2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 ABB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A.2.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A 设BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12B +B )+(-12B +B )=12(a+b)=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A.3.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 答案 12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a+2b 平行等价于B 1=12,即λ=12.4.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案 12;-16解析 由BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-23·BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16.5.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .答案 12解析 BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12.6.(2013北京理,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则BB= .答案 4解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),b=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2),c=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-3).由c=λa+μb 可得{-1=-B +6B ,-3=B +2B ,解得{B =-2,B =-12,所以BB =4.评析 本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和在向量中解析法的应用,构建关于λ和μ的方程组是求解本题的关键. 考点二 平面向量基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案 A 根据题意得BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{B 2=3,2B 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{-B 1+5B 2=3,2B 1-2B 2=2,解之得{B 1=2,B 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= . 答案 -√210解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos<a,b>=B ·B|B |·|B |=√22+22×√(-8)2+62=-√210.6.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= . 答案 8解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8.易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.7.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=. 答案-3解析本题考查向量平行的条件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.8.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= . 答案-6解析因为a∥b,所以B3=4-2,解得m=-6.易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.评析本题考查了两个向量平行的充要条件.9.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=.答案12解析∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=12.。

第五章平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算理1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ³ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ³ )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ³ ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A 解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，∴a ∥b ；当a ∥b 时，不一定有a ＝－b ，∴“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．4．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1答案 D解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →， 所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋t μb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝t μ，所以λμ＝1，故选D.5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由向量加法的平行四边形法则， 得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④答案 A解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)(2015²课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)A (2)A解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC → ＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 (1)B (2)2 解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC与△AOC面积之比为2.5．容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0.⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同． 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错． 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb答案 D解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确．2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0答案 D解析 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D.3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，CB ．A ，B ，DC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D 答案 B解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D三点共线．4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部 答案 C解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1， ∴m ＋n ＝2.6．设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos∠BAC ＝25，则k 等于( ) A.514 B.214 C.57 D.37答案 A解析 取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →，∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线，∴AB ＝AC ，∴cos∠BAC ＝cos∠DPC ＝DP PC ＝DP PA ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514，故选A. 7．(2015²课标全国Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 8.(2016²滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析 如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p的值是________．答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ²GA →＋sin B ²GB →＋sin C ²GC →＝0，则角B 的大小为________．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ²GA →＋sinB ²GB →＋sinC ²GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 12．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．(1)证明 由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －k λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，2＝k λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，k ＝43.综上，k 的值为43. *13.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

§5.1　平面向量的概念及线性运算考试要求　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB→＋AC →)．4．若OA → ＝λOB → ＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．(　√　)(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .(　×　)(3)若向量AB → 与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(　×　)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　√　)教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( )A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM → 与AN →不相等，则点M 与N 不重合D ．海拔、温度、角度都不是向量答案　CD解析　A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( )A.AB → ＋AC → ＝BC →B.AM → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝AM →C.AB → ＋BC → －AC → ＝0D.AB → －AD → －DC → ＝BC → 答案　B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.答案　－13解析　由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以Error!解得Error!题型一　向量的基本概念例1　(1)(多选)给出下列命题，不正确的有( )A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB → ＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线答案　ACD解析　A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB → ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD → ＝BC →B.AC → ＝BD →C.PE → ＝PF →D.EP → ＝PF →答案　D 教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案　ACD思维升华　平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．