高中数学苏教版选修2-2学案：1.1.1 平均变化率含解析

1.1.1 平均变化率2．会求平均变化率.平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________． 预习交流1在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx ______0. 预习交流2已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝__________.预习交流3函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x )在(x 1，x 2)上没有变化或一定为常数？答案： f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1预习交流1：≠预习交流2：提示：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2＋Δx . 预习交流3：提示：函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x 1)＝f (x 2)；平均变化率等于0，不能说f (x )在区间(x 1，x 2)上没有变化，也不能说明f (x )一定为常数，例如f (x )＝x 2－1在区间(－2,2)上．一、求函数在某区间内的平均变化率某物体做自由落体运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝12gt 2(单位：m)，计算t 从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各时间段内s (t )的平均变化率．思路分析：求各时间段内s 的平均变化率，即求相应的平均速度，就是求s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1，即ΔsΔt，为此需求出Δs ，Δt .1．若质点的运动方程为s ＝－t 2，则该质点在t ＝1到t ＝3时的平均速度为________．2．求函数f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)，(1,3)，(4,4＋Δx )上的平均变化率．求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ＝f (x 2)－f (x 1)Δx.二、求函数在某点附近的平均变化率求函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率． 思路分析：∵函数f (x )＝y ＝5x 2＋6， ∴f (2)＝5×4＋6＝26.当x 由2变化到2＋Δx 时，f (2＋Δx )＝5(2＋Δx )2＋6，则Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)．1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝__________.2．当x 0＝2，Δx ＝14时，求y ＝1x在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)是函数的自变量由x 0改变到x 0＋Δx 时的变化量，而平均变化率就是ΔyΔx.1．函数f (x )＝x 3在区间(－1,3)上的平均变化率为__________．2．已知某质点的运动规律为s (t )＝5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为__________．3．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为__________． 4．函数y ＝2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为__________．5．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为__________．答案：活动与探究1：解：设t 在[3,3.1]上的平均变化率为v 1，则Δt 1＝3.1－3＝0.1(s)，Δs 1＝s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g (m)，∴Δs 1Δt 1＝0.305g 0.1＝3.05g (m/s)． 同理Δs 2Δt 2＝0.030 05g 0.01＝3.005g (m/s)，Δs 3Δt 3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g (m/s)． 迁移与应用：1．－4 解析：平均速度为Δs Δt ＝－32－(－1)23－1＝－4.2．解：f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (0)－f (－1)0－(－1)＝12－11＝－12； f (x )＝1x ＋2在区间(1,3)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝15－132＝－115； f (x )＝1x ＋2在区间(4,4＋Δx )上的平均变化率为Δy Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)(4＋Δx )－4＝16＋Δx －16Δx ＝－16(6＋Δx ). 活动与探究2：解：∵f (x )＝y ＝5x 2＋6，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝5(2＋Δx )2＋6－26＝5[4＋4Δx ＋(Δx )2]－20＝20Δx ＋5(Δx )2. ∴Δy Δx ＝20Δx ＋5(Δx )2Δx ＝20＋5Δx . 迁移与应用：1．2Δx ＋4 解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2(Δx )2＋4Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4.2．解：x 0＝2，Δx ＝14时，Δy ＝12＋14－12＝－118，∴平均变化率为Δy Δx ＝－11814＝－29.当堂检测1．7 解析：Δy Δx ＝f (3)－f (－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.2．20 m/s3．4＋2Δt 解析：Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .4．8＋2Δx 解析：Δy Δx ＝2(2＋Δx )2＋5－(2×22＋5)Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx .5．0.4π 解析：∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π.。

1.1.1 变化率问题教学目标 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

重点难点 平均变化率的意义教学过程一、问题情境1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”时间4月18日 4月19日 4月20日 日最高气温 18.6℃ 24.4℃ 33.4℃该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 说明： t (d)20 30 34 210 20 30A (1, 3.5)B (32, 18.6)0 C (34, 33.4) T (℃)2 10 2121()()f x f x x x--x y ∆∆=(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。

1.1.1 变化率问题教学目标：知道平均变化率的定义.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率. 教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.教学过程一、创设情境为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.二、新课讲授(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图象,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可 用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点 )2,1(y x B ∆+-∆+-，求y x∆∆. 解: )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.解: 2020)(x x x y -∆+=∆ 所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.[答案]1.6+t ∆2.25+3t ∆四、课堂小结1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.。

1. 1.1变化率问题 课前预习学案预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。

知道平均变化率的定义。

预习内容： 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标 1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.h to学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：平均变化率的概念.学习过程一：问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,? ___________.问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以___________.虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 二平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化h to率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1； 三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：例2．求2x y =在0x 附近的平均变化率。

1.1.平均变化率-苏教版选修2-2教案课型设计教学目标1.掌握平均变化率的概念和计算方法；2.知道平均变化率在实际生活中的应用；3.学会利用平均变化率解决问题。

教学重点1.平均变化率的概念和计算方法；2.平均变化率在实际生活中的应用。

教学难点1.利用平均变化率解决问题。

教学方法1.讲授法；2.举例法；3.导入法；4.案例分析法。

教学过程一、导入（5分钟）1.通过一个生活案例，让学生感受到物体的变化是随着时间而变化的。

二、讲授（20分钟）1.引入平均变化率的概念；2.讲解平均变化率的计算方法；3.通过例题演示平均变化率的计算过程；4.讲解平均变化率的三种情况：增加、减少、变化量为0。

