第3讲 分式(测)(原卷版)

10.2 分式的基本性质 同步培优讲练综合分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．C B CA B A⨯⨯=，C B CA B A÷÷=，其中C 是不等于0的整式．一、判断分式变形是否正确【例1】下列变形正确的是（ ）A ．22x x y y +=+B ．22x x y y -=-C ．22x x y y =D ．22x x y y =【例2】下列从左到右的变形中，一定正确的是（ ）A ．11b b a a +=+B ．b bc a ac =C ．21ab ba a ++=D ．bc bac a=【例3】下列各式中，正确的是（ ）A ．1a b b ab b ++=B ．22x y xy-++=-C ．23193x x x -=--D ．()222x y x y x y x y --=++【例4】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A ．a b b aa b b a --=++B ．22()1()b a a b -=--C ．1a ba b --=-+D ．0.550.22a b a ba a++=二、利用分式的基本性质判断分式值的变化【例1】如果把分式y x yx +23中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．缩小4倍D ．扩大4倍【例2】分式22x y xy+中，x 、y 都扩大10倍，则分式的值（ ）A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．保持不变D ．缩小5倍【例3】若把分式332x x y-中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．不变B ．扩大3倍C ．扩大9倍D ．扩大27倍三、将分式分子分母最高次项化为正数【例1】不改变分式的值，将分式0.210.30.5x x ---+中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（ ）A ．2135x x +-B ．21035x x -+C ．21035x x ++D ．21035x x +-【例2】不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+【例3】不改变分式的值，使21233x x x --+-的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（ ）A ．22133x x x -+-B ．22133x x x +++C ．22133x x x +-+D ．22133x x x --+【例4】不改变分式的值，使下列分式中分子和分母的最高次项的系数为正数．（1）32211a a a a -+--（2）211x x -+（3）1123+---a a a 四、求分式的值成立的条件【例1】若分式261228x x x -++-的值为负整数，则所有满足条件的整数x 的值的和为________；【例2】已知整数x 使分式225203+--x x x 的值为整数，则满足条件的整数x ＝______．【例3】分式3232x x x x--+的值为负数的条件是（ ）A ．3x < B ．0x >且1x ¹ C ．1x <且0x ¹ D ．03x <<，且1x ¹【例4】若32a a --值为正数，则a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．2a ¹C ．2a <D ．3a >或2a <【例5】若分式2221x x x +-+的值为正数，则x 的取值范围是（ ）A ．x>-2B ．x<1C ．x>-2且x≠1D ．x>1【例6】若x 是整数，且621x +的值也是整数，则所有符合条件的x 的值有（ ）个A ．8B ．6C ．4D ．2五、最简分式与约分【例1】下列各式中，是最简分式的是（ ）A ．239x x -+B ．366x x -C ．2122x x --D ．244121x x x +++【例2】下列分式中，是最简分式的是（ ）A ．22824x x --B ．22+82+4x x C ．22x y x y--D ．22++x y x y 【例3】下列分式是最简分式的是（ ）A ．32m m +B ．2105mn mn -C ．21m m m --D ．224m m +-【例4】约分：()()32x y y x -=-______．【例5】约分：(1)2236a b ab c(2)32()x y y x--(3)222xy y y +(4)22211a a a ++-【例6】因式分解或约分：(1)225a -(2)244xy xy x-+(3)2248x y xy -(4)()()2326x y y x --六、最简公分母与通分【例1】通分：(1)234a b ，216b c(2)21x x -，2121x x --+．【例2】填空(1)()2____a b ab a b +=；(2)22(____)x xyx y x ++=；(3)23936(____)mn m n =；(4)22222(____)x xy y x yx y +++=-．【例3】分式212x 、3xy 、2x 的最简公分母是______．【例4】分式 213x x -与219x -的最简公分母是______________．【例5】分式122m +与11m +的最简公分母是（ ）A ．22m +B ．2m +C ．1m +D ．21m -【例6】若2574515x A Bx x x x -=+--+-，则A 、B 的值为（ ）．A ．A=3，B=﹣2B ．A=2，B=3C ．A=3，B=2D ．A=﹣2，B=3【例7】把12x -，1(2)(3)x x -+，22(3)x +通分的过程中，不正确的是（）A ．最简公分母是2(2)(3)x x -+B ．221(3)2(2)(3)x x x x +=--+C ．213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+D ．22222(3)(2)(3)x x x x -=+-+1．下列各式中，运算正确的有（ ）①224293a a b b=；②a b a b c c -+-=-；③0.330.22a b a b b b --=；④222y xy y x y x y -=-+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）A ．()222x y x y -+B ．22x yx y +-C ．222x yx y --D ．222x x -+3、把分式b a b a ++2中的a 、b 都扩大3倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大3倍C ．缩小为原来的31D ．扩大6倍4、分式x --11可变形为（ ）A ．11--x B ．11+x C ．x +-11D ．11-x 5、下列分式a c b 5152-，()xy y x --25，()b a b a ++322，b a b a --2422，a b b a --22，其中最简分式的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．46、下列分式是最简分式的是（ ）A ．b a a232B ．a a a32-C ．22b a ba ++D ．222b a aba --7、下列各式的变形中，不正确的是（ ）A ．cb ac b a +=---B ．c b a c a b --=-C ．c b a c b a --=--D ．()cb ac b a -+=+-8、分式：①422-+a a ，②xy x xy -25，③()b a a -2114，④9632+-+x x x 中，最简分式有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．若分式221x x +的值为正，则x 的取值范围是______．10．若281a a ++的值为整数，则正整数a 的值为______．11．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则2x y x y -+=--___________．12．约分：3242x y xy -=______；2624ab a a =-______；分式52y x ，243x y ，14xy 的最简公分母是______．13、分式22b a a-，222b ab a b++，222b ab a c+-的最简公分母是______．14．约分：(1)262ab b-；(2)22348a b a b--；(3)22222a ab a b ab ++；(4)22222a a b ab b -++．15、填空：（1）()()b a b a b a +=--222；（2）()x x xy x =+22；（3）()a b ab aba 2332222=++；（4）()xx x x -=--22212．。

