2019-2020学年高一数学 初升高衔接班 第五讲 绝对值不等式的解法讲义.doc

第五讲绝对值不等式的解法一.理解性概念b?cax?b??c(cx??0ax)a?(a?0)ax型不等式的解法与型不等式与与解集??a?a?x(a?0)x?x?a; 的解集是不等式??a??xa,或xx??a(a?0)x不等式的解集是??)0(c?cax?b?)(c?0bx|?c?ax??c; 的解集为不等式??)?0?ax?bc(c)0c或ax?b?c?(?x|ax?b?c,不等式的解集为三、讲解范例：5500?x??5. 1例12 解不等式解不等式< | 2x-1 | . 例不等式：例4 解例3 解不等式：|4x-3|>2x+1.|x-3|-|x+1|<1.x)(?)aa?Rxa?xa(?R , 解关于5. 的不等式①②例x)R?(???2x31aa. 6.例解关于的不等式1课堂练习卷分满分100建议用时40分钟一、选择题2a?6a得( ) ＜-61.已知，化简aaaa-6D. +6 B. - -6 A. 6- C.x( )8-3｜≤0的解集是2.不等式｜8?? D. C. {(1,-1)}R B. ??3??3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( )A. 3B. 2C. -2D. -5AxxBxxAB等于( )| || |∩-2|＜3}，-4.设={={1|≥1}，则xxxxx≥2} 5} B. {≤０或|A. { |-1＜＜xxxxx＜≤0或2≤|-1C. {＜|-1＜5}≤0} D. {A B}??1?10?x A?{x x?Z且}x?5 x?Z且B?{x 中的元素个设集合，则，5.数是( )A. 11B. 10C. 16D. 1523??x?R2yyy?x?2x?3,NMMN）︱}，则集合={y（6.已知集合∩={ },1???4?yy1??y?5yyy??4 } C. {} B. {A.{5??x3x）或7.的否定是（语句5x?x?或x?35?3或x A. B.5x3且?x3x?且x?5? C. D.二、填空题xx . 2 ，不等式｜｜≥3的解集是-1的解集是1.不等式｜+2｜＜31x??11的解集是不等式_________________. 2.2cab三数的点的位置，化简3.根据数轴表示,,2cacbab|= ___ . +-|+|||-|+三、解答题x?21解不等式1.??0xx｜-3 ＞0 1.- 2｜ 2.解不等式22x22 x Bx AUxxx+3｜＜2},｜｜- 2求：- 8＞3.已知全集,= R0},={ ｜={ ABABABAB））∩（C,（,C（∪C） (2) C,C(1)∪uuuuuxxx. 1+2－4|＞4.解不等式3≤|＜－2|9 5.解不等式|3 |2|?|x-y?|x?1xx 4. －的图象，并解不等式| 画出函数6.+1|+| 2|<x x | 2 |≤7- ＜：不等式解下列关于7.的13xxab 9.解不等式｜｜＞-8.解不等式2≤｜5-3｜＜9xxx+1 的不等式：|410.解关于-3|>22?2xx?15?0x的不等式：11.解下列关于2x?4四、作业解下列不等式2?7?x?32x?5 . ①②? | 3x-2 | < 5. ④|3x③1-1|>2x+1.x?2?a(a?R), -2|-|x-1|<1. ⑤|x⑥)aa?13?x?(R?.⑦520XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

