新高一数学衔接课程说明
课程目标
初高中数学无论是在知识的广度和难度上,还是在学习方法上,都存在较大的差异,对于刚升入新高
一的学生来说,在学习中存在很多不适应的地方:比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高
中数学衔接课程》,旨在解决以上问题.
1.补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等,为高中学习铺路搭桥.
2.学习集合与函数等知识,使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法;
3.培养学生学习高中数学的自信心.
适用对象
新高一学生
课时安排
授课时间:7-8月,共计10-15次课,20小时(一对一)或30小时(班组课).
课程特色
以初中所学知识为起点,逐步过渡到高一知识,注重在初高中知识之间搭台阶,平稳起步;对于高中
新知识,注重对概念、定理、公式的理解,避免死记硬背;在知识衔接的同时,注重学习方法、学习习惯
的衔接.课程结构
第1讲数与式
第2讲一元二次方程与韦达定理
第3讲一元二次函数与二次不等式
第4讲集合的基本概念
第5讲集合的基本运算
第6讲集合的综合复习
第7讲函数的概念与定义域
第8讲 求函数的值域 第9讲 函数的解析式
第10讲 函数的表示方法及值域综合复习 第11讲 函数的单调性(1) 第12讲 函数的单调性(2) 第13讲 函数的奇偶性 第14讲 指数运算 第15讲 对数运算
第1讲 数与式
知识点一:乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-;
(2)完全平方公式 222
()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;
(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++;
(4)两数和立方公式 33223
()33a b a a b ab b
+=+++; (5)两数差立方公式 33223
()33a b a a b a b b -=-+-. 【典型例题】:
(1)计算: 22)31
2(+-x x =___________________________________
(2)计算:()222(42)a b a ab b +-+=______________________________ (3)计算()2232(964)x y x xy y +-+ =____________________________ (4)()223(469)x x xy -++=___________________________________ 变式1:利用公式计算
(1))916141(312
1
2++??? ??-m m m =_______________________
(2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________________
变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解
(1) 3327m n - (2)331
278m n - (3)3125x - (4) 66
m n -
【典型例题】
(1))4
1
101251)(2151(22n mn m n m +--
(2)已知2310x x -+=,求331
x
x +的值.
(3)已知0=++c b a ,求1
11111()()()a b c b c c a a b
+++++的值. 变式1:计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++
变式2:已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值.
知识点二、根式
0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:
(1) 2(0)a a =≥
a ==,0,
,0.a a a a ≥??
-
0,0)a b =≥≥ 0,0)a b
=>≥ 【典型例题】:基本的化简、求值
化简下列各式:
1)x +≥=_____________
(3) =_______________________
(4)21)(1+-=_______________________
+
=_______________________
(6)设x y =
=
,求33x y +=_______________________
变式1:a =-成立的条件是( )
A.0a > B.0a < C.0a ≤ D.a 是任意实数
变式2:若3x <
|6|x -的值是( ) A.-3
B.3
C.-9
D.9
变式3:
(1)21)(1+-
+
知识点三、分式 【典型例题—1】: 1、分式的化简
(1)化简2333961
62279x x x x x
x x x ++-+-
+-- (2)化简
11x
x x x x
-+
-
2、(1)试证:
111
(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数);
(2)计算:
111
1223
910
+++
???; (3)证明:对任意大于1的正整数n ,有1111
2334
(1)2
n n +++
?+.
3、分式的运用
设c
e a =,且e >1,2c 2-5ac +2a 2=0,求e 的值
变式1:对任意的正整数n ,
1
(2)
n n =+______________
变式2:选择题:若
223
x y x y -=+,则x
y =( )
(A)1 (B)54 (C)45 (D)6
5
变式3:计算1111 (12233499100)
++++????
知识点四、因式分解 【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
1、【典型例题】:公式法(立方和、立方差公式) 我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例:(1) 38x +
(2) 30.12527b -
变式: 分解因式:(1) 34381a b b - (2) 76a ab -
2、【典型例题】:分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如ma mb na nb
+++既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.