03 真题分析3真题分析一、选择题（每题3分，共36分）1．某人用50N的力，将重30N的铅球抛到7m远处，这个人对铅球做的功为（）A．350J B．210J C．0 D．无法计算2．夏天，自来水管上常有水珠，这是因为（）A．夏天自来水管的温度比较高，蒸发较快，从而在管壁上凝结成水珠B．夏天空气中的蒸汽较多，遇到较冷的自来水管就在管壁上凝结成水珠C．夏天气压较低，管内外压强差较大，少量水分透过管壁微孔渗出D．夏天用水量大，水厂给自来水加压，管内外压强差增大，少量水分通过管壁微孔渗出3．关于凸透镜的应用，下列说法中正确的是（）A．使用凸透镜观察事物，观察到的一定是放大的像B．使用幻灯机时，应将幻灯片导置于幻灯机镜头的焦点以内C．照相时，应使被照的物体置于照相机镜头焦点与两倍焦距之间D．使用修表用的放大镜时，必须把物体放在焦点以内4．如图中四个灯泡的连接方式是（）A．L1、L2、L3并联，再与L4串联B．四灯并联C．L2、L3、L4并联，再与L1串联D．四灯串联5．在水平桌面上立一块平面镜，让一个小球沿桌面朝着镜面方向滚动。

若从镜中看到小球的像是竖直向上运动的，那么平面镜与桌面的夹角（指有小球一侧的角）应为（）A．45°B．60 °C．90 °D．135°6．生活中常把碗放在大锅内的水中蒸食物，碗与锅底不接触，如图所示。

当锅里的水沸腾以后，碗中的汤将（）A．不会沸腾，汤的温度能够达到水的沸点B．稍后沸腾C．不会沸腾，汤的温度总是低于水的沸点D．同时沸腾7．如图所示，T字形架子ABO可绕过O点且垂直于纸面的转动轴自由转动。

现在其A端与B端分别施以图示方向的力F1和F2，则关于F1和F2的力矩M1和M2，下列说法中正确的是（）A．都是顺时针的B．都是逆时针的C．M1是顺时针的，M2是逆时针的D．M1是逆时针的，M2是顺时针的8．如图所示，静止在传送带上有一木块正在匀速下滑，当传送带突然向上开动时，木块滑到底部所需时间t与传送带邵忠静止不动所需时间t0相比是（）A．t＝t0B．t＜t0C．t＞t0D．A、B两种情况均可能9．如图所示，在一块长方形木块上用细线缚着一块石头，使它漂浮在玻璃缸内的水面上。

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）专题03 分式与二次根式一、选择题1.（2024甘肃威武）计算：4222a b a b a b -=--（ ） A. 2B. 2a b -C. 22a b -D. 2a b a b -- 2. （2024天津市）计算3311x x x ---的结果等于（ ） A. 3 B. x C. 1x x - D. 231x - 3. （2024河北省）已知A 为整式，若计算22A y xy y x xy -++的结果为x y xy -，则A =（ ） A. x B. y C. x y + D. x y -4. （2024黑龙江绥化）m 的取值范围是（ ） A. 23m ≤ B. 32m ≥- C. 32m ≥ D. 23m ≤-5. （2024四川乐山）已知12x <<2x -的结果为（ ） A. 1- B. 1 C. 23x - D. 32x -6. （2024湖南省） ）A. B. C. 14 D.7. （2024江苏盐城），设其面积为2cm S ，则S 在哪两个连续整数之间（ ）A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和58. （2024重庆市B ）的值应在（ ） A. 8和9之间 B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间9. （2024重庆市A ）已知m =m 的范围是（ ） A. 23m <<B. 34m <<C. 45m <<D. 56m << 二、填空题1. （2024吉林省）当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．2. （2024北京市）x 的取值范围是_________．3. （2024黑龙江齐齐哈尔）在函数12y x =++中，自变量x 的取值范围是______． 4. （2024湖北省）计算：111m m m +=++______．5. （2024四川德阳）__________．6. （2024贵州省）________．7. （2024山东威海）=________．8. （2024天津市）计算)11的结果为___．9. （2024上海市）1=，则x =___________．10. （2024山东威海）计算：2422x x x+=--________． 11. （2024黑龙江绥化）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭_________． 三、解答题1. （2024江苏连云港）下面是某同学计算21211m m ---的解题过程： 解：2121211(1)(1)(1)(1)m m m m m m m +-=---+-+-① (1)2m =+-②1m =-③上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．2. （2024甘肃威武）．3. （2024北京市）已知10a b --=，求代数式()223232a b ba ab b -+-+值. 4. （2024甘肃临夏）化简：21111a a a a a +⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭． 5. （2024江苏苏州） 先化简，再求值：2212124x x x x x +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．其中3x =-． 6. （2024四川达州）先化简：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．7. （2024湖南省）先化简，再求值：22432x x x x x -⋅++，其中3x =． 8. （2024深圳）先化简，再求值： 2221111a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中 21a =+ 9. （2024山东烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m 是其显示结果的平方根，先化简：27442393m m m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，再求值．。

