7.29新高一数学(衔接班)

第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩(V enn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子B A集个数为2n －2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( )A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．3-考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( ) A ．8 B ．6C ．7D ．15【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数 为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( ) A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．14.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①①5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．86.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±17.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( ) A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①①6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( ) A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C 2QD ．0∈Z7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．28.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩(Venn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数答案:D解析：对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案:B解析：13是实数,①正确；3是无理数,①错误；－3是整数,①错误；－3是无理数,①正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．1-C ．0D ．3-答案:C解析：由元素的互异性可得22321321a a a a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈答案:AB解析：对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确； 对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 答案:BD解析：由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围解析： (1)①2,B ∈{}1B x a x a =-<<,①12a a -<<,即23a <<, ①实数a 的取值范围为23a <<；(2)①B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,①115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( )A ．8B ．6C ．7D ．15答案:C 解析：{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案:A解析：(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( )A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师答案:B解析：对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案:D解析：①R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,①表示空集,①π①R ,0①Q ,0.7①N ,0①①, ①正确的个数为1 .故选D .4.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①① 答案:A解析：①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 答案:B解析：因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B. 6.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( ) A ．0B ．1C ．－1D ．±1答案:B 解析：因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( )A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解答案:BCD解析：对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合.故选BCD8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．答案:0解析：当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形 答案:C解析：由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案:B解析：{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①①,共2个. 故选B.3.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合{}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3答案:A 解析：因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A4.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<答案:A 解析：当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( )A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①① 答案:D解析：对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于①,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,①正确；对于①,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,①错误； 对于①,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,①正确； 对于①,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,①正确.故选D.6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( )A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z答案:AC解析：A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．2答案:ABC解析：因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 答案:(),3-∞解析：①A C ⊆,①A 和C 如图：①a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 答案:{}|43,N n n k k =+∈解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.解析：(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。

新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；3．培养学生学习高中数学的自信心.适用对象新高一学生课时安排授课时间：7-8 月，共计 10-15 次课，20 小时（一对一）或 30 小时（班组课）.课程特色以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯的衔接.课程结构第1讲数与式第2讲一元二次方程与韦达定理第3讲一元二次函数与二次不等式第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域第8讲求函数的值域第9讲函数的解析式第10讲函数的表示方法及值域综合复习第11讲函数的单调性（1）第12讲函数的单调性（2）第13讲函数的奇偶性第14讲指数运算第15讲对数运算第1讲数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式．【典型例题】：（1）计算：=___________________________________ （2）计算：=______________________________（3）计算=____________________________(4)=___________________________________ 变式1：利用公式计算（1）=_______________________(2)=________________________变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）（2）（3）（4）【典型例题】（1）（2）已知，求的值．（3）已知，求的值．变式1:计算：变式2:已知，，求的值．知识点二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1)(2)(3)(4)【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：(1)=___________(2)=_____________（3）计算=_______________________ （4）=_______________________(5)=_______________________ （6）设，求=_______________________ 变式1:二次根式成立的条件是( )A．B．C．D．是任意实数变式2:若，则的值是( )A．－３ B．３ C．－９ D．９变式3：计算（1）(2)知识点三、分式【典型例题—1】：1、分式的化简（1）化简（2）化简2、（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数，有．3、分式的运用设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值变式1：对任意的正整数n，______________变式2:选择题：若，则=（）（A）１（B）（C）（D）变式3:计算知识点四、因式分解【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

一、教学目标1. 知识目标：帮助学生掌握高中数学的基本概念、基本方法和基本技能，为高中数学学习打下坚实基础。

2. 能力目标：培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。

3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，树立信心，培养良好的学习习惯。

二、教学内容1. 数列的基本概念及性质2. 函数的概念及性质3. 几何图形的基本性质4. 解析几何的基本方法5. 统计与概率的基本概念及方法三、教学过程1. 导入新课（1）回顾初中数学知识，引导学生发现初高中数学的异同。

（2）介绍高中数学的特点，激发学生学习兴趣。

2. 讲解新课（1）数列的基本概念及性质讲解数列的定义、通项公式、求和公式等基本概念，通过实例讲解数列的性质。

（2）函数的概念及性质讲解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性等基本概念，通过实例讲解函数的性质。

