向量组的秩向量空间简介

向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。

定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。

2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。

3、等价的向量组具备成正比的秩。

4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。

6、任意n+1个n维向量线性相关。

矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。

一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。

行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。

定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。

向量组的秩定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠向量组的秩这个玩意儿。

你说向量组的秩像不像一个班级里的班干部呀！班干部就是从众多同学中选出来的能代表班级的核心人物呢。

向量组里的那些向量就如同一个个同学，而秩呢，就是那个能挑出关键向量的指标。

咱想想，一个向量组里有好多向量，就像一群人聚在一起。

但并不是每个向量都那么重要，对吧？有的可能就是凑个数的。

这时候秩就发挥作用啦，它能告诉我们到底有几个“骨干”向量。

比如说，在一个空间里，有好多向量在那晃悠。

但其实真正能撑起这个空间的，可能就那么几个关键的向量。

这几个向量就是秩所确定的。

这不就跟盖房子一样嘛，真正起支撑作用的梁柱就那么几根，其他的可能只是装饰或者辅助。

那秩到底是怎么确定的呢？这就好比我们要在一群人中选出最有代表性的几个。

我们得看看哪些向量是可以由其他向量表示出来的，这些能被表示的就没那么重要啦，就像在班级里有些同学的作用可以被班干部代替一样。

而那些不能被表示的，就是真正的“核心人物”，它们的个数就是秩啦！再打个比方，就像一个团队做任务，总有那么几个关键人物，他们的决策和行动决定了整个任务的走向。

向量组的秩就是找出这些关键的向量呀！你说要是没有秩这个概念，那我们面对一堆向量得多迷茫呀！就像在茫茫人海中不知道该跟谁合作，该依靠谁。

有了秩，我们就能一下子抓住重点，知道哪些向量是最关键的，是我们应该重点关注的。

而且哦，向量组的秩还有很多奇妙的性质呢！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多数学问题的大门。

它能帮助我们判断向量组是不是线性相关呀，是不是线性无关呀。

这可重要了，就像我们要判断一个团队是不是团结协作，是不是有战斗力一样。

总之呢，向量组的秩可真是个好东西呀！它让我们在复杂的向量世界里找到了方向，找到了重点。

让我们能更清楚地认识和理解向量组的本质。

难道不是很神奇吗？大家好好去体会体会吧！这就是向量组的秩，一个看似简单却蕴含着无穷奥秘的概念呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。