2019-2020学年南通市启东中学创新班高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

江苏省启东市 2020 学年高一数学放学期期中试题（创新班，无答案）（考试时间 120 分钟满分 160 分）一. 填空题 ( 每题 5 分，共 70 分) 1．已知全集 U ＝ {0,1,2,3, 4} ，会合 A ＝ {1,2,3} ， B ＝ {2,4} ，则 ( ?U A ) ∪B 为2． A{ ( x, y) y 2x 5}，B { ( x, y) y 1 2x} ，则 A B ＝ _______3．2 弧度圆心角所对的弦长为 2sin1 ，则这个圆心角所夹扇形的面积为 ______.4．在映照 f ： A → B 中， A ＝ B ＝{( x ， y )| x ， y ∈ R} ，且 f ： ( x ，y ) →(x ＋y ， x － y ) ，则与 A 中的元素(1,2) 对应的中的元素为B5．函数3x 2 lg( 3 1) 的定义域是f ( x)1xx___________.3 1 1 (7 01 42 2 2.6．( )33 )84() 3 ＝263f ( x) x 21, x 1,k 的取7．已知函数log 1x ,若对于 x 的方程 f (x) k 有三个不一样的实根，则实数x ≥ 1.2值范围是．8．方程 log 2 x1 1 的解是log x1 29．已知角终边经过点 P3, m m0 ，且 cosm, 则 sin α=________6x 2 ax 5, ( x 1)10．已知函数 f ( x)a( x ＞1)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是x11．函数 f ( x ) ＝ x2(1,2)内，则实数 a 的取值范围是 ________2 － x － a 的一个零点在区间12．f ( x ) 是 R 上的以 3 为周期的奇函数，且f (2)=0, 则 f ( x )=0 在 [0,6] 内解的个数为 ________．ax 2－2 －1， x ≥0，13．已知函数 f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数 ，直线 y ＝ t 与函数 y ＝ f ( x ) 的图像自左向右挨次交于四个不一样点 A ， B ， C ， D . 若 AB ＝ BC ，则实数 t 的值为 ________．14 ．设会合 ＝ x | x 2 ＋ 2x － 3＞0 ，会合 ＝ {x | x 2－ 2ax －1≤0， a ＞ 0} . 若 ∩ 中恰含有一个整数，A { }BA B则实数 a 的取值范围是 ________．二．解答题 (共 90分)15．设会合A＝{ x|－1≤ x≤2}， B＝{ x| x2－(2 m＋1) x＋2m<0}．1(1)当 m<2时，把会合B 用区间表达；(2)若 A∪ B＝ A，务实数 m的取值范围；16．已知0,，且 f a cos 1sin1cos. 1sin1cos2sin（ 1）化简f a ；（ 2）若f a 3sin cos的值 .，求1sin5 1 cos17．f x 是定义在0,上的减函数，知足 f x f y f xy .（ 1）求证：f xf y f x；y（ 2）若f 44，解不等式1.f x f x 121218．某上市股票在 30 天内每股的交易价钱( 元) 与时间t ( 天) 构成有序数对 (t， )，点(， )落在P P t P 下列图中的两条线段上，该股票在30 天内的日交易量Q(万股)与时间 t (天)的部分数据以下表所示：第 t 天4 10 16 22 (万股 )36302418Q(1) 依据供给 的图象，写出该种股票每股交易价钱P ( 元 ) 与时间 t ( 天) 所知足的函数关系式；(2) 依据表中 数据确立日交易量 Q ( 万股 ) 与时间 t ( 天 ) 的一次函数关系式；(3) 在 (2) 的结论下，用 y 表示该股票日 交易额 ( 万元 ) ，写出 y 对于 t 的 函数关系式，并求在这 30 天中第几日日交易额最大，最大值是多少？19．已知函数f (x) ax 2 bx c (a 0) 知足 f (0)1，对随意 x R 都有 f ( x) x 1，且f (1x)f (1 x) ． 22（ 1）求函数 f ( x) 的分析式；（ 2）能否存在实数 a ，使函数 g( x)log 1 [ f (a)] x 在 (, ) 上为减函数？若存在，求出实数2a 的取值范围；若不存在，说明原因．( x＋ 1)( x＋a) 20．已知函数 f ( x)＝x2为偶函数．(1)务实数 a 的值；记会合 E＝{ y| y＝ f ( x)， x∈{－1,1,2}}21λ 与E(2)，λ＝(lg 2)＋ lg 2lg 5＋ lg 5 －4，判断的关系；(3) 当x∈1， 1m n( m>0，n>0) 时，若函数 f ( x)的值域为[2 － 3m,2－3n] ，求m， n 的值．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.当z=-时，z100+z50+1的值等于（）A. 1B. -1C. iD. -i2.（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10．则a1+a2+a3+…+a10=（）A. 1B. -1C. 1023D. -10233.从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为（）A. B. C. D. 14.设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A. 60B. 90C. 120D. 1305.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种6.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3607.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（）A. P（X=4）B. P（X≤4）C. P（X=6）D. P（X≤6）8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A. 24B. 18C. 12D. 99.在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A. B. 7 C. D. 2810.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．12.已知a＞0，（ax-1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为______．13.计算：+++++…++=______．14.武汉臭豆腐闻名全国，某人买了两串臭豆腐，每串3颗（如图）．规定：每串臭豆腐只能至左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该人将这两串臭豆腐吃完，有______种不同的吃法．（用数字作答）15.在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是______．16.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有______种．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），．（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．18.已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1）设ω=z2+3-4，求|ω|；（2）若=2-i，求实数a的值．19.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（1）其中甲不站排头，乙不站排尾；（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；（3）其中甲、乙中间有且只有1人；（4）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．20.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和；（3）求展开式中所有的有理项．21.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．22.已知函数f n（x）=（1+λx）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R，n∈N．（1）若λ=-2，n=2018，求a0+a2+a4+…+a2018的值；（2）若n=8，a7=1024，求a i（i=0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ=-1，求证：x k f n-k（x）=x．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z=-得，，∴z100+z50+1=（-i）50+（-i）25+1=-1-i+1=-i，故选：D．由已知求得z2=-i，代入z100+z50+1得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i得运算性质，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．【解答】解：令x=1代入二项式（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，得（2-1）10=a0+a1+…+a10=1，令x=0得a0=，∴+a1+a2+…+a10=1，∴a1+a2+…+a10=-1023，故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，古典概型概率的求法，考查计算能力．分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．【解答】解：从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===，方程，表示圆；m=8时，椭圆方程，离心率为：e===，方程表示离心率为的椭圆的概率为：．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题看似集合题，其实考查的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从-1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从-1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从-1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有种栽种方案.故选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的=，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的=，∴不同的排法种数共有=480种．故选B．7.【答案】A【解析】解：由可得：此为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便的概率，故选：A．由古典概型及其概率计算公式得：此概率为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属简单题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查组合与分步乘法计数原理的简单应用，属基础题．假设向上的方向为北，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法有3种，利用分步乘法计数原理可得结论．【解答】解：假设向上的方向为北，从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n,利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意+1=5，∴n=8，二项式为（）8，其展开式的通项为，令，解得r=6，故常数项为=7，故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先求出从5个小球中取出2个的个数，然后求出事件：取出的两个球上编号之积为奇数的个数，由概率计算公式，可得结论．【解答】解：设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则Ω={（1，2）,（1，3）,（1，4）,（1，5）,（2，1）,（2，3）,（2，4）,（2，5） (5)1）,（5，2）,（5，3）,（5，4）}共包含20个基本件其中事件A={（1，3）,（1，5）,（3，1）,（3，5）,（5，1）,（5，3）}包含6个基本事件，所以P（A）==.故选：B．11.【答案】1080【解析】【分析】第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，由分步与分类计数原理计算即可.本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，属于中档题.【解答】解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次、第六次或第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有=1080种.故答案为：1080．12.【答案】【解析】解：（ax-1）4（x+2）=（1-ax）4（x+2）=（1-4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为-4a+12a2=1，即12a2-4a-1=0，解得a=或a=-（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求x2的系数，列方程求得a的值．本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．13.【答案】1140【解析】解：+++++…++=+++++…++，∵C n+13-C n3=C n2，∴C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193）=C203==1140，故答案为：1140．利用组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，可得C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193），化简得到结果．本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，即C n2+C n3=C n+13，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•=20种，故答案为20．总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•种．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，学生不易找到入手点：将6口转化为顺序不变的两个3口问题，属于中档题．15.【答案】【解析】解：从9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数共=84种取法，则这3个数中既不同行也不同列的取法共有=6种，即这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，故答案为：．由古典概型及其概率计算公式得：这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属中档题．16.【答案】141【解析】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种．故答案为141．由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．17.【答案】解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴，∴．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，得，∴∴w=2-i，以下解法同解法一．（2）∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，∴（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，∵p，q为实数，∴，解得p=6，q=10．解方程x2-6x+10=0得∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由复数z=1+i，得．则ω=z2+3-4=（1+i）2+3（1-i）-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i．