第3讲函数与导数小题一、多选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()sin 2xxf x e ex -=--，若()()12f x f x >，则（）A ．2212x x >B ．121x x e ->C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >2．（2021·山东高三专题练习）函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e < D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y <3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数3()3x f x x =+，若01m n <<<，则下列不等式一定成立的有（）A ．(1)(1)f m f n -<-B ．()f f m n <+C ．()()log log m n f n f m <D ．()()nmf mf n <4．（2021·广东湛江市·高三一模）已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（） A ．f (x )的极大值为0 B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C ．f (x )的最小值为0D ．f (x )在定义域内单调5．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（） A ．3-B ．1-C ．0D ．26．（2021·全国高三专题练习）已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为58．（2021·江苏高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '>>，则下列成立的有（）A ．11mf m m -⎛⎫>⎪⎝⎭B ．11f m ⎛⎫<-⎪⎝⎭ C ．1111f m m ⎛⎫>⎪--⎝⎭ D ．101f m ⎛⎫<⎪-⎝⎭9．（2021·全国高三专题练习）设函数cos2cos2()22xx f x -=-，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称二、单选题10．（2021·广东广州市·高三一模）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设21323,2,eln 2e ea b c -=-=-=-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()1ln 12xf x e x =+-，若41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭，()5log 6b f =，()6log 4c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>12．（2021·全国高三专题练习）已知函数2()22x xf x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．()-B．(-C．(-D ．(2,2)-13．（2021·江苏常州市·高三一模）若()316,00,0x x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．(,1][0,1][3,)-∞-⋃⋃+∞ C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．(,3][1,0][1,)-∞-⋃-⋃+∞14．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若a ∈R ，“3a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在()0,1上单调递减的是（） A ．()()()ln ln xx xxf x e eee --=+--B ．()1sin sin f x x x=+ C ．()()()ln 1ln 1f x x x =+--D ．()1 xxf x e e =-16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数()y f x =，若存在0x ，使00()()f x f x =--，则点00(,())x f x 与点00(,())x f x --均称为函数()f x 的“先享点”已知函数316,0(),6,0ax x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩且函数()f x 存在5个“先享点”，则实数a 的取值范围为（） A ．(6,)+∞B ．(,6)-∞C ．(0,6)D ．(3,)+∞17．（2020·山东高三专题练习）已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2三、填空题18．（2021·广东韶关市·高三一模）若曲线()21:0C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．19．（2021·全国高二课时练习（理））设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．20．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221ax x f x =-+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为4，则a =______． 21．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()2ln f x ax x =+满足0(1)(12)lim23x f f x x∆→--∆=∆，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为___________．22．（2021·湖南衡阳市·高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +-=，()f x 的导函数()f x '，则()()20192021f f '--'=___________.第3讲函数与导数小题一、多选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()sin 2xxf x e ex -=--，若()()12f x f x >，则（）A ．2212x x >B ．121x x e ->C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >【答案】BD 【分析】先分析得到()f x 在R 上单调递增，得到12x x >，由于二次函数2yx 不是单调函数，2212x x >不一定成立，所以选项A 错误；121x x e->，所以选项B 正确；由于函数ln()0ln ln 0x x y x x x -<⎧==⎨>⎩，不是单调函数，所以12ln ln x x >不一定成立.所以选项C 错误；因为函数2200x x y x x x x ⎧-<==⎨≥⎩，函数在R 上单调递增，所以选项D 正确. 【详解】因为()2cos222cos20xxf x e ex x -'=+-≥-≥，所以()f x 在R 上单调递增，由()()12f x f x >可得12x x >，所以121x x e ->，所以选项B 正确；又因为函数220x x y x x x x ⎧-<==⎨≥⎩，函数在R 上单调递增，所以1122x x x x >，所以选项D 正确；由于二次函数2yx 不是单调函数，所以当12x x >时，2212x x >不一定成立，所以选项A 错误；由于函数ln()0ln ln 0x x y x x x -<⎧==⎨>⎩，不是单调函数，所以当12x x >时，12ln ln x x >不一定成立.所以选项C 错误. 故选：BD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是想到利用导数分析得到函数的单调性，研究函数的问题，一般先要通过探究函数的奇偶性、单调性和周期性等，再求解函数问题.2．（2021·山东高三专题练习）函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e < D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y <【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项． 由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】 由ln (),0x f x x x =>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<<，且()f x 在(0,)e 单调递增ln f fe ππ∴<<<∴>，故：B 正确 C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<<要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e ef x x x<>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ====252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确．故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数3()3x f x x =+，若01m n <<<，则下列不等式一定成立的有（）A ．(1)(1)f m f n -<-B ．()f f m n <+C ．()()log log m n f n f m <D ．()()nmf mf n <【答案】BD 【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项． 【详解】易知3()3xf x x =+是R 上的增函数，01m n <<<时，m n +>1n m m n <<成立，BD 一定成立； 1m -与1n -的大小关系不确定，A 不一定成立；同样log m n 与log m n 的大小关系也不确定，如1m n=时，log log 1m n n m ==-，C 也不一定成立． 故选：BD ．4．（2021·广东湛江市·高三一模）已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（） A ．f (x )的极大值为0 B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C ．f (x )的最小值为0 D ．f (x )在定义域内单调【答案】BC 【分析】直接对f (x )=x 3-3ln x -1，求出导函数，利用列表法可以验证A 、C 、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可. 【详解】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞，，()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--，得1x =， 列表得：所以f (x )的极小值，也是最小值为f (1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C 正确，A 、D 错误； 对于B:由f (1)=0及()10f '=，所以y =f (x )在（1，f (1))处的切线方程()001y x -=-，即0y =.故B 正确. 故选：BC 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.5．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC 【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，代入()212)x x f x -（，令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-， 从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭． 令121(),(1,0]2x g x xex x x +=-+∈-， 则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤-⎥⎝⎦，故选：BC ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.6．（2021·全国高三专题练习）已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC 【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可； 对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可； 对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值. 【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称， 且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误； 由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x xπππ+=++=+=+，故C 项正确；设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe'=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos xx f x x ee -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确.因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误.对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x x π=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin xx f x ee -=+，()()sin sin cos 0x xf x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.8．（2021·江苏高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '>>，则下列成立的有（）A ．11mf m m -⎛⎫>⎪⎝⎭B ．11f m ⎛⎫<-⎪⎝⎭ C ．1111f m m ⎛⎫>⎪--⎝⎭D ．101f m ⎛⎫<⎪-⎝⎭【答案】AC 【分析】构造函数()()g x f x mx =-，由已知可得()g x 在R 上单调递增，利用单调性对各个选项进行分析判断即可. 【详解】根据题意设()()g x f x mx =-，其导数为()()g x f x m ''=-， 由()1f x m '>>知()g x 在R 上单调递增，对于A, 1,1,10m m <<>由函数单调性得1(0)g g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭即11(0)f m f m m ⎛⎫-⨯> ⎪⎝⎭，即111f m ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，即10f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，又由1m ，则10m m -<,必有11mf m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误；对于C, 1m ，则101m >-，则有1(0)1g g m ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即1(0)111m f f m m ⎛⎫->=- ⎪--⎝⎭，即1110111m f m m m ⎛⎫>-=> ⎪---⎝⎭，故C 正确，D 错误； 故选：AC 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，常用解题方法构造新函数，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.9．（2021·全国高三专题练习）设函数cos2cos2()22xx f x -=-，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222tttt y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222tttt y -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.二、单选题10．（2021·广东广州市·高三一模）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设21323,2,eln 2e ea b c -=-=-=-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【分析】 首先设()xf x x e=-，利用导数判断函数的单调性，比较,a b 的大小，设利用导数判断1x e x ≥+，放缩2ln 2c >-，再设函数()ln xg x x e=-，利用导数判断单调性，得()20g >，再比较,b c 的大小，即可得到结果. 