分组分解法的关键在于如何分组.常见题型:
(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式
例:分解因式
(1)2105ax ay by bx -+- =_______________________
(2) 2222
()()ab c d a b cd ---=_______________________
(3)22
x y ax ay -++ =_______________________
(4)222
2428x xy y z ++-=_______________________
3、【典型例题】:十字相乘法
2()x p q x pq +++型的因式分解
把下列各式因式分解:
(1)276x x -+=_______________________
(2) 2
1336x x ++=_______________________
(3)2
524x x +-=_______________________
(4) 2
215x x --=_______________________
(5)22
6x xy y +-=_______________________
(6) 222()8()12x x x x +-++=_______________________
一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-
变式练习:
(1)x 2-6x+5=_______________________
(2)x 2+15x+56=_______________________
(3)x 2+2xy-3y 2=_______________________
(4)(x 2+x)2-4(x 2
+x)-12 =_______________________
4、 拆项法(选讲)
分解因式3234x x -+ =_______________________
课后练习: 1.填空:
(1)221111
()9423a b b a -=+( );
(2)(4m + 22)164(m m =++ ); (3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ). (4)若()()22322481x y x xy y y -+++=,则,x y 的值为________ (5)若210x x ++=,则4221x x x ---= ______________
(6)12a =,13b =,则22
2
3352a ab
a a
b b -=+-________________ (7)若2
2
20x xy y +-=,则22
22
3x xy y x y
++=+_______________
= )
(A)a b < (B)a b > (C)0a b << (D)0b a <<
(9 )计算 )
(C) (D)
(10)若112x y -=,则33x xy y x xy y
+---的值为( )
A.35 B.35- C.5- D.53
102m +-
0)x y >>
3.把下列各式分解因式:
(1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +--
(3) 251526x x xy y -+-(4)22414xy x y +-- (5) 432234ab b a b a b a --+ (6) 66321x y x --+
第2讲 一元二次方程与韦达定理
知识点一、一元二次方程根的判别式
【典型例题】
例1.求下列方程的根
(1)0322=-+x x (2) 0122=++x x (3) 0322=++x x
例2.判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x 2-3x +3=0; (2)x 2-ax -1=0; (3) x 2-ax +(a -1)=0 (4)
x 2-2x +a =0.
变式练习:已知关于x 的一元二次方程
2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:
(1) 方程有两个不相等的实数根; (2)
方程有两个相等的实数根;
(3)方程有实数根; (4) 方程无实数根。
知识点二、根与系数的关系(韦达定理) 【内容概述】
若一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根1x =,
2x =
, 则有:
1222b b
x x a a
-+===-;
221222(4)444b b ac ac c
x x a a a
--====.
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
x 1+x 2=b a -
, x 1·x 2=c
a
. 这一关系也被称为“韦达定理”.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2
+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知:
x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q ,即:p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2,
所以,方程x 2
+px +q =0可化为 x 2
-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0。由于x 1,x 2是一元二次方程x 2
+px +q =0的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2
-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0的两根.因此有:
以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.
例3. 已知方程2
560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.
例4.已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2
+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.
例5.已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
例6.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2
+5x -3=0的两根.
(1)求| x 1-x 2|的值; (2)求
22
1211x x + 的值; (3)33
12x x +.
变式:若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:
(1) 2212x x +; (2)
12
11
x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x - 例7.
若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的范围.
例8.已知关于x 的方程22
1(1)104
x k x k -+++=,根据下列条件,分别求出k 的值。
(1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =。
例9.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根。
(1)是否存在实数k ,使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立?
若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值。 变式1:填空:
(1)若方程x 2
-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则
12
11
x x += . (2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 . (3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
(4)若m ,n 是方程x 2
+2005x -1=0的两个实数根,则m 2
n +mn 2
-mn 的值等于 . (5)如果a ,b 是方程x 2
+x -1=0的两个实数根,那么代数式a 3
+a 2
b +ab 2
+b 3
的值是 .
变式2:
|1|0b -=,当k 取何值时,方程kx 2
+ax +b =0有两个不相等的实 数根?
变式3:已知方程x 2
-3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x 2-3)的值.
变式4:已知关于x 的方程x 2
-kx -2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x 1和x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求实数k 的取值范围.
变式5:一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1和x 2.
求:(1)| x 1-x 2|和
122
x x +; (2)x 13+x 23
.
变式6:关于x 的方程x 2
+4x +m =0的两根为x 1,x 2满足| x 1-x 2|=2,求实数m 的值.
课堂练习
1.选择题:
(1)已知关于x 的方程x 2
+kx -2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )
(A )-3 (B )3 (C )-2 (D )2 (2)下列四个说法:
①方程x 2
+2x -7=0的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程x 2-2x +7=0的两根之和为-2,两根之积为7; ③方程3 x 2-7=0的两根之和为0,两根之积为73
-
; ④方程3 x 2+2x =0的两根之和为-2,两根之积为0. 其中正确说法的个数是( )
(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个
(3)关于x 的一元二次方程ax 2
-5x +a 2
+a =0的一个根是0,则a 的值是( )
(A )0 (B )1 (C )-1 (D )0,或-1
2.填空:
(1)方程kx 2
+4x -1=0的两根之和为-2,则k = . (2)方程2x 2
-x -4=0的两根为α,β,则α2
+β2
= .
(3)已知关于x 的方程x 2
-ax -3a =0的一个根是-2,则它的另一个根是 .
(4)方程2x2+2x-1=0的两根为x1和x2,则| x1-x2|=.3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)
x+1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?
