第3章力矩与平面力偶系教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。
这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。
教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。
力对点之矩1.力矩的概念力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。
以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺母能绕点O转动。
由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。
因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。
其中距离d称为F对O 点的力臂，点O称为矩心。
由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O 点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
图由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即m o(F)＝±2ΔABC（3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米（kN•m）。
由上述分析可得力矩的性质：（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
力矩随矩心的位置变化而变化。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。
（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
2.合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。
m o(F R)＝m o(F1)＋m o(F2)＋…＋m o(F n)即m o(F R)＝Σm o(F)（3－3）上式称为合力矩定理。
合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。
这个定理也适用于有合力的其它力系。
例试计算图中力对A点之矩。
图解本题有两种解法。
（1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。
先求力臂d。
由图中几何关系有：d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα所以m A(F)=F•d=F(asinα-bcosα)（2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。
将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得m A(F)= m A(F x)+ m A(F y)=－F x•b+ F y•a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα)本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。
力偶和力偶矩1.力偶和力偶矩在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。
例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图3.3a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图）；以及用两个手指拧动水龙头（图3.3c）所加的力等等。
在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号( F ,F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
图实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。
因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。
在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积Fd加上适当的符号，作为力偶对刚体转动效应的量度，称为力偶矩，用M或M( F ,F′)表示，即M＝±F•d (3-4)式中的正负号表示力偶使刚体转动的方向，通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位与力矩的单位相同，在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米（kN•m）。
力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。
力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。
平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：(1) 力偶矩的大小；(2) 力偶在作用面内的转向。
2.力偶的基本性质及等效条件力和力偶是静力学中两个基本要素。
力偶与力具有不同的性质：性质一力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。
因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
性质二力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
图如图所示，力偶( F ,F′)的力偶矩m(F)＝F•d在其作用面内任取一点O为矩心，因为力使物体转动效应用力对点之矩量度，因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内任何一点的矩的代数和来量度。
设O到力F′的垂直距离为x，则力偶( F ,F′)对于点O的矩为m o( F ,F′)= m o( F )+ m o( F′)= F（x+d）-F′x=F•d = m 所得结果表明，不论点O选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。
所以力偶对物体的转动效应总取决于力偶矩（包括大小和转向），而与矩心位置无关。
由上述分析得到如下结论：在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩相等，则这两个力偶等效。
这就是平面力偶的等效条件。
根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：推论1力偶可在其作用面内任意移动或转动，而不会改变它对物体的作用效应。
推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。
由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。
因此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。
图平面力偶系的合成与平衡条件1.平面力偶系的合成作用在刚体同一平面内的各个力偶，称为平面力偶系。
设作用于刚体的同一平面内的三个力偶( F1,F1′) ( F2,F2′) 和( F3,F3′)，如图所示。
各力偶矩分别为：m1＝F1•d1，m2＝F2•d2，m3＝－F3•d3，图在力偶作用面内任取一线段AB＝d，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改为以为d力偶臂的力偶( P1,P1′) ( P2,P2′) 和( P3,P3′)。
如图所示。
由等效条件可知P1•d=F 1•d1，P2•d＝F2•d2，－P3•d＝－F3•d3则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。
然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系（图）。
将这两个共线力系分别合成，得F R＝P1＋P2－p3F R′＝P1′＋P2′－P3′可见，力F R与F R′等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（F R，F R′），如图所示。
为偶（F R，F R′）称为原来的三个力偶的合力偶。
用M表示此合力偶矩，则M＝F R d＝（P1＋P2－P3）d= P1•d+P2•d－P3•d=F 1•d1+F2•d2－F3•d3所以M＝m1＋m2＋m3若作用在同一平面内有n个力偶，则上式可以推广为M＝m1＋m2＋…＋m n＝Σm （3－5）由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力偶矩的代数和。
2.平面力偶系的平衡条件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。
由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。
即Σm ＝0 （3－6）平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。
例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 ,求工件的总切削力偶矩和A 、B 端水平反力图解: 各力偶的合力偶矩为 由力偶只能与力偶平衡的性质，力A N 与力 B N 组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: 例 一平行轴减速箱如图所示，所受的力可视为都在图示平面内。
减速箱输入轴I 上作用一力偶，其矩为500-1=m N ·m ；输出轴II 上作用一反力偶，其矩为20002=m N ·m 。
设AB 间距80=l cm ，不计减速箱重量。
试求螺栓A 、B 以及支承面所受的力。
图mN m m m m ⋅====154321mN 60)15(4 4321⋅-=-⨯=+++=m m m m M 02.04321=----⨯m m m m N BN 3002.060==∴B N N300==∴B A N N解：取减速箱为研究对象。
减速箱除受1m 、2m 的两个力偶矩作用外，还受到螺栓与支承面的约束力的作用。
因为力偶必须用力偶来平衡，故这些约束力也必定组成一力偶，A 、B 处的约束反力方向如图所示，且B A F F =。
根据平面力偶系的平衡条件，列平衡方程∑==n i i m10 021=-+l F m m A18758.020*******=+-=+=l m m F A N 得1875==B A F F N约束力A F 及B F 分别由A 处支承面和B 处螺栓产生。
其中A F 是支承面的反作用力，因而，A 处支承面受压力，B 处螺栓受拉力。
例 如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A 、B 、C 、D 的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d ＝150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩m ＝ kN •m ，试求每个螺栓所受的力为多少图解 取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。
设4个螺栓的受力均匀，即F 1＝F 2＝F 3＝F 4＝F ，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。
由 Σm ＝0， m －F ×AC －F ×d ＝0解得本章小结本章研究了平面力偶系的合成和平衡问题：1.本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。
2.力偶系的合成和平衡应用下面公式进行求解∑==n i im M 1∑==n i i m10习 题将图所示A 点的力F 沿作用线移至B 点，是否改变该力对O 点之矩图 图一矩形钢板放在水平地面上，其边长a ＝3m ，b ＝2m （如图所示）。
按图示方向加力，转动钢板需要P ＝P ′＝250N 。
试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小，并求这个最小力的大小。
一力偶( F 1 ,F 1′)作用在Oxy 平面内，另一力偶( F 2 ,F 2′)作用在Oyz 平面内，力偶矩之绝对值相等（图），试问两力偶是否等效为什么图图中四个力作用在某物体同一平面上A 、B 、C 、D 四点上（ABCD 为一矩形），若四个力的力矢恰好首尾相接，这时物体平衡吗为什么图力偶不能与一力平衡，那么如何解释图所示的平衡现象图试计算图中力F对点O的矩。
