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机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解2

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复习小结-机械系统动力学讲解

复习小结-机械系统动力学讲解

《机械系统动力学》复习小结第一章 绪论★1.《机械系统动力学》课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法） 主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学单自由度刚体动力学：等效力学模型； 刚体动力学二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法；单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动）、固有频率计算、Duhamel 积分；两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器； 机械振动学 多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法； 弹性体振动：杆的纵向振动、轴的扭转振动、梁的横向自由振动（受迫振动）、几种边界条件下的频率方程； 2. 机械系统的一些基本概念系统、机械系统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。

3. 机械振动的概念及其分类简谐振动：()ϕω+=t A x sin 复数形式 ti Ae x ω=★4. 谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。

Fourier 级数：()()∑∞=++=10sin cos 2n n n n n t b t a a t F ωω★5.机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势第二章 单自由度刚体系统动力学1． 驱动力＆工作阻力的分类 机械特性的概念三相异步电动机的机械特性分析；输出力矩与角速度之间的关系：2ωωc b a M ++=。

★2．等效力学模型原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力所作的功相等。

通常取做定轴转动或直线平动的构件为等效构件。

∑∑==+=nj j j mk kk ke M v FM 11cos ωωωα ∑∑==+=n j j j m k kk k e v M v v F F 11cos ωα∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj jj sjj e J v m J 122ωωω∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j jj sjj e vJ v v m m 122ω 与传动速比有关，与机构的运动速度无关。

机械原理课程教案—机械系统动力学

机械原理课程教案—机械系统动力学

机械原理课程教案—机械系统动力学一、教学目标1. 了解机械系统动力学的基本概念和原理。

2. 掌握刚体动力学、弹性体动力学和齿轮系统动力学的基本分析方法。

3. 能够运用动力学原理解决机械系统设计和运行中的实际问题。

二、教学内容1. 刚体动力学：刚体的运动学方程刚体的动力学方程刚体运动的合成与分解2. 弹性体动力学：弹性体的基本假设和简化弹性体的振动方程弹性体的振动分析和控制3. 齿轮系统动力学：齿轮传动的动力学模型齿轮系统的动态特性和响应齿轮系统的疲劳寿命分析三、教学方法1. 讲授：讲解基本概念、原理和分析方法。

