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非线性方程求跟—不动点迭代法(新)

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第6章 非线性方程求根(1、二分法、迭代法)

第6章 非线性方程求根(1、二分法、迭代法)

(2) 如果将原方程化为等价方程 x = 仍取初值
x0 = 0
3
3
x+1 2
x1 =
x0 + 1 = 2
3
3
1 ≈ 0 .7937 2
1 .7937 ≈ 0 .9644 2
x2 =
依此类推,得 依此类推, x3 = 0.9940 同样的方程 x4 = 0.9990 不同的迭代格式 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 有不同的结果 x7 = 1.0000 已经收敛, 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
用一般迭代法求方程x lnx＝ 在区间（ 例：用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间（2，∞） 内的根，要求|x 内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 f(x)=x-lnx解：令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0,f(4)>0,故方程在 2,4） 故方程在（ f(2)<0,f(4)>0,故方程在（2,4）内至少有一个根
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
p1 x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x* x1
y=g(x)
x
y=x
p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x
f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 化为等价方程x=g(x) 一的,有的收敛,有的发散. 一的,有的收敛,有的发散. example： For example：2x3-x-1=0
1 3 ( x + 1 ) = g ( x ) 进行迭代，则在 进行迭代，则在(1, 3

第7章.非线性方程迭代法

第7章.非线性方程迭代法

f
的重根
=
的单根。
➢ 正割法 / Secant Method / ：
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于2个函数值， 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。
割线
/ secant line /
收敛比Newton’s Method 慢， 且对初值要求同样高。
牛顿迭代法的改进与推广
➢ 重根 / multiple root / 加速收敛法：
Q1: 若 f (x*) ，0 Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x) ( x x*)n q( x) 且 q( x*) 0。
因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，
④
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk 1
xk
|
?
✓ | xk1 xk | | x * xk | | x * xk1 | | x * xk | L | x * xk |
⑤
|
x*
xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
?
可用 | xk1 xk |来 控制收敛精度
| xk1 xk | | g( xk ) g( xk1 ) | | g(ξk )(xk xk1 ) |
3
| g( x) | | x2 | 1
现令 ( x) (1 K )x Kg( x) (1 K )x K ( x3 1)
3
希望 | ( x) | | 1 K Kx2 | 1，即
2 K 0 x2 1
在 (1, 2) 上可取任意 2 K，例0如K = 0.5，则对应

第4章 非线性方程求根的迭代法

第4章 非线性方程求根的迭代法
{ x k }。这种方法算为简单迭代法。
精选版课件ppt
18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
精选版课件ppt
19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
精选版课件ppt
20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
精选版课件ppt
30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
精选版课件ppt
31
简单迭代收敛情况的几何解释
精选版课件ppt
32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
精选版课件ppt
48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)

非线性方程求根

非线性方程求根
得到一个迭代序列： x0，x1，x2，. . . ，xn，. . .
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
18:28:03
y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
18:28:03
Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
18:28:03
Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足

浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法

浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法

浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
不动点迭代法是求解非线性方程的一种有效的解法，它的核心思想是：通过迭代，使得方程的某个特定解变得更加接近，最终达到收敛的程度，从而得到最终的解。

一、教学目标
1、让学生了解不动点迭代法的基本原理；
2、让学生能够熟练使用不动点迭代法求解非线性方程；
3、让学生能够分析不动点迭代法的收敛性，并能够给出合理的迭代步骤。

二、教学步骤
1、讲解不动点迭代法的基本原理：
首先，教师应给学生讲解不动点迭代法的基本原理，包括它的定义、其基本思想、应用场景等。

2、提供实例：
然后，教师可以提供一些简单的实例，让学生熟悉不动点迭代法的使用，并能够熟练求解。

3、分析收敛性：
最后，教师可以让学生分析不动点迭代法的收敛性，并给出合理的迭代步骤，以便更好地求解非线性方程。

三、教学评价
教学评价主要是通过实例检验学生对不动点迭代法的掌握情况，以及分析收敛性的能力，以便更好地指导学生掌握不动点迭代法。

数值分析实验报告——非线性方程求根

数值分析实验报告——非线性方程求根

数值分析实验报告——非线性方程求根二分法一、题目用二分法求方程=的所有根x.13要求每个根的误差小于-x+0.001..21二、方法二分法三、程序1、Jiangerfen.M的程序function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2)if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end%nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。

ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。

yb=feval('f',b);if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,endmax=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。

for k=1:maxc=(a+b)/2;yc=feval('f',c);if((b-a)/2<tol2)|(abs(yc)<tol1),break,endif yb*yc<0a=c;ya=yc;elseb=c;yb=yc;endendk,c=(a+b)/2,yc=feval('f',c)2、f.M的程序function y=f(x);y=x^3-2*x-1;四、结果>> format compact>> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]);>> jiangerfen('f',-1.5,-0.8);k =8c =-0.9996yc =3.9017e-004>> jiangerfen('f',-0.8,-0.3);k =8c =-0.6184yc =2.7772e-004>> jiangerfen('f',1.3,2);k =10c =1.6179yc =-9.5348e-004>> jiangerfen('f',2,3);(a,b)不是有根区间方程f(x)=x^3-2*x-1的所有根为-0.9996，-0.6184 ，1.6179 。

第7章 非线性方程求根


k 且区间长度逐次减半， bk ak (b a) 2 .
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： 随着k的增大，有根区间长度趋于零，区间端点向 * lim a lim b lim x x . 一点收缩， k k k k k k 显然x*即为f(x)=0的根。而x0, x1, …,xk,…为近似根 * 序列。设要求精度为ε ,即 x xk ,

x1 x* ( )(x0 x* ) M ( x0 x* ), x2 ( x1 ), x2 x M ( x1 x ).
* *
加速迭代法
消去M得
x1 x* x0 x* , * * x2 x x1 x
2
2 x x x ( x x ) 1 0 x* x1 0 2 1 x0 , x2 2 x1 x0 x0 2 x1 x2
斯蒂芬森迭代法
结合埃特金加速法和不动点迭代法形成斯 蒂芬森迭代法：

yk ( xk ), z k ( yk ), ( y k xk ) xk 1 xk z k 2 y k xk
2
(k 0,1, ).
斯蒂芬森迭代法几何意义
定义x点关于方程 x ( x) 的误差为： ( x) ( x) x. * * * * ( x ) ( x ) x 0. 则该方程的根x 的误差
非线性方程的迭代法求根
基本概念 非线性方程f(x)=0的根(解) x*,也称为非线性 函数f(x)的零点，f(x*)=0。 f(x)=0的m重根定义：f(x)=(x-x*)mg(x), g(x*)≠0，则称x*为f(x)=0的m重根，或f(x)的 m重零点。 m重根的判定条件： x*为f(x)=0的m重根当 且仅当 * * ( m1) * ( m) * f (x ) f (x ) f ( x ) 0; f ( x ) 0.

第2章非线性方程求根


解：设最多需要迭代n次。
∵要求精确到小数点后3位，
∴误差限≤ 12×10-3，
∴由定理2.1得：
n=
lg(1
0)
lg( lg 2
1 2
103 )
1
=
0
( lg 2 lg 2
3)
1
=
0.301 0.301
3
1= 10 .97
1
=10，即最多需要迭代10次。
用对分法求f(x)=0在某区间的单根，最多迭代次数与函数f(x)曲线形状无 关。一般情况下，对分法的最多迭代次数比其他的变步长逐步搜索法要 少，因此对分法是用得最多的变步长逐步搜索法。
if(f(b)==0) x=b;
else for(begin=a,end=a+h;begin<b;begin=end,end+=h)
{
if(end>b)end=b;
if(f(begin)==0)
{x=begin;break; }
if(f(begin)*f(end)<0)
{x=(begin+end)/2;break; }}
Y
N
x=begin;
break;
f(begin)*f(end)<0
Y
N
(end－begin)/2<=ε
Y
N
x=(begin+end)/2;
h/=hnumber;
break;
end=begin;
输出方程f(x)=0的根x。
8
2.3 根的搜索
变步长逐步搜索法对应的程序
#include <stdio.h> double f(double x);