（3）几何图形的基本性质讲解点、线、面、体等基本概念，通过实例讲解几何图形的性质。

（4）解析几何的基本方法讲解解析几何的基本方法，如坐标系、方程组、几何图形的方程等。

（5）统计与概率的基本概念及方法讲解统计与概率的基本概念，如平均数、中位数、众数、方差、概率等，通过实例讲解统计与概率的方法。

3. 课堂练习（1）巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。

（2）通过练习，发现学生在学习过程中的问题，及时进行辅导。

4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，帮助学生梳理知识体系。

（2）提出思考题，引导学生深入思考。

5. 课后作业（1）布置课后作业，巩固所学知识。

（2）要求学生按时完成作业，教师进行批改和辅导。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度、合作能力等。

2. 作业完成情况：检查学生课后作业的质量，了解学生对知识的掌握程度。

3. 定期测试：通过测试，评估学生对所学知识的掌握情况，为教学调整提供依据。

五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教。

初升高衔接班补充初高中衔接材料（一）恒等式变形：1、因式分解 2、配方 3、分式和根式（二）方程与不等式1、一元二次方程的韦达定理 2、一元二次不等式3、分式不等式，绝对值不等式 （三）二次函数补充一：立方和（差）公式1．公式：（1）()()22b a b a b a -=-+（2）()2222b ab a b a +±=±（3）()()2233b ab a b a b a +-+=+（4）()()2233bab a b a b a ++-=-（5）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（6）()3223333b ab b a a b a +++=+（7）()3223333b ab b a a b a -+-=-例1：计算：（1）()()964322+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2242412121b b a a b a例2：（1）()()()()42422222+++--+a a a a a a （2）()()()11122++---x x x x x（3）()()211x x x ++- （4）()()3211x xx x +++-例3．因式分解（1）66y x - （2）33662n m n m ++（3）()()()116119222+-+-+x x x （4）4323-+x x例4：已知2,2==+xy y x ，求33y x +的值例5：（1）已知2=+b a ，求336b ab a ++的值。

（2）已知31=-x x ，求331xx -的值。

例6： 化简（1）()()2222y xy x y x +-+ （2）()()[]2222z y z y z y ++-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121412141222x x x x x例7：已知0152=++a a ，试求下列各式的值：（1）a a 1+（2）221a a + （3）331a a + （4）441aa +例8：已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．补充二：十字相乘法与分组分解法一、十字相乘法：两个一次二项多项式n mx +与l kx +相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：即 ()()()nl x nk ml mkx l kx n mx +++=++2把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式()nl x nk ml mkx +++2分解因式即()()()l kx n mx nl x nk ml mkx ++=+++2这说明，对于二次三项式()02≠++ac c bx ax ，如果把a 写成c mk ,写成nl 时，b 恰好是nk ml +，那么c bx ax ++2可以分解为()()l kx n mx ++例1：分解因式（十字相乘法）（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（2）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．（5）81032++x x （6）122++-x x（6）6222++-xy y x （8）22592y xy x --例2：分解因式（分组分解法）（1）322333y xy y x x -+- （2）63223-+-x x x（3）32933x x x +++例3：分解因式（1）4324--m m （2）42249374b b a a +-（2）2221b ab a -+- （4）2215x x --（5）21252x x -- （6）2524x x +-（6）233+-x x （8）=-+2675x x（9）()=++-a x a x 12（10）=+-91242m m例4：用因式分解法解下列方程:(1) 04432=--x x (2)()()x x x =-+-22112补充三：根式与分式10)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． 2．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n pmn p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．3、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例5 计算(没有特殊说明，本题中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x≥（3（4）（5）例6设x y==33x y+的值．例7 化简：（1）11xx x x x-+-补充四：一元二次方程的韦达定理对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 用配方法可变形为：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 因右边大于0.所以（1） 当042>-=∆ac b 时，方程有根ab x a b x 2,221∆--=∆+-=（2） 当042=-=∆ac b ，方程有根abx x 221-== （3） 当042<-=∆ac b ，方程没有实数根。