故|ω|=；（2）===2-i，由复数相等的充要条件得：，解得a=3．【解析】（1）把z=1+i代入ω=z2+3-4，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简左边，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，则此时有种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有+=3720种．（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A53种情况，则共有=1440种排法．（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，有种情况，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有=1200种排法．（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A74种排法，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A74=840种．【解析】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用．（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，②、甲不站在排尾，依次分析甲、乙以及剩余5人的排法数目，结合乘法原理可得其排法数目，最后由分类计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．20.【答案】解：二项式（x+）n展开式的通项公式为T r+1=•x n-r•=••，（r=0，1，2，…，n）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得•=•，即n=•，解得n=5；（2）展开式中所有二项式系数的和为+++…+=25=32；（3）二项式展开式的通项公式为T r+1=••，（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1=••x5=x5，T3=••x5-3=x2，T5=•x5-6=．【解析】本题考查了二项式展开式中二项式系数和的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，是综合性题目．写出二项式（x+）n展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；（3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．21.【答案】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．【解析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．22.【答案】解：（1）λ=-2，n=2018时，=，令x=1得，（1-2）2018=a0+a1+a2+…+a2017+a2018=1，令x=-1得，（1+2）2018=a0-a1+a2-a3+，可得；（2）=，，解得λ=2，不妨设a i中a t（t=01，2，3，…8）最大，则，即，所以，5≤t≤6，则t=5或6，因此，a i的最大值为；（3）若λ=1，，=+∵，所以，==+=x[x+（1-x）]n-1=x．【解析】（1）分别令x=1，x=-1，利用二项展开式展开f（1）和f（-1），将两式相加可得出a0+a2+a4+…+a2018；（2）先由a7=1024求出λ=2，设a i中a t最大，由，求出t的取值范围，确定t的值后，可求出a i的最大值；（3）利用组合数公式计算，并在代数式x k f n-k（x）中提公因式x，再结合二项式定理可证明结论．本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．。

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题（创新班）一、单选题1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ=( ) A ．0 B ．π2C ．πD ．3π2【答案】A【解析】B ⊆A ，可得：cosθ＝1，或cosθ222cos θ=，或cosθ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可得出θ 【详解】 ∵B ⊆A ，∴cosθ＝1，或cosθ222cosθ=，或cosθ＝3（舍去），∵θ∈[0，2π），∴由cosθ＝1，可得θ＝0， 由cosθ222222coscos θθ==-1，无解．综上可得：θ＝0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．2．已知非零向量m ，n 满足4│m│=3│n│，cos<m ，n>=13．若n ⊥（tm+n ），则实数t 的值为 A ．4 B ．–4C ．94D ．–94【答案】B【解析】试题分析：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm m n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B ．【考点】平面向量的数量积 3．下列说法正确的是( )A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．【答案】D【解析】由周期函数的定义可判断A ；由tan （x +π）＝tan x ，结合周期函数的定义可判断B ； 由x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭不成立，结合周期函数的定义可判断C ；由周期函数的定义，可判断D ． 【详解】由sin(π)sin x x -=，不满足周期函数的定义，故A 错误；tan （2π+x ）＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的一个正周期，由tan （x +π）＝tan x ， 可得π是函数y ＝tan x 的最小正周期，故B 错误；4x π=时，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭成立，但x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭不成立，所以2π不是函数y ＝sin x 的一个周期，故C 错误； 由3cos x cosx π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，由周期函数的定义，可得3π不是函数y ＝cos x 的一个周期，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础题． 4．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A ．12t =，s 的最小值为6πB ．t =s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．2t =，s的最小值为3π【答案】A【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为1(,)122π，此时min 4126s πππ=-=，故选A.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.5．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选：B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．8．已知α∈R ，sin cos 2αα+=，则tan2α=( ) A ．43B ．34 C ．34-D ．43-【解析】将sin cos 2αα+=两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【详解】()22222225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2cos α，整理得22tan 4tan 45tan 12ααα++=⇒+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan ααα=-，得3tan 24α=-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞【答案】C【解析】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点,由f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点．f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 则a ∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34B ．310C ．310±D ．310-【答案】B 【解析】由sin cos 2sin cos αααα+=-得tanα，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tanα的齐次式即可求出原式的值． 【详解】 已知sin cos 2sin cos αααα+=-故tanα＝3，又()223πsin cos sin(5π)sin()sin cos 2sin cos αααααααα-⋅-=--=+ 故原式＝2tan 31tan 10αα=+． 故选：B【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题． 11．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．6πB ． 4πC ．3π D ．2π 【答案】A【解析】利用函数的对称中心，求出ϕ的表达式，然后确定|ϕ |的最小值． 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， ∴4232k ππϕπ⋅+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6min πϕ=． 故选A. 【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k 的取值，确定|ϕ |的最小值，是基本方法．12．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==,===–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是 A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题 【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．二、填空题 13．函数2tan 1y x =-的定义域是______．【答案】(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可 【详解】由题知：原式有意义则22k x k ππππ-<<+且 tan 1x ≠即224k x k x k ππππππ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，故函数2tan 1y x =-的定义域是(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力． 14．已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||2a =，则a 的坐标为_______________．【答案】（﹣11，）【解析】根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可． 【详解】向量a 的方向与x 轴的正向所成的角为120°，且|a |＝2， 如图所示，向量a 的终点为A 或B ， 由三角函数的定义，可得A （﹣1， B （﹣1，；所以a 的坐标为（﹣11，． 故答案为：（﹣11，．【点睛】本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .【答案】4【解析】【详解】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． (1)证明：2a b c +=； (2)求证：cos C ≥12． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和的正弦公式结合正弦定理即可证明 （2）利用余弦定理结合基本不等式证明 【详解】（1）tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+则sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B B A+=+⋅⋅，即()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2()2cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B B A A BA B A B A B A B A B++++=∴=⋅⋅ 由正弦定理得2c a b =+ （2）由余弦定理得()22222222332124242cos 22222a b ab ab a b a b ab a b c C ab ab ab ab +⎛⎫+-+-⨯- ⎪+-⎝⎭===≥= 当且仅当a b =等号成立，则cos C ≥12成立 【点睛】本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力． 18．已知α为第三象限角，且f (α)＝sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++- ．（1）化简f (α)； （2）若3π1cos()25α-=，求()f α的值；（3）若32π3α=-，求()f α的值．【答案】（1）f （α）＝﹣cosα；（2）f （α）=（3）f （α）＝12【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f （α）的解析式．（2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．（3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可 【详解】 （1）f （α）=sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++-=sin cos t n t n sin ααααααα⋅⋅-=-⋅（）cosα（2）∵cos （a 32π-）15=，∴sinα15=-，∵a 是第三象限角，∴cosα5==-，∴f （α）＝﹣cosα=（3）f （α）＝﹣cos 3241cos 332ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．19．已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -，()f x OA OB =⋅．（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间； （2）当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；（3）当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=＝2a sin （2x 6π+），单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）；（2）a ＝﹣5或a 52=．（3）（0，1）． 【解析】（1）化简f （x ）＝2a sin （2x 6π+），再利用三角函数性质求单调区间； （2）讨论a 的正负，确定最大值，求得a ；（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解． 【详解】（1）f （x ）OA =•OB =2a cos 2x sin2x ﹣a＝2a sin （2x 6π+）， ∵a ＞0，∴2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）（2）f （x ）＝2a sin （2x 6π+），当x ∈[0，2π]时，2x 6π+∈[6π，76π]； 若a ＞0，2a ＝5，则a 52=；若a ＜0，﹣a ＝5，则a ＝﹣5； 综上所述，a ＝﹣5或a 52=． （3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，2π]上恒成立， ∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[0，2π]上恒成立，∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，x ∈[0，2π]∵f （x ）＝2sin （2x 6π+）在[0，2π]上的最大值为2，最小值为﹣1．