初二数学上册因式分解

人教版初二数学上册因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 •2•因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字 相乘法”.3•公因式的确定：系数的最大公约数•相同因式的最低次幕 . 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4 •因式分解的公式：(1) 平方差公式：a2-b2= (a+ b ) (a- b );⑵完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5•因式分解的注意事项： (1) 选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字;(2) 使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； (3) 因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； (4) 因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； (5) 因式分解的最后结果要求加以整理； (6) 因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 .6 •因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2 )提负号;(3)全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分 组；(8)提取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项. 7•完全平方式：能化为(m+n ) 2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q , 有“ x2+px+q 是完全平方式二 2 ” .分式A1 •分式：一般地，用 A 、B 表示两个整式，A - B 就可以表示为B 的形式，如A果B 中含有字母，式子B 叫做分式.3. 对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有 意义；(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式 的分子为零，而分母有理式2.有理式：整式与分式统称有理式；即 整式分式(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变；7. a c分式的乘除法法则：b dac _bda . c a d adb d bc bc8. 9. 分式的乘方：b b负整指数计算法则：(n 为正整数)(1) (2) 丄na-n=a (a ^ 0)；正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;公式：b a 公式： (-1) -2=1，公式：aO=1(a ^ 0),.nma bi ■ m 一 n ba -(-1) -3=-1. (3)(4)10.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的 分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简 公分母. 11 .最简公分母的确定：系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕 12 . 同 分母与异分母的分式加减法法则：a b a _b—土 ——=-------c c c a c ad bc ad_bc—土 — = 土 =----------------b 一 d bd 一 bd bd13. 含有字母系数的一元一次方程： 在方程ax+b=0(a ^ 0)中,x 是未知数,a 和b 是 用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是 常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程 .注意：在字母方程中，一般用 a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 等表示未知数. 14. 公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式， 叫做公式变形；注意: 公式变形的本质就是解含有字母系数的方程 .特别要注意：字母方程两边同时乘 以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为 0.2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分 式的值不变；一分子一分子 分子分子 即 一分母 分母 一分母分母(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单 5 •分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注 意：分式约分前经常需要先因式分解•6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注 意：分式计算的最后结果要求化为最简分式•时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根•17.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母 (或分式方程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根•18 •分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序•数的开方1 •平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x)；注意：(1) a叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2 •平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数；(2)0的平方根还是0；(3)负数没有平方根.3 •平方根的表示方法：a的平方根表示为a和“ a.注意：a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4 •算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 ".注意：0的算术平方根还是0.5•三个重要非负数：a2> 0 ,|a|>0，a>0 .注意：非负数之和为0,说明它们都是0.6. 两个重要公式：(1) a =a; (a> 0)厂^ a (a色0)va = a =丿(2),-a (a £0)7. 立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).注意:(1) a叫x的立方数；(2) a的立方根表示为3a;即把a开三次方.8. 立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数；(2)0的立方根还是0；(3)负数的立方根是一个负数.9. 立方根的特性：—=缶.10. 无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：二和开方开不尽的数是无理数.11. 实数：有理数和无理数统称实数.(2)正实数实数丿0负实数13. 数轴的性质：数轴上的点与实数 对应.14. 无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求， 则结 果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：1.414一 3 =1.732 一5 =2.2 3 6三角形几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）12 •实数的分类:(1)正有理数］有理数20 实数*'有限小数与无限循环小 数负有理数 正无理数： 负无理数:无限不循环小数几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、 角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直 平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数 • 二常识：1 •三角形中，第三边长的判断：另两边之差V 第三边V 另两边之和•2•三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点， 其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形 外•注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段•3•如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若 CD 丄AB ，BE 丄CA ，则 9 •全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角 所对的边是对应边.10•等边三角形是特殊的等腰三角形.11 •几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明 .12.符合“ AAA ” “SSA ”条件的三角形不能判定全等.13•几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3） 代入分析法；（4）图形观察法.14. 几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3） 作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6） 过已知点作已知直线的平行线.15. 会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS'、“HL ”、“等腰三角形”、“等 边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16. 作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后 画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17. 几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. 探18.几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图. （2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）CD • AB=BE • CA.4•三角形能否成立的条件是：最长边V 另两边之和 .A5 •直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和 . 八6•分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 「 EBC7 •如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： A（1） AC • CB=CD • AB ; （2）z 仁/B ，Z 2=Z A . 8 •三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.C2_.…八 _,,__》 一 》、 、一 f»、 、一 》 一亠八一 "、八C »、 八B① 在BA 上截取BE=BC 构造全等, 转移线段和角；A/1② 过D 点作DE // BC 交AB 于E ，构造 等腰三角形.①过D点作DE // AC交AB于E，构造中位线；AB山BD C②延长AD到E，使DE=AD连结CE构造全等，转移线段和角；B山B D C③ T AD是中线••• S A ABD= S △ADC（等底等高的三角形等面积）AB D C⑷已知等腰三角形ABC中，AB=AC①作等腰三角形ABC底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形；A ②作等腰三角形ABC 一边的平行线DE，构造新的等腰三角形•（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）EB（5）其它作等边三角形ABC 一边的平行线DE，构造新的等边三角形；②作CE // AB，转移角; ③延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形；A⑥若a / b,AC,BC是角平分线，则/ C=90° .④多边形转化为三角形；AD ⑤延长BC到D，使CD=BC，连结AD，直角三角形转化为等腰三角。

