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理论力学第八章点的合成运动和例题讲解

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理论力学 第八章

理论力学 第八章

x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。

点的合成运动(相对牵连绝对运动)(课堂)-2022年学习资料

点的合成运动(相对牵连绝对运动)(课堂)-2022年学习资料
理论力学-第八章京的合刻-1
第八章点的合成运动->☑§8-1-点的合成运动的概念-§8-2点的速度合成定理->☒-§8-3牵连运动为平 时点的加速度合成定理->§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理-☑习题课
运动学-前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考-体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面 动着的参-考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞-机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点 向后斜落的等-为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不-同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。 面我们就将研-究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先-来介绍有关的概念。-§8-1点的合成 动的概念-一.坐标系：-1静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。-2动坐标系：把固结于相 于地面运动物体上的坐标系，-称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。-3
运动学-四.动点的选择原则：-般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有-运动的点。-五.动系的选 原则：-动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，-或者能直接看出的。-下面举例说明以上各概念：-动 ：AB杆上A点-动系：固结于凸轮O上-静系：固结在地面上-5
运动学-绝对运动：-直线-相对运动：-曲线（圆弧）-A-牵连运动：直线平动-n-雌-y
运动学-B-[例2]曲柄摆杆机构-已知：OA=r,0,OO,=l图示瞬时OA⊥O0-a-求：摆杆O,B角速 o-解：取OA杆上A点为动点，摆杆OB为动系，-基座为静系。-绝对速度v。=ro方向⊥OA-相对速度y,= 方向1O1B-牵连速度v。=?方向⊥OB-由速度合成定理y=,+y。作出速度平行四边形如图示。-Onie20-9u.-040me-0Ar-1.r2w=2w-∩-16

高中物理课件第八章 点的合成运动

高中物理课件第八章 点的合成运动

ve1 vA a1
r ae1

r aA

ar An

ar At

aren1

aret1
a2nr ar
r aC1

2r e
r vr

0
va ?
r va

r ve1

r vr1
r a
t A
A
O1
ar et1
r M vr
r
ar
n A
vA
ar en1
1
1
vrev1ra
解得：
ae l(0 cos 02 sin ) B
由于杆ABC作平移，
aD ae l(0 cos 02 sin )
r ae
D
C
22
第八章 点的合成运动［习题课］ 题型二：
2、曲柄滑块机构， 牵连运动为定轴转动
23
第八章 点的合成运动［习题课］
习题4 （例题3）刨床的急回机构如图所示。曲柄
9
第八章 点的合成运动［习题课］
牵连运动为平移/定轴转动 求解基本参量的练习
10
第八章 点的合成运动［习题课］
砂 习粒题M1 相图对示于筛箱砂体机的，速曲度柄为Ovr1rA，=O图2B示=位a，置且AO1BA=BO1O902。，
杆O1A的角速度为1 ，角加速度为1 ，AM a / 2 ,
第八章 点的合成运动
习题课
1
知识的回顾
1、点作曲线运动
ar

r an
r at

v2

nr

dv r
dt
2、定轴转动刚体上的点

理论力学第八章点的合成运动

理论力学第八章点的合成运动

3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。

理论力学之点的合成运动

理论力学之点的合成运动

1
60o
O1
x
点M .
x
va= ve + vr va = 0.2 m/s
0.5cm
解得: ve= 0.17m/s=2× 0.866 ; vr= 0.1m/s ; 2= 0.2r26ad/s
例题. 具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来使滑 道 BC获得间歇的往复运动.已知曲柄以匀角速 度 =10 rad/s 绕O轴转动, OA=10cm ,园弧道的 半径 r = 7.5cm. 当曲柄转到图示位置sin = 0.6 时, 求滑道BC的速度.
5
例题.曲柄导杆机构 的运动由滑块 A带动,
B
已知OA= r且转动的 角速度为.试分析滑 块 A的运动.
O
C A
D
动点：滑块A；动系：固连在BCD杆
*、机构运动特点：一运动物体上有一固定点始终与另一 运动物体接触，且在其上运动。
则：动点：固定接触点；动系：另一运动物体。
6
例题. 平底凸轮机构 如图示. 凸轮 O 的半径 为R,偏心距OA=e,以匀 角速度绕O转动,并带 B 动平底从动杆 BCD运 动. 试确定动点并分析 其运动.
Va=Ve/cos= … =2; Vr=Ve tan= … =1
22
例题. 斜面CD与水平成 角,并以 v = 10cm/s 沿水平方向运动.求杆AB的速度vA.
C
v
B
A D
23
解:取杆AB的A端为动点. 动系固连在斜面上。
C
动点A的绝对运 v 动---铅垂直线运 动。
B
vr
va
ve
va B
1 O1