不动点迭代法非线性方程求解

x=0.3820
例 7-6 不动点迭代法求解非线性方程应用时实例。采用不动点ATLAB 窗口命令中输入： >>[r,n]=StablePoint(‘1/sqrt(x)+x-2’,0.5) R=
0.3820
从计算结果中可以看出，经过四步碟算得出方程 1 x 2 0的一个根 为 x
不动点迭代法非线性方程求解 求方程 f(x)=0 的根，可以先把方程组改写成如下形式：
x=f(x)+x 于是得到不动点迭代法的一种迭代公式：
Xn=f(Xn-1)+Xn-1 此种不动点迭代法很可能不收敛，因为它的本质是求函数 y=f(x)+x 与直线 y=x 的交点， 而他们不一定存在交点。即使收敛，其速度也十分慢，因此有了艾肯特加速迭代与斯蒂芬 森加速迭代。 在 MATLAB 中编程时显得不动点迭代法的函数为：StablePoint。 功能：用不动点迭代法求函数的一个零点。 调用格式：[root，n]=StablePoint（f,xo,eps）。 其中，f 为函数名：
x0 为初始迭代向量： eps 为根的精度： root 为求出的函数零点： n 为迭代步数。 不动点迭代法的 MATLAB 程序代码如下： Function [root,n]=StablePoint(f,x0,eps) %用不动点迭代法求函数的一个零点 %初始迭代向量：x0 %根的精度：eps %求出的函数零点：root %迭代步数：n If(nargin==2) eps=1.0e-4; end tol=1; root=x0; n=o; while(tol>eps) r1=root; n=n+1; root=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1)+r1; tol=abs(root-r1); end

求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程在数学和工程中都有广泛的应用，对非线性方程进行求解是数学分析中的一项重要任务。

在数值分析中，求解非线性方程的方法可以分为直接法和迭代法两种，而迭代法又是非常常用的方法之一。

本文将介绍三种新的非线性方程迭代法，分别是Newton 法、Secant法和Broyden法。

Newton法是最经典的非线性方程迭代法之一，它是通过不断迭代来逼近方程的根。

Newton法的基本思想是在给定初始值的情况下，通过计算方程的导数来获得更接近根的逼近值，然后不断迭代直到满足精度要求为止。

具体的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]\(x_n\)是第n次迭代的逼近值，\(f(x)\)是要求解的非线性方程，\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导数。

在实际应用中，Newton法通常要求方程的一阶导数存在且连续，同时初始值的选取也对迭代的收敛性有很大的影响。

Secant法是Newton法的一种改进方法，它是通过直线的斜率来近似代替导数的方法来进行迭代。

Secant法的迭代公式为：Secant法相比于Newton法来说更加灵活，因为它不需要求解方程的导数，而直接利用两个相邻点的函数值来进行迭代。

然而Secant法的收敛速度相对较慢，而且在一些特殊情况下可能会出现迭代发散的情况。

Broyden法是一种迭代算法，它是通过不断更新雅各比矩阵的逆来逼近方程的根。

Broyden法的迭代公式为：\(x_n\)是第n次迭代的逼近值，\(J_n\)是第n次迭代的雅各比矩阵。

Broyden法适用于一些特殊情况下，比如方程的雅各比矩阵难以求解的情况，或者求解方程的雅各比矩阵耗时较长的情况。

Newton法、Secant法和Broyden法都是针对非线性方程迭代求解的常用方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。

在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择合适的迭代方法，并且在迭代过程中需要考虑其收敛性、稳定性和计算效率等因素。

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非线性方程求根——不动点迭代法
一、迭代法的基本思想
迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。

