部分习题解答157任意y X ∈,有000(,)lim(,)lim(,)(,)(,)n n n n y y Tx y x Ty x Ty Tx y →∞→∞====故00(,)(,)y y Tx y =对任意y X ∈成立,因此00Tx y =,因而T 是闭线性算子,所以由闭图象定理可知T 是连续的.学年论文可选的题目学完一门课程,如能对所学内容做些比较系统的整理和思考,对加深该课程的理解和进一步学习都会有很好的帮助.学年论文的写作,可以提高阅读有关文献资料的能力,学会从书本和论文中了解有关信息、得到启发．并可有目的、有计划地搜集相关资料,可以养成独立思考和研究探索的好习惯. 下面的一些题目和思路可供参考：1. 抽象空间的球具有哪些奇怪的性质,在度量空间和赋范空间中,它们的性质有哪些不同,如开球的闭包一定是与开球球心和半径一样的闭球吗？开球有可能是闭集吗？2. 不动点定理的推广和应用,特别是在微分方程中的一些应用.3. 度量空间和赋范空间中,序列的各种收敛性的相互关系.4. 度量空间和赋范空间中,紧、完备、闭、有界等的相互关系.5. 凸集和凸函数的性质.6. 线性连续泛函和可加泛函的性质.7. 一致有界原理的应用.8. 逆算子定理或闭算子定理的应用. 9. Hahn-Banach 定理及其推广和应用. 10. 内积空间中的正交性的推广.11. 平面几何的有关概念和性质在Hilbert 空间的推广.泛函分析讲义-黎永锦12. 数学分析中的Fourier 级数相关概念在内积空间的推广.13. 赋范空间中的级数收敛的判别法.158。