ve
vr
A(A´)
绝对运动—以O1为中心 r为半径

理论力学点的合成运动

理论力学点的合成运动

例 8-4 曲柄OA以匀角速度 w绕O轴转动，其上
套有小环 M，而小环 M又在固定的大圆环上运动，大 圆环的半径为 R。
试求当曲柄与水平线成的角 j ωt 时，小环 M
的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。
A
M w
R
O
j
C
解：（1）选择动点及 动系： 小环M为动点，动系固连在 OA上。
（2）分析三种运动：绝 对运动为圆周运动，相对运 动为沿OA的直线运动，牵连 运动为定轴转动。
y
OA杆转动的角速度为
O
wOA
ve OC
ve 2r
3u 6r
y
wOA B
j va vr
A
r ve C
x
u x
8.3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理
在图8-9中，设 Oxyz为定系，Oxyz为动系且作平
动，M为动点。动点M在动系中的坐标为 x、y 、z， 动系单位矢量为 i、 j、k。动系平动，i、j、k 的
Oxyz 作某种运动，在瞬时t，动系连同相对轨迹AB在
定系中的I位置，动点则在曲线 AB
上的 M 点。经过时间间 隔 t ，动系运动到定系 中的II位置，动点运动到
点 M。 如果在动系上观
察点M 的运动，则它沿 曲线 AB 运动到点 M2。
z B
M2
vr
z
M O
A
O I
x
va
M B
ve M1
z
O x A
例 8-1 汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴 以速度 v2 铅直下落，试求雨滴相对于汽车的速度。
v1
解： 因为雨滴相对运动的汽车有运动，所以本题 为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。

3理论力学 第八章点的合成运动解析


? ? tg ?1 v?
v平
[例8-2] 曲柄摆杆机构
φ
已知：OA= r , ? , OO1=l 图示瞬时OA? O
求：摆杆O1B角速度? 1
解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。
绝对速度va = r ?
相对速度vr = ?
方向? OA 方向//O1B
牵连速度ve = ?
方向? O1B
由速度合成定理 va ? vr ? ve 作出速度平行四边形 如图示。
r
ve ? va sin? ? r? ?
r2? l2
又?ve ? O1 A?? 1,
? ? 1 ? Ov1eA?
1? r 2 ?l2
r 2?
r2?
l2
?
r
r 2?
2 ? l2
（
）
[例8-3]圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R ? 3e , ? （匀角速度）
vr
va
A veva
B
aa
ar
va
A
Baen
ae?
练习三
解:
A
?
?
o
B
A
? ?
o
ve ? OB??
va
B
vr
动系:OA杆； 动点:滑块B
A
? ?
arn
o
aen ? OB?? 2
ar?
B
aa
a?e ? OB??
[例8-1] 桥式吊车。 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v? 。求物块A的运 行速度。
一、实例 : M点运动
地面: 摆线， 车箱: 圆。
二、复合运动的一般模型

工程力学—点的合成运动习题及解答

第八章 点的合成运动习题及解答P189 8-5. 已知 OA=l ，曲杆BCD 的速度为v ，BC=a; 求：A 点的速度与x 的关系。

解：取曲杆上的点B 为动点，OA 杆为动系，则r e a v v v +=v v a =,得22a e a x a .v sin .v v +==φ,a x a.v OB v 22e0+==ω=A v .v l .0=ωl ,a x a .22+P190 8-7. 已知 两种机构中2m .0a O O 21==, 杆 A O 1的角速度1ω=3rad/s,030=θ;求：杆A O 2A O 1的角速度2ω.解: 图 (a) , 取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系，图 (b) , 取杆A O 2上的A 点为动点，杆A O 1为动系，由: r e av v v += 分别作速度矢量图。

