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向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
第四节向量组的秩定义1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。
定义2：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。
等价向量组的性质：(1) 反身性：任一向量组和它自身等价。
(2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。
(3) 传递性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。
定理1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且s<t ，则向量组(B)线性相关。
证明：由已知可得：s sj j j j a a a αααβ+++= 2211 ),,2,1(t j = （1） 若存在一组数t K K K ,,,21 ，使得02211=+++t t K K K βββ （2） 下面只要证t K K K ,,,21 可以不全为零。
把(1)式代入(2)式得：)()()(22112222112212211111=++++++++++++s st t t t s s s s a a a K a a a K a a a K ααααααααα （3）整理后得)()()(22112222212111212111=++++++++++++s t st s s t t t t K a K a K a K a K a K a K a K a K a ααα （4）因为s<t ，故齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111t st s s tt t t x a x a x a x a x a x a x a x a x a （5）有非零解。
所以取t K K K ,,,21 为方程组(5)的一个非零解。
这个非零解可使(4)成立，也可使(3)成立，最后使(2)成立。
从而向量组(B)线性相关。
推论1：如果向量组(B)：t βββ,,,21 可由向量组(A)：s ααα,,,21 线性表示，且向量组(B)线性无关，则t s ≤。
(用反证法)推论2：向量组(A)：s ααα,,,21 与向量组(B)：t βββ,,,21 等价，且向量组（A ）和（B ）都线性无关，则s=t 。
证：因为向量组(A)线性无关且可由向量组(B)线性表示，所以t s ≤。
又因为向量组(B)线性无关且可由向量组(A)线性表示，所以s t ≤；因此s=t 。
对于一个非零向量组，则至少有一个向量不为零向量，所以它至少有一个向量的部分组线性无关；现要研究其线性无关部分组最多可以含多少个向量。
定义3：如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件： (1)r ααα,,,21 线性无关；(2)向量组中的任意一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示；则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大（最大）线性无关组，简称极大（最大）无关组。
定义3也可写成：定义4：如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件： (1)r ααα,,,21 线性无关；(2)任取此向量组中的一个向量，添加到部分组r ααα,,,21 中，所得到的新的部分组都线性相关。
则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大线性无关组。
例：考虑向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα，显然部分组21,αα是线性无关的，而321,,ααα中的任意向量都可以由21,αα线性表示： 2110ααα⋅+=，1220ααα⋅+=，213ααα+=所以21,αα是向量组321,,ααα的极大无关组。
同样可以证明31,αα及23,αα也是向量组321,,ααα的极大无关组，这说明一个向量组的极大无关组可能不唯一。
从上述例子及极大无关组定义可以得到： 定理2：任一向量组和它的极大无关组等价。
推论1：向量组中任意两个极大无关组等价。
推论2：向量组中任意两个极大无关组所含向量的个数相同。
定义5：向量组s ααα,,,21 的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记作),,,(21s r ααα 。
定理3：如果二个向量组s ααα,,,21 和t βββ,,,21 等价，则它们的秩相等。
证明：设向量s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 的秩分别为p r ,；极大无关组分别为r i i i ααα,,,21 和p j j j βββ,,,21 ；则向量组s ααα,,,21 与向量组ri i i ααα,,,21等价；向量组t βββ,,,21 与向量组p j j j βββ,,,21 等价；所以向量组r i i i ααα,,,21 和向量组p j j j βββ,,,21 等价；又因为向量组r i i i ααα,,,21 和pj j j βββ,,,21均线性无关，因此有p r =。
定义6：矩阵n m ij a A ⨯=)(的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩；其列向量组的秩称为矩阵A 的列秩。
定理4：设A 为n m ⨯矩阵，r A r =)(的充分必要条件是A 的列（行）秩为r 。
定理5：矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系。
下面用例子说明求向量组的秩和极大无关组的方法。
例1：已知),0,1,2,1,1(1-=α),0,2,4,2,2(2--=α),1,1,6,0,3(3-=α)01,0,3,0(4=α，试求这向量组的秩及它的一个极大无关组，并把其余向量用所求极大无关组线性表示。
解：044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000001100011003211100044000003300032111000121064230210321A则(r 4321,,,αααα)＝3，且321,,ααα是向量组4321,,,αααα一个极大无关组。
下面求向量4α用极大无关组321,,ααα线性表示。
从最后一个矩阵可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000324332321x x x x x x x令14=x ，解得1,1,1321-===x x x所以 04321=+-+αααα，即3214αααα+--=例2：已知向量组,)1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(4321-=-=--=-=αααα)1,4,6,2(5-=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111042110421102101111110421106312121011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→53000000004211021011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000530004211021011可得3)(=A r ，则r(54321,,,,ααααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=---053042025454325421x x x x x x x x x x令0,153==x x ，得04=x ，12-=x ，11-=x令1,053==x x ，得354-=x ，322-=x ，311-=x所以0321=+--ααα，03532315421=+---αααα即213ααα+=，4215353231αααα++=例3：已知向量组,)0,2,1,1(),2,1,3,0(),14,7,0,3(),4,2,1,1(4321-===-=αααα)6,5,1,2(5=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=60214452172113012131A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2422010110303302131⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000121101011021031⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000120001011021031可得3)(=A r ，则r(54321,,,,ααααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+++020023545325421x x x x x x x x x令0,153==x x ，得04=x ，12-=x ，31=x令1,053==x x ，得214-=x ，12-=x ，231=x所以03321=+-ααα，021235421=+--αααα即2133ααα+-=，42152123αααα++-=例4：已知向量组)2,1,1,4,6(1-=α，)4,3,2,0,1(2-=α，)22,16,9,4,1(3--=α，)3,1,0,1,7(4-=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3224211631092114047116A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→3224211631711614040921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→3408012550755110140800921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→8351051510117510815100921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000010008151041101 可得3)(=A r ，则r(4321,,,αααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求3α用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++008150414432431x x x x x x x令13=x ，得,04=x ,52=x 11-=x ,代入得：05321=++-ααα 即2135ααα-=例5：设n ααα,,,21 是一组n 维向量，已知单位向量n εεε,,,21 可以被它线性表示，试证明n ααα,,,21 线性无关。
