常微分方程与动力系统课程教学大纲CourseOutline

《常微分方程》教学大纲课程编码：110826课程名称：常微分方程学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《大学物理》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课。

2．课程任务：《常微分方程》是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

通过本课程的学习，使学生正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法，诸如定性和定量近似求解的思想。

通过学习，使学生熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程（组）的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程（组）的解法，以及了解定性和稳定性的初步理论和方法。

通过常微分方程的教学，使学生了解和掌握常微分方程这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础，同时它在训练学生分析问题和初步解决某些实际问题的能力方面起着显著作用。

二、课程教学基本要求《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门重要专业课，安排在三年级上学期进行，把学生前阶段学习的数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等方面的知识首次较普遍、较深入地结合起来，用以初步解决数学理论和实际问题中出现的一批重要而基本的微分方程问题，同时在这个过程中自然地提出和建立起常微分方程本身的基础理论和基本方法，也为若干后继课程（如数理方程、微分几何、泛函分析等）作好准备。

该课程主要以讲授为主，理论课时为72学时，考核方式为闭卷考试。

成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。

成绩评定采用百分制，60分为及格。

三、课程教学内容第一章绪论1.教学基本要求让学生了解常微分方程的历史，以及它在生活实践中的应用；激发学生对本课程学习的兴趣。

了解常微分方程中的基本概念，为后续学习打好基础。

2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章的教学使学生初步掌握常微分方程产生于社会实践中,掌握常微分方程的线性、非线性,解、隐式解,通解、特解,积分曲线、方向场等基本概念.3.教学重点和难点教学重点是常微分方程及其解的概念，能判断方程的阶数，线性与非线性。

《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。

面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。

二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。

本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。

（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。

2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。

3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。

4．常微分方程所讨论的基本问题。

第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。

本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。

并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。

（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。

《常微分方程》教学大纲课程名称：常微分方程学时：54学分：课程性质：专业必修课考核方式：考试开课对象：一、教学目的常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。

本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。

二、课程内容及学时分配第一章初等积分法（16学时）了解微分方程的背景和基本概念，熟练掌握各类一阶方程(变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程、隐式微分方程)、高阶方程的基本解法。

第二章基本定理 (12学时)理解并掌握存在唯一性定理及证明方法—逐次逼进法，掌握解的延拓定理和解的存在区间。

理解解对初始值与参数的连续性，了解解对初始值的可微性。

了解奇解概念和会求奇解。

会应用存在唯一性定理。

第三章一阶线性微分方程（12学时）理解并掌握线性方程与方程组的基本理论：齐次和非齐次线性方程解的性质、函数线性关系、Wronsky行列式、基本解组、齐次和非齐次线性方程的通解结构定理、Liouville公式。

方程组基解方阵的性质。

第四章 n阶线性微分方程（14学时）熟练掌握常系数线性方程与方程组的解法（高阶非齐次可只讲待定系数法，算子法，Laplace 变换可不讲）。

高阶方程的特征方程方法，方程组的基解矩阵求法，指数矩阵exp(At)求法，通解。

三、教材及教学参考书教材：东北师范大学微分方程教研室，常微分方程（第二版），北京：高等教育出版社.2005教学参考书：常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。

常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。

常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。

常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。

四、说明本课程成绩评定方法：平时成绩30%；期末成绩70%。

《常微分方程》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：常微分方程英文名称：Ordinary Differential Equation课程编号：2411208开课专业：数学与应用数学开课学期：第3学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）本课程是数学与应用数学专业的专业主干课程，是整个数学课程体系中的一个重要组成部分。

本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的思想方法有着重要的意义，以及对培养应用型人才方面起着重要的作用。

3．本课程的教学目的和任务掌握各种特殊类型的常微分方程的求解方法，理解常微分方程的基本概念和一些主要的基本理论，对常微分方程的发展有一个整体的认识，会用常微分方程解决一些简单的实际问题。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程教学时间安排在第三学期。

它是数学分析和高等代数的后续课程，也是泛函分析、微分几何等的前导课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。