三、举例（15分钟）1.通过一些日常生活中的例子，让学生更好地理解平均变化率的应用。

四、案例分析（20分钟）1.提供一些实际问题，让学生运用平均变化率求解答案。

五、总结（5分钟）1.对平均变化率进行总结，并强调其在实际生活中的应用。

教学评价1.学生能够正确理解平均变化率的概念和计算方法；2.学生能够灵活运用平均变化率解决实际问题；3.学生能够在日常生活中发现和分析变化率的存在。

课堂练习练习1甲、乙两人购买了同一品牌手机，甲8月20日以980元购买，9月20日以820元卖出；乙8月28日以980元购买，9月20日以880元卖出。

比较两人的获利情况。

练习2某厂家建筑面积为1200平方米，今年销售额为300万元，去年销售额为200万元，请计算该厂家今年销售额的平均增长率。

练习3某学生的成绩如下表所示，请计算他的平均分数和日常学习进步情况。

科目语文数学英语政治历史分数（分）90 80 75 85 78参考资料苏教版高中数学选修2-2《平均变化率》。

教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －．（3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？二、建构数学（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－注意：平均变化率不能脱离区间而言（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．思考：（1） 若设21∆x x x ＝－，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量21()()∆y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()∆∆∆∆f x f x f x x f x y x x x x－＋－＝＝－（2）)(x f 在[]12x x ，平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率．三、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1） 如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1 （kg /月）？问题（2） 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积0.1()52t V t －＝×（单位：cm 3），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．问题（1） 例2中解出的平均变化率实际意义是什么？问题（2） 25.0-（cm 3/s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？问题（3） 第一个10秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为25.0-（cm 3/s ），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？ 讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零．例3 已知函数()21()2f x x g x x ＝＋，＝－，分别计算在区间[31]－，－，[05] ，上函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．问题（1） 你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评 一次函数y kx b ＝＋在区间[]m n ，上的平均变化率等于它的斜率k ． 例4 已知函数2()f x x ＝，分别计算在下列区间上的平均变化率： ① ⑤ ② ⑥ ③ ⑦④⑧问题（4） 例4中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？四、当堂训练乙练习1 回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？ 练习2 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？练习3 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．①09:30至11:00 ②11:00至11:30 ③14:00至14:07 ④14:07至15:00五、回顾反思（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－．（2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？六、布置作业1．预习第1.1.2节瞬时变化率——导数．2．课本P7练习2；P16 习题1.1 第1题．3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试通过计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．。

高中数学选修2—2
1.1.1 平均变化率〔教案〕
高中数学选修2—2 1.1.1平均变化率〔教学设计〕
一、教学目标
知识与技能：
1、理解平均变化率的概念；
2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学
描述刻画现实世界的过程。

过程与方法：
1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

情感、态度与价值观：
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

二、教学重点、难点
重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。

难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。

三、教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。

四、教学根本流程
例题讲解，尝试应用
回忆反思，感悟升华
五、 教学过程〔具体如下表〕
的平均速度v 0
5.0)
0()5.0(h h v --=
4
π=
3
板书设计:。

11.1.1 平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1.2．曲线陡峭程度平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹，这是什么原因呢？显然，原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化的快与慢呢？探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)， 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为 11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求函数f(x)的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 如图是函数y ＝f(x)的图象，则(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f(1)－f(－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x≤1x ＋1，1<x≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 f(2)－f(0)2－0＝3－322＝34.探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f(x)＝x 2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率； (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为 f(3)－f(1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 f(2)－f(1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f(1.1)－f(1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 f(1.001)－f(1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 分别求函数f(x)＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n(m≠n)时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f(x)的平均变化率为 1－3×1－(1－0)1－0＝－3；自变量x 从m 变到n(m≠n)时，函数f(x)的平均变化率为 1－3n －(1－3m)n －m＝－3.思考 一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t)，s 2(t)与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上变化越慢． 跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f(x)＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________． 答案 －9解析 函数f(x)＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f(2)－f(1)2－1＝(5－3×22)－(5－3)1＝－9.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案 23.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________． 答案 乙 解析 在t 0处， 虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt)<W 2(t 0－Δt)， 即⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 4．已知函数h(x)＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h(1＋Δx)－h(1) ＝－4.9(Δx)2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. [呈重点、现规律]1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1.一、基础过关1．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为________．答案 －1 解析Δy Δx ＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1. 2．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的直线的斜率为________． 答案 13．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________． 答案 0解析Δy Δx ＝1－13＝0. 4．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________． 答案 4.1解析 v ＝3＋(2.1)2－3－42.1－2＝4.41－40.1＝4.1.5．设函数y ＝f(x)＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________． 答案 2.1 解析Δy Δx ＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 6．过曲线y ＝f(x)＝x 2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作直线，当Δx ＝0.1时，直线的斜率k ＝________. 答案 2.1解析 ∵Δy ＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx)2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx ， ∴直线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，直线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．解 函数在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；函数在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝3(2－3)π.∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．二、能力提升8．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快． 答案 乙解析 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．9．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3.∴m 2＋m ＋1＝7. ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．∴m ＝2.10．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是________． 答案 ③解析 ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．11．一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at) cm ，a 为常数，试求铁板面积在温度[t ，t ＋Δt]上的膨胀率． 解 铁板面积S 的增量为 ΔS ＝102[1＋a(t ＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a ＋a 2t)Δt ＋100a 2(Δt)2， 因此ΔSΔt ＝200(a ＋a 2t)＋100a 2Δt.所以铁板面积对温度的膨胀率为 200(a ＋a 2t)＋100a 2Δt.12．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 解 (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V4π，r ＝ 33V 4π，∴r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 r(1)－r(0)1－0＝ 33×14π－01≈0.62(dm/L)，函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 r(2)－r(1)2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢． 三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 这段曲线的陡峭程度吗？解 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为 h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭.。