【详解】设()x f x x e=-，()112f x e x '=-， 当204e x ≤<时，()0f x '>，函数单调递增，当24ex >时，()0f x '<，函数单调递减，()()3,2a f b f ==，2234e <<时，()()32f f <，即a b <，设1xy e x =--，1xy e '=-，(),0-∞时，0y '<，函数单调递减，()0,∞+时，0y '>，函数单调递增，所以当0x =时，函数取得最小值，()00f =，即1x e x ≥+恒成立， 即212e->，令()ln x g x x e =-，()11g x e x'=-，()0,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，x e =时，函数取得最小值()0g e =，即()20g >，得：2ln 2e >222ln 2e<， 即212ln 22ln 22ee->>，即b c <， 综上可知a b c <<.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据1x e x ≥+，放缩ln 2c >，从而构造函数()ln xg x x e=-，比较大小. 11．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()1ln 12xf x e x =+-，若41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭，()5log 6b f =，()6log 4c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数()f x 为偶函数，再对函数求导判断出函数()f x 在0,上单调递增，然后作差比较45log 5,log 6的大小，可得456log 5log 61log 40>>>>，从而可比较出a ，b ，c 的大小 【详解】由题可知：()f x 的定义域为R ，且()()1ln 12xf x e x --=++()111ln ln 122x x x e x e x e +=+=+-，则()f x 为偶函数，()112x x e e f x =-+'()()2112121x x xx xe e e e e ---==++，当0x >时，0f x，()f x 在0,上单调递增.又由45551log 5log 6log 6log 4-=-5551log 4log 6log 4-⋅=2555log 4log 612log 4+⎫⎛- ⎪⎝⎭≥255log 25120log 4⎫⎛- ⎪⎝⎭>= 所以456log 5log 61log 40>>>>，41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭()()44log 5log 5f f =-=，故a b c >>. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数的单调性比较大小，考查导数的应用，考查对数运算性质的应用，考查了基本不等式的应用，解题的关键是判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小，属于中档题12．（2021·全国高三专题练习）已知函数2()22x x f x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x -<+对任意x ∈R恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()- B ．(-C ．(-D ．(2,2)-【答案】D 【分析】先利用定义确定函数()f x 为偶函数，再利用单调性证明()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以不等式()2(1)2f ax f x -<+化简为212ax x -<+，转化为22212x ax x --<-<+在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】函数2()22x xf x x -=++的定义域为R ，且2()22()xx f x x f x -=-=++，所以()f x 为偶函数.又当0x ≥时, 2()g x x =是增函数，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x >，()112212()()2222x x x xh x h x ---=++-()()121212121212121112122221222222x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫-⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-=--⎭- 120x x >>，12120,22210x x x x +∴-->>，12()()0h x h x ∴->所以()22-=+x xh x 在[)0,+∞上是增函数，即()y f x =在[)0,+∞上是增函数.所以不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，转化为212ax x-<+，即22212x ax x --<-<+，从而转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立①若210x ax ++>在R 上恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；②若230x ax -+>在R 上恒成立，，则2120a ∆=-<，解得a -<< 综上所述，实数a 的取值范围是(2,2)-. 故选：D.方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.13．（2021·江苏常州市·高三一模）若()316,00,0x x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．(,1][0,1][3,)-∞-⋃⋃+∞ C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．(,3][1,0][1,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】B 【分析】按1x =或0，0x <，1x >和01x <<四种情况，分别化简解出不等式，可得x 的取值范围． 【详解】①当1x =或0时，(1)0xf x -=成立；②当0x <时，()3(1601)11x x xf x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-≥，可有()31611x x -≤-，解得1x ≤-； ③当0x >且1x ≠时，()3(1601)11x x xf x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-≥ 若1x >，则()4116x -≥，解得3x ≥ 若01x <<，则()4116x -≤，解得01x << 所以(,1][0,1][3,)x ∈-∞-⋃⋃+∞则原不等式的解为(,1][0,1][3,)x ∈-∞-⋃⋃+∞， 故选：B14．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若a ∈R ，“3a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，函数()()xf x x a e =-，则()()1xf x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-，当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>， 所以函数()y f x =在1x a =-处取得极小值，若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，解得1a >．因此“3a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件．故选：A ．15．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在()0,1上单调递减的是（） A ．()()()ln ln xx xxf x e eee --=+--B ．()1sin sin f x x x=+ C ．()()()ln 1ln 1f x x x =+-- D ．()1 xxf x e e =-【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性，利用导数法判断各选项中函数在区间()0,1上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由0x x x xe e e e --⎧+>⎨->⎩，解得0x >， 所以，函数()()()ln ln xx xxf x e eee --=+--的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，A 选项不满足条件；对于B 选项，由sin 0x ≠，可得()x k k Z π≠∈，即函数()1sin sin f x x x=+的定义域为{},x x k k Z π≠∈. ()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=-+=--=--，该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()322cos cos cos 0sin sin x xf x x x x-'=-=<， 所以，函数()1sin sin f x x x=+在()0,1上单调递减，B 选项满足条件； 对于C 选项，由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--的定义域为()1,1-，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()21120111f x x x x '=+=>+--，该函数在()0,1上为增函数，C 选项不满足条件； 对于D 选项，函数()1xx f x e e=-的定义域为R ，()()11x x x x f x e e f x e e---=-=-=-，该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()10xx f x e e'=+>，该函数在()0,1上为增函数，D 选项不满足条件.故选：B. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数()y f x =，若存在0x ，使00()()f x f x =--，则点00(,())x f x 与点00(,())x f x --均称为函数()f x 的“先享点”已知函数316,0(),6,0ax x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩且函数()f x 存在5个“先享点”，则实数a 的取值范围为（） A ．(6,)+∞ B ．(,6)-∞C ．(0,6)D ．(3,)+∞【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据()f x 存在5个“先享点”，等价于函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的图象恰好与函数1()16(0)f x ax x =->有两个交点，构造函数利用导数求得结果.【详解】依题意，()f x 存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的图象恰好与函数1()16(0)f x ax x =->有两个交点，而函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的函数为32()6(0)f x x x x =-≥，即3166ax x x -=-有两个正根，32166166x x a x x x-+==+-， 令()2166(0)h x x x x=+->， 322162(8)'()2x h x x x x -=-=， 所以当02x <<时，'()0h x <，当2x >时，'()0h x >，所以()h x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且(2)4866h =+-=，并且当0x →和x →+∞时，()f x →+∞，所以实数a 的取值范围为(6,)+∞，故选：A.【点睛】该题考查的是有关新定义问题，结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的性质，属于较难题目.17．（2020·山东高三专题练习）已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C【分析】令()0f x =可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．【详解】解：39,0(),0x x x f x xe x ⎧-=⎨<⎩，当0x 时，()0f x =，即390x -=，解得2x =；当0x <时，()0x f x xe =<恒成立，()f x ∴的零点为2α=．又当0x 时，()39x f x =-为增函数，故在[0，)+∞上无极值点；当0x <时，()x f x xe =，()(1)x f x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，1x ∴=-时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1β=-，211αβ∴+=-=．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．三、填空题18．（2021·广东韶关市·高三一模）若曲线()21:0C y axa =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________． 【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由y =ax 2(a >0),得y ′=2ax ，由y =e x ,得y ′=e x ，曲线C 1:y =ax 2(a >0)与曲线C 2:y =e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1,ax 12),与曲线C 2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-， 可得2x 2=x 1+2，∴11212x e a x +=，记()122x e f x x +=，则()()1222'4x e x f x x +-=，当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增．∴当x =2时,()2min 4e f x =. ∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 19．（2021·全国高二课时练习（理））设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【详解】设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．20．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221ax x f x =-+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为4，则a =______．【答案】3-【分析】利用奇函数性质，求在0x >时()f x 的解析式，根据导数的几何意义有()14f '=，即可求参数a 的值.【详解】当0x >时，则0x -<，∴()()()222121a x x ax x f x =⋅--⋅-+=++-，此时()()221f x f x ax x =--=---． 所以，当0x >时，()22f x ax '=--，则()1224a f '=--=，解得3a =-．故答案为：3-．21．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()2ln f x ax x =+满足0(1)(12)lim 23x f f x x∆→--∆=∆，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为___________． 【答案】3【分析】根据极限形式和求导公式得(1)213f a '=+=，进而得1a =，计算12f ⎛⎫'⎪⎝⎭得解. 【详解】 由0(1)(12)lim23x f f x x ∆→--∆=∆，可得0(12)(1)lim 32x f x f x∆→-∆-=-∆． 因为1()2f x ax x '=+，所以(1)213f a '=+=，即1a =，则2()ln f x x x =+， 所以1()2f x x x '=+，132f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭． 故答案为：3.22．（2021·湖南衡阳市·高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +-=，()f x 的导函数()f x '，则()()20192021f f '--'=___________.【答案】0【分析】对()()21f x f x +-=两边同时求导得()()20x x f f '-'-=,进而得答案.【详解】因为()()21f x f x +-=，两边同时求导可得：()()20x x f f '-'-=，故()()201902021f f '-='.故答案为：0【点睛】本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.。

