精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解08 因式分解--运用公式法

整式是一个或多个代数式的和、差或积。

整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。

本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。

一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。

例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。

例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。

例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。

2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。

例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。

例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。

3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。

例如：12x^2+8xy，公因式是4x。

3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。

例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。

3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。

例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。

解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。

例2：将多项式a^2-9因式分解。

解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。

例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。

八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。

三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。

方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。

五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。

在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。

熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。

掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。

八年级数学上册整式的乘法与因式分解整式的乘法和因式分解就像是数学世界里的一对魔法兄弟，一个负责把东西变多，一个负责把东西化简，玩得那叫一个不亦乐乎。

整式的乘法呢，就像是一个超级复制机。

你看啊，单项式乘以单项式的时候，就像是小细胞分裂。

比如说2x乘以3y，那就是把2和3相乘，x和y照抄，瞬间就得到6xy，就像一个细胞一下子变成了好几个，这速度比孙悟空拔毛变猴还快呢。

而单项式乘以多项式呢，就像是给一群小伙伴发礼物。

单项式是那个拿着礼物的人，多项式里的每一项都是一个等待礼物的小朋友。

例如a乘以(b + c)，就等于ab+ac，把a这个礼物公平地分给b和c这两个小朋友。

多项式乘以多项式就更有趣啦，那简直是一场盛大的联欢派对。

(a + b)乘以(c + d)，就像是a和b这两个小团体，分别去和c、d这两个小团体里的每个人握手拥抱，最后得到ac + ad+bc+bd，那场面，热闹非凡。

再说说因式分解，这家伙就像是一个神奇的收纳师。

它能把看起来乱糟糟的多项式变得整整齐齐。

提公因式法就像是从一堆东西里找出公共的部分先拎出来。

比如说2x+4y，2就是那个公共的小宝贝，提出来就变成2(x + 2y)，一下子就清爽多了，就像把散落在房间里的同类型玩具都放在一个盒子里。

公式法更是厉害，完全平方公式(a±b)²=a²±2ab + b²就像是给多项式穿上了一件定制的漂亮衣服。

如果是a²+2ab + b²，你一眼就能看出来它是(a + b)²，就像你看到一个打扮得超级精致的小伙伴，马上能认出他是谁一样。

还有平方差公式a² - b²=(a + b)(a - b)，这就像是把一个整体拆分成两个小部分，就像把一个大蛋糕切成两块一样简单又神奇。

这整式的乘法和因式分解啊，在数学的大舞台上可真是闪闪发光的明星。

有时候整式的乘法制造了一个超级复杂的式子，因式分解就像一个超级英雄一样，大喝一声“看我来收拾你”，然后就把式子变得简洁明了。

新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。

本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。

本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。

整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。

本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。

其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。

首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。

在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。

15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。

乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳14.1整式的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

字母表示：a m·a n=a m+n(m,n都是正整数)例1、22×23=22+3=25同底数幂相除，底数不变，指数相减。

字母表示：a m÷a n=a m−n(a≠0,m,n都是正整数，且m＞n)例2、28÷22=28−2=26规定：任何一个不等于0的数的零次幂都等于1 。

字母表示：a0=1(a≠0)例3、30=1，1000=1。

0的零次幂无意义。

一个数的负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数。

字母表示：a−m=1a m(a≠0,m是正整数)例4、3−2=132=19，4−3=143=164。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

字母表示：(a m)n=a mn(m,n都是正整数)例5、(x2)3=x2×3=x6积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

字母表示：(ab)n=a n b n(n是正整数)例6、(xy)3=x3y3公式推广：(a m b n)p=a mp b np例7、(x3y5)4=x3×4y5×4=x12y20整式的乘法法则：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

例8、5a2b3×2a4b2=10a6b5②如果在单项式与单项式相乘过程中，对于只在一个单项式里含有的字母，就要连同它的指数作为积的一个因式。

例9、5a2b3×2c4=10a2b3c4③单项式与多项式相乘，就要用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例10、5a2b3×(3a5+4b2c3)=5a2b3×3a5+5a2b3×4b2c3=15a7b3+20a2b5c3④多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例11、(4x+2)(5x−3)=20x2−12x+10x−6=20x2−2x−6整式的除法法则：①两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式。

分解因式的常用方法一、本节学习指导本节较为复杂，因式分解大多讲究技巧，于是我们要多做练习，慢慢总结。

本节有配套二、知识要点1、因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.2、提公共因式法提公因式法.如:ab＋ac＝a（b＋c）（2）、概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb-mc=m(a＋b-c) （3）、易错点:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.3、运用公式法运用公式法.（2）、主要公式:(1)平方差公式:))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）、易错点:))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4、怎样选择公式(1)、平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)、完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5、 分组分解法:（1）、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++（2）、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.（3）、 注意: 分组时要注意符号的变化.5、十字相乘法有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。