向量组的秩
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向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数,称为向量组的秩;若向量组的向量都是0向量,则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1,α2,···,αs线性毫无关系等价于r{α1,α2,···,αs}=s。
2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则r{α1,α2,···,αs}小于等于r{β1,β2,···,βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。
5、向量组α1,α2,···,αs可以被向量组β1,β2,···,βt线性表出来,且s\uet,则α1,α2,···,αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
第四节向量组的秩定义1:设有两个向量组(A):s ααα,,,21 和(B):t βββ,,,21 ,如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示,则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。
定义2:设有两个向量组(A):s ααα,,,21 和(B):t βββ,,,21 ,如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示,而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示,则称向量组(A)和向量组(B)等价。
等价向量组的性质:(1) 反身性:任一向量组和它自身等价。
(2) 对称性:如果向量组(A)与向量组(B)等价,则向量组(B)也与向量组(A)等价。
(3) 传递性:如果向量组(A)与向量组(B)等价,而向量组(B)与向量组(C)等价,则向量组(A)也与向量组(C)等价。
定理1:设有两个向量组(A):s ααα,,,21 和(B):t βββ,,,21 ,如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示,且s<t ,则向量组(B)线性相关。
证明:由已知可得:s sj j j j a a a αααβ+++= 2211 ),,2,1(t j = (1) 若存在一组数t K K K ,,,21 ,使得02211=+++t t K K K βββ (2) 下面只要证t K K K ,,,21 可以不全为零。
把(1)式代入(2)式得:)()()(22112222112212211111=++++++++++++s st t t t s s s s a a a K a a a K a a a K ααααααααα (3)整理后得)()()(22112222212111212111=++++++++++++s t st s s t t t t K a K a K a K a K a K a K a K a K a ααα (4)因为s<t ,故齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111t st s s tt t t x a x a x a x a x a x a x a x a x a (5)有非零解。
所以取t K K K ,,,21 为方程组(5)的一个非零解。
这个非零解可使(4)成立,也可使(3)成立,最后使(2)成立。
从而向量组(B)线性相关。
推论1:如果向量组(B):t βββ,,,21 可由向量组(A):s ααα,,,21 线性表示,且向量组(B)线性无关,则t s ≤。
(用反证法)推论2:向量组(A):s ααα,,,21 与向量组(B):t βββ,,,21 等价,且向量组(A )和(B )都线性无关,则s=t 。
证:因为向量组(A)线性无关且可由向量组(B)线性表示,所以t s ≤。
又因为向量组(B)线性无关且可由向量组(A)线性表示,所以s t ≤;因此s=t 。
对于一个非零向量组,则至少有一个向量不为零向量,所以它至少有一个向量的部分组线性无关;现要研究其线性无关部分组最多可以含多少个向量。
定义3:如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件: (1)r ααα,,,21 线性无关;(2)向量组中的任意一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示;则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大(最大)线性无关组,简称极大(最大)无关组。
定义3也可写成:定义4:如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件: (1)r ααα,,,21 线性无关;(2)任取此向量组中的一个向量,添加到部分组r ααα,,,21 中,所得到的新的部分组都线性相关。
则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大线性无关组。
例:考虑向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα,显然部分组21,αα是线性无关的,而321,,ααα中的任意向量都可以由21,αα线性表示: 2110ααα⋅+=,1220ααα⋅+=,213ααα+=所以21,αα是向量组321,,ααα的极大无关组。
同样可以证明31,αα及23,αα也是向量组321,,ααα的极大无关组,这说明一个向量组的极大无关组可能不唯一。
从上述例子及极大无关组定义可以得到: 定理2:任一向量组和它的极大无关组等价。
推论1:向量组中任意两个极大无关组等价。
推论2:向量组中任意两个极大无关组所含向量的个数相同。
定义5:向量组s ααα,,,21 的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩,记作),,,(21s r ααα 。
定理3:如果二个向量组s ααα,,,21 和t βββ,,,21 等价,则它们的秩相等。
证明:设向量s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 的秩分别为p r ,;极大无关组分别为r i i i ααα,,,21 和p j j j βββ,,,21 ;则向量组s ααα,,,21 与向量组ri i i ααα,,,21等价;向量组t βββ,,,21 与向量组p j j j βββ,,,21 等价;所以向量组r i i i ααα,,,21 和向量组p j j j βββ,,,21 等价;又因为向量组r i i i ααα,,,21 和pj j j βββ,,,21均线性无关,因此有p r =。
定义6:矩阵n m ij a A ⨯=)(的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩;其列向量组的秩称为矩阵A 的列秩。
定理4:设A 为n m ⨯矩阵,r A r =)(的充分必要条件是A 的列(行)秩为r 。
定理5:矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系。
下面用例子说明求向量组的秩和极大无关组的方法。
例1:已知),0,1,2,1,1(1-=α),0,2,4,2,2(2--=α),1,1,6,0,3(3-=α)01,0,3,0(4=α,试求这向量组的秩及它的一个极大无关组,并把其余向量用所求极大无关组线性表示。
解:044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000001100011003211100044000003300032111000121064230210321A则(r 4321,,,αααα)=3,且321,,ααα是向量组4321,,,αααα一个极大无关组。
下面求向量4α用极大无关组321,,ααα线性表示。
从最后一个矩阵可得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000324332321x x x x x x x令14=x ,解得1,1,1321-===x x x所以 04321=+-+αααα,即3214αααα+--=例2:已知向量组,)1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(4321-=-=--=-=αααα)1,4,6,2(5-=α,求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解: 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111042110421102101111110421106312121011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→53000000004211021011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000530004211021011可得3)(=A r ,则r(54321,,,,ααααα)=3,并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=---053042025454325421x x x x x x x x x x令0,153==x x ,得04=x ,12-=x ,11-=x令1,053==x x ,得354-=x ,322-=x ,311-=x所以0321=+--ααα,03532315421=+---αααα即213ααα+=,4215353231αααα++=例3:已知向量组,)0,2,1,1(),2,1,3,0(),14,7,0,3(),4,2,1,1(4321-===-=αααα)6,5,1,2(5=α,求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解: 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=60214452172113012131A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2422010110303302131⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000121101011021031⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000120001011021031可得3)(=A r ,则r(54321,,,,ααααα)=3,并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+++020023545325421x x x x x x x x x令0,153==x x ,得04=x ,12-=x ,31=x令1,053==x x ,得214-=x ,12-=x ,231=x所以03321=+-ααα,021235421=+--αααα即2133ααα+-=,42152123αααα++-=例4:已知向量组)2,1,1,4,6(1-=α,)4,3,2,0,1(2-=α,)22,16,9,4,1(3--=α,)3,1,0,1,7(4-=α,求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解: 044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3224211631092114047116A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→3224211631711614040921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→3408012550755110140800921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→8351051510117510815100921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000010008151041101 可得3)(=A r ,则r(4321,,,αααα)=3,并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求3α用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++008150414432431x x x x x x x令13=x ,得,04=x ,52=x 11-=x ,代入得:05321=++-ααα 即2135ααα-=例5:设n ααα,,,21 是一组n 维向量,已知单位向量n εεε,,,21 可以被它线性表示,试证明n ααα,,,21 线性无关。