初中八年级上册数学因式分解一、因式分解的概念1. 定义- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例如：x^2-4=(x + 2)(x-2)，这里就是把多项式x^2-4分解成了(x + 2)与(x - 2)这两个整式的积的形式。

2. 因式分解与整式乘法的关系- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的基本方法1. 提公因式法- 公因式的确定- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。

在6x^2+9x中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式法的步骤- 第一步，确定公因式。

- 第二步，将公因式提出，用原多项式除以公因式得到另一个因式。

例如，对于6x^2+9x = 3x(2x + 3)。

2. 公式法- 平方差公式- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用条件：多项式是两项式，并且这两项能写成平方差的形式。

例如，9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x + 4)(3x-4)。

- 完全平方公式- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2。

- 完全平方差公式：a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。

例如，x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2；x^2-4x + 4=x^2-2×2x+2^2=(x - 2)^2。

14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。

14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。

平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。

二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。

（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。

知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。

达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。

三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。

学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。

因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。

四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。

八年级上册数学因式分解题80道一、因式分解练习题（80道）（一）不带解析的题目（60道）1. x^2 - 92. 4x^2 - 163. x^2 - 25y^24. 9x^2 - 15. 16x^2 - 9y^26. x^3 - x7. x^3 - 2x^2+x8. 2x^2 - 89. 3x^2 - 2710. 5x^2 - 12511. x^4 - 112. x^4 - 1613. x^2+6x + 914. x^2+8x+1615. x^2 - 10x + 2516. 4x^2+12x + 917. 9x^2 - 6x+118. 16x^2+24x+919. x^2 - 4x - 520. x^2+2x - 1521. x^2 - 6x - 722. x^2+7x+1023. x^2 - 8x+1224. 2x^2+5x - 325. 3x^2 - 7x+226. 4x^2 - 4x - 327. 5x^2+8x - 428. 6x^2 - 11x+329. x^3+2x^2 - 3x30. x^3 - 3x^2 - 4x31. x^2y - 9y32. x^3y - 4xy33. 2x^2y - 8y34. 3x^3y - 27xy35. x^2(x - y)+y^2(y - x)36. x^3 - x^2 - x+137. x^3+x^2 - x - 138. 2x^3 - 2x^2 - 3x+339. 3x^3+3x^2 - 6x - 640. x^2 - 1 + 2y - y^241. x^2 - y^2 - 2y - 142. x^2+2xy+y^2 - 143. x^2 - 2xy+y^2 - 944. x^4 - 2x^2+145. x^4+2x^2+146. x^4 - 8x^2+1647. x^5 - x^348. x^6 - x^449. x^3y - x^2y^2 - xy^350. 2x^4 - 3251. 3x^4 - 4852. x^3+3x^2+3x + 153. x^3 - 3x^2+3x - 154. x^2(x + 1)-y^2(y + 1)55. x^3+2x^2y+xy^256. x^3 - 2x^2y+xy^257. x^2 - 4xy+4y^2 - 958. x^2+6xy+9y^2 - 1659. x^2 - 5xy+6y^260. x^2+3xy - 10y^2（二）带解析的题目（20道）1. 题目：分解因式x^2 - 9- 解析：这是一个平方差的形式，x^2-9 = x^2 - 3^2=(x + 3)(x - 3)。

