九 点的合成运动

r ro
x
o j i
y
y
① 动点
M 的相对加速度 a r
为：
2 r dv d r ar 2 i + j + k x y z dt dt
同理可求得：di i , e dt
va 、vr 、 e 的关系 v
z
k
j o i
rM = ro + r r = xi + yj + zk 在图示瞬时，还有：r = r M M
① 动点
rM
o x
r ro
y
x
y
M 的相对速度 v r 为：
② 动点的牵连加速度
2
M(M ) k o j r i ro x
y
y
ae 为：
d rM dve + y + z k ae 2 = ro + xi j dt dt
同理可求得：di i , e dt
z
z
M（M ）
k
j o i
rM
o
r ro
y
x
y
②
动点的牵连速度 ve 为：
x
d drM d ve (ro +r ) (ro + xi + yj + zk ) dt dt dt + y + z k ro + xi j
ve1 vr1 ve 2 vr 2
将上式向 My 轴投影
1
O1
ve 2
2
vr 1 ve1 vr 2
M
O2
ve1 cos 45 vr1 cos 45 ve 2

动点与动系选取原则
● 动点与动系应选在不同的刚体上。
● 动点相对于动系的相对轨迹应易于确定。
（1） 对于没有约束联系的，一般可根据题意选取所 研究的点为动点，如雨滴、矿石；而动系固定在另 一运动的物体上，如车辆、传送带。
（2） 对于由主动件和被动件组成的机构，要根据 约束与被约束的性质确定动点与动系。
（3） 类似于下图的机构中，一个构件上总有一个点
始终被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为 动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹 便是约束构件的轮廓线。
x
r ro
y
x
y
③
动点的绝对速度 va 为：
drM d d va (ro +r ) (ro + xi + yj + zk ) dt dt dt + y + z k + xi + y + z k = v +v + xi = ro j j e r va = ve +vr 速度合成定理
相对于地面 （固定坐标系 oxy）： 水平直线 相对于工件（坐 标系 oxy ）： 螺旋线
点的运动相对于不同的参考系是不同的。 不同的运动之间有没有联系？
如何联系？
动点: 所研究的点。 定系: 固定在地球表面或相对于地球表面静止的坐标系。 动系: 固连于相对地球（定系）运动的参考体上的坐标系。
已知：
rM = ro + r r = xi + yj + zk rM = rM
z
z
M（M ）
k
o j i
rM
o
vr = xi + yj + z k + y + z k ve = ro + xi j
§9-4
结论与讨论
§9-1 点的合成运动的概念
动点相对于不同的参考系的 运动有何不同？
大梁不动时，p 点的运动轨迹：
相对于地面： 平面曲线 相对于行车： 竖直向上 的直线
相对于地面：
螺旋线 相对于直升机： 圆周运动
相对于地面（坐标 系oxy）： 平面曲线 （旋轮线）
相对于车（坐标 系 oxy）： 圆周运动
1 O1 A ve / O1C 5
例题 8
已知： 2 = 21
y
求：小环 M 的速度 解:（1）取小环M 为动点 圆环 为动系
1
O1
ve 2
2
vr 1 ve1 vr 2
M
va = ve1 +vr1
O2
（2）取小环M 为动点，杆为动系
va = ve 2 +vr 2
va = ve +vr
注：
速度合成定理
⑴该定理不限定牵连运动的类型，即动参考系可以作 平移、转动或其他任何复杂的运动。
⑵该方程是一矢量方程，不论动点轨迹是平面曲线还 是空间曲线，三个矢量共面，可求解两个未知量。
⑶特点：避免列写运动方程，求导求出速度。而是通 过建立某一时刻三个运动的速度关系来求解，直接求 出速度。得到的是瞬时速度。

ve h
n
va ve tan h tan
例题7
求：O1A 杆的角速度
D C
O1

A
解：取轮心C为动点， O1A 为杆动系
vr
2 O
va = ve +vr
va
va r
ve va sin 2 sin(90 )

3r
ve
10 ve 2va sin r 5
2.推导 aa、ar 、ae 的相互关系
ar = i + j + k x y z
dj dk e j , e k dt dt
z
例题1 已知：OA＝l； ＝ t 求：T型杆的速度和加速度.
O


A
ve
C
vr
B
解：（1）取滑块A为动点，T型杆为动系 （2）分析三种运动，确定速度的方向
va
（3）作出速度平行四边形，求解求知量
va = ve +vr
v a l
ve va cos l cos
z
z
k M( M )
rM
drM + y + zk + xi o ve = ro j dt drM x + y + zk + xi + y + zk va ro + xi j j dt
绝对运动： 动点相对于定参考系的运动；
相对运动： 动点相对于动参考系的运动；
牵连运动： 动参考系相对于定参考系的运动。
vr ,ar
动 点 相对运动 绝对运动
va ,aa
动 系
牵连运动
定 系
牵 连 点
ve ,ae
绝对运动＝相对运动＋牵连运动
注：绝对运动与相对运动都是指点的运动；
摇杆为动系:
vr
B
va = ve +vr
va r
O1

1
ve va sin r sin
r 2 1 ve / O1 A ve sin / r sin 2 2 2 l r
例题 5
vBe vB v Ae
O A
求：BC 杆的速度
vAa = vAe +vAr

v Aa
v Ar vBr
B
C
vBa = vBe +vBr
1
O1
1
vBa
例题6
已知：h； ； 求：AB 杆的速度 解：取 AB 杆端点 A 为动点， 凸轮为动系
B
ve
h
va

O
vr
A
va = ve +vr
ve1 vr1 ve 2 vr 2
将上式向 My 轴投影
ve1 cos 45 vr1 cos 45 ve 2

其中：
y
ve1 2r1 ; ve 2 2r2
vr1 2r1
va vr1 ve1 4r1
va ve 2 vr 2
（4） 对于特殊问题，进行特殊处理。
A
A
C O1

O
B

3r O
C

§9-3 点的加速度合成定理
1.准备工作
为了便于推导，先分析动参考系为定轴 转动时，其单位矢量对时间的导数。即：
z A
z
a aa 、ar 、 e 的关系
k
j
y
di dj dk ? ? ? ro e dt dt dt o oxy以角速度 e 绕定轴 设动参考系 转动，不失一般性，可把转轴取为定坐 x 标轴的 z 轴，如图所示， 先分析 k 对时间的导数： rA = ro + k
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
理论力学
Theoretical Mechanics
运动学 第九章 点的合成运动
Composite Motion of a Point
目录
§9-1
点的合成运动的概念 ——绝对运动、相对运动和牵连运动
§9-2 §9-3