第4章 共轭空间纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律,这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙.A. Einstein (爱因斯坦) (1879-1955,美国物理学家)Banach S .在1929年引进了Banach 空间的共轭空间这一概念,这个思想Hahn H .在1927年也引进过,但Banach S .的工作更完全些,共轭空间就是已知赋范的空间X 上的全体线性连续泛函所组成的线性空间*X ,它在范数|)(|sup ||||1||||x f f x ==下是Banach 空间.对于具体的赋范线性空间,弄清这些赋范空间上的线性连续泛函的一般形式是非常有用的.另外,赋范空间X 的性质与它的共轭空间*X 的性质有着密切的联系,因此可以通过共轭空间*X 的性质来研究赋范空间X 的性质.4.1 共轭空间由Banach Hahn -定理可知,对赋范线性空间X ,若}{θ≠X ,则}{*θ≠X ,另外,对于任意赋范空间X ,X 的共轭空间*X 一定是完备的.定理 4.1.1 *)(n R f ∈当且仅当有nn R ∈),,(1αα ,使得i ni ix x f ∑==1)(α,对任意nn R x x ∈),,(1 成立. 且此时有2112)||(||||∑==ni i f α.证明 若存在nn R ∈),,(1αα ,使得i ni i x x f ∑==1)(α , 对任意 n i R x x ∈=)(成立.则f 是nR 上的线性泛函,且||||)||()||()||(|||||||)(|21122112211211x x x x x f ni i ni i n i i i ni i i n i i ⋅=≤≤=∑∑∑∑∑=====αααα因此f 是n R 上的线性连续泛函,即*)(n R f ∈.反之,若f 为n R 上的线性连续泛函,则对ni R e ∈=)0,,0,1,0,,0( ,有∑∑∑======ni i i n i i i i n i i x e f x e x f x f 111)()()(α这里)(i i e f =α,ni R ∈)(α.设0≠f ,i ni ix x f ∑==1)(α,对任意n i R x ∈)(成立,由||||)||(|)(|2112x x f ni i ⋅≤∑=α可知2112)||(||||∑=≤ni i f α取2112)||(∑==ni iii x αα,可知ni R x x ∈=)(,且1||||=x .因此2112211212)||()||(/)(||||∑∑∑=====≥ni ini in i i x f f ααα所以2112)||(||||∑==ni i f α由上面定理可以看出*)(n R 与nR 是几乎一样,为了刻画这样的“一样”关系,下面引进保范同构的概念.定义4.1.1 设X 和Y 都是赋范空间,若T 是X 到Y 的线性算子,T 是双射,并且对于任意X x ∈,有||||||||x Tx =,则称T 是X 到Y 的保范同构,亦称X 与Y 是保范同构的.明显地,若X 与Y 是保范同构的,则X 和Y 具有几乎一样的性质,因而可将与看成是一致的.由上面定理的证明可以看出,若定义*)(n K 到n K 的线性算子为),(),((21e f e f Tf =))(,n e f ,则T 是*)(n K 到n K 的保范同构,因此可以把上面定理写成n R R n=*)(的形式.定理 4.1.2 *0c f ∈当且仅当存在1)(l i ∈α,使得i i ix x f ∑∞==1)(α对所有0)(c x x i ∈=成立,且此时,有∑∞==1||||||i if α.证明 若*0c f ∈,则对0),0,1,,0(c e i ∈= ,有∑∑∞=∞===11)()()(i i i i i i e f x e x f x f 对任意 0)(c x x i ∈=成立.令))(()(i i e f ==αα,则i i ix x f ∑∞==1)(α,对任意0)(c x x i ∈=成立.由|||||||||)(|x f x f ⋅≤可知,对于=N x ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=≤≠≤.0;0, N 0； 0N, ,||i 时当，时时当时当N i i ，i i i i αααα有1||||≤N x ,且∑==Ni iN x f 1||)(α因此,|||||||||||||)(|f x f x f N N ≤⋅≤,故∞<≤∑=||||||1f Ni iα,即1)(l i ∈α.反之,若存在1)(l i ∈α,使得i i i x x f ∑∞==1)(α对任意0)(c x x i ∈=成立,则f 是0c 的线性泛函,且||||)||()||(||sup |||)(|111x x x x f i ii ii i i i∑∑∑∞=∞=∞==≤=ααα因此*0c f ∈,且∑∞=≤1||||||i if α,所以∑∞==1||||||i i f α.由上面定理可知 1*0l c =,类似地,不难证明下面定理成立.定理 4.1.3 ∞=l l *1.定理4.1.4 对于∞<<p 1,有q p l l =*)(,这里)1,1,111(>>=+q p qp .对于X 的共轭空间*X ,同样可以考虑它的共轭空间**)(X ,称为X 的二次共轭空间,记为**X ,由上面讨论可知∞=l c **0.对于∞<<p 1,有p p l l =**.赋范空间X 的性质与它的共轭空间*X 的性质有着密切的联系,如若*X 是严格凸的,则对于X 的任一子空间M 上线性连续泛函f ,它在X 上只有唯一的保范延拓.利用共轭空间*X 的性质,还可以弄清原来的赋范线性空间的性质,如X 的可分性等. 定理4.1.5 设X 是赋范空间,若*X 是可分的,则X 也是可分的.