高一衔接班数学知识点高一是学生们进入高中阶段的重要一年，也是他们步入数学学科新课程的起点。

为了帮助学生更好地适应高中数学的学习，许多学校都设立了高一衔接班，提前学习一些高中数学知识点。

本文将从几个方面介绍高一衔接班的数学知识点。

一、复习初中数学基础高一衔接班的首要任务就是复习和巩固初中数学的基础知识。

这里主要包括代数、几何和函数三个方面。

代数包括线性方程、二次方程、函数关系等内容；几何包括平面几何和空间几何；函数则是高中数学的重中之重，包括函数的概念、函数的性质、函数的运算和函数的图像等。

复习初中数学基础不仅有助于学生回顾已学知识，还能为后续高一数学的学习打下坚实的基础。

通过对基础知识的梳理和复习，学生们能够更好地理解高中数学的新内容。

二、引入高中数学的新概念除了复习初中数学的基础知识，高一衔接班还会引入一些高中数学的新概念，让学生们提前接触和了解。

这些新概念主要包括数列与数学归纳法、排列组合与二项式定理、三角函数与解三角函数的基本方程等。

引入这些新概念的目的在于激发学生们对数学的兴趣，丰富他们的数学知识结构，为高中数学的学习打下坚实的基础。

同时，通过对这些新概念的学习，学生们也能够提前适应高中数学的思维方式和解题方法。

三、提高问题解决能力高一衔接班不仅注重知识的讲解和学习，还注重培养学生的问题解决能力。

通过一些实际问题的讨论和解决，学生们能够发展他们的逻辑思维和分析能力。

同时，学生们还能够学会如何运用所学知识解决实际问题。

培养学生的问题解决能力对其未来的学习和发展至关重要。

高中数学不再是简单的应试训练，而是需要学生们具备独立思考和解决问题的能力。

因此，高一衔接班注重培养学生的问题解决能力，为他们在高中数学学习中更好地展现自己打下基础。

四、提前接触高考数学考试高一衔接班还会提前引导学生们了解高考数学考试的要求和题型。

通过模拟高考试题的训练和答题技巧的掌握，学生们能够更好地适应高考数学的考试压力和题型。

数学高一初高中衔接课教案
学科：数学
年级：高一
时间：1课时
教学目标：学生能够了解初中数学和高中数学的衔接关系，理解高中数学的学习内容与初中数学的基础知识之间的联系。

教学重点：初中数学和高中数学的衔接点和基础知识的巩固。

教学难点：高中数学的学习内容与初中数学的基础知识之间的联系。

教学内容及过程安排：
一、引入（5分钟）
通过举例引导学生思考，初中数学中哪些知识点是高中数学的基础，如何进行衔接。

二、解决问题（15分钟）
1. 初中数学和高中数学的主要区别和联系是什么？
2. 举例说明高中数学的学习内容与初中数学的基础知识之间的联系。

三、拓展应用（20分钟）
1. 要怎样巩固初中数学的基础知识，才能更好地学习高中数学？
2. 为什么高中数学的学习如此重要？
四、总结（10分钟）
让学生总结本节课的学习内容，为今后的学习做好铺垫。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固本节课所学内容。

教学安排：板书、讲解、示范、练习
教学手段：教师讲解、学生讨论、小组合作、互动答疑
教学后记：通过本节课的学习，使学生初步了解初中数学和高中数学的衔接关系，为将来的学习打下基础。

（初升高）高一数学衔接班第3讲——因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。

3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。

二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲： 1、知识回顾：（1）a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）； （2）a 2±2ab ＋b 2＝（a±b ）2 2、新知探秘：如何将8＋3x 分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）；a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2）.两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。

例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：（1）38x +（2）30.12527b -思路导航：（1）中，382=，（2）中3330.1250.5,27(3)b b ==解：（1）333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ （2）333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。

例2. 因式分解：34381a b b -思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b ，应先提取公因式，再进一步分解；解：3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.仿练：76 a ab -思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看作是3232()()a b -或2323()()a b -。

新高一数学衔接教材学生姓名：第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。

这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的整体数量剧增。

高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。

暑假新高一数学衔接课程第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。

（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。

2、二次根式：0)a ≥的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

3、指数运算法则及推广①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *）n 个 2）)0(10≠=a a ；3）11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ） ②性质：1）(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R ）。

4、n 次根式：若存在实数x ，使得a x n =，则称n a x =为a 的n 次方根。

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。

5、分数指数幂：nma =6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知2=x ，计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。