∴0＜m ＜1．即实数m 的取值范围为（0，1）． 【点睛】本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题． 20．已知在ABC 中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=． (1)求BAC ∠的值；(2)若AD =ABC 面积． 【答案】（1）∠BAC 4π=（2）4．【解析】（1）直接利用两角和的正切公式求出结果． （2）在△ABC 和△ABD，利用正弦定理得以AC AD =AC ＝4，AB ＝，再利用三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】（1）在△ABC 中，D 为BC 中点，12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=． 所以tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）1123111123+==-⋅，由于0＜∠BAC ＜π，故∠BAC 4π=．（2）如图由12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=，所以sin BAD ∠=sin CAD ∠= 在△ABC 和△ABD ，利用正弦定理BD AD sin BAD sinB =∠，BC ACsin BAC sinB=∠得4BCsinACBD ADsin BAD π=∠，又BC ＝2BD ，所以AC AD =AD =，所以AC ＝4， 同理可得AB ＝所以1144222ABCSAB ACsin BAC =⋅∠=⋅⋅=． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1,正方形的面积为S 2．(1)用a ，θ表示S 1和S 2； (2)当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ． 【答案】（1）S 112=a 2sinθcosθ；S 2＝21asin cos sin cos θθθθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；（2）当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【解析】（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC ＝a 列出方程求出x ，算出S 2； （2）化简比值12S S ，设t ＝sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ． 【详解】（1）在Rt △ABC 中，AB ＝a cosθ，AC ＝a sinθ，所以S 112=AB •AC 12=a 2sinθcosθ； 设正方形的边长为x 则BP xsinB =，AP ＝x cosθ，由BP +AP ＝AB ，得xsin θ+x cosθ＝a cosθ， 解得x 1asin cos sin cos θθθθ=+；所以S 2＝x 221asin cos sin cos θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（2）()212112sin cos S S sin cos θθθθ+=⋅ 211222sin sin θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1124sin θ=+sin2θ+1， 令t ＝sin2θ，因为 0＜θ2π＜，所以0＜2θ＜π，则t ＝sin2θ∈（0，1]，所以12114S S t =+t +1； 设g （t ）114t =+t +1， 则g ′（t ）2114t =-+，t ∈（0，1]；所以函数g （t ）在（0，1]上递减，因此当t ＝1时g （t ）有最小值g （t ）min ＝g （1）1114=+⨯1+194=， 此时sin2θ＝1，解得θ4π=；所以当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【点睛】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．22．设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；(2)记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）13k <<（3）34⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【解析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为h （x）1sin 2x x=-+于是结论可证；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围 （3）由f （x）=（x +φ）可求得x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，其中tan x 0a b=，换元求得ab 的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x 0的范围．【详解】（1）∵ππ()2sin()cos()36h x x x =--+1sin 2x x =-+∴函数h （x ）的相伴向量OM =（12-， ∴h （x ）∈S（2）∵()2cos f x x =则4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，[0x ∈，2π]则()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，53ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，又()()()401,3,1,5,2133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，实数k 的取值范围为13k <<（3）OM 的相伴函数f （x ）＝a sin x +b cosx =（x +φ）， 其中cosφ=sinφ=当x +φ＝2k π2π+，k ∈Z 即x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，∴tan x 0＝tan （2k π2π+-φ）＝cotφa b=，∴tan2x 0022022211()atanx b a b atan x b a b⨯===---． 令m b a =，则()()2223411043410m m a m m -+-=∴∆=-+≥ 解得113m ≤<（m=1不成立） 则tan2x 021m m=-，（113m ≤<） ∵1y m m=-单调递增，故m 1m -∈8,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴tan 0342x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．。

江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2． 已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44． 如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25． 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6． 二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8． 市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<． （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ； （4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ． （1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标； （3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分 （4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米， 设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ． 在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分 （2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分 （2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之 间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分 （2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分 在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点． 解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分 综合得点M 的坐标为： （2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分 （2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分 （3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9， 所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=． 因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。

江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（创新班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，7AC =，2BC =，60B =o ，则BC 边上的中线AD 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．72．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A ．定B ．有C ．收D ．获3．直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是（ ）A ．π[6，π5π][26U ，π)B ．[0，π5π][66U ，π)C ．[0，5π]6D ．π[6，5π]64．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．1D O ∥平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为25．已知直线2y x =是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为（ ）A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水 柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在 B 点测得水柱顶端的仰角为30︒，则水柱的高度是（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m7．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线8．如图，2π3BAC ∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD y AE x y =+∈R u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ） A ．[1，423]+ B ．[423-，423]+ C ．[1，23]+D ．[23-，23]+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β．若αβ∥，a α⊂，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．α与β内所有直线平行B ．α与β内的无数条直线平行C ．α与β内的任意直线都不垂直D ．α与β没有公共点10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形D ．若222+a b c >，则ABC ∆一定是锐角三角形11．下列说法正确的是（ ） A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B ．点(0， 2)关于直线1y x =+的对称点为(1，1) C ．过1(x ，1)y 、2(x ，2)y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=12．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k -+-=∈N ．下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程为 ． 14．已知圆1C ：229x y +=，圆2C ：224x y +=，定点(1M ，0)，动点A 、B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=，则线段AB 的取值范围 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. (本题第一空2分，第二空3分)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，2π3B =，3c =． ⑴求角C ；⑵若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，求BE 的长．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． ⑴求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；⑵若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．19． (本小题满分12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．⑴证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；⑵当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．20．(本小题满分12分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB BC a==(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M CD∈）方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．⑴求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a；⑵若兔子要想不被狼吃掉，求θ(DACθ=∠的取值范围．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．⑴求圆O1的标准方程；⑵求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；⑶已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若dd1＝2，求证：直线l过定点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，4)，圆O ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ⑴若直线l 与y 轴交于D ，且DP →·DQ →＝16，求直线l 的方程； ⑵设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；⑶设AB 的中点为M ，点N （43，0），若MN ＝133OM ，求△QAB 的面积．江苏省启东中学高一创新班数学答案（2020.4.8）一：单项选择题：1：D ，2:B ．，3:B.，4:D ， 5:C ，6:A ，7:C.，8：B . 二：多项选择题：9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三：填空题：13:3x －4y －41＝0.14:[132,132+-]15: （1）π3 (2) 716:2－3 四：解答题：本题共6小题，共70分。