2. 示例：分析具体的案例，展示解题过程。

3. 互动：提问和讨论，促进学生思考和理解。

4. 练习：布置习题，巩固所学知识和技能。

四、教学评估1. 平时成绩：课堂参与、提问和讨论。

2. 习题作业：完成布置的习题，检验理解程度。

3. 课程设计：完成相关的课程设计项目，综合运用所学知识解决实际问题。

五、教学资源1. 教材：推荐《机械系统动力学》等相关教材。

2. 课件：制作详细的课件，辅助讲解和展示。

3. 参考文献：提供相关的参考书籍和学术论文，供深入学习。

4. 网络资源：推荐相关的在线课程和学术资源，供自主学习。

六、教学安排1. 刚体动力学（2课时）刚体的运动学方程刚体的动力学方程刚体运动的合成与分解2. 弹性体动力学（2课时）弹性体的基本假设和简化弹性体的振动方程弹性体的振动分析和控制3. 齿轮系统动力学（2课时）齿轮传动的动力学模型齿轮系统的动态特性和响应齿轮系统的疲劳寿命分析4. 动力学分析方法（3课时）数值分析方法实验方法仿真方法5. 动力学在机械系统设计中的应用（2课时）机械系统的动态特性设计减振和控制设计动力学优化设计七、教学活动1. 刚体动力学（第1周）讲解刚体的运动学方程和动力学方程分析刚体运动的合成与分解2. 弹性体动力学（第2周）介绍弹性体的基本假设和简化推导弹性体的振动方程讨论弹性体的振动分析和控制3. 齿轮系统动力学（第3周）建立齿轮传动的动力学模型分析齿轮系统的动态特性和响应研究齿轮系统的疲劳寿命分析4. 动力学分析方法（第4周）讲解数值分析方法介绍实验方法学习仿真方法5. 动力学在机械系统设计中的应用（第5周）讨论机械系统的动态特性设计分析减振和控制设计探索动力学优化设计八、教学互动1. 课堂提问（每周）学生提问和回答问题教师解答疑问和引导讨论2. 习题讲解（每周）学生完成习题教师讲解习题答案和解题方法3. 课程设计（第5周）学生分组完成相关的课程设计项目学生展示和讨论设计成果教师评价和指导设计改进九、作业与评估1. 习题作业（每周）学生完成布置的习题检验理解程度和应用能力2. 课程设计报告（第5周）评估设计思路和实施效果3. 期末考试（第6周）闭卷考试，考察综合运用能力包括选择题、计算题和问题解答题十、教学参考书1. 《机械系统动力学》，[作者或教材名称]2. 《动力学分析方法与应用》，[作者或教材名称]3. 《弹性体振动与控制》，[作者或教材名称]4. 《齿轮系统动力学》，[作者或教材名称]5. 《机械系统动力学实验指导书》，[作者或教材名称]十一、教学策略1. 案例教学：通过分析具体的机械系统动力学案例，使学生更好地理解和应用所学知识。