高一衔接班数学知识点分析高一衔接班是中学教育中的关键时期，学生在这个阶段需要进行初中数学知识的巩固，并学习高一的数学知识。

为了帮助学生更好地理解高一数学知识点，并顺利过渡到高中学习，本文将对高一衔接班数学知识点进行分析。

1. 集合与函数高一数学的第一个重点是集合与函数。

集合是数学中最基础的概念之一，它描述了具有某个共同特征的对象的集合。

函数是一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

在这一部分，学生需要掌握集合的表示方法、运算法则以及函数的定义和性质。

2. 数与代数数与代数是高一数学的第二个重点。

在这一部分，学生需要学习整式的基本运算和因式分解。

整式是关于一个或多个变量的常数和变量的代数式，学生需要掌握整式的运算规则和乘法公式。

此外，学生还需要学习二次根式、分式以及其运算法则。

3. 直线与圆直线与圆是高一数学的第三个重点。

在这一部分，学生需要学习直线和圆的基本性质，掌握直线和圆的方程及其应用。

此外，还需要学习两条直线的位置关系和判定两条直线是否相交的方法。

4. 几何证明几何证明是高一数学的第四个重点。

在这一部分，学生需要学习几何中的基本概念和性质，并能够运用这些概念和性质进行几何证明。

学生需要掌握几何证明的基本方法和技巧，包括直接证明、间接证明、反证法等。

5. 统计与概率统计与概率是高一数学的第五个重点。

在这一部分，学生需要学习统计学中的基本概念和方法，包括数据的收集、整理和分析。

此外，学生还需要学习概率的基本概念和计算方法，掌握概率事件的计算和相关概率公式的应用。

对于每个重点知识点，学生可以通过课堂学习、课后习题和辅导材料来进行巩固和提高。

同时，学生还可以参加数学竞赛等活动，通过实践和应用来提高自己的数学水平。

总而言之，高一衔接班数学知识点的分析旨在帮助学生更好地理解和掌握高一数学知识。

通过系统学习和不断练习，学生可以提高数学思维能力，为高中数学学习打下坚实的基础。

希望本文所述对于学生们的数学学习能有所帮助。

高一衔接班数学知识点总结在高一衔接班的学习中，数学是一个重要的学科，对于学生的学习和成绩起着至关重要的作用。

为了帮助同学们更好地掌握数学知识，下面对高一衔接班数学知识点进行总结。

一、函数与方程1.1 一次函数一次函数是指最高次数为1的函数，是由直线表示的。

其一般式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

1.2 二次函数二次函数是指最高次数为2的函数，是由抛物线表示的。

其一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。

1.3 方程与不等式方程和不等式是数学中常见的表示关系的方式。

在高一衔接班中，学生需要掌握解一元一次方程、一次不等式和一元二次方程等基本的解法和性质。

二、几何与三角2.1 平面几何平面几何是研究平面上图形的性质和相互关系的学科。

在高一衔接班中，需要学生掌握几何图形的分类、性质以及相似三角形、平行四边形、圆锥等几何图形的相关知识。

2.2 空间几何空间几何是研究空间中图形的性质和相互关系的学科。

在高一衔接班中，学生需要掌握平面与直线的位置关系、空间几何体的性质等。

2.3 三角函数三角函数是描述角度和其它与之相关的量之间关系的函数。

在高一衔接班中，需要学生掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质以及应用。

三、概率与统计3.1 概率概率是研究随机事件发生可能性的学科。

在高一衔接班中，需要学生理解事件、样本空间以及概率的基本概念，并能够应用概率进行问题求解。

3.2 统计统计是研究收集、整理、分析和解释数据的学科。

在高一衔接班中，学生需要学会描述统计、频数表、频率分布以及直方图等统计概念和方法。

四、数学思维方法4.1 推理与证明推理与证明是数学思维的重要组成部分。

在高一衔接班中，学生需要培养严密的逻辑思维能力，可以通过数学归纳法、逆否命题等方法进行证明。

4.2 问题解决和建模问题解决和建模是培养学生数学思维的关键。

在高一衔接班中，学生需要能够将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法解决问题。

2024年新高一数学暑假衔接班综合测试（19题新高考新结构）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）考试范围:集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ∩=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x≤<C ．{}316x x ≤<D ．1163x x≤<【答案】D【分析】求出集合,M N 后可求M N ∩.【详解】1{16},{}3Mx x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ∩=≤< ， 故选：D2．关于命题p “0R x ∃∈，2010x x −+<”的否定，下列说法正确的是（ ） A ．p ¬：2R,10x x x ∀∈−+>，为假命题 B ．p ¬：2R,10x x x ∀∈−+>，为真命题 C ．p ¬：2R,10x x x ∃∈−+>，为真命题 D ．p ¬：2R,10x x x ∀∈−+≥，为真命题【答案】D【分析】判断命题p 的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可.【详解】因为22131024x x x−+=−+>，故命题p 为假命题，则p ¬为真命题；又“0R x ∃∈，20010x x −+<”的否定为：“2R,10x x x ∀∈−+≥”，故选：D.3．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()I M P SD ．()I M P S【答案】C【分析】分析出阴影部分为M P 和I S 的子集，从而选出正确答案.【详解】题图中的阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，故属于集合S 的补集，即是I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是()I M P S 故选：C4．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知：“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件. 故选：B5．函数2211x x y x x −+=++的值域是（ ） A ．1,33 B ．1,1(1,3]3C ．(0,3]D ．1,[3,)3∞∞−∪+【答案】A【分析】对函数2211x x y x x −+=++分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.