2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a 1=12，a n =4a n−1+1(n ≥2)，则a n >100时，n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 2. 直线√3x +3y −3=0的倾斜角为( )A. −30°B. 30°C. 120°D. 150°3. 设A (−1,2),B (3,1)，若斜率为k 且过原点的直线与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围为( )A. (−∞,−2)⋃(13,+∞) B. (−∞,−13)⋃(2,+∞) C. (−2,13) D. (−13,2) 4. 已知数列{a n }，满足a 1=1，a n −a n−1=n ，则a 10=( )A. 45B. 50C. 55D. 605. 数列{a n }的通项式a n =nn 2+90，则数列{a n }中的最大项是( )A. 第9项B. 第10项和第9项 C . 第10项 D. 第9项和第8项6. 已知A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A. 4x −2y +5=0B. 4x −2y −5=0C. x +2y −5=0D. x −2y −5=07. 已知直线l 的斜率k 满足−1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( )A. −45°<α<45°B. 0°≤α<45°或135°≤α<180°C. 0°<α<45°或135°<α<180°D. −45°≤α<45° 8. 已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q =2，则log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 11=( )A. 46B. 35C. 55D. 509. 一束光线经过点A(−2,1)，由直线l:x −y −1=0反射后，经过点B(0,3)射出，则反射光线所在直线的方程为( )A. x +3y −1=0B. x +y −1=0C. 3x +y −3=0D. x +4y −1=010. 已知直线l ：Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)，点M 0(x 0,y 0)，则方程x−x 0A=y−y 0B表示( )A. 经过点M 0且平行于l 的直线B. 经过点M 0且垂直于l 的直线C. 不一定经过M 0但平行于l 的直线D. 不一定经过M 0但垂直于l 的直线11. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( )A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−nD. 12⋅32n+2−n +3212. 已知函数f(x)=a x +b(a >0,a ≠1)的图象经过点P(1,3)，Q(2,5).当n ∈N ∗时，a n =f(n)−1f(n)⋅f(n+1)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，当S n =1033时，n 的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 数列{a n }满足：a 1=13，且a n+1=(n+1)a n 3a n +n(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前n 项和S n = ．14. 直线y =2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A(−4,2)，B(3,1)，则点C 的坐标为________．15. 已知a , b , c 均为正数，且abc =4( a +b )，则a +b +c 的最小值为 ． 16. 若数列{a n }满足a 1=0,a 4n−1−a 4n−2=a 4n−2−a 4n−3=3，a 4na4n−1=a 4n+1a 4n=12，其中n ∈N ∗，且对任意n ∈N ∗都有a n <m 成立，则m 的最小值为________ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：x +my +1=0和l 2：(m −3)x −2y +(13−7m)=0．(1)若l 1⊥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1//l 2，求l 1与l 2之间的距离d ．18. 过点P(0,2)作直线l ，使它被两条相交直线l 1：x −y −1=0和l 2：3x +2y +6=0所截得的线段恰好被P 点平分，求直线l 的方程．19. 在数列{a n }中，a n >0，其前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0．(Ⅰ) 求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n20.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分所示)，其形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边).已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线段，试求该高科技工业园区面积的最大值．21.三角形ΔABC的一个顶点为A(2,3)，两条高所在的直线方程是x−2y+3=0和x+y−4=0，求B、C点坐标22.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗).}为等比数列；(I)求证：数列{a n+12(Ⅱ)记T n=S1+S2+⋯+S n，求T n的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数列的递推关系式，理解递推关系式，逐一求出前几项是解题的关键．【解答】解：由a1=12，a n=4a n−1+1(n≥2)得，a2=4a1+1=3,a3=4a2+1=13,a4=4a3+1=53,a5=4a4+1=213>100.所以n的最小值为5．故选C．2.答案：D解析：解：直线√3x+3y−3=0化成斜截式，得y=−√33x+1，∴直线的斜率k=−√33．∵设直线的倾斜角为α，∴tanα=−√33，结合α∈[0,180°)，得α=150°．故选：D．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题．首先求出直线OA、OB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线OA的斜率k=2−0−1−0=−2，直线OB的斜率k′=1−03−0=13，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是−2<k<13．故选C．4.答案：C解析： 【分析】根据题意得：a 2−a 1=2，a 3−a 2=3，…，a n −a n−1=n ，利用累加法和等差数列的前n 项和公式求出a n ，把n =10代入求出a 10的值．本题考查累加法求出数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式，属于中档题． 【解答】解：因为a 1=1，a n −a n−1=n ，所以a 2−a 1=2，a 3−a 2=3，…，a n −a n−1=n ， 以上(n −1)个式子相加可得， a n −a 1=2+3+⋯+n ， 则a n =1+2+3+⋯+n =n(1+n)2，所以a 10=10×112=55，故选：C ．5.答案：B解析：解：由数列{a n }的通项式a n =n n 2+90，考察函数f(x)=xx 2+90(x >0)的单调性． 设0<x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(x 1x 2−90)(x 2−x 1)(x 12+90)(x22+90)，利用定义可得0<x ≤3√10，此时函数f(x)单调递增；x >3√10，此时函数f(x)单调递减． 而9<3√10<10，f(9)=f(10)． ∴数列{a n }中的最大项是第10项和第9项． 故选：B ．利用定义考察函数f(x)=xx 2+90(x >0)的单调性即可得出．本题考查了利用定义研究函数的单调性与最值，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：B解析： 【分析】本题考查两直线垂直的性质、线段的中点坐标公式及直线的点斜式方程，属于基础题．先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式即可得到结果． 【解答】解：线段AB 的中点为(2,32)，k AB =1−23−1=−12， ∴线段AB 垂直平分线的斜率为k =−1kAB=2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是y −32=2(x −2)，即4x −2y −5=0． 故选：B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查了倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性，属于基础题． 利用倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵直线l 的斜率k ∈[−1,1)， ∴−1≤tanα<1， ∵α∈[0,180°)，∴α∈[135°,180°)∪[0，45°)． 故选：B ．8.答案：C解析：解：∵等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q =2， ∴log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 11 =log 2(a 1a 2…a 11)=log 2(a 110q 1+2+3+⋯+10)=log 2255 =55． 故答案为：55．由已知得log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 11=log 2(a 110q 1+2+3+⋯+10)=log 2255=55．本题考查对数的前11项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．9.答案：C解析： 【分析】本题考查直线关于点、直线对称的直线方程，较易． 【解答】解：设A 关于l 的对称点为C(a,b)则根据AC 中点在直线l 上和直线AC 与直线l 垂直有：{a−22−b+12−1=0b−1a+2·1=−1，解得：{a =2b =−3，则C(2,−3)由题知C 在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线方程为y =3−(−3)0−2x +3，即3x +y −3=0，故选C ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查了直线的方程，考查了直线垂直与斜率的关系，是基础题． 由直线x−x 0A=y−y 0B的斜率与已知直线的斜率互为负倒数，且M 0(x 0,y 0)适合方程x−x 0A=y−y 0B得答案．【解答】 解：由x−x 0A=y−y 0B，得Bx −Bx 0=Ay −Ay 0，即Bx −Ay −Bx 0+Ay 0=0，∴Bx −Ay −Bx 0+Ay 0=0与Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直， 又M 0(x 0,y 0)满足方程Bx −Ay −Bx 0+Ay 0=0， ∴方程x−x 0A=y−y 0B表示经过点M 0且垂直于l 的直线．故选：B ．11.答案：A解析：解：当n =1时，a 1=S 1=12×1×2=1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n(n +1)−12(n −1)n =n ． 故a n =n ．∴b n =3a n +(−1)n−1a n =3n +(−1)n−1n ，则数列{b n }的前2n +1项和S 2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n −1)−2n +(2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．12.答案：A解析：【分析】本题考查数列与函数的综合，考查裂项法求和，确定数列的通项是关键．先确定f(x)=2x+1，再确定数列的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．【解答】解：∵函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象经过点P(1,3)，Q(2,5)，∴{3=a+b5=a2+b解得a=2，b=1，∴f(x)=2x+1，∴f(n)=2n+1，∴a n=f(n)−1f(n)⋅f(n+1)=2n+1−1(2n+1)(2n+1+1)=12n+1−12n+1+1，∴S n=(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+1+1)=13−12n+1+1=1033，即2n=16，解得n=4，故选A．13.答案：n3解析：【分析】本题考查等比数列的判定和通项公式，数列的递推关系，数列的求和，属于中档题．根据a n+1=(n+1)a n3a n+n 即可求得n+1a n+1−na n=3，即可知数列{na n}是以3为首项，以公比为3的等比数列，即可知数列{na n }的通项公式na n=3n，进而得到an=13，即可求解．【解答】解：由a n+1=(n+1)a n3a n+n (n∈N∗)得a n+1n+1=a n3a n+n，所以n+1a n+1=na n+3，即n+1a n+1−na n=3，又a1=13，即1a1=3，所以数列{na n}是以3为首项，以公比为3的等比数列，所以na n=3+3(n−1)=3n，即a n=13，所以数列{a n}的前n项和S n=n3．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查点关于直线对称的点的坐标及直线方程的求法，考查方程思想与转化、运算能力，属于中档题．【解答】解：设点B关于直线y=2x的对称点为B′(x′,y′)，则直线BB′⊥直线y=2x，且线段BB′的中点(3+x′2,1+y′2)在方程为y=2x的直线上，∴{y′−1x′−3×2=−1y′+12=2×x′+32，解得B′(−1,3)；所以l AB′：y−2=13(x+4)；而点C为l AB′：y−2=13(x+4)与直线y=2x的交点，∴{y−2=13(x+4)y=2x，解得x=2，y=4，即点C的坐标为C(2,4)．故答案为(2,4)．15.答案：8解析：【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．由题意知c的表达式，再根据基本不等式得a+b+c的最小值【解答】解：∵abc =4(a +b)， ∴c =4(a+b )ab，a +b +c =a +b +4(a+b )ab=a +b +4b +4a ≥2√a ·4a +2√b ·4b =4+4=8，当且仅当a =2，b =2时等号成立， 故答案为8．16.答案：8解析： 【分析】本题考查了数列的递推关系，考查了学生等差数列和等比数列性质的应用，以及利用待定系数法求解数列通项公式，属于难题．利用a 4n−1，a 4n−2，a 4n−3是以3为公差的等差数列，a 4n−1，a 4n ，a 4n+1是以12为公比的等比数列，得到a 4(n+1)−3=a 4n−34+32，利用待定系数法，数列{a 4n−3−2}是以−2为首项，14为公比的等比数列，从而得到a 4n−2=5−122n−3，结合题目条件，得到a 4n−2=5−122n−3,a 4n−1=8−122n−3,a 4n =4−122n−2，即可求解答案． 【解答】解：由已知可得a 4n−1，a 4n−2，a 4n−3是以3为公差的等差数列， ∴a 4n−1=a 4n−3+2×3=a 4n−3+6， a 4n−1，a 4n ，a 4n+1是以12为公比的等比数列， 则a 4n+1=a 4n−1×(12)2=a 4n−14=a 4n−34+32，∴a 4(n+1)−3=a 4n−34+32，即a 4(n+1)−3−2=14(a 4n−3−2)， ∴a 4(n+1)−3−2a 4n−3−2=14为定值，又a 4×1−3−2=a 1−2=−2，即数列{a 4n−3−2}是以−2为首项，14为公比的等比数列， ∴a 4n−3=2−−122n−3，又a 4n−1，a 4n−2，a 4n−3是以3为公差的等差数列， a 4n−1，a 4n ，a 4n+1是以12为公比的等比数列，∴a 4n−2=5−122n−3,a 4n−1=8−122n−3,a 4n =4−122n−2∴对于任意的n ∈N ∗，均有a n <8， ∴m ≥8． 