机械系统动力学特性的模态分析

机械系统动力学特性的模态分析

机械系统动力学特性的模态分析机械系统动力学是研究物体在受到外力作用下的运动规律和机械系统动态特性的学科。

其中，模态分析是一种重要的方法，用于研究机械系统的固有振动特性。

本文将介绍机械系统动力学特性的模态分析方法及其应用。

一、模态分析的基本概念模态分析是研究机械系统振动模态的一种方法。

模态是指机械系统在自由振动状态下的振动形式和频率。

模态分析通过分析机械系统的初始条件、约束条件和外力等因素，确定机械系统的固有频率和振型，并进一步得到机械系统的振荡特性。

二、模态分析的基本步骤模态分析一般包括以下几个步骤：1. 系统建模：根据实际情况，将机械系统抽象为数学模型，包括质量、刚度、阻尼等参数。

2. 求解特征值问题：通过求解系统的特征值问题，得到系统的固有频率和振型。

3. 模态验算：将得到的固有频率和振型代入原始方程，验证其是否满足振动方程。

4. 模态分析：通过对系统的振动模态进行进一步分析，得到系统的动态响应和振动特性。

三、模态分析的应用模态分析在机械工程领域有广泛的应用。

主要包括以下几个方面：1. 结构优化设计：通过模态分析，可以评估机械系统的固有频率和振型，判断系统是否存在共振现象或其他异常振动情况，为结构设计提供依据。

2. 动力学特性分析：通过模态分析，可以了解机械系统的振动特性，包括固有频率、阻尼特性和模态质量等指标，为系统的动力学性能评估和优化提供依据。

3. 故障诊断与预测：模态分析可以用于机械系统的故障诊断和预测。

通过对机械系统振动模态的变化进行监测和分析，可以判断系统是否存在故障，并提前发现潜在的故障。

4. 振动控制技术：通过模态分析，可以了解机械系统振动的特征，并采取相应的振动控制措施。

比如调节系统的阻尼、改变系统的刚度等，来减小系统的振动幅度，提高系统的稳定性和工作性能。

四、模态分析存在的问题与挑战模态分析作为一种成熟的技术方法，仍然面临一些问题和挑战。

例如，模态分析需要对机械系统进行精确的建模，包括质量、刚度和阻尼等参数的准确度和全面性。

机械系统动力学-PPT课件

机械系统动力学-PPT课件
n
2
，可求解等效转动惯量：
n v i 2 si2 J J （ ) m ( ) e si i i i 1 1
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
等效力矩的计算：
等效构件的瞬时功率：P M e
系统中各类构件的瞬时功率： P P F v cos i 'M i i i'' i si i
0 Md tan 0 n tan Mn
M M n 0 n M d 0 n 0 n ab
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
二、机械的运转过程
1.启动阶段 2. 机械的稳定运转阶段
3. 机械的停车阶段
第十四章 机械系统动力学
P P ' P ' ' M F v cos i i i i i i si i
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
整个机械系统的瞬时功率为：
P M F v cos i i i si i
i 1 i 1 n n
HIGH EDUCATION PRESS
3.机械的停车阶段
停车阶段是指机械由稳定运转的工作转数下降到零转
数的过程。
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
第二节 机械系统的等效动力学模型
一、等效动力学模型的建立 二、等效构件 三、等效参量的计算 四、实例与分析
第十四章 机械系统动力学
作往复移动的等 效构件的微分方 程

机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解2

机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解2

3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
解： 2）求 与 t之间的关系
图3-3-9 等效力矩与时间的关系 图3-3-8 等效转动惯量的导数的变化规律
3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
图3-3-10 曲柄角速度与时间的关系
3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
二、等效力矩是等效构件和角速度的函数 Me Me ,
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
对于常微分方程的定解问题，形如
y f (x, y)
y(x0 )
y0
3-2-1
所谓数值解法, 就是寻求解 y(x) 在一系列离散节点
x1 x2 xn xn1 上的近似值 y1, y2 , , yn , yn1 。
相邻两个节点的间距 hn xn1 xn
一、等效力矩是等效构件转角的函数时，即 M e M e
对上式积分：
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2
J e
2
1 2
J e0 02
0
Me
d
W
J e0 0 2 2W Je
3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法
由 d dt d
dt
t t0
d 0
例3-3-1：对于3-2-1所示的偏置曲柄滑块机构，若已
2!
3! t
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法
x(t t) x(t) x(t)t x(t) t2 x (t) t3 o(t4)
2!
3!
线性加速度法的迭代公式 1
大致具有3阶精度，将上式的最后一项中
即为Newmark- 法。其迭代公式为

机械系统动力学模型的系统可观性分析

机械系统动力学模型的系统可观性分析

机械系统动力学模型的系统可观性分析简介机械系统动力学模型的系统可观性是指通过观测系统的输出，能否唯一地确定系统的状态。

它是控制理论和系统工程领域的一个重要研究方向。

本文将介绍机械系统动力学模型的系统可观性分析的基本原理和方法。

一、机械系统动力学模型机械系统动力学模型是描述机械系统运动规律和力学特性的数学模型。

它通常由一组偏微分方程或常微分方程组成，描述了系统的运动方程和约束条件。

机械系统的动力学模型可以分为刚体系统和弹性系统两种类型。

在进行系统可观性分析时，需要将机械系统的动力学模型转化为状态空间形式。

二、状态空间表示状态空间是描述系统动力学行为的一种数学表示方法。

在状态空间表示中，机械系统的状态被表示为一组状态变量的向量，系统的动力学行为由一组状态方程表示。

通常，状态空间表示可以写成以下形式：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A、B、C和D 是系统的矩阵。

系统可观性的分析基于状态方程和输出方程之间的关系。

三、系统可观性的定义系统的状态可观性是指通过观测系统的输出，能否唯一地确定系统的状态。

如果对于任意的初始状态，通过观测系统输出可以唯一地确定系统的状态，那么系统是可观的。

反之，如果存在两个或多个不同的初始状态，它们产生相同的输出，则系统是不可观的。

四、系统可观性的判定方法1. Kalman可观性条件Kalman可观性条件是最常用的系统可观性判定方法之一。

它基于矩阵运算的性质，通过计算系统的可观性矩阵的秩来判断系统是否可观。

若可观性矩阵的秩等于系统的状态维数，则系统是可观的。

2. Hautus可观性条件Hautus可观性条件是另一种常用的系统可观性判定方法。

它基于特征值的性质，通过计算系统的观测矩阵的行列式值，判断系统是否可观。

若观测矩阵的行列式值不为零，则系统是可观的。

3. 拓扑可观性条件拓扑可观性条件是一种基于系统结构的可观性判定方法。

机械原理课程教案—机械系统动力学

机械原理课程教案—机械系统动力学

机械原理课程教案—机械系统动力学一、教学目标1. 让学生了解机械系统动力学的基本概念和原理。

2. 使学生掌握刚体动力学、弹性体动力学和机器动力学的基本分析方法。

3. 培养学生运用机械系统动力学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 刚体动力学：刚体的运动方程、刚体运动的传递矩阵、刚体动力学的应用。