证明 由于*X 是可分的,因此存在0,}{*≠⊂n n g X g ,使得*}{X g n =,令||||n nn g g f =, 则}1|||||{)(}{*==⊃f f X S f n .由1||||=n f 可知,对31=ε,存在1||||,=∈n n x X x ,使得321|)(|=->εn n x f .令}{n x span M =为}{n x 生成的闭子空间,则M 是可分的,且一定有M X =. 事实上,如果M X ≠,则由Banach Hahn -定理可知存在1||||,*=∈f X f ,使得.,0)(成立对任意M x x f ∈=故32|)(||)()(||)()(|sup ||||1||||==-≥-=-=n n n n n n x n x f x f x f x f x f f f 但这与)(}{*X S f n ⊃矛盾,从而M X =,所以X 是可分的.4.2 自反Banach 空间对于赋范空间X ,可以讨论X 的共轭空间*X 和二次共轭空间**X ,如1*0l c =, ∞=l c **0等,当然还可以讨论三次共轭空间***X 和四次共轭空间****X 等,赋范空间X 的性质与它的二次共轭空间**X 有着密切的联系.对于任意X x ∈,可以构造出*X 的线性泛函如下：***),()(X f x f f x ∈=这里.则由|||||||||)(||)(|**x f x f f x ⋅≤=可知**x 为*X 上的线性连续泛函,且||||||||**x x≤. 因而对于任意 X x ∈,****X x ∈,若定义**x Jx =,则J 为X 到**X 的映射.映射J 称为X 到**X 的自然嵌入,它有下面的性质. 定理4.2.1 设X 是赋范空间,**:X X J →,则J 是X 到**X 的保范线性算子,即（1）Jy Jx y x J βαβα+=+)(； （2）||||||||x Jx =. 证明 （1）对任意*X f ∈,有)()()())((y f x f y x f f y x J βαβαβα+=+=+))(()()(f Jy Jx f Jy f Jx βαβα+=+=（2）对任意θ≠∈x X x ,,由Banach Hahn -定理可知,存在1||||,*=∈f X f ,使得||||)(x x f =,故|||||||||||||)(||)(|||||Jx f Jx f Jx x f x =⋅≤==因此,由||||||||||||**x x Jx ≤=可知||||||||x Jx =.记}|{**X x xJX ∈=,则**X JX ⊂,且J 是X 到JX 的保范同构,因而可以把X 和JX 看成一样的赋范空间,亦即不区分X 和**X ,在这种意义下,X 可看成**X 的子空间,即**X X ⊂.一般来说,JX 与**X 是不相等的,如果**XJX =的话,赋范空间X 就具有很好的性质.1927年 Hahn H . 在研究赋范空间的线性方程时,认识到了这种空间的重要性,引入了自反这一概念.定义 4.2.1 设X 是赋范线性空间,若从X 的**X 自然嵌入映射J 是满射,即**X JX =,则称X 是自反的.∞l l c ,,10和]1,0[C 都不是自反的,但)1(∞<<p l p 是自反的.明显地,若X 是自反的,则X 与**X 保范同构.问题4.2.1 若X 是Banach 空间,X 与**X 保范同构时,是否X 一定自反？James C R ..在1951年已构造了一个非自反的Banach 空间X ,X 与**X 保范同构,但X 不是自反的.(参见：R. C. James, A non-reflexive Banach space isometric with its secondconjugate space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, (1951), 174-177.).由于X 自反时,有X X =**,因此X 一定是完备的赋范空间. 定理4.2.2 若X 是自反的赋范空间,则X 是Banach 空间.怎么才能知道一个赋范空间是自反的呢？James C R ..花了二十年的时间研究这一问题,得到了一个很简明的判别法.(参见：R. C. James, Reflexivity and the supremum of linear functionals. Ann. of Math. (2) 66 (1957), 159–169.)定理 4.2.3 Banach 空间X 是自反的当且仅当对任意*X f ∈,存在1||||,=∈x X x ,使得||||)(f x f =.利用这一定理,容易证明任意有限维Banach 空间是自反的.定理4.2.4 若Banach 空间X 是有限维的,则X 是自反的Banach 空间.证明 对于任意*X f ∈,由)(sup ||||1||||x f f x ==,可知存在1||||,=∈n n x X x ,使得||||)(f x f n →.由于X 是有限维的,因此闭单位球是紧的，故}{n x 有收敛子列x x k n →,从而1||||||||lim ==∞→k n k x x ,满足||||)(lim )(f x f x f k n k ==∞→,所以X 是自反的Banach 空间.定理4.2.5 若Banach 空间X 是自反的,则X 可分当且当仅*X 可分.证明 明显地,只须证明X 可分时,*X 可分. 由于X 是自反的,因此X X =**,故X 可分时,**X 可分,所以*X 是可分的.由于∞=l l *1,并且1l 可分,∞l 不可分,因此由上面定理可知,1l 不是自反Banach 空间. Banach 空间的自反性有很多重要的性质,下面就是一些自反的充要条件. 