【详解】结合题意：()2222212121111x x x x x x y x xx x x x ++−−+===−++++++， 当0x =时，1y =； 当0x >时，22211111131x y x x x x =−=−≥=++++，当且仅当1x x =， 即1x =，原式取得最小值13；另一方面，因为0x >，220,1x x x >++所以22111xy x x =−<++，即113y ≤<; 当0x <时，()22221111311111x y x x x x x x =−=−=+≤=++ ++−+−− ， 当且仅当1x x−=−，即=1x −，原式取得最大值3; 另一方面因为0x <，令21m x x =++，则2140∆=−<，所以201m x x =++>，所以220,1xx x <++所以22111xy x x =−>++，即13y <≤; 综上所述：函数2211x x y x x−+=++的值域是1,33 . 故选：A.6．已知集合{N121}M x x =∈≤≤|，集合1A ，2A ，3A 满足：①每个集合都恰有7个元素；②123A A A M ∪∪=．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（ ） A ．132 B ．134C ．135D ．137【答案】A【分析】判断集合123,,A A A 中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可．【详解】 集合123,,A A A 满足：①每个集合都恰有7个元素；②123A A A M ∪∪=．123,,A A A ∴一定各包含7个不同数值．集合123,,A A A 中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是21，15，9，特征数的和123X X X ++最小， 如：1{1,16,17,18,19,20,21}A =，特征数为22；2{2,10,11,12,13,14,15}A =，特征数为17； 3{3,4,5,6,7,8,9}A =，特征数为12；则123X X X ++最小，最小值为22＋17＋12＝51．当集合123,,A A A 中元素的最小值分别是1，7，13，最大值是21，20，19时，特征数的和123X X X ++最大， 如：1{1,2,3,4,5,6,21}A =，特征数为22；2{7,8,9,10,11,12,20}A =，特征数为27； 3{13,14,15,16,17,18,19}A =，特征数为32； 则123X X X ++最大，最大值为22＋27＋32＝81， 故123X X X ++的最大值与最小值的和为81＋51＝132． 故选：A ．7．若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b −++−的最小值为（ ）A．2 B．4C．4−D．2−【答案】D【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为2ab =，所以由题意222222(1)(1)2222a b a b a b a b aba b a b a b −++++−+++==−−−−()()23622a b ab a b a ba b−+=−=−+−−−， 因为a b >，所以0a b −>，所以由基本不等式可得()22(1)(1)622a b a b a ba b−++=−+−≥−−，当且仅当2ab a b a b= − >时等号成立，即当且仅当a b = =a b = =综上所述，22(1)(1)a b a b−++−的最小值为2−.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.8．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y −=−，且()()210f f −=≠，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +−=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =−和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++−=−，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =−=，得()00f =，故A 错误；对于B ，取()()2π2πsin ,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y −=−及()()210f f −=≠， 因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称， 所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =−， 可得()()()()110100f g g f −=−= ，结合()10f ≠得()100g −=，()01g =， 再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y −=−， 将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y −=−，所以函数()f x 为奇函数. 令1x =，1y =−，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =−−−， 因为()()11f f −=−，所以()()()()2111f f g g =−+ ，又因为()()()221f f f =−−=−，所以()()()()1111f f g g −=−+ ，因为()10f ≠，所以()()111g g +−=−，故C 错误； 对于D ，分别令1y =−和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f xf xg g x f +=−−−，()()()()()111f x f x g g x f −=−，两式相加易得()()()11f x f x f x ++−=−，所以有()()()21f x f x f x ++=−+， 即：()()()12f x f x f x =−+−+， 有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=， 即：()()12f x f x −=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3， 因为()11f =，所以()21f −=，所以()()221f f =−−=−，()()300f f ==， 所以()()()1230f f f ++=， 所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确. 故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有,x y 的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有,x y 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。