2. 弹性体动力学：弹性体的基本方程、弹性体的振动分析、弹性体动力学的应用。

3. 机器动力学：机器的动力学模型、机器的动态响应、机器的减振和控制。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解基本概念、原理和分析方法。

2. 利用多媒体演示，生动展示机械系统的动力学现象。

3. 案例分析，让学生通过实际问题理解和掌握动力学知识。

4. 课堂讨论，促进学生思考和交流。

四、教学安排1. 第一课时：刚体动力学基本概念和运动方程。

2. 第二课时：刚体动力学的传递矩阵和应用。

3. 第三课时：弹性体动力学基本方程和振动分析。

4. 第四课时：弹性体动力学的应用。

5. 第五课时：机器动力学的基本概念和动力学模型。

五、教学评价1. 课堂问答，检查学生对基本概念和原理的理解。

2. 课后作业，巩固学生对动力学知识的掌握。

3. 课程设计，培养学生解决实际问题的能力。

4. 期末考试，全面评估学生对机械系统动力学的掌握程度。

六、教学内容6. 机器的动态响应：对外力作用的反应、机器部件之间的相互作用、动态响应的计算方法。

7. 机器的减振和控制：减振原理、减振方法、控制策略、动力控制系统的设计。

8. 动力学实验：动力学实验设备、实验原理、实验方法和实验数据分析。

9. 计算机辅助动力学分析：计算机辅助动力学分析软件、动力学模型的建立、计算方法和结果分析。

10. 动力学在工程中的应用：机械系统动力学在工程设计、生产和维护中的应用案例。

七、教学方法1. 采用讲授法，讲解机器动态响应的原理和计算方法。

2. 通过案例分析，让学生了解机器减振和控制的方法及其应用。

自由度机械系统动力学

自由度机械系统动力学

1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。

机械运动动力学方程

机械运动动力学方程
耗功.
Wc阻抗功；
主动件的速度从零值上升到正常工作速度。
m
TT
o
启动 稳定运转 停车
2)稳定运转阶段 Wd－Wc＝E2－E1＝0
a .匀速稳定运转— 速度保持不变，在任何时间
间隔都有：Wd－Wc＝E2－E1＝0
b .变速稳定运转— 围绕平均速度作周期性波动
一个周期的时间间隔,Wd=Wc,E2=E1; 不满一个周期的时间间隔,Wd≠Wc,E2≠E1
三、飞轮设计 P193
● 飞轮设计的基本问题就是计算飞轮的转动惯量。
根据动能定理：图8-6
W m a x E m a x E m in 1 2 (J J F ) (m 2 a x m 2 in ) (J J F )m 2
得：
Wmax
m2 (J JF
)
W m ax最大盈亏功
根据ωm和许可的δ确定 JF 。
JF
m(D)2 22
mD2 8
B 4m
D 2
盘形飞轮
○ 当飞轮的转动惯量不大时，可采用盘形 飞轮。
○ 飞轮的转动惯量：
当根据安装空间选定飞轮直径D后，即可 计算出飞轮质量m 。
选择飞轮的宽度B：
习题 P197
习题 8-6
习题 8-7
习题 8-8
最大盈亏功： W m axE m axE m in
W m a xE m a x E m in b c(M d M r)d
b点处具有最小的动能Emin，对应 于最大的亏功，其值等于图(a)中的 阴影面积f1；
c点，具有最大的动能Emax，它对 应于最大的盈功，其值等于图(a)中 的阴影面积f2与阴影面积-f1之和。
若在Me和Je的公共周期 内，Wd=Wr 则，即