定理4.2.6 若X 是Banach 空间,则下列条件都是等价的. (1) X 是自反Banach 空间;(2) X 的每个闭线性子空间都是自反Banach 空间;(3) X 的每个闭凸集A 都有范数最小元,即存在A x ∈0,使得}|||inf{||||||0A x x x ∈=; (4) X 的每个闭凸集A 都是可逼近集,即对任意X x ∈,都一定存在A x ∈0,使得}|||inf{||||||0A y y x x x ∈-=-.4.3 弱收敛在赋范空间X 中序列}{n x 的收敛定义为0||||→-x x n ,即n x 依范数收敛于x ,这种收敛性亦为强收敛,但在X 和*X 上还可以定义比范数弱的收敛性,这就是弱收敛性和弱*收敛,这些收敛性在研究X 和*X 的性质以及它们的联系时起着重要的作用.定义4.3.1 设X 是赋范空间,X x n ∈若X x ∈0,若对任意*X f ∈,都有)()(0x f x f n →则称}{n x 弱收敛于0x ,记为0x x wn −→−例4.3.1 设}{n e 为0c 的Schauder 基,则对于任意*0c f ∈,有1)(l i ∈=αα,使得α=f ,故 n n e f α=)(,因此0)()(→-θf e f n 对任意*0c f ∈成立,即→θwn e .定理4.3.2 设X 是赋范空间,X x n ⊂}{,若→x x n ,则→x x wn . 证明 由于→x x n ,因此0||||→-x x n ,故对于任意*X f ∈,有0|||||||||)(||)()(|→-⋅≤-=-x x f x x f x f x f n n n ,所以→x x wn . 一般来说,→x x w n 时,不一定有→x x n ,例如在0c 中,→θwn e ,但0||||→-θn e 不成立.由Banach Hahn -定理容易知道,若X x n ⊂}{是弱收敛序列,则}{n x 的弱收敛点唯一.即x x w n −→−,且'x x wn −→−时,有x x ='. 虽然x x wn −→−时,一般x x n −→−不成立,但有一些赋范空间,弱收敛与强收敛是一致的.定理4.3.3 若X 是有限维Banach 空间,则→0x x wn 当且仅当0x x n →. 证明 明显地,只须证明对于有限维Banach 空间,→0x x wn 时,一定有→0x x n . 设m e e ,,1 为X 的Schauder 基,则对X x X x n ∈∈0,,有∑∑====mi ii i mi n i n e xx e x x 1)0(01)(,由于m e e ,,1 是Schauder 基,因此}|{i j e span e j i ≠∉,故由Banach Hahn -定理可知存在*X f i ∈,使得1)(=i i e f ,且i j e f j i ≠=,0)(.由→0x x wn 可知→)()(0x f x f i n i ,因此)0()(in i x x →.因而)0(0||||||||||||||1)0()(1)0(1)(0→→⋅-≤-=-∑∑∑===n e x xe x e x x x i mi in imi ii imi n i n所以,序列}{n x 强收敛于0x .问题 4.3.1 若X 是Banach 空间,且有→x x wn 时,→x x n ,则X 是否一定是有限维Banach 空间？有趣的是Schur I .在1921年证明了在1l 中,→x x wn 与→x x n 是等价的. 定理4.3.4 在1l 中,→x x wn 当且仅当→x x n . 弱收敛还可以用下面的定理来刻画.定理4.3.5 设X 是赋范空间X x X x n ∈⊂,}{,则→x x wn 当且仅当 （1）||}{||n x 是有界；（2） 存在*X M ⊂,使得*X M =,且对所有M f ∈,有)()(x f x f n →.证明 令1||}||sup ||,m ax {||+=n x x β,则由(1)可知,+∞<<β0,且ββ≤≤||||,||||n x x , 对任意n 成立.对于任意0>ε,由于*X M =,因此对于任意*X g ∈,有M f ∈,使得βε3||||<-f g ,由M f ∈可知)()(x f x f n →,故存在N ,使得N n >时,有 3|)()(|ε<-x f x f n因而对于N n >,有εββεεββεε=++≤⋅-++⋅-<-+-+-≤-333||||||||3|||||||||)()(||)()(||)()(||)()(|x g f x f g x g x f x f x f x f x g x g x g n n n n n所以,)()(x g x g n →对*X g ∈成立,即→x x wn .反过来,若→x x wn ,则对任意*X f ∈,有)()(x f x f n →,故)()(f Jx f Jx n →因而+∞<||)(||sup f Jx n由于*X 是Banach 空间,因此由一致有界原理可知+∞<||||sup n Jx ,即+∞<||||sup n x ,所以||}{||n x 是有界的.类似于列紧性的定义,可以定义弱列紧性.定义 4.3.2 设X 是赋范空间,F 是X 的子集,若F 的任意序列都含有弱收敛子序列,且弱收敛点属于F ,则称F 是弱列紧的.例如在2l 中,}1)||(|){(211222≤∈=∑∞=i ii l xl x B 是弱列紧的.与列紧性刻画了有限维Banach 空间的特征类似,弱列紧性刻画了自反Banach 空间的特征.定理4.3.6 Banach 空间X 是自反的当且仅当X 的任意有界集都是弱相对列紧的.对于赋范空间X 的共轭空间*X ,由序列弱收敛的定义,对**,X f X f n ∈∈,f f wn −→−当且仅当对于任意**X F ∈,有)()(f F f F n →.除了范数收敛和弱收敛,在*X 上还可以定义弱*收敛.定义 4.3.3 设X 是赋范空间,*,X f f n ∈,若对任意X x ∈,有)()(x f x f n →,则称n f 弱*收敛于f ,记为 f f w n −→−*.