高中衔接班数学教案
教学内容：函数及其性质
教学目标：
1. 理解函数的基本概念，能够正确运用函数的定义和表示方法。

2. 熟练掌握一次函数、二次函数、绝对值函数等常见函数的性质。

3. 能够解决实际问题中涉及函数的数学模型。

4. 培养学生独立思考和解决问题的能力。

教学过程：
一、导入：通过一个实际问题引入函数的概念，让学生认识到函数在日常生活中的重要性。

二、讲解：详细讲解函数的定义、表示方法以及常见的函数类型，例如一次函数、二次函数、指数函数等。

三、练习：让学生进行一些简单的函数练习，巩固基本概念和方法。

四、拓展：引导学生思考函数在不同领域的应用，如经济学、物理学等，激发学生对函数
的兴趣。

五、总结：对本节课的重点内容进行总结，并提出下节课的预习任务。

教学方式：
1. 教师讲解配合示例演算。

2. 学生个人或小组练习。

3. 学生提问互动，引导学生主动探索和解决问题。

教学评价：
1. 根据每节课的课堂练习情况进行实时评价，及时发现和纠正学生的错误。

2. 引导学生参与课堂讨论和互动，评价学生对函数的理解和应用能力。

扩展活动：
1. 带学生实地调查并设计一个实际问题的函数模型。

2. 鼓励学生课外阅读数学相关书籍或文章，拓展对函数概念的理解。

教学资料：
1. 教科书相关章节内容。

2. 练习题、案例和解析。

3. 数学工具书籍和网站资源。

注：本教案范本仅作参考，具体教学内容和方式可根据实际情况灵活调整。

新高一衔接数学知识点汇总随着高中教育改革的不断推进，学生从初中升入高中，需要进行一定程度上的衔接。

在数学学科中，这个衔接显得尤为重要。

本文将总结新高一数学课程的主要知识点，为即将升入高一的同学提供一份全面的数学知识储备。

1. 复习基础知识新高一学期开始之前，可以花一些时间复习初中阶段的数学知识。

这包括数与代数、平面几何、立体几何以及概率与统计等方面的知识。

通过巩固这些基础知识，可以为新学期的学习打下坚实的基础。

2. 函数与方程在新高一的数学课程中，函数与方程是一个重要的知识点。

它是高中数学学习的基础，也是往后各个领域的核心。

掌握函数与方程的概念、性质以及解题方法，对于整个数学学科的学习非常关键。

3. 数列与数列的极限数列与数列的极限是高中数学中的一个重要知识点。

通过学习数列的概念、性质以及数列的极限，可以帮助我们更好地理解数学中的趋势与规律，为后续的微积分学习做好准备。

4. 三角函数与解三角形在新高一的数学课程中，三角函数是一个重要的内容。

学习三角函数的定义、性质以及三角函数的应用，可以帮助我们解决与角度有关的各类问题，如解三角形等。

5. 平面向量与立体几何平面向量与立体几何是高中数学中的另一个重要知识点。

平面向量的概念、运算规则以及向量的应用，会给我们解决与平面几何相关的问题提供很大的帮助。

而立体几何中的空间图形的性质与计算，对于理解三维空间中的几何关系具有重要意义。

6. 探索数学在数学学科中，还有一些拓展性较强的内容，如数论、组合数学、图论等。

这些课题可以开启我们的思维，培养我们的数学逻辑和推理能力。

通过以上几个方面的学习，相信同学们可以为新高一的数学学习做好充分的准备。

当然，数学学科的学习不能仅仅停留在理论知识的层面上，更应该注重实践与应用。

运用所学数学知识解决实际问题，提高解决问题的能力，是数学学习的终极目标。

除了以上提到的内容，在新高一的数学学科中还有许多其他的知识点需要学习。

例如，数学函数的图像与性质、数集与不等式以及导数与微分等。

新高一数学衔接课教案高一新生要作好充分思想打算, 以自信、宽容的心态, 尽快融入集体, 适应新同学、适应新校内环境、适应与初中迥异的纪律制度。