由图 (a) 解出23a.cos30.v v 10a e ω==，,s /rad 5.12A O v 12e 2===ωω由图 (b) 解出32.a .cos30v v 10e a ω==， ,s /5rad .12A O v 12e 2===ωω.s /rad 232A O v 12a 2===ωωP190 8-9. 已知 ==V v AB 常数，当t=0时，0=ϕ；求：045=ϕ时，点C 的速度的大小。

解: 取杆AB 上的A 点为动点，杆OC 为动系，由: r e av v v += 作速度矢量图。

ϕϕcos .v cos .v v a e ==，lcos .a OA OC .v v e c ϕ==解出 l a.cos vv 2c ϕ=，当045=ϕ时， 2l av v c =P190 8-10. 已知，轮C 半径为R ，偏心距OC=e, 角速度 ω=常数；求：00=ϕ时，平底杆AB 的速度。

解: 取轮心C 为动点，平底杆AB 为动系，由: r e av v v += 作速度矢量图。

8理论力学


线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的

理论力学8

摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
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MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向
绝对运动：曲线； 绝对速度 va 的大小、方向待求。
由速度合成定理：vavevr
作出速度平行四边形如图示，则物块A的速度大小和方向为
vAva ve2vr2 v平2 v2
tg 1 v
v平
[例2] 曲柄摆杆机构。已知：OA= r 、 、
OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求：摆杆
牵连运动中牵连点的速度和加速度称牵连速度v e 与牵连加速度a e
四. 动点的选择原则： 选择对动系、静系都为运动的点，例如主动件与从动件
的连接点。 五. 动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者是能直接看出的。
下面举例说明以上概念：
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
相对速度 vr = ? 未知，方向CA
牵连速度 ve = OA =2e, 方向
由速度合成定理 va vevr
OA
（翻页请看动画）
作出速度平行四边形 如图所示。
va vetan300 2 e
3 3
vAB
2 3e
3
()
由上述例题知求解合成运动的速度问题的一般步骤为： ①选取动点、动系和静系。 ②对三种运动及其速度进行分析。
同一物体的运动对于不同的参考体来说是不同的。 例如，下雨时，地面上的观察者看雨滴是铅垂向下的， 但对正在行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。 又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看轮缘上 点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点， 其轨迹则是一个圆。
二. 动点：所要研究的运动着的点。 三. 三种运动及三种速度与三种加速度
1
ve O1 A
1 r2 l2
r2 r 2
r2 l2 r 2 l 2
（
）
[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。
求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求，方向//AB
[例4] 已知： 凸轮半径 r , 图示时速度 v ， 300 ；杆OA靠在
凸轮上。 求：杆OA的角速度。
分析：相接触的两个物体的接触点位置在各自物体上都随 时间而变化，因此若选两物体的接触点为动点，则相对运动 的分析会较困难。根据上述动点、动系和静系的选择原则， 在此情况下，可选择满足上述两条原则的非接触点为动点。
任何运动的情况。
② 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
应用举例
[例1] 桥式吊车。已知： 小车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升的 速度为v。求物块A的运行 速度。
解：选取 动点：物块A 动系：小车 静系：地面
相对运动：直线； 相对速度 vr =v 方向
静系：固结在地面上
绝对运动：直线运动 相对运动：圆弧运动 牵连运动：直度 ：v r
牵连速度 ：v e
绝对加速度：a a
相对加速度：a r 牵连加速度：a e
动点：圆盘上 A点 动系：O'A 摆杆 静系：机架 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动
动点：摆杆上 A1点 动系：圆盘 静系：机架
绝对运动：圆弧运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：定轴转动
若动点A在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线运动 圆周运动（红虚线）
相对运动：圆周运动 曲线运动（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
注意：要指明动点在哪个 物体上，且动点不能选在 动系上。
③根据速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形。
④根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。 动点、动系和静系的选择原则：
①动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体，否则绝对、 相对运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。 ②动点相对动系的运动（即相对运动）轨迹易于直观判断 （除已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题外）。
前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。 然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上 观察和研究物体的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动， 坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。
本章研究同一物体相对于不同参考系的运动及其相互关系。
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
一. 坐标系： 静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系（Oxyz）。 动坐标系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。 简称动系（O’x’y’z’） 。