明显地,弱收敛比弱*收敛强.定理4.3.7 设X 是赋范空间,*,X f f n ∈,若f f wn −→−,则f f wn −→−*.类似于弱收敛,对于弱*收敛,有下面的定理成立.定理4.3.8 设X 是Banach 空间,*,X f f n ∈,则f f wn −→−*的充要条件是（1）||}{||n f 是有界；（2） 存在X M ⊂,使得X M =,且对任意M x ∈,有)()(x f x f n →.定理 4.3.9 设X 是Banach 自反空间,*,X f f n ∈,则f f w n −→−*当且仅当f f w n −→−.例 4.3.10 对于0c 的共轭空间1l ,取1l e f n n ∈=,则对任意0c x ∈,有0||lim =∞→i i x , 因此0)(→=n n x x f ,故0*−→−w n f . 但对于∞∈=l F ),1,1,1,1( ,有1)(=n f F , 因而n f 不101弱收敛于0.由上例可知,序列的弱*收敛要比弱收敛还要弱.类似于X 中弱列紧集的定义,可以考虑*X 中子集的弱列紧性.定义 4.3.4 设X 是赋范空间,*X F ⊂,若F 中任意序列都含有弱*收敛子序列,则称F 为*X 的相对弱*列紧集.若F 中任意序列都含有弱*收敛子序列,且其弱*收敛点都属于F ,则称F 是*X 的弱*紧列集.明显地,对于*X 的子集F ,F 的列紧集性要比弱*紧性强. 定理4.3.11 若F 是*X 的列紧集,则F 一定是弱*列紧集.可分Banach 空间的Banach –Alaoglu 定理是S. Banach 在1932给出的.定理4.3.12 （Banach –Alaoglu 定理）若X 是可分Banach 空间,则*X 的每个有界集都是相对弱*列紧的.证明 设F 是*X 的有界集,F f n ⊂}{,则存在0>C ,使得C f n ≤||||对任意n 成立.由于X 是可分的,因此存在可数集X x x x M n ⊂=},,,,{21 ,使得X M =. 对于任意M x i ∈和n f ,有+∞<≤⋅≤|||||||||||||)(|i i n i n x C x f x f ,因此)}({i n x f 是K 中的有界数列,因而可以取到满足下列条件的n f 子序列.}{}{)1(n n f f ⊂且 ,,,,,)1()1(2)1(1n f f f 在1x 点收敛；}{}{)1()2(n n f f ⊂且 ,,,,,)2()2(2)2(1n f f f 在21,x x 点收敛；...............................................................................................}{}{)1()(-⊂k n k n f f 且 ,,,,,)()(2)(1k n k k f f f 在k x x x ,,,21 点收敛.这里}{}{}{)()1(n k n k nf f f ⊂⊂+.102利用对角线法,取子序列}{)(n n f ,则}{}{)(n n n f f ⊂,且对任意M x i ∈,有)()(lim )(i i n n n x f x f =∞→存在,因而由上面定理可知}{)(n n f 弱*收敛于f . 所以,F 是*X 的相对弱*列紧集.L. Alaoglu 在1940第一次给出了一般Banach 空间的Banach –Alaoglu 定理的证明.定理4.3.13 （Banach –Alaoglu 定理）若X 是Banach 空间,则*X 的每个有界集都是相对弱*列紧的.例 4.3.13 设X 是Banach 空间,M 是X 的闭子空间,若M x n ⊂}{,且0x x wn −→−,试证明M x ∈0.证明 假设M x ∉0,则由于M 是闭子空间,因此0),(0>M x d ,故由Banach Hahn -定理,存在1||||,*=∈f X f ,使得 ),()(00M x d x f =,且对于任意M x ∈,有0)(=x f ,因此0)(=n x f ,但这与)()(0x f x f n →矛盾,所以M x ∈0.4.4 共轭算子由赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,可以讨论*Y 到*X 的共轭算子,这种共轭算子在讨论物理学及其他一些应用中出现的算子方程时是很有用的.定义 4.4.1 设X 和Y 是赋范空间. ),(Y X L T ∈,若存在*Y 到*X 的算子*T ,使得对任意*Y f ∈和X x ∈,有)())((*Tx f x f T =则称*T 为T 的共轭算子.对于任意),(Y X L T ∈,是否T 的共轭算子*T 一定存在呢？定理 4.4.1 设X , Y 是赋范空间,若),(Y X L T ∈,则T 的共轭算子*T 一定存在,且||||||||*T T =.证明 对于任意*Y f ∈,定义103X x Tx f x g ∈=任意),()(则g 是线性的,且|||||||||||||||||||||)(||)(|x T f Tx f Tx f x g ⋅⋅≤⋅≤=从而*X g ∈,并且||||||||||||T f g ⋅≤.定义gf T X Y T =→****:则*T 是*Y 到*X 的线性算子.由于||||||||||||||||*T f g f T ⋅≤=,因此||||||||*T T ≤,故),(***X Y L T ∈,且对任意X x Y f ∈∈,*,有)())((*Tx f x f T =因而,*T 为T 的共轭算子.