因此，在整个课程体系中起着承上启下的作用。

根据毕节学院生源实际和办学的实际情况，教材建议使用王高雄、周之铭等主编教材《常微分方程》（第三版、高等教育出版社）。

通过对本课程的学习，使学生了解微分方程的相关背景知识、理解和掌握基本概念和一些基本的理论；熟练掌握求解各类一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程的初等积分法；理解并掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初始值与参数的连续依赖性及解对初始值的可微性；会用常微分方程解决一些简单的实际问题；为学习本学科的后继课程（微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）打下基础。

5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1．王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松等，常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社，2006.2．叶彦谦，常微分方程讲义（第二版），北京：人民教育出版社，1982.3．丁同仁，李承治，常微分方程教程，高等教育出版社，2003.1.4．金忆丹，复变函数与拉普拉斯变换，浙江大学出版社，2004.8.三教学方法和教学手段说明以讲授、板演为主的教学模式，适当地加入了一些讨论式教学方法。

《常微分方程》课程教学大纲（数学类各专业）泉州师范学院理工学院数学专业2008．01．20（修订）《常微分方程》课程教学大纲学时数：68（其中讲授52学时，习作课16学时）适应专业：数学类各专业先修课程：数学分析高等代数解析几何一、课程的地位、性质和任务：该课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的专业基础课，也是数学联系实际的最重要的一门课程。

通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生应用数学知识解决实际问题的初步能力和创新精神，而且为后继的数学专业各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理、力学、经济、金融等学科和工程技术的桥梁，为学生今后进一步学习和研究打下基础。

二、课程教学的基本要求：该课程在数学类各专业的第四学期开设，每周4课时，总学时数为68课时。

课堂上重点讲授常微分方程的基本概念、基本理论和研究的主要方法，重视把基本理论和主要方法应用于实际问题的研究。

习题课上注重基本解题能力的训练，配备一定数量的习题训练与讨论，并注意基本理论的应用与提高。

配备一定数量的课外作业以配合课堂教学，通过适量的课后练习，使学生充分理解并熟练掌握有关课堂教学内容。

教学中应重视介绍来源于实际的有关例子与问题，以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和创新精神。

三、课程主要内容及学时安排：课时分配表（一）、绪论（讲授4学时）1、教学要求：正确理解基本概念，了解微分方程来源于生产实际及其基本模型，了解常微分方程所要讨论的基本问题以及一阶微分方程解的几何意义。

2、教学内容：（1）实际问题导出微分方程模型举例；（2）基本概念：常微分方程与偏微分方程；微分方程的阶；线性与非线性；微分方程的解；特解与通解；初始条件；初值问题；（3）一阶微分方程的几何意义、方向场、积分曲线；（4）常微分方程所讨论的基本问题及近代发展简介。

（二）、一阶微分方程的初等解法（讲授10学时，习作课4学时）1、教学要求：熟练地求解变量分离方程、齐次方程（可化为齐次方程的方程）、线性方程、伯努利方程、恰当方程；掌握一阶隐式方程的几种可求解类型；初步会用变量变换思想与积分因子技巧解一些复杂的方程。

上海交通大学 致远学院 2016年秋季学期《常微分方程与动力系统》课程教学说明一.课程基本信息1．开课学院（系）：致远学院2．课程名称：《常微分方程与动力系统》 (An Introducation to Differential Equations and Dynamical Systems)3．学时/学分：48学时/ 3学分4．先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何；或线性代数、高等数学。