下面是我为你打算的__, 快来借鉴一下并自己写一篇与我们共享吧！新高一数学连接课教案篇1一、教学目标1.驾驭商的算术平方根的性质, 能利用性质进展二次根式的化简与运算;2.会进展简洁的二次根式的除法运算;3.使学生驾驭分母有理化概念, 并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4.造就学生利用二次根式的除法公式进展化简与计算的实力;5.通过二次根式公式的引入过程, 渗透从特别到一般的归纳方法, 提高学生的归纳总结实力;6.通过分母有理化的教学, 渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进展二次根式的化简, 会进展简洁的二次根式的除法运算, 还要使学生驾驭二次根式的除法采纳分母有理化的方法进展.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特别到一般总结归纳的方法以及类比的方法, 在学习了二次根式乘法的根底上本小节内容可引导学生自学, 进展总结比照.新高一数学连接课教案篇2教学目标1.使学生驾驭的概念,图象和性质.(1)能依据定义判定形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域.(2)能在根本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面相识的性质.(3)能利用的性质比拟某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象.2.通过对的概念图象性质的学习,造就学生视察,分析归纳的实力,进一步体会数形结合的思想方法.3.通过对的探究,让学生相识到数学的应用价值,激发学生学习数学的爱好.使学生擅长从现实生活中数学的发觉问题,解决问题.教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念,根本驾驭了函数的性质的根底上进展探究的,它是重要的根本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的根底,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点探究.(2)本节的教学重点是在理解定义的根底上驾驭的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值改变状况的区分.(3)是学生完全生疏的一类函数,对于这样的函数应怎样进展较为系统的理论探究是学生面临的重要问题,所以从的探究过程中得到相应的结论虽然重要,但更为重要的是要了解系统探究一类函数的方法,所以在教学中要特殊让学生去体会探究的方法,以便能将其迁移到其他函数的探究.教法建议(1)关于的定义遵照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必需是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.(2)对底数的限制条件的理解与相识也是相识的重要内容.假如有可能尽量让学生自己去探究对底数,指数都有什么限制要求,老师再赐予补充或用详细例子加以说明,因为对这个条件的相识不仅关系到对的相识及性质的分类探讨,还关系到后面学习对数函数中底数的相识,所以必须要真正了解它的由来.关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在详细教学中应幸免描点前的盲目列表计算,也应幸免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简洁的探讨,取得对要画图象的存在范围,大致特征,改变趋势的也许相识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.新高一数学连接课教案篇31、教材〔教学内容〕本课时主要探究随意角三角函数的定义。