跟踪训练1　(1)(多选)下列命题正确的是( )A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a|a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案　BCD解析　A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a|a |与b|b |都是单位向量，所以只有当a|a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．题型二　平面向量的线性运算命题点1　向量加、减法的几何意义例2　(2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________．答案　2 023　0解析　当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023|＝2 023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0.命题点2　向量的线性运算例3　(多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC → ＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB → ＋AD → B.AF → ＝13AB → ＋13AD → C.BF →＝－13AB → ＋23AD →D.CF →＝－16AB → －23AD → 答案　ABD解析　因为BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12AB → ＋AD → ，所以选项A 正确；因为AF → ＝12AE → ＝12(AB → ＋BE →)＝12(AB →＋23BC → )，而BC →＝－12AB → ＋AD → ，代入可得AF → ＝13AB → ＋13AD → ，所以选项B 正确；因为BF → ＝AF → －AB →，而AF → ＝13AB → ＋13AD → ，代入得BF →＝－23AB → ＋13AD → ，所以选项C 不正确；因为CF → ＝CD → ＋DA → ＋AF→＝－12AB → －AD → ＋AF → ，而AF → ＝13AB → ＋13AD →，代入得CF →＝－16AB → －23AD → ，所以选项D 正确．命题点3　根据向量线性运算求参数例4　(2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD → ＝14BC → ，平面内点E 满足BE → ＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM → ＝xAB → ＋yAD →，则x ＋y 等于( )A.52B ．－52C.43 D ．－43答案　C解析　如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM → ＝AM → －AB → ＝13AE → －AB→ ＝13(AB → ＋BE → )－AB→＝13(AB → ＋6AD → )－AB→＝－23AB → ＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO → ＝2OD → ，则OC →等于( )A.－13AB → ＋23AC →B.23AB → －13AC →C.13AB → －23AC →D.－23AB → ＋13AC→答案　A解析　如图所示，∵D 为BC 的中点，∴AD → ＝12(AB → ＋AC → )，∵AO → ＝2OD →，∴AO → ＝23AD → ＝13AB → ＋13AC → ，∴OC → ＝AC → －AO → ＝AC →－(13AB → ＋13AC →)＝－13AB → ＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN → ＝13AM → ，若AN → ＝λAB → ＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13 B.12C ．－12D ．－13答案　A解析　由题意，知AN → ＝13AM → ＝13(AB → ＋BM →)＝13AB → ＋13×32BC →＝13AB → ＋12(AC → －AB → )＝－16AB → ＋12AC →，又AN → ＝λAB → ＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华　平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2　(1)点G 为△ABC 的重心，设BG → ＝a ，GC → ＝b ，则AB →等于( )A ．b －2aB.32a －12bC.32a ＋12b D ．2a ＋b答案　A解析　如图所示，由题意可知12AB → ＋BG → ＝12GC → ，故AB → ＝GC → －2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD → ＝2DB → ，AE → ＝2EC → ，P 为线段DE 上的动点，若AP → ＝λAB→ ＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.23 C.32 D ．2答案　B解析　如图所示，由题意知，AE → ＝23AC → ，AD → ＝23AB →，设DP → ＝xDE →，所以AP → ＝AD → ＋DP → ＝AD → ＋xDE→ ＝AD → ＋x (AE → －AD → )＝xAE → ＋(1－x )AD→ ＝23xAC → ＋23(1－x )AB → ，所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三　共线定理及其应用例5　设两向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明　∵AB → ＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB → .∴AB → ，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解　∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA → ＋PB → ＋PC → ＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B ．3C ．4 D ．8答案　A解析　∵PA → ＋PB → ＋PC → ＝2AB → ＝2(PB → －PA →)，∴3PA → ＝PB → －PC → ＝CB →，∴PA → ∥CB →，且两向量方向相同，∴S△ABCS △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．答案　12解析　∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ(23a －13b )，又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴Error!解得Error!思维升华　利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA → ＝λOB → ＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3　(1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN → ＝a －2b ，PN → ＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( )A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案　B解析　由题意知，NQ → ＝PQ → －PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN → ＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案　B解析　因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC → 与OD →共线，设OC → ＝mOD →，则m >1，因为OC → ＝λOA → ＋μOB → ，所以mOD → ＝λOA → ＋μOB → ，可得OD → ＝λm OA → ＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( )A.AB → ＋BC → ＋CA → B.AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → C.OA → ＋OB → ＋BO → ＋CO → D.AB → －AC → ＋BD → －CD → 答案　AD解析　利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．2．若a ，b 为非零向量，则“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案　B解析　a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB → ＋CD → )＋(BC → ＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( )A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案　B解析　由题意得，a ＝(AB → ＋CD → )＋(BC → ＋DA → )＝AC → ＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( )A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c C ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |答案　D解析　若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误；若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0，则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC → 与BD → 交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC → ＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案　C解析　如图所示，∵AC → ＝a ，BD →＝b ，∴AD → ＝AO → ＋OD → ＝12a ＋12b ，∴AE → ＝AD → －ED → ＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( )A ．向量AB → 与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数答案　A解析　A 项，AB → 与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF → ＝xAB → ＋34AD →，则x 等于( )A.34 B.23C.12D.14答案　C解析　连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF → ＝12(AD →＋AE → )，而AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋12BC → ＝AB → ＋12AD → ，所以AF → ＝12(AD → ＋AE → )＝12(AD →＋AB → ＋12AD→ )＝12AB → ＋34AD →，又AF → ＝xAB → ＋34AD → ，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB → －3AD → ＝AC →，则下列结论正确的是( )A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线C ．|AC → |＝|DB →|D ．|BC → |＝3|DB → |答案　BD解析　因为4AB → －3AD → ＝AC → ，所以3AB → －3AD → ＝AC → －AB →，所以3DB → ＝BC →，因为DB → ，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC → |＝3|DB → |，所以B ，D 正确，A 错误；由4AB → －3AD → ＝AC →，得AC → ＝3AB → －3AD → ＋AB → ＝3DB → ＋AB → ，所以|AC → |≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB → ＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________.