故答案为8．17.答案：解：(1)若l 1⊥l 2，则m −3−2m =0，所以m =−3；(2)若l 1//l 2，则m(m −3)+2=0，所以m =1或2， 当m =2时，l 1与l 2重合，舍去；当m =1时，l 1：x +y +1=0，l 2：−2x −2y +6=0，即x +y −3=0， ∴l 1与l 2的距离d =√2=2√2．解析：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数m 之值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题． (1)根据两条直线垂直的判定，已知l 1⊥l 2，则m −3−2m =0，所以m =−3； (2)根据两条直线平行的判定，若l 1//l 2，则m(m −3)+2=0，所以m =1或2， 当m =2时，l 1与l 2重合，舍去，当m =1时，再根据平行直线的距离公式即可求出．18.答案：解：由题意：设直线l 与直线l 2：3x +2y +6=0交于点A(x,y)，设直线l 与直线l 1：x −y −1=0相交于点B ，因为直线l 被直线l 1和l 2所截得的线段恰好被P 点平分， 所以点P(0,2)是点A 和点B 的中点， 可得点B 的坐标为(−x,4−y)，由方程组{3x +2y =−6−x −(4−y)=1，解得A(−165,95)，所以P ，A 两点都在直线l 上， 所以直线l 的方程为y−952−95=x+1650+165，即x−16y+32=0．解析：本题考查直线方程的求解，中点坐标公式，直线的两点式方程，属于基础题．根据题意，求出A的坐标，根据P，A两点坐标求出直线l的方程．19.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n=1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n=19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n=n2+2n，得到数列首项，再由a n=S n−S n−1(n≥2)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n=a n−52n，得到b2n，再由错位相减法求得b2+b4+⋯+b2n．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．20.答案：解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则A(0,0)，F(2,4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2(a>0)，由4=a×22得，a=1，∴AF所在抛物线的方程为y=x2，又E(0,4)，C(2,6)，∴EC所在直线的方程为y=x+4，设P(x,x2)(0<x<2)，则PQ=x，QE=4−x2，PR=4+x−x2，∴工业园区的面积S =12(4−x 2+4+x −x 2)·x=−x 3+12x 2+4x(0<x <2)，∴S′=−3x 2+x +4，令S′=0，解得x =43或x =−1(舍去负值)， 当x 变化时，S′和S 的变化情况如下表：可知，当x =43时，S 取得最大值10427． 答：该高科技工业园区的最大面积为10427km 2．解析：本题考查函数模型的应用，利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数求闭区间上的函数最值，属于中档题．先以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系得到A 、F 、E 、C 的坐标．设出抛物线的解析式把F 坐标代入可求出，根据坐标EC 所在直线的方程，设出P 的坐标表示出PQ 、QE 、PR ，利用梯形的面积公式表示出S ，求导讨论S 的增减性，得到S 的最大值即可．21.答案：解：不妨设直线x −2y +3=0和x +y −4=0分别经过点B 和点C 的高线，∴由垂直关系可得AB 的斜率为1，AC 的斜率为−2， ∵AB 和AC 都经过点A(2,3)，∴AB 的方程为y −3=x −2即x −y +1=0； ∴AC 的方程为y −3=−2(x −2)即2x +y −7=0； 联立{x −y +1=0x −2y +3=0，解得{x =1y =2，即B(1,2)，联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1，即C(3,1)，故B (1,2)，C(3,1)．解析：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及方程组的解集，属基础题．不妨设直线x −2y +3=0和x +y −4=0分别经过点B 和点C 的高线，由垂直关系可得AB 和AC 的方程，联立直线方程可得B 和C 的坐标．22.答案：证明：(I)当n =1时，3a 1=2S 1+1，所以a 1=1．当n ≥2时，由3a n =2S n +n① 得3a n−1=2S n−1+n −1②①−②得3a n −3a n−1=2S n +n −2S n−1−n +1=2(S n −S n−1)+1， =2a n +1，所以：a n =3a n−1+1， 则：a n +12=3(a n−1+12)，所以数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列． (Ⅱ)由(I)得a n +12=32⋅3n−1，所以：a n =32⋅3n−1−12将其代入①得，S n =34⋅3n −14(2n +3) T n =S 1+S 2+S 3+⋯+S n ，=34(31+32+33+⋯+3n )−14(5+7+⋯+2n +3)， =34⋅3(3n −1)3−1−n(n+4)4， =98(3n −1)−n(n+4)4．解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用构造新数列法得到数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出数列S n ，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。

江苏省南通中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线y =的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tanθ= ∴θ＝60°， 故选：B ．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，则sin B 的值为（ ）B. 2C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sin B 的值．【详解】△ABC a ＝2b sin A ，sin A ＝2sin B sin A ， 又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，=2sin B ，解得sin B 2=．故选：B【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为( )A. 4y x =- B. 4y x =+C. 6y =-D. 23y x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()344y ---=--，整理得4y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为k =，所以直线的方程为4y x +=，整理得4y x =-； 故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题． 4.已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（ ）A. 13- B.13C. 23-D. 23【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2， 则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 5.已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( ) A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-= C .()()223425x y -+-= D. ()()22+3425x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，即得圆的方程. 【详解】由题得OC 中点坐标为（3,4）， ，所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故选C【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数22sin 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解．【详解】函数22sin 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数的最小正周期22T ππ==，且该函数为奇函数. 故选：A.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．7.一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 6海里 B. 12海里C. 6海里或12海里D. 63海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，20分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--=，63BC =则222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅，即：2361081122AB AB +-=-，解得：6AB =即灯塔与轮船原来的距离为6海里本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.8.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线2y x =上，若点A 在直线40x y --=，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)(4)4x y -++= B. 22(2)(4)16x y +++= C. 22(2)4)(4x y -+-= D. 22(2)(4)16x y -+-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心(),2C a a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆C 的圆心在直线2y x =上，∴可设(),2C a a ，圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，0a ∴>且圆C 的半径2r a =，(),0A a .A 到直线40x y --=的距离d =d ∴==6a =或2a =，()2,0A ∴或()6,0A ，A 在直线40x y --=的左上方，()2,0A ∴，()2,4C ∴，4r =， ∴圆C 的标准方程为：()()222416x y -+-=.故选：D【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量. 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）9.点P 是直线x +y ﹣3＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4作切线，则切线长可能为（ ）A.2B.12C. 1D.2【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，设T 为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT |222||||4PO r PO =-=-，进而可得|PT |的最小值，分析选项即可得解．【详解】根据题意，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4做切线，设T 为切点，连接OP 、OT ，如图：圆O ：x 2+y 2＝4，其圆心为（0,0），半径r ＝2； 则切线长222||||4PT PO r PO =-=- 当PO 最小时，PT 最小，当PO 与直线垂直时，PO 取最小值，则min 33211PO -==+， 所以min1222PT==， 分析选项：A 、C 、D 都满足22PT ≥. 故选：ACD ．【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．10.在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ） A. a ＝50，b ＝30，A ＝60°B. a ＝30，b ＝65，A ＝30°C. a ＝30，b ＝50，A ＝30°D. a ＝30，b ＝60，A ＝30°【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案． 【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B 10=， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒，则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状可能为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】ABCD 【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a b A B=,将cos cos a A b B =化简为:sin cos sin cos A A B B =,故sin 2sin 2A B =,即可求得答案.【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =∴ sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,∴ 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,∴ABC ∆可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD.【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12.已知圆M ：22(1cos )(2sin )1x y θθ--+--=，直线l ：20kx y k --+=，下列四个选项，其中正确的是（ ）A .对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点 B. 存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离C. 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D. 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.【详解】根据题意知圆M 的圆心坐标为M （1+cos θ，2+sin θ），半径为1，202(1)kx y k y k x--+=⇒-=-，直线l恒过定点N（1，2），||1MN=，所以定点N（1，2）在圆M上，无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，因此直线l和圆M有公共点，所以选项A正确，选项B错误；圆心M到直线l的距离d===sin()βθ=-，（其中sinβ=，cosβ=，tanβ＝k）当()2n n Zπβθπ-=+∈时，1d=，所以对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，所以C正确．当θ＝0°时，()2n n Zπβπ=+∈，tanβ不存在，所以D不正确．故选：AC【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分）13.化简：()2cossinπαπα-=⎛⎫+⎪⎝⎭_____．【答案】-1【解析】【分析】由诱导公式即可求解．【详解】()12cos coscossinπααπαα--==-⎛⎫+⎪⎝⎭．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.已知点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为1，则a 的值为_____． 