转动群_414104341

费多洛夫17种平面对称群费多洛夫17种平面对称群是指费多洛夫在1935年提出的17种不同的对称操作所组成的群。

每种对称操作都代表了一种平面图形的对称性质。

下面将详细介绍每一种对称群及其特点。

第一种平面对称群是恒等变换群(E)。

恒等变换就是将图形保持不变，即保持每个点不动。

这是最简单的对称群，由一个元素组成。

第二种平面对称群是镜像变换群(C1)。

镜像变换是将图形绕着某一条直线进行翻转，使得对称轴两侧的图形完全相同。

镜像变换群由两个元素组成，一个是恒等变换，另一个是镜像变换。

第三种平面对称群是旋转变换群(Cn)。

旋转变换是将图形围绕某一点进行旋转，使得旋转后的图形与原图形完全相同。

这里的n表示旋转的度数，可以是正整数。

旋转变换群由n个元素组成，每个元素代表一个旋转操作。

第四种平面对称群是旋转和镜像变换的混合群(Dn)。

旋转和镜像变换的混合群由2n个元素组成，分别为n个旋转元素和n个镜像元素。

旋转元素表示围绕某一点旋转的操作，镜像元素表示沿着某一条直线的翻转操作。

第五种平面对称群是正则二十面体对称群(T)。

正则二十面体是一种由正等边正三角形所组成的立体图形，其对称群由12个旋转元素和20个镜像元素所组成。

第六种平面对称群是四面体镜像变换群(O)。

四面体是一种由四个等边三角形所构成的立体图形，其对称群有四个旋转元素和三个镜像元素。

第七种平面对称群是四方镜像变换群(D2)。

四方是一种由四个正方形所组成的立体图形，其对称群由四个旋转元素和四个镜像元素所组成。

第八种平面对称群是五方镜像变换群(D2)。

五方是一种由五个正等边五边形所组成的立体图形，其对称群有五个旋转元素和五个镜像元素。

第九种平面对称群是六方镜像变换群(D2)。

六方是一种由六个正六边形所组成的立体图形，其对称群有六个旋转元素和六个镜像元素。

第十种平面对称群是七方镜像变换群(D2)。

七方是一种由七个正等边七边形所组成的立体图形，其对称群有七个旋转元素和七个镜像元素。

群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

第七章群论第七章群论§1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。

不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1.封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。

如A属于G：B属于G：则有() （7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。

一个数学群必须首先定义一种乘法。

2.缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。

如A B C=A ( B C )= (A B ) C(7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。

3.单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即E A=A E=A,(7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。

4.逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E,(7.1-4)称为的逆元素。

逆元素可以是该元素本身。

下面我们举几个群的例子（2）G={所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。

满足封闭性和缔合性是显然的。

1是单位元素，任一实数m的逆元素为。

(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。

此例中“乘”的意思是加。

1+2=3 封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n 213（4）G={E、I} ( C i )这个群（称为C i）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。

第七章60C 分子的群论处理§1 60C 分子的结构和对称群60C 分子具有正二十面体的对称性,其对称轴(面)分别为:(1)六个五度对称轴:NS (南北轴),'i i A A )5,4,3,2,1(=i .60C 分子共有S N ,,',i i A A)5,4,3,2,1(=i 十二个正五边形. 60C 的60个碳原子处在这十二个正五边形的顶角上,与每一五边形相连的是五个六边形.共二十个六边形.60C 分子可以看成是一个正二十面体削去十二个顶角形成的. 正二十面体的十二个顶角削去后形成十二个正五边形,二十个正三角形在十二个顶角削去后,形成二十个六边形.(该六边形是否为正六边形不影响分子的对称性.)(2) 二十个六边形的中心连线构成十个三度对称轴60C 分子中的C C −键可分为两类,其一是连接两个六边形的是短键,键长为39.1Å;而另一类是连接一个五边形和一个六边形的是长键,键长为44.1Å.(3) 连接六边形C C −键中点连线构成十五个二度对称轴 上述对称性构成I 群.(正则转动群) (4) 具有空间反演对称{}i E C i ,=,故60C 分子的对称群为i h C I I ⊗=.2'4I 群的共轭类:{}E ,{}512C ,{}2512C ,{}320C ,{}215C 五个共轭类.群阶: 60=g .于是602524232221=++++d d d d d ，11=d ，332==d d ，44=d ,55=d 。

I 群的特征标：这里的251±=±α.i h C I I ⊗=有十个不可约表示,分别是:{}u g u g u g u g u gH H G G T T T T A A,,,,,,,,,2211.§2 完全转动群按点群的简约考虑一个原子中的点子,其Hamiltonian 是球对称的()r V mH +∇−=222ˆ=， 它与完全转动群中的任一转动操作R 的算子R P 对易，即H P P H RR ˆˆ=， 而Hˆ中的角度部分为()22222ˆsin 1sin sin 1,ˆ=Lu =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂∂−=ϕθθθθθϕθ， 即有{}E {}512C {}2512C {}320C {}215C A 1 1 1 1 1 1T 3 +α −α 0 -1 2T 3 −α +α0 -1 G 4 -1 -1 1 0 H 5 0 0 -1 1u P P uR R ˆˆ=， 表明R P 与uˆ（角动量算子）具有共同的本征函数。

写出对称群S4的所有2阶元称群S4是一类特殊的有限群，它是一种换种角度来看待空间结构称群的想法，在对对称性构造方面是一个重要的概念，可以很好地描述物体表示空间。

下面我们就来分析一下对称群S4的2阶元。

1、双指镜对称：$(1,2)(3,4)$这种双指镜对称群可以表达为$(123)=(14)=(23)=(34)=(12)(34)=(14)(23)=(12)(43)$，即将里面4个元素的顺序交换，两个指镜对称就得到了对称群S4。

2、旋转对称：$(1,3)(2,4)$这种旋转对称群可以表达为$(1234)=(1342)=(1423)=(4321)=(12)(34)=(13)(24)=(14)(23)=(23)(14)$，即将里面4个元素的按原序旋转来构成对称群S4。

3、斜指镜对称：$(1,4)(2,3)$这种斜指镜对称群可以表达为$(1234)=(13)(24)=(14)(23)=(24)(13)=(23)(14)=(34)(12)=(43)(21)$，即将里面4个元素交换成对称群S4。

4、对称性：$(1)(2)(3)(4)$这种对称性群可以表达为$(123)=(124)=(134)=(124)=(134)=(234)=(123)=(124)=(134)$，即将里面4个元素按原序构成对称群S4。

由以上四种2阶元可以构成的对称群S4，可以表示为$(1,2)(3,4)(1,3)(2,4)(1,4)(2,3)(1)(2)(3)(4)$。

S4的2阶元表示了一种特殊空间的对称性，它可以帮助我们用计算机系统模拟实际空间，帮助我们更好地进行分析或操作。

而S4的2阶元具有强大的统一性，也可以为后续的不同方向的研究提供解决方案。