2021-2021学年度第二学期期中考试高一年级衔接班数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角.【详解】，设直线的倾斜角为，，故此题选D.【点睛】此题考察了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题.2.体积为的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球面的外表积为A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的外表积为，应选A.【考点】正方体的性质，球的外表积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.【此处有视频，请去附件查看】3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是( )A. 假设，，那么B. 假设，，，那么C. 假设，，，那么D. 假设，，那么【解析】【分析】根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的断定定理对四个选项，逐一判断，最后选出正确答案.【详解】选项A：直线m，n还可以异面、相交，故本命题是假命题；选项B：直线m，n可以是异面直线，故本命题是假命题；选项C:当时，假设，，，才能推出，故本命题是假命题；选项D：因为，，所以，而，所以有，故本命题是真命题，因此此题选D.【点睛】此题考察了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的断定与性质，考察了空间想象才能.，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为〔〕A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.考点：直线与圆位置关系5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，那么异面直线AE与BF所成角的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A〔2，0，0〕，E〔0，1，2〕，B〔2，2，0〕，F〔0，2，1〕，＝〔﹣2，1，2〕，＝〔﹣2，0，1〕，设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，那么cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．应选：D．【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于根底题.6.如图正方形OABC的边长为1，它是程度放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的面积A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是程度放置的一个平面图形的直观图，所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×22．应选：A．【点睛】此题考察斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考察计算才能．7.假设直线被圆截得弦长为，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的HY方程为：〔x+1〕2+〔y﹣2〕2 =4，它表示以〔﹣1，2〕为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得=〔〕〔a+b〕=5+≥5+2当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．应选：A．点睛：此题主要考察根本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用根本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或者积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，获得最值.8.圆，直线l：，假设圆上恰有4个点到直线l的间隔都等于1，那么b的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】圆上恰有4个点到直线l的间隔都等于1，所以圆心到直线l：的间隔小于1，利用点到直线间隔求出b的取值范围.【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的间隔都等于1，所以圆心到直线l：的间隔小于1，因此有，故此题选D.【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系、点到直线的间隔公式，考察了数形结合思想.9.直线l1；2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，假设l1⊥l2，那么a的值是〔〕A. 8B. 2C.D.【答案】D【解析】试题分析：根据两直线平行的条件，可得，应选A.考点：1.两直线的位置关系；2.两直线平行的条件.10.当点P在圆上变动时，它与定点相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，利用中点坐标公式可以求出，代入圆方程中，可以求出中点M的轨迹方程.【详解】设，，因为M是线段PQ的中点，所以有，点P在圆上，所以有，故此题选B. 【点睛】此题考察了求线段中点的轨迹方程，考察了中点坐标公式、代入思想.11.直线与曲线有两个不同的交点，那么实数的k的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：因为曲线y＝1＋(|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k的取值范围是，选A12.点，，直线l方程为，且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围为A. 或者B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直线l方程为，可以化为点斜式，这样可以求出直线l恒过定点的坐标，直线l与线段AB相交，利用数形结合，可以求出直线l斜率的取值范围.【详解】因为，所以直线l过点，如以下图所示：直线的斜率为，直线的斜率为，直线l与线段AB相交，所以有或者，故此题选A.【点睛】此题考察了直线点斜式方程求直线过定点的问题.考察了当直线与线段相交时，求直线斜率取值范围问题，解题的关键是数形结合.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，那么此三棱锥的外接球的体积为____________【答案】【解析】分析：先将三棱锥补成长方体，再根据长方体外接球直径等于长方体对角线长，计算球体积. 详解：因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为，因为三棱锥的外接球与长方体外接球一样，所以外接球直径等于，因此三棱锥的外接球的体积等于点睛：假设球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用求解．14.假设曲线与直线始终有交点，那么的取值范围是_______．【答案】【解析】由题设可知有解，即有解，令借，那么，所以，由于，故，结合正弦函数的图像可知，那么，应填答案。

新高一数学衔接课教案教案标题：新高一数学衔接课教案教案目标：1. 了解新高一数学课程的基本要求和衔接内容；2. 掌握高中数学与初中数学的差异和变化；3. 帮助学生顺利过渡到新高一数学学习。

教学重点：1. 高中数学与初中数学的差异；2. 数学概念的延伸与拓展；3. 高中数学的学习方法和技巧。

教学难点：1. 高中数学的抽象性和理论性；2. 高中数学的解题思维和逻辑性。

教学准备：1. 教材：新高一数学教材；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪等；3. 备课资料：高中数学与初中数学的差异对比表、典型题目分析等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍新高一数学衔接课的目的和意义；2. 引导学生回顾初中数学的学习内容和方法。

二、概念延伸与拓展（15分钟）1. 通过对比初中数学和高中数学的差异，引导学生认识高中数学的抽象性和理论性；2. 以具体的例子和问题，引导学生思考高中数学概念的延伸与拓展。

三、解题思维与逻辑性训练（25分钟）1. 分析高中数学解题思维和逻辑性的特点；2. 通过典型题目的讲解和解析，引导学生掌握高中数学解题的方法和技巧。

四、课堂练习与讨论（20分钟）1. 给学生分发练习题，让学生在课堂上独立完成；2. 引导学生进行讨论和交流，解答疑惑。

五、总结与反思（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结；2. 鼓励学生提出问题和反思自己的学习情况。

教学延伸：1. 布置课后作业，巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生主动参与数学学习，多做习题和实践。

教学评估：1. 课堂练习的成绩；2. 学生对课堂内容的理解和掌握程度；3. 学生的参与度和表现。

教学反思：1. 针对学生的学习情况，及时调整教学策略；2. 关注学生的问题和困惑，提供个性化的辅导和指导。

教案撰写者：AI教育助手。