09-03机械系统运动方程及其求解

09-03机械系统运动方程及其求解

J dω M dt
上式可改写为:
（9.3-7）
9.3 机械系统运动方程及其求解
dddωωt MMJ
α
α
ωdt ω0J αt
ω
ω000ωαωt0t0t1212αtα2t
2
（9.3-8）
式中，0、ω0为等效构件起始位置的角位移和角速度; 为等效构
件角加速度。
这类问题常见于恒定载荷的齿轮传动或机械制动过程中。
9.3 机械系统运动方程及其求解
4. 等效力矩是位置和速度的函数，等效转动惯量是位置的 函数
这类问题采用式(9.3-1)列出其运动方程式
d
1 2
J
ω2
M
,
ωd
这是一个非线性微分方程，通常难以求出其解析解。一般
情况下只能用数值方法求解。
首先，构造一个适宜于数值解的迭代计算公式。为此，将
上式展开
1 ω2dJ J dω M ,ωd
图9-4 简单机械系统
9.3 机械系统运动方程及其求解
内使该传动系统停止运转，问所需的制 动力矩Mr为多大？ 解：选取制动器B所在轴系为等效构件， 其角速度ω３为
ω3
1
i12i23
2π 1420 60
1 2.5 4.5
13.218 rad s 由式（9.2-6），求得其等效转动惯量J
图9-4 简单机械系统
9.3 机械系统运动方程及其求解
9.3.1 机械系统方程式
求解机械的真实运动规律,首先列出机械系统运动方程式。
由于平面单自由度机械系统的动力特性等价于其等效动力学模型,
为此,研究机械系统的运动规律问题就简化为研究等效构件的运
动规律问题。
若以曲柄为等效构件,根据动能定理,其微分形式的动能方程

机械动力学

机械动力学

vSjy aSjy ) J j j j ]
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解 注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数
（Md=Md()，Mr=Mr()， Me=Me()，Je=Je()）
1. 等效构件的角速度
❖
1 2
式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
F
Me
m ( Fkvk
k 1
cosk
q
)
m
(M j
j 1
j )
q
Me表示式中的广义传动比 j / q、vk / q是由机构的尺度和位置决定的， Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q 的变化无关。
单自由度机械系统的动力学方程：
J e q
1 2
J e q
q2
Me
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。
2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。
3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
等效动力学模型的建立
对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运 动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂 的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),建立最简单的等 效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等 效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a。当等效构件 为一个移动滑块时，模型为图b 。