对于任意X x ∈,若0≠Tx ,则由Banach Hahn -定理可知存在1||||,*=∈f Y f ,使得||||)(Tx Tx f =故||||||||||||||||||||||||||||)()(||||****x T x f T x f T x f T Tx f Tx ⋅=⋅⋅≤⋅≤==对于X x ∈,若0=Tx ,则明显地有||||||||||||*x T Tx ⋅≤,因此||||||||||||*x T Tx ⋅≤,对任意X x ∈都成立. 因而||||||||*T T ≤,又因为||||||||*T T ≤,所以||||||||*T T =.对于共轭算子的运算,有如下的基本性质.定理4.4.2 设X , Y 是赋范空间,若),(,21Y X L T T ∈,则*2*1*21)(T T T T βαβα+=+证明 对任意*Y f ∈,X x ∈,有))]()([()()()()()))((()]()[(*2*1*2*12121*21x f T T x f T x f T x T f x T f x T T f x f T T βαβαβαβαβα+=+=+=+=+104所以,*2*1*21)(T T T T βαβα+=+.定理4.4.3 设X , Y , Z 是赋范空间,若),(),,(Z Y L T Y X L S ∈∈,则***)(T S TS =. 证明 对于任意X x Z f ∈∈,*,有))](([))(())(())(()]()[(****x f T S Sx f T Sx T f x TS f x f TS ====因此,***)(T S TS =.共轭算子与线性算子方程的可解性有着密切的联系.定理 4.4.4 设X 是实赋范空间,0,),,(≠∈∈λX y X X L T ,若存在满足方程0*=-f f T λ的f ,使得0)(≠y f ,则方程y x Tx =-λ无解.证明 反证法,假设方程y x Tx =-λ有解0x , 则00x Tx y λ-=故对满足方程的f ,有0))(()()()()(0*00*00=-=-=-=x f f T x f x f T x Tx f y f λλλ但这与定理的条件矛盾,所以定理得证.105习题四4.1 试证明1*0l c =.4.2 试证明∞=l l *1. 4.3 试证明2*2l l =. 4.4 试证明1*l l ≠∞. 4.5 试证明2l 是自反的.4.6 试证明在2l 中强收敛比按坐标收敛强.4.7 设X 是无穷维的赋范空间,试证明*X 一定也是无穷维的赋范空间.4.8设X 是赋范空间,X x x n ∈,,x x wn −→−,若}{n x 是相对紧的,试证明x x n →. 4.9设X 是Banach 空间,Y 是赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若x x X x x n n →∈,,,且n T 弱收敛于T ,试证明Tx x T wn n −→−.. 4.10设Y X ,为Banach 空间,),(Y X L T ∈,若x x wn −→−,试证明Tx Tx wn −→− 4.11设X 为赋范空间,X x x n ∈,,若x x wn −→−,试证明||||inf ||||lim n x x n ∞→≤. 4.12设X 是赋范空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈,n x 弱收敛于x ,且n f 收敛于f ,试证明)()(x f x f n n →.4.13 设X 是Banach 空间,*,,,X f f X x x n n ∈∈,f f x x wn n −→−−→−*,,试证明)()(x f x f n n →.4.14设Y X ,是Banach 空间,),(Y X L T ∈,且1-T存在且有界,试证明*T 的逆存在且*11*)()(--=T T .4.15试证明在2l 中弱收敛与强收敛不等价.4.16设X 是赋范空间,}{,n wn x span M x x =−→−,试证明M x ∈. 4.17定义算子11:l l T →,),0,,,,(),,,,(2121 n n x x x x x x T =,试求*T .黎茨Frigyes Riesz于1880年1月22日出生于奥匈帝国（现在的匈牙利）的Győr，他1902年在布达佩斯(Budapest)获得博士学位,他的博士论文是几何方面的. Riesz是一个泛函分析的创始人, 他的工作在物理中有许多重要的应用. 他用Fréchet可在他的博士论文的想法,利用Fréchet的度量将勒贝格的工作与希尔伯特和他的学生施密特在积分方程方面的工作联接起来.Frigyes Riesz(1880-1956) 在1907年和1909年,Riesz建立了二次勒贝格可积函数的泛函表示定理，并在第二篇论中,得到斯蒂尔吉斯可积函数的泛函表示定理.次年,他开始了赋范函数空间的研究. Riesz1910年的工作,标志着算子理论的开始. 1918年,他的工作已接近于巴拿赫空间的公理化理论,而这些是Banach两年后建立的.1922年, Riesz和Haar在塞格德(Szeged)创建了János Bolyai数学研究所.Riesz成为新杂志Acta Scientiarum Mathematicarum的编辑, Riesz在该期刊发表许多论文,1922年关于线性泛函的Egorov定理就发表在该刊物的第一卷的第一部分.Riesz在泛函分析的很多基本结果与Banach是不谋而合的.他在1907年证明的定理- Riesz-Fischer定理是Hilbert空间傅里叶分析的基础. Riesz对包括遍历理论的其他领域做出了很多贡献,他还研究了正交系列和拓扑.Riesz和他的学生塞克佛尔维写的《泛函分析讲义》（Leçon's d'analyse fonctionnelle）是非常好的泛函分析著作.Riesz的成就给他带来了很多许多荣誉,他当选为匈牙利科学院院士,在1949年,他被授予Kossuth奖.他被授予塞格德(Szeged)大学,布达佩斯(Budapest)大学和巴黎大学的荣誉博士学位.106。

泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭对n E 中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。

对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。

特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

泛函分析讲义第五章Banach代数1代数准备知识2 Banach代数2．1 Banach代数的定义2．2 Banach代数的极大理想与Gelfand表示3例与应用4 c’代数5 Hilbert空间上的正常算子5．1 Hilbert空间上正常算子的连续算符演算5．2正常算子的谱族与谱分解定理5．3正常算子的谱集6在奇异积分算子中的应用第六章无界算子1 闭算子2 cayley变换与自伴算子的谱分解2．1 cayley变换2．2自伴算子的谱分解3无界正常算子的谱分解3．1 B0rel可测函数的算子表示3．2无界正常算子的谱分解?4 自伴扩张4．1 闭对称算子的亏指数与自伴扩张4．2 自伴扩张的判定准则5自伴算子的扰动5．1稠定算子的扰动5．2自伴算子的扰动5．3 自伴算子的谱集在扰动下的变化?6无界算子序列的收敛性6．1预解算子意义下的收敛性6．2图意义下的收敛性第七章算子半群1无穷小生成元1．1无穷小生成元的定义和性质1．2 Hme—Yosida定理2无穷小生成元的例子3单参数酉群和Stone定理3．1单参数酉群的表示——stone定理3．2 stone定理的应用1．B0chner定理2．Schr6dinger方程的解3．遍历(ergodic)定理3．3 Trotter乘积公式4 Markov过程4．1 Markov转移函数4．2扩散过程转移函数5散射理论5．1波算子5．2广义波算子6发展方程第八章无穷维空间上的测度论1 C[O，T]空间上的wiener测度1．1 C[O，T]空间上wiener 测度和wiener积分1．2 Donsker泛函和Donske卜Lions定理1．3 Feynman—Kac公式2 Hilbert空间上的测度2．1 Hilbert—Schmidt算子和迹算子2．2 Hilbert空间上的测度2．3 Hilbert空间的特征泛函3 Hilbert空间上的Gauss测度3．1 Gauss测度的特征泛函3．2 Hilbert空间上非退化Gauss测度的等价性清词丽句必为邻2015-09-21 04:05 | 豆瓣：烟波浩渺1980杜甫的《戏为六绝句》（其五）不薄今人爱古人，清词丽句必为邻。

思维导图支持的《泛函分析》教学方法创新摘要：《泛函分析》是数学专业中一门很抽象很难学的课程，本文通过分析传统的《泛函分析》教学模式的不足，利用思维导图创新《泛函分析》的教学方法，建立《泛函分析》课程思政型学与教的环境。

《泛函分析》是现代纯粹数学和应用数学研究的基础，是数学与应用数学专业的必修课程[1]。

泛函分析在数学专业本科的教学计划中承担着联系经典数学，展望现代数学，承前启后的重要作用。

一、传统的《泛函分析》教学模式分析：（1）教学方法单调传统的《泛函分析》教学模式过多强调了教师的主导作用，教师着重讲度量空间定义、推导压缩映射定理，学生只能被动地接受抽象的稠密集和疏朗集，难以参与讨论和探索度量空间与赋范线性空间的区别与联系。

（2）知识本源缺失学生学完以后，有时只能欣赏内积空间之抽象、极小化向量定理论证之精巧，却难以体会到《泛函分析》在方程求解中的应用及泛函延拓定理在机器学习分类问题中的威力。

学生只见泛函树叶，未见树根。

（3）课程思政空泛传统的《泛函分析》课程教学中将实现知识传授、价值塑造和能力培养三者进行了割裂，没扣住中原工学院学生特点和《泛函分析》课程的特色，很少将与中原工学院专业应用密切相关的纺织、电子信息、节能、环保、安全、经济等内容融进课堂。

（4）创新能力不够传统的《泛函分析》教学中缺乏另辟蹊径的课堂预习和总结，学生觉得有界线性泛函抽象，对巴拿赫空间中的基础定理在创新思考的速度和广度、思考的整体性和概括性等方面不足[2]。

二、思维导图支持的《泛函分析》教学目标：能力目标：（1）培养学生采用思维导图方法分析泛函分析理论知识点，以点带面，并能自觉运用思维导图构建逻辑分析、结构层次分析和同构类比等思想方法去解决学生思想深处的泛函问题。

