迭代法求非线性方程的根.

牛顿法与割线法求解非线性方程在数学中，非线性方程是指方程中包含未知数的幂次大于等于2的项的方程。

求解非线性方程是数学中一个重要的问题，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍两种常用的非线性方程求解方法：牛顿法和割线法。

一、牛顿法牛顿法是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。

它基于泰勒级数展开的思想，通过不断迭代逼近方程的根。

牛顿法的基本思想是：选择一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，不断逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)计算下一个近似解xn+1；4. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。

牛顿法的优点是收敛速度快，但缺点是对初始值的选择较为敏感，可能会陷入局部最优解。

二、割线法割线法也是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。

它与牛顿法类似，但是割线法不需要计算函数的导数。

割线法的基本思想是：选择两个初始值x0和x1，通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))，不断逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择两个初始值x0和x1；2. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))计算下一个近似解xn+1；3. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。

割线法的优点是不需要计算函数的导数，但缺点是收敛速度相对较慢。

三、牛顿法与割线法的比较牛顿法和割线法都是求解非线性方程的有效方法，它们各有优缺点。

牛顿法的收敛速度较快，但对初始值的选择较为敏感；割线法不需要计算函数的导数，但收敛速度相对较慢。

数值计算的例子数值计算在现代科学和工程中起着非常重要的作用，它们可以帮助我们解决各种实际问题，从物理学到金融学，从天文学到工程学。

下面是一些以数值计算为主题的例子：1. 迭代法求方程的根迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。

例如，我们可以使用牛顿迭代法来求解一个非线性方程的根。

假设我们要求解方程f(x)=0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后使用迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)来逐步逼近方程的根。

2. 数值积分数值积分是一种计算定积分近似值的方法。

例如，我们可以使用梯形法则来计算一个函数在给定区间上的定积分。

假设我们要计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，我们可以将这个区间分成n个小区间，然后使用梯形面积的近似值来计算整个区间上的定积分。

3. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。

例如，我们可以使用高斯消元法来求解一个线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。

高斯消元法可以将这个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回代求解出方程的解。

4. 数值微分数值微分是一种计算导数近似值的方法。

例如，我们可以使用中心差分法来计算一个函数在某一点的导数。

假设我们要计算函数f(x)在点x0处的导数，我们可以选择一个很小的步长h，然后使用中心差分公式f'(x0) ≈ (f(x0+h) - f(x0-h))/2h来估计导数的值。

5. 最优化问题最优化问题是数值计算中的一个重要问题，它可以帮助我们找到一个函数的最小值或最大值。

例如，我们可以使用梯度下降法来求解一个无约束的最小化问题。

梯度下降法通过迭代地沿着函数的负梯度方向更新变量的值，从而逐步接近最优解。

6. 插值和拟合插值和拟合是数值计算中常用的技术，它们可以帮助我们从离散数据中推测出连续函数的形状。

例如，我们可以使用拉格朗日插值法来构造一个通过给定数据点的插值多项式。

非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。

设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。

（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。

解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。

求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。

牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。

本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。

我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。

我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。

我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。

通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。

二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。

其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。

如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。

给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。

每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。

牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。

然而，这种方法也有其局限性。

它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。

牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。

迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。

这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。

迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。

这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。

常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。

2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。

3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。

4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。

5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。

使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。

同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。

实验二 非线性方程的数值解法1.1 实验内容和要求在科学研究和工程技术中大量的实际问题是非线性的，求非线性方程()0f x =满足一定精确度的近似根是工程计算与科学研究中诸多领域经常需要解决的问题。

实验目的：进一步理解掌握非线性方程求根的简单迭代法、埃特金Aitken 加速法、牛顿迭代法的思想和构造。

实验内容： 求方程2320x x x e -+-=的实根。

要求：（1）设计一种简单迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用埃特金Aitken 加速迭代，计算到-8110k k x x --<为止。

（2）用牛顿迭代法，同样计算到-8110k k x x --<（3）输出迭代初值、迭代次数k 及各次迭代值，并比较算法的优劣。

1.2 算法描述普通迭代法计算步骤：（1）给定初始近似值0x ，eps 为精确度。

（2）用迭代公式x =x 2+2−e x 3进行迭代，直到-8110k k x x --<为止。

埃特金Aitken 加速迭代法计算步骤：（1）将()0f x =化成同解方程()x x ϕ=()k k y x ϕ= ，()k k z y ϕ=21()2k k k k k k k y x x x z y x +-=--+=22k k k k k kx z y z y x --+ （2）计算到-8110k k x x --<为止。

牛顿法计算步骤：给定初始近似值0x ，1ε为根的容许误差，2ε为()f x 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。

计算00(),()f x f x '（1）如果0()0f x '=或者迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行（2）（2）按公式0100()()f x x x f x =-'迭代一次，得到新的近似值1x ，计算11(),()f x f x ' （3）如果101x x ε-<或者12()f x ε<，则迭代终止，以1x 作为所求的根，结束；否则执行（4）（4）以111(,(),())x f x f x '代替000(,(),())x f x f x '，转步骤（1）继续迭代。

数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。

选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。

迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。

矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。

其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。

对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。

课后习题二：a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。

矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。