【答案】21+ 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a 的值．【详解】由题可知，点 （1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为:221211211a a d +--===+，解得：21a =+．故答案：21+．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 15.若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果. 【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 y 2＝8与圆C 2 : x 2y 22xy a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{}8,825,825-+ 【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想四、解答题（本小题共6小题，共70分）17.已知函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期（2）求函数f （x ）单调增区间．【答案】（1）T =π；（2）[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【解析】【分析】（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f （x ）的最小正周期（2）根据三角函数的性质即可求出函数f （x ）单调增区间．【详解】函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．化简可得：f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2xsin x cos x ＝cos2xx 12cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin （2x 6π+）， （1）∵ω＝2，∴f （x ）的最小正周期为T 2πω==π； （2）令2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得：k π3π-≤x ≤π6π+，k ∈Z ， 则f （x ）的单调增区间为[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．18.已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．【答案】（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d ===． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．19.如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离．【答案】（1）31x =；（2）21【解析】试题分析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-，根据余弦定理，列出方程，即可求解x 的值；（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由cos PAD ∠，得sin PAD ∠，即可求解点P 到海防警戒线AC 的距离．试题解析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-．在PAB △中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅， 同理在PAC ∆中，50AC =，2222225025cos 2250PA AC PC x x PAC PA AC x x+-+-∠===⋅⋅． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=，解得：31x =． （2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由25cos 31PAD ∠=， 得221sin 1cos 31PAD PAD ∠=-∠=，∴421sin 3142131PD PA PAD =∠=⨯=千米．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为21考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20.已知圆E 经过M （﹣1，0），N （0，1），P （12，2-）三点． （1）求圆E 的方程；（2）若过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程．【答案】（1）x 2+y 2＝1；（2）2x +2y ﹣1＝0．【解析】【分析】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，结合题意可得222222222(1)(1)1()(22a b r a b ra b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得a 、b 、r 的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案. （2）设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，由切线长公式计算可得R 的值，分析可得圆C 的方程，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ， 则有222222222(1)(1)1()()22a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为x 2+y 2＝1；（2）根据题意，过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，则有R ＝|CA|==则圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝7，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线， 则有222214410x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 解可得2x +2y ﹣1＝0，则AB 的方程为：2x +2y ﹣1＝0．【点睛】本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E 的方程，属于基础题．21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴； ③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈； 由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意， 若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点.（1）若12,2AM AN k k ==-，求△AMN 的面积； （2）过点P （33-5，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅；（3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）直线AM 的方程为，直线AN 的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出PF PE ⋅．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为 所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.（2）22(33)(5)443PE +--=｜｜＝，22(33)(5)213PO =+-=，所以4323cos 21313OPE ∠==. 所以222311cos 2cos 12()11313FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos (43)1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= （3）由题知直线和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程(2)y k x =+，则直线AN 的方程为，所以，联立方程22(2){4y k x x y =++=，所以，22(2)[(1)22]0x k x k +++-=，得2x =-或22221k x k -=+， 所以222224(,)11k k M k k-++， 同理，， 因为轴上存在一点D 2(,0)3-，所以，=，同理，所以，=，所以，直线过定点2(,0)3.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.。

2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−1)，B(2,0)，过A 的直线交x 轴于点C(a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a =( )A. 14B. 34C. 1D. 432. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，则下列等式恒成立的是( )A. b =acosC +ccosAB. b =acosA +ccosCC. b =asinC +csinAD. b =acosC −ccosA3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM//平面ADE ；②CN//平面ABF ；③平面BDM//平面AFN ；④平面BDE//平面NCF ． 以上四个命题中，真命题的序号是( )A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④4. 经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )A. x +y =4B. x +y =2C. x =2或y =2D. x +y =4或x =y5. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. −1C. 0D. √26. 已知x 、y 满足x 2+(y −2)2=3，则yx 的取值范围是( )A. [−√3,√3]B. [−√33,√33] C. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且ca =cosB1+cosA ，则△ABC 为( )A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 三边均不相等的三角形8. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l//α，l//β，α∩β=m ，则( )A. l 与m 平行B. l 与m 相交C. l 与m 异面D. l 与m 垂直9. 在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是，若，则 △ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10. 若圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线2x −y +6=0的距离等于√5，则r 的取值范围是( )A. (0,2√5)B. (√5,3√5)C. (√5,2√5)D. (2√5,3√5)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)12. 已知直线ax −y +a =0与直线x +2y −2=0平行，则实数a 的值为______．13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2√3的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______．14. 在△ABC 中，若，则角的值是 ．15. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 16. 在△ABC 中，，则的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，AB//CD ，AB =2AD =2，∠ADC =∠BCD =120°，四边形EDCF 为正方形，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)证明：在线段AB上存在一点G，使得EG//平面BDF；(2)求该五面体的体积．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(2sinx,2cosx),n⃗=(√3cosx,cosx),f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−1．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移π6单位，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[0,π8]上的最小值．19.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000km/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度(精确到1m)(sin18.5°≈0.317，sin81°≈0.988)20. 已知抛物线C ：y 2=4x ．(Ⅰ)过抛物线C 上的点P 向x 轴作垂线PQ ，交x 轴于点Q ，求PQ 中点R 的轨迹D 的方程； (Ⅱ)在曲线D 上求一点M ，使它到点N(3,0)的距离最小．21. 在△ABC 中，若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosA +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosC =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅sinB (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S ．22.如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A(2,2)，由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．(Ⅰ)求实数a，b之间满足的关系式；(Ⅱ)求线段PQ的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得a的值．解：设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α=2tanα1−tanα，由k AC=1a ，k AB=12，即有1a =2×121−14，解得a=34．故选B．2.答案：A解析：解：选项A，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=2b22b=b=左边，即选项A正确；选项B，等式右边=a⋅b2+c2−a22bc +c⋅a2+b2−c22ab≠左边，即选项B错误；选项C，由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，若选项C成立，则sinB=sinAsinC+sinCsinA，∵A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosC，sinA=cosA，∴A=C=π4，B=π2，即只有当A=C=π4，B=π2时，选项C才是正确的，故并不是恒成立，选项C错误；选项D，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab −c⋅b2+c2−a22bc=2(a2−c2)2b≠左边，即选项D错误．故选：A．根据余弦定理，对选项A，B和D中等式右边的式子进行化简，看能否恒等于左边；结合正弦定理、三角形的内角和与两角和公式可判断选项C．本题考查解三角形，熟练运用正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，由图可得：①②③④均正确，故选：A．先由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，再由图结合线面平行，面面平行的判定定理可得①②③④正确，得解，本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属中档题．4.