【第5讲】 绝对值和绝对值不等式的解法【基础知识回顾】知识点1 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识点2 绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【合作探究】探究一 绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例1-2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例1-3】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能．归纳总结：【练习1】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc +++的值 探究二 绝对值的应用【例2】若42a b -=-+，则_______a b +=．归纳总结：【练习2-1】练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________【练习2-2】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 探究三 零点分段法去绝对值【例3】化简代数式24x x ++-归纳总结：【练习3】化简代数式122y x x =-+-探究四 绝对值函数【例4-1】画出1y x =-的图像【例4-2】画出122y x x =-+-的图象【例4-3】画出函数223y x x =-++的图像【例4-4】画出函数232y x x =-+的图像归纳总结：探究五 解绝对值不等式【例5-1】解不等式 1x <．归纳总结：【练习5-1】解不等式：（1）3x <； （2）3x > （3）2x ≤【例5-2】解不等式 21x -<．归纳总结：【练习5-2】解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；【例5-3】解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩． 【练习5-3】解不等式1215x ≤-<．【例5-4】解不等式：4321x x ->+归纳总结：【练习5-4】解不等式：431x x -≤+．【例5-5】解不等式：215x x ++-<【练习5-5】解不等式：13x x -+-＞4．1．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________．3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数4．若x x >，那么x 是________数．5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象8．化简523x x ++-．9.画出23y x =+的图像10.画出223y x x =-++的图像1.已知6a <-，化简6( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________. 4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-<8.解不等式3412x x ->+9．解不等式：122x x x -+-<+a 0b c【第5讲】 绝对值和绝对值不等式的解法【基础知识回顾】知识点1 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识点2 绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【合作探究】探究一 绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【答案】A【例1-2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【答案】C【例1-3】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能．【答案】4【解析】当a 、b 、c 都是正数时，M = 3；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M =1；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = -1；当a 、b 、c 都是负数时，M =-3．归纳总结：【练习1】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc +++的值 【解析】：由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正， （1）当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=；（2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 原式0=．探究二 绝对值的应用【例2】若42a b -=-+，则_______a b +=． 【解析】424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．归纳总结：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =．【练习2-1】练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________【解析】1,2a b =-=．【练习2-2】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 【解析】由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋． 探究三 零点分段法去绝对值【例3】化简代数式24x x ++-【解析】⑴当2x ≤-时，原式()()2422x x x =-+--=-+；⑴当24x -<<时，原式()()246x x =+--=；⑴当x ≥4时，原式2422x x x =++-=-．综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．归纳总结：【练习3】化简代数式122y x x =-+-【解析】当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．综上讨论，原式()()()531312352x x x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．探究四 绝对值函数【例4-1】画出1y x =-的图像【解析】（1）关键点是1x =，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到【例4-2】画出122y x x =-+-的图象【解析】（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．（3）图象如右图所示．【例4-3】画出函数223y x x =-++的图像【解析】（1）关键点是0x =（2）去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++；当0x <时，223y x x =--+（3）可作出图像如右图【例4-4】画出函数232y x x =-+的图像【解析】（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+；当12x <<时，232y x x =-+-（3）可作出图像如右图归纳总结：探究五 解绝对值不等式【例5-1】解不等式 1x <．【解析】x 对应数轴上的一个点，由题意，x 到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1-和1，自然只有在1-和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x 的解集是{|11}x x -<<．归纳总结：（1）(0)x a a <>的解集是{|}x a x a -<<，如图1．（2）(0)x a a >>的解集是{|}x x a x a <->或，如图2．【练习5-1】解不等式：（1）3x <； （2）3x > （3）2x ≤【答案】（1）{|33}x x -<< （2）{|33}x x x <->或 （3）{|22}x x -≤≤【例5-2】解不等式 21x -<．【解析】：由题意，121x -<-<，解得13x <<，所以原不等式的解集为{|13}x x <<． 归纳总结：（1）(0)ax b c c c ax b c +<>⇔-<+<．（2）(0)ax b c c ax b c +>>⇔+>或ax b c +<-【练习5-2】解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；【解析】：（1）由题意，3103x -<-<，解得713x <<，所以原不等式的解集为{|713}x x <<．（2）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <，，所以原不等式的解集为73{|}22x x x ><或． （3）由题意，5325x -<-≤，解得【例5-3】解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩． 【解析】：由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤，⑴ 由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<，⑴ 由⑴⑴得，4233x -<<，所以原不等式的解集为42{|}33x x -<<． 【练习5-3】解不等式1215x ≤-<． 【解析】：方法一：由215x -<，解得23x -<<；由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥， 联立得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或． 方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或．【例5-4】解不等式：4321x x ->+【解析】：方法一：（零点分段法）（1）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <； （2）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 方法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >，所以原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 归纳总结：（1）()()()ax b f x f x ax b f x +<⇔-<+<．（2）()()ax b f x ax b f x +>⇔+>或()ax b f x +<-．【练习5-4】解不等式：431x x -≤+．【解析】：由431x x -≤+得(1)431x x x -+≤-≤+，解得2453x ≤≤，原不等式的解集为24{|}53x x ≤≤． 【例5-5】解不等式：215x x ++-< 方法1：利用零点分区间法（推荐） 【分析】:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x ．2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．【解析】：当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ；当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩， 解得：12≤≤-x ；当1>x 时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ．综上，原不等式的解集为{}23<<-x x ．方法2：利用绝对值的几何意义【解析】：215x x ++-<的几何意义是数轴上的点x 到1和2-的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35--=<，易知当3x =-或2x =时，215x x ++-=，所以x 位于3-和2之间（不含端点），所以32x -<<，所以原不等式的解集为{}23<<-x x ．【练习5-5】解不等式：13x x -+-＞4．【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ⑴若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ⑴x ＜0；⑴若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，⑴不存在满足条件的x ；⑴若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，⑴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．5－51．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________． 3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 4．若x x >，那么x 是________数．5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______． 7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象 8．化简523x x ++-． 9.画出23y x =+的图像 10.画出223y x x =-++的图像1.已知6a <-，化简6( ) A. 6a - B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________.4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-< 8.解不等式3412x x ->+9．解不等式：122x x x -+-<+ab c【参考答案1】1．35；3π-； 3.1415π- 2．2或1- 3．C 4．负 5．-4 6．37．23,21,2123,1x x y x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如下8．32,538,52332,2x x y x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩9．如图所示 10．如图所示【参考答案2】1.B2. {|51}x x -<<；{|04}x x <<3. 3{}84.05. {|71511}x x x -<≤-≤<或6. 35{|}22x x -<< 7. {|1124}x x x -<≤≤<或 8. 3{|5}5x x x <>或 9．1{|5}3x x <<。