5．上课时间：星期五 6-8节(12:55-15:40)6．上课地点：东下院 1017．期末考试时间：2017-01-（02-13）考试周8．任课教师：肖冬梅， xiaodm@9．办公室及电话：数学楼2305，54743151转230510．助教：何鸿锦，hehongjin000@11．答疑（office hour）：星期三晚18：30 – 20：30，数学楼2305室二.课程主要内容（如何可以，请提供中英文）除期中考试2学时+习题课2学时外，其余全是课堂教学第一章基本概念（3学时）主要内容：1.1什么是微分方程？什么是常微分方程？常微分方程的分类1.2什么是常微分方程解？什么是特解？什么是通解？1.3常微分方程建模：初始值问题和边界值问题1.4关于常微分方程和解的几何看法：向量场、积分曲线重点与难点：常微分方程和解的几何观点，方向场和积分曲线的作图第二章一阶常微分方程的初等解法（6学时）主要内容：2.1 变量分离法2.2 一阶线性常微分方程2.3 全微分方程（或恰当方程）和积分因子2.4 替代法和某些可解的常微分方程重点与难点：全微分方程和积分因子，变换的技巧第三章基本理论（8学时）主要内容：3.1 解的存在定理、解的存在与唯一性定理3.2 解的延拓3.3 解的连续性与可微性3.4 比较原理重点与难点：解的存在与唯一性第四章线性微分系统（7学时）主要内容：4.1解的性质：线性迭加原理和推广的线性迭加原理；解空间4.2常系数线性系统4.3平面线性系统的分类4.4周期系数的线性微分系统 – Floquet 理论重点与难点：线性微分系统解空间的结构第五章高阶线性常微分方程（6学时）主要内容：5.1解的性质：线性迭加原理和推广的线性迭加原理5.2二阶线性常微分方程：强迫调和振子5.3无阻力强迫与共振重点与难点：强迫与共振第六章非线性自治微分系统（连续动力系统）（8学时）主要内容：6.1动力系统：相空间与轨道6.2线性化6.3相平面上定性分析：平衡点、极限环6.4李雅普诺夫稳定与李雅普诺夫第二方法6.5平衡点的分支：鞍结分支与Hopf 分支重点与难点：动力系统的概念与轨道的定性分析第七章离散动力系统（6学时）主要内容：7.1离散的逻辑斯蒂克方程7.2不动点和周期点；吸引性与排斥性7.3分支与混沌重点与难点：不动点和周期点；吸引性与排斥性；混沌的概念Course Outline:Chapter 1 Basic concepts1.1What is DE? What is ODE? The classifications of ODEs1.2Solution: particular solution, general solution1.3Modeling via ODE: initial value problem (or Cauchy problem) and boundary valueproblem1.4Geometric view on ODE and solution: slope fields(direction field), integral curvesChapter 2 Analytic methods for solving first-order ODE2.1 Separation of variables2.2 The first-order linear differential equation2.3 Exact differential equation and integrating factors2.4 Use of substitutions and some solvable ODEsChapter 3 Fundamental Theorems3.1 Existence and uniqueness theorem3.2 Extendability of solution3.3 Continuity and differentiability of solution3.4 Principle of comparisonChapter 4 Systems of linear ODEs4.1Foundamental theory: the linearity principle and the extended linearity principle；Thespace of solutions4.2Linear system with constant coefficients4.3Classification of planar linear systems4.4Linear system with periodic coefficients --- Floquet theoryChapter 5 High order linear ODE5.1 Foundamental theory: the linearity principle and the extended linearity principle 5.2 Second-order linear ODE: forced Harmonic oscillators5.3 Undamped forcing and resonanceChapter 6 System of nonlinear autonomous ODEs6.1Dynamical system: phase space and orbits6.2Linearization6.3Qualitative analysis: equilibrium, limit cycle in the phase plane6.4Liapunov stability and Liapunov’s second method6.5Bifurcation of equilibrium: saddle-node bifurcation and Hopf bifurcationChapter 7 Discrete dynamical systems7.1the discrete Logistic equation7.2Fixed points and periodic points; attracting and repelling7.3Bifurcation and chaos三.课程考核方式及说明30%为平时成绩（课堂或课间提问，平时作业，大作业等）70%为考试成绩（期中+期末）四.教材与参考书1.《常微分方程教材》（第二版），丁同仁、李承治，高等教育出版社，20042.《Differential Equations》 (Fourth Edition)， Paul Blanchard、Robert L. Devaney、Glen R.Hall， Brooks/Cole，20123.《Differential Equations, Dynamical Systems – An introduction to Chaos》(SecondEdition), Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney, 2007.4.Introduction to ODE and DS， Weinan E, Preprint, 2009。