专题09 分式方程实际应用的三种考法类型一、销售利润问题例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的54倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的32；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．(1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱不多于40台，请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a 元(6080)a <<出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？类型二、方案问题例．某商店决定购进A 、B 两种纪念品．已知每件A 种纪念品的价格比每件B 种纪念品的价格多5元，用800元购进A 种纪念品的数量与用400元购进B 种纪念品的数量相同．（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A 种纪念品可获利m 元，出售一件B 种纪念品可获利（6﹣m ）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价1000元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年这种产品每件售价多少元？（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为3500元；产品乙每件进价为3000元，售价3600元，公司预计用不多于5万元且不少于4.9万元的资金购进这两种产品共15件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．类型三、工程问题例．为稳步推进5G网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G基站建设工程．（1）已知乙队的工作效率是甲队的1.5倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用20天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工20天完成5G基站建设工程的13时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前25天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成．（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？（2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的56时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的13施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了15．设乙工程队平均每天施工a米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a和施工的天数．【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a b）．现在有两种施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时．（2）列出方程，完成本题解答．祝福语祝你考试成功!。

专题03 分式与二次根式综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题(每小题2分，共24分)A ．32x -=-B ．()3212x x --=-C ．()3212x x --=D ．632x x --=-8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．小明的观点正确B ．小亮的观点正确C ．两人的观点都不正确D ．无法确定9．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计10．马站四季柚名扬天下，2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍，其中红心柚销售收入18000元，白心柚销售收入7800元，白心柚比红心柚价格每斤少3元.设白心柚价格x元/斤，则下列方程正11．某中学为使初三学生在中考体育测试中取得优异的成绩，在4月初安排全校体育教师对初三全体学生进行了一次模拟检测，在这一次检测中，甲组教师完成300个学生检测，乙组教师完成270个学生检测；已知甲组教师比乙组教师平均每分钟多检测4个学生，所用时间比乙组教师少用30分钟，求本次检测中甲、12．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽” ．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x二、填空题（每小题3分，共36）三、解答题（每题9分，共27分）26．学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达．如果大巴的平均速度是自行车平均速度的3倍，那么自行车的平均速度是多少？27．在国庆节期间，学校举行了诗歌朗诵等系列活动，嘉嘉和淇淇负责为班级参赛学生购置纪念品．他们发现，一个笔记本比一支钢笔贵3元，用225元购买的笔记本数量与用180元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给参赛的30名学生每人发放一个笔记本或一支钢笔作为活动纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过380元，最多可以购买多少个笔记本？++2018。