第3讲一元二次函数与二次不等式
知识点一、2
=++的图像与性质、
y ax bx c
【内容概述】
a>时,
1、当0
○1函数2
=++
y ax bx c
图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直线
;
○2当时,y随着x的增大而;当
时,y随着x的增大而;当时,函数取最小值.a<时,
2、当0
○1函数2
=++
y ax bx c
图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直 线;
○2当时,y随着x的增大而;当
时,y随着x的增大而;当
时,函数取最大值.
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
【典型例题】:
例1 . 求二次函数2361y x x =--+图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x 取何值时,y 随x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.
变式1:作出以下二次函数的草图
(1)62--=x x y (2)122++=x x y (3) 12+-=x y 例2 .某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间关系如下表所示:
若日销售量y 是销售价x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?
例3. 把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,求b ,c 的值
知识点二、二次函数的三种表示方式
【内容概述】
1、一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0);
2、顶点式:y =a (x +h )2+k (a ≠0),其中顶点坐标是(-h ,k ).
3、交点式:y=a(x-x 1) (x-x 2) (a≠0)
例4.已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y =x +1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.
例5.已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x 轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
例6.已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
例7.函数y =-x 2
+x -1图象与x 轴的交点个数是( )
(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定
变式1: 已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为
y =a (a ≠0) .
变式2:二次函数y =-x 2
+23x +1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 . 变式3:根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x =3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与x 轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y 轴交于(0,-2).
知识点三、二次函数的最值问题 【内容概述】
1.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值.
二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况:
当0a >时,函数在2b x a =-处取得最小值2
44ac b a
-,无最大值;当0
a <时,函数在2
b x a =-处取得最大值2
44ac b a
-,无最小值
2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步:确定a 的符号,a >0有最小值,a <0有最大值;
第二步:配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 3.求二次函数在某一范围内的最值.
如:2y ax bx c =++在m x n ≤≤(其中m n <)的最值. 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:0x x =; 第二步:讨论:
(1)若0a >时求最小值或0a <时求最大值,需分三种情况讨论:
①对称轴小于m 即0x m <,即对称轴在m x n ≤≤的左侧; ②对称轴0m x n ≤≤,即对称轴在m x n ≤≤的内部; ③对称轴大于n 即0x n >,即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
(2)若0a >时求最大值或0a <时求最小值,需分两种情况讨论:
①对称轴02m n
x +≤,即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧;
②对称轴02
m n
x +>,即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧;
说明:求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置
【典型例题】
例8.求下列函数的最大值或最小值.
(1); (2) 例9.当12x ≤≤时,求函数21y x x =--+的最大值和最小值. 例10.当0x ≥时,求函数(2)y x x =--的取值范围. 例11.当1t x t ≤≤+时,求函数215
22
y x x =
--的最小值(其中t 为常数). 变式1:设0a >,当11x -≤≤时,函数21y x ax b =--++的最小值是
4-,最大值是0,求,a b 的值.
变式2:已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4,求a 的值. 变式3:求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数).
变式4:已知函数y =-x 2
-2x +3,当自变量x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值
或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x 的值:
(1)x ≤-2;(2)x ≤2;(3)-2≤x ≤1;(4)0≤x ≤3.
5322--=x x y 432+--=x x y
知识点四、一元二次不等式 【内容概述】
通过前面的学习,咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像,现在同学们根据图像与x轴交点的个数分类,详细总结,然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.(在黑板上画出表格的框架,让学生来填,引导学生自主找规律)
1、一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,
ac b 42-=?,
则不等式的解的各种情况如下表:
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注意分母不为零. 3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为 ax b >的形式:
(1)当0a >时,不等式的解为:b
x a >
; (2)当0a <时,不等式的解为:b
x a
<;
(3)当0a =时,不等式化为:0x b ?>;
① 若0b >,则不等式的解是全体实数;
② 若0b ≤,则不等式无解. 【典型例题】
例12解下列不等式:(1) 260x x +->
(2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+ (3) 2280x x --<
(4) 2440x x -+≤
(5) 220x x -+<
(6) 220x x +< (7) 23180x x --≤ (8) 231x x x -+≥+
(9) (9)3(3)x x x +>-
例13已知对于任意实数x ,22kx x k -+恒为正数,求实数k 的取值范围.
例14解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x
课后练习:
1.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(1)已知二次函数的图象经过点A(0,1-),B(1,0),C(1-,2); (2)已知抛物线的顶点为(1,3-),且与y 轴交于点(0,1); (3)已知抛物线与x 轴交于点M(3-,0),(5,0),且与y 轴交于点(0,
3-);
(4)已知抛物线的顶点为(3,2-),且与x 轴两交点间的距离为4.
2.已知函数2,2y x x a =-≤≤,其中
2a ≥-,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.