机械结构动力学

机械结构动力学

机械结构动力学机械结构动力学是研究机械结构中各个部件的力学行为和响应的学科。

它涉及到力学、振动、声学等多个领域，旨在解决机械结构在运动中的稳定性、振动和噪声等问题。

本文将从机械结构动力学的基本概念、分析方法和实际应用等方面进行探讨。

一、基本概念机械结构动力学主要关注结构的动态行为，其中包括结构的变形、应力、振动和噪声。

在机械结构动力学中，有几个重要的基本概念需要了解：1. 动力学方程：动力学方程描述了机械结构在外力作用下的运动规律。

它可以通过应力平衡方程和运动方程的推导得到，通常采用差分方程或微分方程形式表示。

2. 振动：机械结构在受到激励力作用下会发生振动。

振动可以分为自由振动和强迫振动两种情况，自由振动是指结构在无外界力的作用下自发地振动，而强迫振动是指结构受到外界激励力的作用而产生的振动。

3. 谐振：当外界激励力的频率与结构自然频率相同时，结构会发生谐振现象。

谐振会导致结构的振幅增大，严重时会引起结构的破坏。

二、分析方法机械结构动力学的分析方法主要包括模态分析、频域分析和时域分析。

1. 模态分析：模态分析是一种常用的动力学分析方法，它通过求解机械结构的振动模态和自然频率，来研究结构的振动特性。

模态分析可以帮助工程师确定结构的固有特性以及振动模式，从而更好地设计和优化机械结构。

2. 频域分析：频域分析是以频率为主导变量的分析方法。

它通过将时域信号转换为频域信号，分析结构在不同频率下的响应情况。

频域分析可以帮助工程师评估结构的振动响应和频域特性，应用广泛。

3. 时域分析：时域分析是指根据结构的动态方程，通过对结构受力、受力速度和位置的时变关系进行求解，来研究结构的动态行为。

时域分析可以得到结构在不同时间段的响应情况，从而实现对结构的动力学性能进行评估。

三、实际应用机械结构动力学在实际工程中有广泛的应用，下面以几个典型的案例进行介绍。

1. 汽车悬挂系统：汽车悬挂系统的设计需要考虑到车辆行驶时产生的振动和冲击加载。

机械原理课程教案—机械系统动力学

机械原理课程教案—机械系统动力学

机械原理课程教案—机械系统动力学一、教学目标1. 理解机械系统动力学的基本概念和原理。

2. 掌握机械系统的受力分析、运动分析和动力分析方法。

3. 能够运用动力学原理解决实际机械系统的问题。

二、教学内容1. 机械系统动力学的定义和分类牛顿力学和相对论力学连续体动力学和离散体动力学2. 机械系统的受力分析力的基本概念和运算刚体和柔体的受力分析约束和自由度的概念3. 运动分析运动的基本概念和描述刚体的运动和柔体的运动运动方程和解题方法4. 动力分析动力的基本概念和运算牛顿运动定律的应用动力方程和解题方法三、教学方法1. 讲授法：通过教师的讲解，引导学生理解和掌握机械系统动力学的基本概念和原理。

2. 案例分析法：通过分析实际案例，让学生学会运用动力学原理解决实际问题。

3. 互动教学法：通过提问和讨论，激发学生的思考和兴趣，提高学生的参与度。

四、教学评估1. 课堂讨论：通过提问和讨论，评估学生对机械系统动力学的基本概念和原理的理解程度。

2. 习题练习：通过布置和批改相关的习题，评估学生对机械系统动力学的受力分析、运动分析和动力分析方法的掌握程度。

3. 课程报告：通过学生提交的课程报告，评估学生对机械系统动力学的应用能力。

五、教学资源1. 教材：推荐学生阅读《机械系统动力学》等相关教材，提供系统的知识框架和学习内容。

2. 课件：制作精美的课件，通过图文并茂的方式，展示机械系统动力学的基本概念和原理。

3. 案例资料：收集相关的案例资料，用于分析和讨论，增加学生的实践经验。

六、教学活动1. 课堂讲解：通过教师的讲解，系统地介绍机械系统动力学的理论知识，引导学生理解和掌握基本概念和原理。

2. 案例分析：选取具有代表性的机械系统案例，让学生通过分析案例来运用动力学原理，提高学生的实际问题解决能力。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，促进学生之间的交流与合作。

七、教学实践1. 实验室实践：安排学生到实验室进行动力学实验，让学生亲自操作，观察和分析实验结果，增强学生对动力学理论的理解和应用能力。

第三章_单自由度机械系统动力学

第三章_单自由度机械系统动力学

2. 等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时
以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些 机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常 数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形 式的运动方程式求解比较方便。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
单自由度机械系统的动力学方程2 q
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。 为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转 化为只有一个独立运动的等效构件，等效构件的运动与机构中相应 构件的运动一致。
§3.1 概 述
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各 构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实 运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握 通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分 方程来研究真实运动规律的方法。
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解
注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）