第3讲统一多民族封建国家的建立与巩固——秦汉(练) 01稳拿基础分1.(2023·辽宁沈阳·统考三模)英国著名历史学家汤因比认为：“始皇帝并吞六国之后，进而废置各国的王室和封建贵族，并由秦国的官僚处理政事，这项激烈的措施使得这些牺牲者感到难以忍受之苦，这些强硬作风使他们因敏锐地感受到失去独立而更加难以忍受。

”由此可知，秦二世而亡( )A. 在于凝聚力的缺失B. 统治者的残暴是主因C. 源于统治疆域扩大D. 由治理举措过激而致2.(202 3·浙江·校联考二模)秦朝，是中国历史上第一个统一的中央集权国家。

在统治期间，秦始皇采取了许多先进的决策，开创了许多具体的制度，这些决策和制度对中国的历史和文化产生了深远影响。

下列项中，由秦朝开创的具体制度是( )A. 郡县制度B. 官僚制度C. 皇帝制度D. 刺史制度3.(202 3春·重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段练习)西汉时期设立的郡大小差异较大。

例如今之河南省，包括了汉代河南、汝阳、南阳等6郡今之山西省，包括了汉代河东、太原、上党等5郡；会稽郡辖区相当于今之浙江、福建省；豫章郡辖区相当于今之江西省。

这种状况反映了汉代( )A. 王国严重威胁中央集权B. 地方行政体制混乱无序C. 区域开发和发展不平衡D. 对边疆地区的管理薄弱4.( 2023·江苏南通·海安高级中学校考模拟预测)下图为山东临沂五里堡出土的汉代画像石《庖厨图》(局部)。

图中有双人烧烤的画面，其中一人在烧烤肉串，另一人持扇扇风。

这幅图一定程度上折射出当时()A. 百姓过着较为富裕的生活B. 农业经营的主体多样C. 农产品商品化的程度提高D. 上层社会的生活图景5.(2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)周代施行于贵族王室社会上层的礼仪到汉代时一变而成为社会各阶层共同遵循的行为规范。