解绝对值不等式1、解不等式| x - 5x 51 ：： 1.［思路］利用| f(x) | <a(a>0) - -a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等变形一右边的常数变代数式22、解下列不等式：(1)| X+1|>2 —x ；(2)| x —2X —6|<3 x［思路］利用I f(x) | <g(x) = -g(x)<f(x)<g(x)和丨f(x) | >g(x) = f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3x3、解不等式 (1 )| x-x2-2 | >X2-3X-4 ; ( 2) —<1x —44、解不等式(1) |x —1|<|x+a|；( 2) | x-2 | + | x+3 | >5.［思路】(1)题由于两边均为非负数，因此可以利用| f(x) |〈|g(x)| = f2(x) g2(x)两边平方去掉绝对值符号。

(2)题可采用零点分段法去绝对值求解5、解关于x 的不等式|log a(1 -x)| | log a(1 x) | (a>0 且a 工1)x6.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为2 ----------------------------------8、解关于x 的不等式 -x 2 -4mx - 4m 2m 3［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解 ，运算理较大。

若化简成|x-2m 「m ，3 ,则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对 m 3的正负进行讨论。

2)形如 |f(x)|<a , |f(x)|>a (a ，R )型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当 a >0 时，| f (x) |<a = — a < f (x) < a ； | f (x) |> a =f (x) > a 或 f (x) < — a ；② 当 a =0 时，| f (x) |<a 无解，| f (x) |> a f (x)丸 ③当 a <0 时，|f(x)|<a 无解，| f(x) |> a=f (x)有意义。

【最新整理，下载后即可编辑】解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。

变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二 含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。

7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三 解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。

2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。