微分方程与动力系统的数值解法

微分方程与动力系统的数值解法

优点：精度高，稳 定性好，计算速度 快
线性多步法
定义：线性多步法是一类数值求解微分方程的方法，通过多次迭代逐步逼近微分方程的解。
特点：线性多步法具有较高的计算精度和稳定性，适用于求解初值问题和边值问题。
常见方法：常见的线性多步法包括Adams-Bashforth方法、Adams-Moulton方法和预测-校 正方法等。
微分方程数值解 法的基本原理
数值逼近的基本概念
定义：用离散 的数值近似表 示连续的数学
函数
目的：解决微 分方程等连续
问题
方法：有限差 分法、有限元
法等
误差控制：保 证数值解的精
度和稳定性
欧拉方法
定义：欧拉方法是一种 常用的数值求解微分方 程的方法
原理：通过离散化微分方 程，将连续的时间变量离 散为离散的时间点，从而 将微分方程转化为差分方 程进行求解
导数或偏导数
分类：根据微分 方程的形式和性 质，可以分为线 性微分方程和非
线性微分方程
动力系统的基本概念
定义：动力系统是由微分方程描述的一组动态变化的数学模型
分类：根据微分方程的性质，动力系统可以分为线性与非线性、常微分方程与偏微分 方程等类型
状态空间：动力系统的状态由状态空间中的点表示，状态随时间的变化规律由微分方 程描述
添加项标题
数值解法：采用数值方法求解高阶常微分方程初值问题，常用的 方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
添加项标题
稳定性分析：在数值求解过程中，需要分析数值解的稳定性，以 确保计算结果的精度和可靠性。
添加项标题
应用领域：高阶常微分方程初值问题在物理学、化学、生物学等 领域有广泛应用，如振荡器设计、化学反应动力学等。
偏微分方程定义： 描述物理现象中变 量之间依赖关系的 数学方程