汉儒把这些规范归纳为六礼、七教、八政，几乎所有社会成员的行为都能从这庞大复杂的网络体系中找到依据和评价标准。

第3章分式测试卷一、选择题（共10小题,每小题3分,满分30分）1．（3分）若将分式中的x,y的值变为原来的100倍,则此分式的值（）A．不变B．是原来的100倍C．是原来的200倍D．是原来的2．（3分）当a＝﹣1时,分式（）A．等于0 B．等于1 C．等于﹣1 D．无意义3．（3分）化简的结果是（）A．B．C．D．4．（3分）下列等式中,正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）计算：的结果为（）A．1 B．C．D．6．（3分）解分式方程：时,去分母后得（）A．3﹣x＝4（x﹣2）B．3+x＝4（x﹣2）C．3（2﹣x）+x（x﹣2）＝4 D．3﹣x＝47．（3分）方程＝的解为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．38．（3分）关于x的方程的解为x＝1,则a＝（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣39．（3分）已知,则的值等于（）A．6 B．﹣6 C．D．10．（3分）某化肥厂原计划每天生产化肥x吨,由于采用了新技术,每天比计划多生产3吨,实际生产180吨化肥所用时间与原计划生产120吨化肥所用时间相同,那么适合题意的方程是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（共6小题,每小题4分,满分16分）11．（4分）化简：（1）＝；（2）＝．12．（2分）分式、、﹣的最简公分母是．13．（4分）观察下列一组有规律的数：,,,,,…,根据其规律可知：（1）第10个数是；（2）第n个数是．14．（2分）已知,则＝．15．（2分）某工厂库存原材料x吨,原计划每天用a吨,若现在每天少用b吨,则可以多用天．16．（2分）如果3x＝4y,那么x：y＝．三、解答题（共7小题,满分54分）17．（6分）计算：．18．（8分）计算：（）•．19．（6分）先化简,再求值：（）+,其中x＝6．20．（6分）解方程：．21．（8分）某厂女工人数与全厂人数的比是3：4,若男、女工人各增加60人,这时女工与全厂人数的比是2：3,原来全厂共有多少人？22．（10分）一项工程,甲,乙两公司合作,12天可以完成,共需付施工费102000元；如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少？23．（10分）有这样一道题：“计算÷﹣x的值,其中x＝2008”甲同学把“x＝2008”错抄成“x＝2080”,但他的计算结果也正确,你说这是怎么回事？于是甲同学认为无论x取何值代数式的值都不变,你说对吗？答案一、选择题（共10小题,每小题3分,满分30分）1．（3分）若将分式中的x,y的值变为原来的100倍,则此分式的值（）A．不变B．是原来的100倍C．是原来的200倍D．是原来的【考点】65：分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数,分式的值不变,可得答案．【解答】解：将分式中的x,y的值变为原来的100倍,则此分式的值100倍,故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数,分式的值不变．2．（3分）当a＝﹣1时,分式（）A．等于0 B．等于1 C．等于﹣1 D．无意义【考点】64：分式的值．【专题】11：计算题．【分析】根据分式的分母不为0求出x不能为1,且不能为﹣1,故a＝﹣1代入分式无意义．【解答】解：根据题意得：a2﹣1≠0,即a≠1且a≠﹣1,则a＝﹣1时,分式无意义．故选：D．【点评】此题考查了分式的值,注意考虑分母不为0．3．（3分）化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】66：约分．【分析】先把分式的分子与分母分别进行因式分解,然后约分即可．【解答】解：＝＝；故选：D．【点评】此题考查了约分,解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解,然后约去公因式,分式的约分是分式运算的基础,应重点掌握．4．（3分）下列等式中,正确的是（）A．B．C．D．【考点】6B：分式的加减法．【专题】11：计算题．【分析】解决本题首先对每个分式进行通分,然后进行加减运算,找出正确选项．【解答】解：A、,错误；B、,错误；C、,正确；D、,错误．故选：C．【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分,乘除的本质是约分．通分时,注意分母不变,分子相加减,还要注意符号的处理．5．（3分）计算：的结果为（）A．1 B．C．D．【考点】6C：分式的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】原式第二项利用除法法则变形,约分后两项利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝+•＝+＝＝1．故选：A．【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）解分式方程：时,去分母后得（）A．3﹣x＝4（x﹣2）B．3+x＝4（x﹣2）C．3（2﹣x）+x（x﹣2）＝4 D．3﹣x＝4【考点】B3：解分式方程．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母,去分母得能力．观察式子x﹣2和2﹣x互为相反数,可得2﹣x＝﹣（x﹣2）,所以可得最简公分母为x﹣2,因为去分母时式子不能漏乘,所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2,得：3﹣x＝4（x﹣2）．故选：A．【点评】对一个分式方程而言,确定最简公分母后要注意不要漏乘,这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：3﹣x＝4形式的出现．7．（3分）方程＝的解为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】B3：解分式方程．【专题】11：计算题．【分析】观察可得方程最简公分母为2x（x﹣2）,去分母,化为整式方程求解．【解答】解：去分母,得x＝3（x﹣2）,解得：x＝3,经检验：x＝3是原方程的解．故选：D．【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,易错点是忽视检验．8．（3分）关于x的方程的解为x＝1,则a＝（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【考点】B2：分式方程的解．【专题】11：计算题．【分析】根据方程的解的定义,把x＝1代入原方程,原方程左右两边相等,从而原方程转化为含有a的新方程,解此新方程可以求得a的值．【解答】解：把x＝1代入原方程得,去分母得,8a+12＝3a﹣3．解得a＝﹣3．故选：D．【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义,使方程成立的未知数的值叫做方程的解．9．（3分）已知,则的值等于（）A．6 B．﹣6 C．D．【考点】65：分式的基本性质；6B：分式的加减法．【专题】11：计算题．【分析】由已知可以得到a﹣b＝﹣4ab,把这个式子代入所要求的式子,化简就得到所求式子的值．【解答】解：已知可以得到a﹣b＝﹣4ab,则＝＝6．故选：A．【点评】观察式子,得到已知与未知的式子之间的关系是解决本题的关键．10．（3分）某化肥厂原计划每天生产化肥x吨,由于采用了新技术,每天比计划多生产3吨,实际生产180吨化肥所用时间与原计划生产120吨化肥所用时间相同,那么适合题意的方程是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】原计划每天生产化肥x吨,则实际每天生产化肥（x+3）吨,由题意可得等量关系：180吨÷实际每天生产化肥（x+3）吨＝120吨÷原计划每天生产化肥x吨,根据等量关系列出方程即可．【解答】解：原计划每天生产化肥x吨,则实际每天生产化肥（x+3）吨,由题意得：＝,故选：A．【点评】此题主要由实际问题抽象出分式方程,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程．二、填空题（共6小题,每小题4分,满分16分）11．（4分）化简：（1）＝；（2）＝．【考点】66：约分．【专题】11：计算题．【分析】（1）直接约分即可；（2）先把分子分母因式分解,然后约分即可．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝＝．故答案为；．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分．12．（2分）分式、、﹣的最简公分母是abc2．【考点】69：最简公分母．【分析】利用最简公分母的定义求解即可．【解答】解：分式、、﹣的最简公分母是abc2．故答案为：abc2．【点评】本题主要考查了最简公分母,解题的关键是熟记如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂,所有不同字母都写在积里．13．（4分）观察下列一组有规律的数：,,,,,…,根据其规律可知：（1）第10个数是；（2）第n个数是．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】由题意可知：分子都是1,分母可以拆成连续两个自然数的乘积,由此得出第n个数是,进一步解决问题即可．【解答】解：1）第10个数是＝；（2）第n个数是．故答案为：；．【点评】此题考查数字的变化规律,把分数的分母拆成连续两个自然数的乘积是解决问题的关键．14．（2分）已知,则＝．【考点】4C：完全平方公式；65：分式的基本性质．【专题】11：计算题．【分析】把已知两边平方后展开求出x2+的值,把代数式化成含有上式的形式,代入即可．【解答】解：x+＝4,平方得：x2+2x•+＝16,∴x2+＝14,∴原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对分式的基本性质,完全平方公式等知识点的理解和掌握,能把代数式化成含有x2+的形式是解此题的关键．15．（2分）某工厂库存原材料x吨,原计划每天用a吨,若现在每天少用b吨,则可以多用天．【考点】6G：列代数式（分式）．【分析】多用的天数＝现在用的天数﹣原来用的天数．【解答】解：先求出原计划可用多少天,即,现在每天用原材料（a﹣b）吨,则现在可用天,所以,现在可以多用．【点评】解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系．16．（2分）如果3x＝4y,那么x：y＝4：3 ．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据等式的性质,可得答案．【解答】解：由3x＝4y,得x：y＝4：3,故答案为：4：3．【点评】本题考查了比例的性质,等式的两边都除以3y是解题关键．三、解答题（共7小题,满分54分）17．（6分）计算：．【考点】6B：分式的加减法．【分析】先通分,然后计算分式的加法．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．【点评】本题考查了分式的加减运算,题目比较容易．分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可；如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减．18．（8分）计算：（）•．【考点】6C：分式的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】原式括号中先计算除法运算,再计算减法运算,约分即可得到结果．【解答】解：原式＝（﹣•）•＝•＝1．【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（6分）先化简,再求值：（）+,其中x＝6．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x＝6代入原式进行计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝x﹣4．当x＝6时,原式＝4﹣6＝﹣2．【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（6分）解方程：．【考点】B3：解分式方程．【专题】11：计算题．【分析】首先两边同乘2x﹣5去掉分母,然后解整式方程即可求解．【解答】解：两边同乘2x﹣5得x﹣5＝2x﹣5,∴x＝0,检验当x＝0时,2x﹣5≠0,∴原方程的根为x＝0．【点评】此题主要考查了分式方程的解法,解题的关键去掉分母使分式方程变为整式方程即可解决问题．21．（8分）某厂女工人数与全厂人数的比是3：4,若男、女工人各增加60人,这时女工与全厂人数的比是2：3,原来全厂共有多少人？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设原来全厂共有4x人．依据“女工与全厂人数的比是2：3,”列出方程,并解答．【解答】解：设原来全厂共有4x人．依题意得（3x+60）：（4x+60×2）＝2：3,9x+180＝8x+240,9x﹣8x＝240﹣180,4x＝240．答：原来全厂共有240人．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解．22．（10分）一项工程,甲,乙两公司合作,12天可以完成,共需付施工费102000元；如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少？【考点】8A：一元一次方程的应用；B7：分式方程的应用．【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙工程公司单独完成需1.5x天,根据合作12天完成列出方程求解即可．（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天．根据题意,得+＝,解得x＝20,经检验知x＝20是方程的解且符合题意．1.5x＝30故甲公司单独完成此项工程,需20天,乙公司单独完成此项工程,需30天；（2）设甲公司每天的施工费为y元,则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元,根据题意得12（y+y﹣1500）＝102000,解得y＝5000,甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）＝105000（元）；故甲公司的施工费较少．【点评】本题考查了分式方程的应用,解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．23．（10分）有这样一道题：“计算÷﹣x的值,其中x＝2008”甲同学把“x＝2008”错抄成“x＝2080”,但他的计算结果也正确,你说这是怎么回事？于是甲同学认为无论x取何值代数式的值都不变,你说对吗？【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,根据化简结果即可得出结论．【解答】解：对．∵原式＝•﹣x＝x﹣x＝0,∴把x＝2008错抄成x＝2080,他的计算结果也正确．【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．。