例：求方程x 3-x -1=0 在x =1.5 附近的一个根。

解：将所给方程改写成3
1x x =+假设初值x 0=1.5是其根，代入得
3
3101 1.51 1.35721x x =+=+=
x 1≠x 0，再将x 1代入得
3
3211 1.357211 1.33086x x =+=+=x 2≠x 1，再将x 2代入得
3
3321 1.330861 1.32588x x =+=+=如此继续下去，结果如下：
k x k
k x k 01234 1.5
1.35721
1.33086
1.32588
1.324945678 1.324761.324731.324721.32472仅取六位数字，x 7与x 8相同，即认为x 8是方程的根。

x *≈x 8=1.32472
这种逐步校正的过程称为迭代过程。

这里用的公式称为迭代公式，即
311k k x x +=+k =0,1,2,……
若x *满足f (x*)=0，称x *为ϕ(x )的一个不动点。

将连续函数方程f (x )＝0改写为等价形式：x=ϕ(x )，其中ϕ(x )也是连续函数。

1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)
不动点迭代法就是指以迭代格式
二、不动点迭代法
进行迭代求解的方法。

其中ϕ(x )称为迭代函数。

三、不动点迭代法的实现
——MATLAB程序function[root,n]=stablepoint_solver(phai,x0,tol) if(nargin==2)
tol=1.0e-5;
end
err=1;
root=x0;
n=0;
while(err>tol)
n=n+1; %迭代次数
r1=root;
root=feval(phai,r1); %计算函数值
err=abs(root-r1);
end
程序应用示例：
function testmain
% x^3-x-1=0
% =>x^3=1+x
% =>x=(1+x)^(1/3)
ph=inline(‘(1+x)^(1/3)’,’x’);
[root,n]=stablepoint_solver(ph,1)
运行结果：
root=1.3247
n=8
若对任意x 0∈[a , b ]，由不动点迭代格式
lim *k k x x →∞
=则称迭代过程收敛，且x *=ϕ(x *)即f (x*)=0，x *为不动点。

四、不动点迭代法的收敛性
1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)
得迭代序列{x k }，该序列有极限
迭代法并不总令人满意，如将前述方程x 3-x -1=0改写为另一等价
形式：1
3-=x x 13
1-=+k k x x 此时称迭代过程发散。

则有x 1=2.375，x 2=12.396，x 3=1904,
结果越来越大。

仍取初值x 0=1.5，
建迭代公式：
收敛阶定义：
设迭代过程x k+1=ϕ(x k ) 收敛于方程x =ϕ(x )的根x *，若迭代误差e k =x k –x*当k →∞时成立下列渐近关系式：
c e e r k k k =+∞→1lim （c 为常数，且c ≠0）
则称迭代过程是r 阶收敛的。

特别地，r =1时称线性收敛；
r =2时称平方收敛；r >1时称超线性收敛。

且r 越大，收敛越快。

定理2：设x *为x =ϕ(x )的不动点，若ϕ(x )满足：
–（1）ϕ(x )在x *附近是p 次连续可微的(p >1)；
–（2）则迭代过程x k +1=ϕ(x k )在点x *邻近是p 阶收敛的。

0*)(,0*)(*)(*)()()1(≠===''='-x x x x p p ϕϕϕϕ 定理1：设x *为x =ϕ(x )的不动点，ϕ`(x )在x *的某邻域连续，且|ϕ`(x *)|<1，则不动点迭代法x k +1=ϕ(x k )局部收敛。

321-+=+k k k x x x k
k x x 31=+)3(4121--=+k k k x x x )3(211k
k k x x x +=+例032=-x 用不同方法求在x =2附近的根。

解：格式（1）
格式（2）格式（3）
格式（4）
取x
=2，对上述四种方法，计算三步所得结果如下：0
k x k(1) (2)(3)(4)
0x0 2 222
1 x13 1.5 1.75 1.75
2x292 1.73475 1.732143
3x3 87 1.5 1.732361 1.732051 注：x*=1.7320508……。