大学课件之机械原理机械系统动力学

大学课件之机械原理机械系统动力学

(2)如图所示，ωmax位于Mr与Md的交点d’，斜线部
分c’d的方程为
Md
600
200
π
当Md=Mr， 即
600
200
15 时,
d'
2.925
526.5
ωmin发生在C点，即360o处。
(3)
Wmax
1 2
(200
15)
(2.925π
2π)
85.563π
268.8J
(4)
JF
Wm a x
重 力 G2=350N 的 鼓 轮 ， 其 对 转 动 轴 线 的 转 动 惯 量 J2=2.6kgm2，此时在轴承摩擦阻力矩作用下，飞轮连同鼓
轮的转速在20s内从 200 r/min均匀下降到150 r/min，设 轴承摩擦系数为常数，试求：
(1) 飞轮的转动惯量；
(2) 轴承的摩擦系数。
解
设摩擦力矩为Mf：M f
AB
m M z 3 pb
1 2 2
例3:已知主轴的平均角速度ωm＝20rad/s，以主轴为等效构 件的等效驱动力矩Md和等效阻力矩的变化曲线如图。等效 转动惯量J=0.3kgm2。试求：在稳定运转时，主轴的ωmax和 ωmin等于多少？其相应的主轴位置在何处？
，
解 △Wmax＝(1/2)×40π＝20π J
M J J e Md Mr
d
2
d
e
e dt 2 d
以积分方式表示的机械系统运动方程式为：
J M
0
e d
(Md
0
Mr
)d
1 2
2
e
1 2
J 00 2
机械系统运动方程式的建立
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t) t)
x(t) y(t)
y(t)t f (x, y,
t)t
校正： xy((tt
t) t)
x(t) （y(t) y(t y(t) ( f (x, y,t)
t))t / 2 f (x(t t),
y(t
t),
t
t
))t
/
2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法 Newmark- 法是线性加速度法之一。对于具有关于时间2 阶导数的单自由度机械系统运动微分方程式，其 x(t t) 的Talar展开式：
其欧拉法的迭代公式为
x(t t) x(t) y(t)t
y(t
t)
y(t)
y(t)t
y(t) f (x, y,t)
x(t t) x(t) y(t)t
y(t
t)
y(t)
f
( x,
y, t )t
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法 改进的欧拉法的迭代公式为：
预报： xy((tt
称为步长，一
般在计算时常取步长为定值,这时节点为
xn x0 nh, n 0,1, 2,
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
初值问题3-2-1的数值解法的求解过程为：给出用已知
信息 yn , yn1, yn2
计算 yn1 的递推公式，从初
始条件出发，顺着节点排列的次序一步一步地向前推
x(t
t)
x(t)
x(t)t
t 2 2!
x(t)
t 2 [ x(t +t )-x(t )]
x(t t)
x(t)
t [x(t+t)+x(t)] 2
式中 为调节公式特征的参数，一般取值范围为
0 1/2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法 对于多自由度振动系统运动微分方程：
yn1 yn h( xn , yn , h)
其中 称增量函数，可表示为
r
( xn , yn , h)= ciKi
K1
i 1
f (xn , yn )
i 1
Ki
f (xn
ih, yn
h ijK j )
j 1
i 2, , r
2
2!
t2[X (t+t)-X (t)]} F(t+t)
整理移项：
X
(t +t )=[M+
C
t
(t)2 K]-1{F (t+t)
C[ X
(t)
t
X
(t)]
2
2
K[ X (t) tX (t) (1 )t2 X (t)]}
2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-3 Runge-Kutta法
xn
通过增加积分求积的结点数提高计算精度，故将右端 的积分表示为
xn 1
r
f (x, y(x))dx h ci f (xn ih,y(xn1 ih))
xn
i 1
一般来说，接点数越多，计算越准确
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-3 Runge-Kutta法 仿照欧拉法的迭代公式，写成
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
对于具有关于时间2阶导数的单自由度机械系统运动微分 方程，形如
x f (x, x,t) x(0) x0, x(0) x0
可令 x y 将上式转化成1阶常微分方程组
y f (x, y,t) x y x(0) x0, y(0) y0 x0
改进的欧拉法以 Pn 和 Pn+1 两个节点的差商的平均值来 代替导数，由于 值为待求值，故计算 结点的差商采用 预测，其迭代公式
预测： 校正：
yn1 yn hf (xn , yn )
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
( xn1, yn1)]
可以证明，欧拉法具有1阶精度，而改进的欧拉法具有2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
对于常微分方程的定解问题，形如
y f (x, y)
y(x0 )
y0
3-2-1
所谓数值解法, 就是寻求解 y(x) 在一系列离散节点
x1 x2 xn xn1 上的近似值 y1, y2 , , yn , yn1 。
相邻两个节点的间距 hn xn1 xn
x(t t) x(t) x(t)t x(t) t2 x (t上式中取前三项， 若认为加速度在区间[ t , t+t ]
为线性变化，则有
x (t)= x(t+t)-x(t) t
代入上式
x(t t) x(t) x(t)t t2 x(t) t3 x(t+t)-x(t)
MX (t) CX (t) KX (t) F(t)
t+t 时刻有关系式
MX (t+t) CX (t+t) KX (t+t) F (t+t)
代入式Newmark- 法迭代公式
MX (t+t) C[X (t) t X (t+t) X (t)] K{X (t) X (t)t t2 X (t)
Runge-Kutta法是求解常微分方程应用最多的方法之一。 对于微分方程的定解问题，欧拉法求解，其截断误差 O(h2 ) 故具有1阶精度，改进欧拉法，由于预测了 结点的差商并 用 两个节点的差商的平均值来代替导数，可望达到2阶精
度。实际上，在区间[ xn , xn1 ]的等价积分形式为
xn 1
y(xn1) y(xn ) f (x, y(x))dx
进。即所谓“步进式”算法。
欧拉法以节点的差商代替导数值，构成的递推公式为：
yn1 yn xn1 xn
f (xn , yn )
即欧拉（Euler）公式： yn1 yn hf (xn , yn )
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
从图3-2-1（b）可以看出，由于欧 拉法是以差商代替导数，其误差较 大。为了提高计算精度，一种办法 是减小步长，但会导致累计误差增 大，当步长减小到一定程度后，计 算精度提高受限。另一种办法是改 进算法，如改进的欧拉法、RungeKutta法等。
2!
3! t
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法
x(t t) x(t) x(t)t x(t) t2 x (t) t3 o(t4)
2!
3!
线性加速度法的迭代公式 1
大致具有3阶精度，将上式的最后一项中
即为Newmark- 法。其迭代公式为
3!用
代替，