答案　－23解析　因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB → ＝kAC →，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以Error!解得Error!10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD → ＝λAB → ，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案　3解析　如图，设F 为BC 的中点，则AG → ＝23AF → ＝13(AB → ＋AC → )，又AB → ＝1λAD → ，AC → ＝1μAE → ，∴AG → ＝13λAD → ＋13μAE → ，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB → ＋OD → ＋CA →|＝________.答案　23解析　正六边形ABCDEF 中，EB → ＋OD → ＋CA → ＝EO → ＋DC → ＋OD → ＋CA → ＝ED → ＋DA → ＝EA →，在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2，∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23，即|EB → ＋OD → ＋CA →|＝23.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC → ＝λAM → ＋μBD →，则λ＋μ＝________.答案　53解析　AC → ＝λ(AB → ＋12AD →)＋μ(AD → －AB → )＝(λ－μ)AB → ＋(λ2＋μ)AD →，又因为AC → ＝AB → ＋AD →，所以Error!解得Error!所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB → －PC → |－|PB → ＋PC → －2PA →|＝0，则△ABC不可能是( )A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案　AD解析　因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB → －PC → |－|PB → ＋PC → －2PA →|＝0，所以|CB → |－|(PB → －PA → )＋(PC → －PA →)|＝0，即|CB → |＝|AB → ＋AC → |，所以|AB → －AC → |＝|AC → ＋AB → |，等式两边平方并化简得AC → ·AB →＝0，所以AC → ⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD → ＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案　34　33解析　∵B ，D ，C 三点共线，∴14＋λ＝1，解得λ＝34.如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN → ＝14AC → ，AM → ＝34AB → ，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，∴AD ＝33.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB → ＋PB → ＋PC → ＝0，|AB → |＝|PB → |＝|PC → |＝2，则△ABC 的面积为( )A.3B ．23C ．33D ．43答案　B解析　设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB → ＋PC → ＝2PD →.由AB → ＋PB → ＋PC →＝0，得AB → ＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB → ＝－2DM → ，则PD → ＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB → |＝|PB → |＝|PC →|＝2，所以|MC → |＝|BP → |＝2，则|AC →|＝4，且|BM → |＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝23.16．若2OA → ＋OB → ＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC＝________.答案　1∶6解析　若2OA → ＋OB → ＋3OC →＝0，设OA ′——→ ＝2OA → ，OC ′——→ ＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x ＝3y ＝6z ，可得S △AOC ∶S △ABC ＝z ∶(x ＋y ＋z )＝1∶6.。

第二十六课时平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.平面向量的概念(B) 2.平面向量的加法、减法及数乘运算(B)知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在惟一一个实数λ，使得b＝λa.基础训练：：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )( )(4)向量a－b与b－a是相反向量．( )(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×(7)√2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有________．3．化简：4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.答案：－13[典题1](1)给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________． (2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题为________．(填序号) 解析：(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：(1)②③ (2)①③④ 小结：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．[典题2](1)设D 为△ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是________．(填序号)(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC . (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案：(1)① (2)12答案：23小结：向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．练习：答案：3[典题3]设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线． (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 解析： (1)因为＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，所以＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5，所以，共线．又与有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线． [探究1] 若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A 、B 、D 三点共线？解：＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即＝4a ＋(m －3)b .若A 、B 、D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A 、B 、D 三点共线．[探究2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线． 小结：(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．练习：1．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．答案：3总结：1．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．注意：1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.课后作业1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量与相等；④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．则所有正确命题的序号是________．解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故与也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．3．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝________.解析：连结CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且＝12a ，所以＝b ＋12a .4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则＝________.6．如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若则λ＋μ＝________.7．△ABC所在的平面内有一点P，满足则△PBC与△ABC的面积之比是________．9．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，若且 (λ∈R)，则实数λ的值为________．10．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若(m ，n ∈R )，则m n的值为________．解析：设＝a ，＝b ，则＝m a ＋n b ，＝12b －a ，由向量与共线可知存在实数λ，使得即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.11.如图，在平行四边形ABCD 中，设S ，R ，Q ，P 分别为AP ，SD ，RC ，QB 的中点，若＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案：6512．如图所示，在△ABO 中，AD 与BC 相交于点M ，设试用a 和b 表示向量.解：设＝m a ＋n b ，则＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ，＝12 ＝－a ＋12b . ∵A 、M 、D 三点共线，故存在实数t ，使得即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ， ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①联立①②，解得m ＝17，n ＝37.故＝17a ＋37b .。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高三数学一轮复习知识点专题专题5.1 平面向量的概念及其线性运算【考情分析】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【重点知识梳理】知识点一向量的有关概念知识点二向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 的方知识点三 共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa.,向量概念的4点注意 (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c”是假命题，因为当b 为零向量时，a ，c 可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 【特别提醒】向量线性运算的3点提醒 (1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点． (3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． 【拓展提升】共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0， (1)当b≠0时，定理中的λ不存在； (2)当b ＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 知识点四 必备结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．【典型题分析】高频考点一 平面向量的有关概念【例1】（2020·河北正定中学模拟）设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3，故选D 。