答案：D解析：本题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为y−02−0=x−02−0，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故所求直线方程为x=y或x+y=4．故选D．5.答案：B解析：解：如图，∵∠A =90°； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 又AB =1；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−1 =−1． 故选：B ．可画出图形，根据条件可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，而BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算．6.答案：D解析：设直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得yx 的取值范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．解：由题意可得，yx 表示圆x 2+(y −2)2=3上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，设为k ， 故此直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得√k 2+1≤√3， 求得k ≤−√33或k ≥√33，故yx 的取值范围是k ≤−√33或k ≥√33，故选D ．7.答案：C解析：解：由余弦定理，可得cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac，代入已知等式，得ca =a2+c2−b22ac1+b2+c2−a22bc去分母化简，整理可得，b(a2+c2−b2)=2bc2+c(b2+c2−a2)…(2分)整理，得(c+b)(b2+c2−a2)=0，∵b+c>0，∴b2+c2−a2=0，…(6分)因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A为直角的直角三角形，.…(8分)故选：C．把余弦定理代入已知条件，化简可得(c+b)(b2+c2−a2)=0，故有b2+c2=a2，由此即可判断△ABC的形状．本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l//α，l//β，且α∩β=m时，l//m．故选A．9.答案：D解析：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA(sinB−sinA)=0，从而可得或B=A或B=π−A(舍去)．解：∵c−acosB=(2a−b)cosA，C=π−(A+B)，∴由正弦定理得：sinC−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴cosA(sinB−sinA)=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴或B=A或B=π−A(舍去)，故选：D．10.答案：B解析：解：∵圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心到直线2x−y+6=0的距离为d= =2√5，√5当r=√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r=3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5，∴圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x−y+6=0的距离等于√5时，圆的半径r的取值范围是：√5<r<3√5，故选：B．先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于√5，以及圆上只有一个点到直线的距离等于√5的条件，可得要求的r的范围．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．11.答案：④.解析：本题由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．12.答案：−12解析：解：∵直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行，∴a1=−12≠a−2，解得a=−12，∴实数a的值为−12．故答案为：−12．利用直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行的性质能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：本题考查球体的体积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，利用公式2R=l2ℎ求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，球O 的半径为R ， 则πl =2πr ，得r =l2=√3，圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√(2√3)2−(√3)2=3， ∴球O 的直径为2R =l 2ℎ=(2√3)23=4，∴R =2．因此，球O 的体积为V =43π×R 3=32π3．故答案为：32π3．14.答案：解析：试题分析：根据题意，由于，那么由正弦定理可知因为A >B ，因此可知角A 的值为两个解，分别是60°或120°。

江苏省启东中学2018~2019学年度第二学期期中考试高一创新班数学一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.当时，的值等于A. 1B.C. iD.2.则A. 1B.C. 1023D.3.从集合中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为A. B. C. D. 14.设集合，0，，，2，3，4，，那么集合A中满足条件“”的元素个数为A. 60B. 90C. 120D. 1305.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A. 180种B. 240种C. 360D. 420种6.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有种．A. 720B. 480C. 144D. 3607.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是A. B. C. D.8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A. 24B. 18C. 12D. 99.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为．A. B. 7 C. D. 2810.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有__种12.已知，展开式中的系数为1，则a的值为________．13.计算： ______ ．14.绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗如图规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法。

江苏省启东中学2018~2019学年度第二学期期中考试高一创新班数学一、选择题。

1.当时，的值等于（）A.1 B. C. i D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.考点：导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题2.则( )A.1 B. C. 1023 D.【答案】D【解析】【分析】令二项式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案．【详解】令代入二项式，得，令得，，故选D．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解本题属于基础题型．3.从集合中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为( )A. B. C. D. 1【答案】C【解析】分析：分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．详解：：从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===，方程，表示圆；m=8时，椭圆方程，离心率为：e===，方程表示离心率为的椭圆的概率为：．故选：C．点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：分以下三种情况讨论，（1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有个元素；（2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；（3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；综上所述，集合共有个元素.故选D.【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题.5.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有+2+=420种栽种方案，故选：D．【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．6.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有种．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】【分析】甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的，即可得出结论．【详解】甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，甲、乙均在丙的同侧，有4种，甲、乙均在丙的同侧占总数的，不同的排法种数共有种．故选：B．【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．7.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．【详解】X服从超几何分布，因为有6个小镇不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，，故选A．【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A. 24B. 18C. 12D. 9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．9.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A. -7B. 7C. -28D. 28【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么可知n为偶数，n=8则可知,可知当r=6时，可知为常数项，故可知为7，选B.考点：二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。

江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学上学期第一次质量检测试题（创新班，含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ= ( )A. 0B.π2C. πD.3π2【答案】A 【解析】 【分析】B ⊆A ，可得：cos θ＝1，或cos θ222cosθ=，或cos θ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可得出θ【详解】∵B ⊆A ，∴cos θ＝1，或cos θ222cosθ=，或cos θ＝3（舍去），∵θ∈[0，2π），∴由cos θ＝1，可得θ＝0， 由cos θ222222coscos θθ==-1，无解．综上可得：θ＝0． 故选：A ．【点睛】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．2.已知非零向量,m n 满足43m n =，cos ,m n =13．若()n tm n ⊥+，则实数t 的值为 A. 4 B. –4C. 94D. –94【答案】B 【解析】【详解】由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>， 又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B ． 【此处有视频，请去附件查看】3.下列说法正确的是( )A. 因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B. 因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C. 因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D. 因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．【答案】D 【解析】 【分析】 由周期函数的定义可判断A ；由tan （x +π）＝tan x ，结合周期函数的定义可判断B ；由x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭不成立，结合周期函数的定义可判断C ；由周期函数的定义，可判断D ．【详解】由sin(π)sin x x -=，不满足周期函数的定义，故A 错误；tan （2π+x ）＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的一个正周期，由tan （x +π）＝tan x ， 可得π是函数y ＝tan x 的最小正周期，故B 错误；4x π=时，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭成立，但x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭不成立，所以2π不是函数y ＝sin x 的一个周期，故C 错误； 由3cos x cosx π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，由周期函数的定义，可得3π不是函数y ＝cos x 的一个周期，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础题．4.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A. 12t =，s 的最小值为6πB. 3t =，s的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3πD. 3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为 P'位于函数sin 2y x=的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.5.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7.已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形 【答案】B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知α∈R ，sin 2cos αα+=，则tan2α=( ) A.43B.34 C. 34-D. 43-【答案】C 【解析】 【分析】将sin 2cos αα+=两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【详解】()22222225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2cos α，整理得22tan 4tan 45tan 12ααα++=⇒+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan ααα=-，得3tan 24α=-. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.9.已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( ) A. [0，2] B. [1，2]C. 1[4-，2]D. 1[4-，)+∞【答案】C 【解析】 【分析】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点,由f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点．