华东师大版八年级上册数学教学设计《因式分解》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《因式分解》是学生在学习了整式的乘法、方程的解法等知识后，对多项式进行的一种分解。

本节课的内容是因式分解的定义、方法和应用。

因式分解是初中学段数学的重要知识点，也是后续学习高中数学的基础。

教材从实际问题出发，引导学生探究因式分解的方法，培养学生解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法、方程的解法等知识，具备了一定的数学基础。

但学生在学习因式分解时，容易与多项式乘法混淆，对因式分解的方法理解不深。

因此，在教学过程中，需要帮助学生明确因式分解的意义，指导学生掌握因式分解的方法，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解因式分解的定义，掌握因式分解的方法。

2.能够运用因式分解解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.因式分解的定义和方法的掌握。

2.因式分解在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。

2.制作多媒体课件，辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。

例：已知一个二次方程的解为x1=3，x2=4，求该方程。

2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和方法，引导学生理解因式分解的意义。

定义：将一个多项式表达为两个或两个以上多项式的乘积的形式，称为因式分解。

方法：试错法、分解法、换元法等。

3.操练（10分钟）让学生通过具体的例子，运用因式分解的方法解决问题，加深对因式分解的理解。

例1：因式分解x^2 - 5x + 6。

例2：因式分解a^2 + 2ab + b^2。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对因式分解的掌握。

练习1：因式分解x^2 - 4x + 3。

因式分解八上知识点总结因式分解是数学中一个重要且基础的概念与方法，也是高中数学中常见的一种解题思路。

在小学的基础上，初中八年级正式开始学习因式分解的知识。

因此，了解、掌握因式分解的知识点对于学习数学、解题很有帮助。

接下来，我们将对八年级上学期因式分解的知识点进行总结。

一、因式分解的概念因式分解是将一个多项式写成多个因子相乘的形式的过程。

其中，多项式中的因子可以是数字、字母或数字与字母的乘积，因子的个数可以是任意多个。

二、因式分解的基本方法1. 提取公因式：将多项式的每一项提取出一个公因式。

例如：对于多项式6x+8y，可以提取公因式2，得到2(3x+4y)。

2. 拆分差平方：将差平方式拆分为两个因子相乘的形式。

例如：对于差平方式x^2-y^2，可以拆分为(x+y)(x-y)。

3. 分组配方法：将多项式中的项进行分组，使得每一组之间有一个公因式。

例如：对于多项式x^3+x^2+y^3+y^2，可以进行分组得到x^2(x+1)+y^2(y+1)。

4. 公式法：利用一些特殊的公式进行因式分解。

例如：平方差公式(a^2-b^2)可以分解为(a+b)(a-b)。

三、因式分解的应用因式分解在解方程、化简分式等数学问题中有广泛的应用。

掌握因式分解的方法，可以简化计算过程、简化表达式，优化解题思路。

下面我们通过几个例子来说明因式分解的应用。

1. 解一元二次方程对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过因式分解法快速求解。

首先，将方程因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，然后利用零因子乘积法，得到x的解。

2. 化简分式对于复杂的分式，可以通过因式分解的方法将其化简为两个或多个分式的和、差或积的形式，简化分式的运算。

3. 求最大公因数与最小公倍数在计算两个或多个数的最大公因数与最小公倍数时，常会用到因式分解的方法。

因式分解将数分解为多个因子的乘积，从而可以找到其中共有的因子，确定最大公因数；同时，将数分解为最简形式后，将它们的因子相乘，得到的积即为最小公倍数。

初二数学上学期因式分解知识要点新课标
1.因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式rarr;几个整式的积
例：1/3ax+1/3bx=1/3x(a+b)
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：
（1）提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数取各项系数的最大公约数
字母取各项都含有的字母
指数取相同字母的最低次幂
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苏科版初二上册数学勾股定理的简单应用知识点
苏科版初二上册数学勾股定理的逆定理知识点。