（2）逐步形成以思维导图为工具激发学生灵感和创意的《泛函分析》课程教学方法，磨砺学生交际、思辨、自主学习、合作学习四大时代核心能力，为未来工作或科研助力。

情感目标：（1）《泛函分析》教学中思想政治教育内化为课程内容，以慎思审问筑本，以仁厚博爱铸魂，既有家国情怀又有精益求精的大国工匠精神。

泛函分析讲义第二讲：距离空间中的点集关 键 词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包； 稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质； 介绍可分空间的定义一、 开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。

定义1. 设0x ),(ρX ∈，0>r ，以0x 为中心，以r 为半径的开球),(0r x S 称为0x 的一个球形邻域，简称为邻域。

设,,G x X G ∈⊂ 若存在x 的一个邻域,),(0G r x S ⊂则称x 是G 的一个内点。

若G 中每一个点都是它的内点，则称G 为开集。

例1．开球都是开集。

证明：设),(0r x S 为开球。

任取),(0r x S x ∈, 即r x x <),(0ρ,令0,(x x r ρε-=),),(εx S y ∈∀, 即ερ<),(y x ,则r r y x x x y x =+-<+≤εερρρ),(),(),(00∴).(),(,0r x S x S ⊂ε 即),(0r x S 为开集.定理1 设),(ρX 为距离空间, 则 (1) 空集φ全空间X 是开集. (2) 任意多个开集之并是开集. (3) 有限个开集之交是开集.证明：设I a a G ∈}{是一族开集，证明 IG ∈αα为开集。

对 IG x ∈∈∀αα，0α∃，使0αG x ∈，由0αG 是开集，则存在x 的一个邻域⊂),(r x S0αG ，从而⊂),(r x S IG ∈αα. ∴ x 是 IG ∈αα的一个内点，从而 IG ∈αα为开集。

(3). 设i G 是开集，n i ,...,2,1=，证明 ni i G 1=是开集。

对∈∀x ni i G 1=，则∈x i G n i ,...,2,1=，由i G 是开集，则存在x 的一个邻域⊂),(i r x S i G ，令},...,,min{21n r r r r =，则 从而),(),(i r x S r x S ⊂，n i ,...,2,1=. 从而),(r x S ni i G 1=⊂，所以 ni i G 1=为开集。

第1章 预备知识泛函分析是现代数学的重要分支之一，它起源于经典数学和物理学中的一些变分问题，是分析数学的高度发展。

其内容主要涉及无穷维空间及其上定义的算子和泛函的基本理论，并且综合地运用了代数、几何与分析等经典学科中的观点和方法。

为了学好泛函分析，了解实数空间及其上函数的有关理论是十分必要的。

1.1 集合的一般知识1.1.1 集合及其运算1.集合的概念集合式现代数学的一个基本概念。

一般地说，把具有某种公共特性的或满足一定条件的对象全体叫做集合，简称集。

其中每个对象叫该集合的元素。

本书基本上用大写字母表示集合，用小些字母表示集合的元素。

集合的特点：集合具有任意性、确定性和互异性。

即任意一些对象都可构成集合，集合中的每一个元素必须是确定的，集合中的每个元素都是不同的。

集合的表示方法：列举法、解析法、区间法。

列举法是把集合元素一一列举出来，用花括号扩上，如集合{1,2,3} ；解析法是把集合中的元素的公共属性描述出来，用花括号扩上，如集合{|12,}x x x R ≤≤∈表示所有大于等于1且小于等于2的实数集全体；区间法适用于实数集合分段表示的子集，如[1,2]表示大于等于1且小于等于2的实数集。

(1,2)表示大于1且小于2的实数全体。

设A 是集合，a 是集合A 中的元素，记为a A ∈，而记号b A ∉表示b 不是A 中的元素； 不包含任何元素的集合成为空集，记为φ；给定A ，B 两个集合，如果A 中的每个元素都属于B ，则说A 是B 的子集，记为A B ⊂或B A ⊃；规定φ集市任何集合的子集；若A B ⊂且B A ⊂，则称A 与B 相等，记为A B =；若A B ⊂，A B ≠，则称A 为B 的真子集； 2.集合的运算集合的并与交：设A ，B 是两个集合，由集合A 与B 的全体元素构成的集叫A 与B 的并，记为A B ，即{|}A B x x A x B =∈∈或；所有同时属于集合,{|};A B B A B x x A x B =∈∈与的元素构成的集叫A 与B 的交，记做A即且{|}A I αα∈设是一集簇，其中I 是指标集，则它们的并与交定义为：{|,};IA x I x A αααα∈=∃∈∈有{|,}IA x I x A αααα∈=∀∈∈有。