f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 则a ∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A.34 B.310C. 310±D. 310-【答案】B 【解析】 【分析】 由sin cos 2sin cos αααα+=-得tan α，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tan α的齐次式即可求出原式的值． 【详解】已知sin cos 2sin cos αααα+=-故tan α＝3，又()223πsin cos sin(5π)sin()sin cos 2sin cos αααααααα-⋅-=--=+ 故原式＝2tan 31tan 10αα=+． 故选：B【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题．11.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.6πB. 4πC.3π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称中心，求出ϕ的表达式，然后确定| ϕ |的最小值． 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称， ∴4232k ππϕπ⋅+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6min πϕ=． 故选A.【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k 的取值，确定|ϕ |的最小值，是基本方法．12.在平面内，定点A，B，C，D 满足DA=DB=DC,DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA=–2，动点P，M满足AP=1，PM=MC，则2BM的最大值是A.434B.494C.3763+D.37233+【答案】B【解析】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC∠=∠=∠=︒===.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C---设(),,P x y由已知1AP=，得()2221x y-+=，又13133,,,,,222x y x yPM MC M BM⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x yBM++∴=，它表示圆()2221x y-+=上的点()x y，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++=⎪⎝⎭，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D的坐标，同时动点P的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数2tan 1y x =-的定义域是______．【答案】(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可 【详解】由题知：原式有意义则22k x k ππππ-<<+且 tan 1x ≠即224k x k x k ππππππ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，故函数2tan 1y x =-的定义域是(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力． 14.已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||2a =，则a 的坐标为_______________． 【答案】（﹣11， 【解析】 【分析】根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可． 【详解】向量a 的方向与x 轴的正向所成的角为120°，且|a |＝2， 如图所示，向量a 的终点为A 或B ， 由三角函数的定义，可得A （﹣1，B （﹣1，3-）；所以a 的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3-）． 故答案为：（﹣1，3）或（﹣1，3-）．【点睛】本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题． 15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .【答案】4 【解析】【详解】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． (1)证明：2a b c +=； (2)求证：cos C ≥12． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和正弦公式结合正弦定理即可证明 （2）利用余弦定理结合基本不等式证明 【详解】（1）tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+则sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B B A+=+⋅⋅，即()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2()2cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B B A A BA B A B A B A B A B++++=∴=⋅⋅ 由正弦定理得2c a b =+（2）由余弦定理得()22222222332124242cos 22222a b ab ab a b a b ab a b c C ab ab ab ab +⎛⎫+-+-⨯- ⎪+-⎝⎭===≥=当且仅当a b =等号成立，则cos C ≥12成立 【点睛】本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力． 18.已知α为第三象限角，且f (α)＝sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++- ．（1）化简f (α)； （2）若3π1cos()25α-=，求()f α的值； （3）若32π3α=-，求()f α的值． 【答案】（1）f （α）＝﹣cos α；（2）f（α）=（3）f （α）＝12【解析】 【分析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f （α）的解析式．（2）利用诱导公式求得sin α的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cos α，代入（1）中函数解析式求得答案． （3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可【详解】（1）f （α）=sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++-=sin cos t n t n sin ααααααα⋅⋅-=-⋅（）cos α（2）∵cos （a 32π-）15=，∴sin α15=-，∵a 是第三象限角， ∴cos α==，∴f （α）＝﹣cos α=（3）f （α）＝﹣cos 3241cos 332ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．19.已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -，()f x OA OB =⋅．（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间； （2）当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；（3）当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=＝2a sin （2x 6π+），单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）；（2）a ＝﹣5或a 52=．（3）（0，1）． 【解析】 【分析】（1）化简f （x ）＝2a sin （2x 6π+），再利用三角函数性质求单调区间； （2）讨论a 的正负，确定最大值，求得a ；（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解．【详解】（1）f （x ）OA =•OB =2a cos 2x sin2x ﹣a ＝2a sin （2x 6π+）， ∵a ＞0，∴2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）（2）f （x ）＝2a sin （2x 6π+），当x ∈[0，2π]时，2x 6π+∈[6π，76π]；若a ＞0，2a ＝5，则a 52=； 若a ＜0，﹣a ＝5，则a ＝﹣5； 综上所述，a ＝﹣5或a 52=． （3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，2π]上恒成立， ∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[0，2π]上恒成立，∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，x ∈[0，2π]∵f （x ）＝2sin （2x 6π+）在[0，2π]上的最大值为2，最小值为﹣1．∴0＜m ＜1．即实数m 的取值范围为（0，1）．【点睛】本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题． 20.已知在ABC 中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=． (1)求BAC ∠的值；(2)若AD =ABC 面积． 【答案】（1）∠BAC 4π=（2）4．【解析】 【分析】（1）直接利用两角和的正切公式求出结果． （2）在△ABC 和△ABD，利用正弦定理得以AC AD =，求得AC ＝4，AB ＝，再利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）在△ABC 中，D 为BC 中点，12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=． 所以tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）1123111123+==-⋅，由于0＜∠BAC ＜π，故∠BAC 4π=．（2）如图由12tan BAD∠=，13tan CAD∠=，所以5sin BAD∠=，10sin CAD∠=．在△ABC和△ABD，利用正弦定理BD ADsin BAD sinB=∠，BC ACsin BAC sinB=∠得4BCsinACBDADsin BADπ=∠，又BC＝2BD，所以210ACAD=，由于10AD=，所以AC＝4，同理可得AB＝22．所以112224422ABCS AB ACsin BAC=⋅∠=⋅⋅⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2．(1)用a，θ表示S1和S2；(2)当a固定，θ变化时，求12SS取最小值时的角θ．【答案】（1）S 112=a 2sin θcos θ；S 2＝21asin cos sin cos θθθθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；（2）当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【解析】 【分析】（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC ＝a 列出方程求出x ，算出S 2；（2）化简比值12S S ，设t ＝sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．【详解】（1）在Rt △ABC 中，AB ＝a cos θ，AC ＝a sin θ，所以S 112=AB •AC 12=a 2sin θcos θ； 设正方形的边长为x 则BP xsinB=，AP ＝x cos θ，由BP +AP ＝AB ，得xsin θ+x cos θ＝a cos θ， 解得x 1asin cos sin cos θθθθ=+；所以S 2＝x 221asin cos sin cos θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（2）()212112sin cos S S sin cos θθθθ+=⋅ 211222sin sin θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1124sin θ=+sin2θ+1， 令t ＝sin2θ，因为 0＜θ2π＜，所以0＜2θ＜π，则t ＝sin2θ∈（0，1]，所以12114S S t =+t +1； 设g （t ）114t =+t +1， 则g ′（t ）2114t =-+，t ∈（0，1]；所以函数g （t ）在（0，1]上递减，因此当t ＝1时g （t ）有最小值g （t ）min ＝g （1）1114=+⨯1+194=， 此时sin2θ＝1，解得θ4π=；所以当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【点睛】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．22.设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；(2)记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x ，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）13k <<（3）34⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【解析】 【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为h （x）1sin 2x x =-于是结论可证；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由f （x）（x +φ）可求得x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，其中tan x 0a b=，换元求得ab 的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x 0的范围．【详解】（1）∵ππ()2sin()cos()36h x x x =--+1sin 2x x =-∴函数h （x ）的相伴向量OM =（12-， ∴h （x ）∈S（2）∵()2cos f x x =则4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，[0x ∈，2π]则()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，53ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，又()()()401,3,1,5,2133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫====-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，实数k 的取值范围为13k <<（3）OM 的相伴函数f （x ）＝a sin x +b cosx =（x +φ）， 其中cosφ=，sinφ=当x +φ＝2k π2π+，k ∈Z 即x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，∴tan x 0＝tan （2k π2π+-φ）＝cot φa b=， ∴tan2x 0022022211()atanx b a b atan x b a b⨯===---． 令m b a =，则()()2223411043410m m a m m -+-=∴∆=-+≥ 解得113m ≤< （m=1不成立）则tan2x021mm=-，（113m≤<）∵1y mm=-单调递增，故m1m-∈8,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴tan03 42x⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．。