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9.6
微分法在几何上的应用
9.6.1 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t ) y (t ) z (t ) (1)
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t 0 ;
z
M
M ( x0 x , y0 y , z0 z ) 对应于 t t 0 t .
x 1 y 2 z 1 , 1 0 1 ( x 1) 0 ( y 2) ( z 1) 0,
xz0
9.6.2 曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0
在曲面上任取一条通过 点M的曲线 x (t ) : y ( t ), z (t ) 曲线在M处的切向量 T { ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )},
则有 F ( ( t ), ( t ), ( t )) 0
n
M
T
假设F ( x , y , z )在 M 邻域内有一阶连续偏导数 Fx ( t 0 ) Fy ( t 0 ) Fz ( t 0 ) 0
令
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
解
T 2 y 2z,2z 2x,2x 2 y 可取 T y z, z x, x y
所求切线方程为
法平面方程为
Fx 2x Fy 2 y Fz 2z Gx 1 G y 1 Gz 1,
T 3,0,3 T {1, 0,1},
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )( z z0 ) 0.
2.空间曲线方程为
F ( x, y, z ) 0 , G ( x , y , z ) 0
切线方程为
x x0 y y0 z z0 , F y Fz Fx F y Fz Fx G y Gz 0 Gz G x 0 G x G y 0
练习题答案
1 x y 2 z 1 2 ,2 x 8 y 16 z 1 0 ； 一、1、 1 4 8 x 2 y 1 2、 x 2 y 4 0, 1 2 . z 0 1 1 1 二、 P1 ( 1,1,1)及P2 ( , , ) . 3 9 27 x 1 y 1 z 2 x y 2 0 或 三、 . 1 1 0 z 2 0 11 x y 2 z 四、 . 2
则 nT ,
线都与同一向量 n 垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的
切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面.
切平面方程为
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，它们在 M 的切
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
法线方程为
x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
例 4
求曲面 z e z 2 xy 3 在点(1,2,0) 处的
z
切平面及法线方程.
解 令 F ( x, y, z ) z e 2 xy 3,
Fx (1, 2, 0 ) 2 y (1, 2, 0 ) 4, Fy (1, 2 , 0 ) 2 x (1, 2 , 0 ) 2,
Fz (1, 2 , 0 ) 1 e z (1, 2 , 0 ) 0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0,
2 x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0
例 5
2 2 2 x 2 y 3 z 21 平行于平面 求曲面
x
o
M
y
割线 MM 的方程为
z
M
x x 0 y y0 z z 0 x y z
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t ,
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
当M M , 即t 0时 ,
z f ( x, y)
n { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1}
表示曲面的法向量的方向角， 若 、 、 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 是锐角，则法向量的方向 轴的正向所成的角 余弦为 fx cos , 2 2 1 fx f y
曲面在M处的法向量即 n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz (：空间曲面方程形为 z f ( x , y )
令 F ( x, y, z ) f ( x, y ) z,
曲面在M处的法向量为 n { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1} 曲面在M处的法线方程为
将定点代入平面方程即得。
作业：习题9.6
1（1）（3） 3（1）（2） 5
小结
空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向 量注意采用推导法）
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
练习题
一、填空题:
t 1 t ,y , z t 2 再对应于t 1 的点 1 、曲线 x 1 t t 处切线方程为________________； 法平面方程为________________. 2 、曲面 e z z xy 3 在点( 2,1,0 ) 处的切平面方程为 __________________； 法线方程为__________________. 2 3 二、求出曲线 x t , y t , z t 上的点,使在该点的切
cos fy
2 x 2 y
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx f y
,
其中
f x f x ( x0 , y0 )
f y f y ( x 0 , y0 )
例 3
求旋转抛物面 z x 2 y 2 1 在点( 2,1,4)
处的切平面及法线方程.
通过点 M ( x0 , y0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
解
f ( x, y ) x y 1,
2 2
n ( 2,1, 4 ) {2 x , 2 y , 1} ( 2,1,4 ) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0,
法平面方程为
Fy Gy Fz Fz ( x x0 ) Gz 0 Gz Fx ( y y0 ) Gx Gx 0 Fx Fy ( z z0 ) Gy 0
0.
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6， x y z 0在点 (1,2, 1) 处的切线及法平面方程.
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
( t 0 )( x x0 ) ( t 0 )( y y0 ) ( t 0 )( z z0 ) 0
例1
求曲线 : x e u cos udu， y 2 sin t
0
t
cost , z 1 e 3t 在 t 0 处的切线和法平面方程.
x 4 y 6 z 0 的各切平面方程.
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6z0 ( z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 , 2 x0 y0 z0 . 1 4 6
例 6
证明曲面 F (
xa yb , ) 0(a , b, c是 常 数) 上任意 zc zc
点处的切平面都过定点 (a, b, c ) .
证 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的任一点, 切平面方程为
( x x0 ) ( y y0 ) F1 F2 z0 c z0 c x0 a y0 b F1 F2 ( z z 0 ) 0 2 2 ( z0 c) ( z0 c)
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的全微分
x 2( y 1) 3( z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地： 1.空间曲线方程为
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
y ( x) , z ( x)
切线方程为
x x 0 y y0 z z 0 , 1 ( x0 ) ( x0 )
曲线在M处的切线方程
x (t ) y (t ) z (t )