查补易混易错03 含参类分式方程的解几种情况分式方程因为含有分式，方程的解需要有意义，即分母≠0，所以分式方程需要验根。

也正因为这个特性，所以分式方程的解的问题经常出现参数字母，再根据解的情况求解参数字母的值或者范围。

而此类分式方程的解的情况主要包括：有增根、无解、解为正数/负数等，不同的问题采用的应对方法也不相同。

中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中出现几率较大，出现则难度中等偏上。

易错01：含参类分式方程有增根时求解步骤：①让最简公分母为0 确定增根；②去分母，将分式方程转化为整式方程；③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；④解含参数字母的方程的解。

易错02：含参类分式方程无解时求解步骤：①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解③同时满足①和②，无解特别注意：1.解分式方程的第一步是“去分母”，不是“通分”2.解分式方程必须验根，在应用题里也一样【中考真题练】1．（2022•牡丹江）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1B．1或3C．1或2D．2或3 2．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0 3．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2 4．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13B．15C．18D．20 5．（2022•黄石）已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是．6．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是．7．（2022•泸州）若方程+1＝的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是．【中考模拟练】1．（2023•金牛区模拟）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 2．（2023•齐齐哈尔一模）若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1且C．m＞1D．m≥1且m≠5 3．（2023•东胜区模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1 4．（2023•新泰市一模）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣7B．m＞﹣7且m≠﹣3C．m＜﹣7D．m＞﹣7且m≠﹣25．（2023•京口区校级一模）关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是．6．（2023•泸县校级二模）若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为．7．（2023•富裕县模拟）若关于x的分式方程无解，则m ＝．8．（2023•西城区校级模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是．。

华东师大版八年级下册第16章《分式》单元测试卷（原卷版）本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。

题号一二三全卷总分总分人1718 19 20 21 22 得分1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上；2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。

）1、在代数式m 1，3b ，π1-x ，y x +2，aa 1+中，分式的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、52、下列各分式中，是最简分式的是（ ）A 、x x 22B 、1122+++x x xC 、x x 1+ D 、112--x x 3、将分式yx x42-中的x ，y 的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值（ ）A 、扩大为原来的2022倍B 、缩小为原来的20221C 、保持不变D 、以上都不正确4、已知0132=+-x x ，则xx 1-的值是（ ） A 、5B 、7±C 、5±D 、35、若b a ≠，则下列分式化简正确的是（ ）A 、b a b a =--22B 、b a mb a m =+C 、b ab a =22D 、b abab =26、下列运算正确的是（ ）A 、692432b b a a b =•B 、2323132b a b ab =+ C 、a a a 32121=+ D 、1211112-=+--a a a 7、分式方程13132=----xx x 的解为（ ） A 、2=xB 、无解C 、3=xD 、3-=x8、若关于x 的分式方程2113+-=--x mx x 产生增根，则m 的值为（ ） A 、1-B 、2-C 、1D 、29、随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升、某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x 套，根据题意，下列方程正确的是（ ）A 、42600400=-x x B 、42400600=-x x C 、46002400=-xx D 、44002600=-xx 10、若关于x 的分式方程21121=----x k x kx 无解，则k 的值为（ ） A 、31-=kB 、1=kC 、31=k 或2 D 、0=k 11、已知关于x 的分式方程xkx x -=--343的解为负数，则k 的取值范围是（ ） A 、12-≤k 且3-≠k B 、12->k C 、12-<k 且3-≠k D 、12-<k 12、若关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥-+12224131x a x x x 有解，且使关于y 的分式方程32221-=--+--yya y y 的解为非负数、则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A 、9- B 、8- C 、5- D 、﹣4二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、已知611=+y x ，则yxy x y xy x +-++525的值为 ； 14、对于实数a 、b ，定义一种新运算“*”为：ba ab a -=*，这里等式右边是实数运算。