§3-4 平面力偶系的合成与平衡§3-1 力对点之矩§3-2 力偶与力偶矩§3-3 力偶的等效【本章重点内容】力矩和力偶的概念;力偶的性质;平面力偶系的合成与平衡.§3-1 力对点之矩§3-1 力对点之矩一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .()()OO M F h M =±⋅=×r r r r F F rF（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩r F（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；r F r F解：根据力对点之矩的定义()3sin 20010N 0.4m 0.86669.2 N m O M F h Fl α=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，α=120°，试求力对O 点之矩.r F例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义()2O M F h=−⋅r F()2O M F h=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.r F第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩一、力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(),′r r FF两个要素1.大小：力与力偶臂乘积2.方向：转动方向力偶矩ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂二、力偶矩三、力偶与力偶矩的性质（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.()()()()11111,O O O M M M F d x F x Fd′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()()222,O M F d x F x F d Fd′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M()O M rF M F d=⋅第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效一、平面力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.C 二、平面力偶等效定理证明在力偶( F , F ′)作用面上，任取两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交于C 点和D 点；则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.联结C 、D 两点，在CD 连线方向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，P ′= F ′+Q ′,F ′Q=力偶的等效自由矢量，与作用点无关===三、力偶的两个推论1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.第三章力矩平面力偶系§3-4 平面力偶系的合成与平衡已知;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F dM=d F M 11=22F d M=dF M n n −=n n F d M=d F M 22==一、平面力偶系的合成=R 12n F F F F =++−L R12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M===R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1ni ii M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.二、平面力偶系的平衡平衡方程合力偶M 的表达式1234iM M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.顺时针方向转动04415N m 60N mM =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大？解：四个力偶在同一平面内，因此这四个力偶的合力偶矩为例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为多少？解：（1）以联轴器为研究对象假设四个螺栓受力均匀，每个螺栓反力四个反力组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡.1234F F F F ===（2）列平面力偶系平衡方程M =∑00M F AC F BD −×−×=而AC BD=故0 2.5kN m 8.33kN 220.15mM F AC ⋅===×例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力.解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.B r F A r F A r F B r F平衡方程M =∑得0cos30A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆沿ED 方向R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB得R 5540N m 156N 40.32m 40.32mCM F ×⋅===××故R R 156ND C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.2400.180.24C M F CD −+××=+0M =∑列平衡方程R D DE F F =O练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图=∑M 0sin 1=⋅−θr F M A 解得8kN O A F F ==Ar O2M A F取杆BC ，画受=∑M A F ′⋅解得28kN mM =⋅8kNB A F F ==OA F Ar O2M θA r 2M一、平面内的力对点O 之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.()OM F h=±⋅rF四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即∑=iM M 平面力偶系的平衡条件为=∑iM三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.第三章力矩平面力偶系本章结束。
