(完整版)拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用林天军 5140309331 F1403014摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方 程, 这样的电路称二阶电路。

用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、 难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s 数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。

这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。

关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。

一、前言拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。

他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s 域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。

1.拉氏变换设时域函数()f t 在区间[0，∞）内的定积分为()0st f t e dt ∞--⎰而式中，其复 频率为s j σω=+。

若该积分在s 某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为0()()st F s f t e dt ∞--=⎰则复频域函数()F s 定义为时域函数()f t 的拉普拉斯变换—（简称拉氏变换），简记为()[()]F s f t ζ=，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的()f t 中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。

2.拉普拉斯变换的基本性质（1）线性性质若11[()]()f t F s ξ=，22[()]()f t F s ξ=，则对任意常数1a 及2a （实数或虚数）有112211221122[()()][()][()]()()a f t a f t a f t a f t a F s a F s ξξξ+=+=+（2）微分性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()(0)d f t sF s f dtξ-=- （3）积分性质若[()]()f t F s ξ=，则01[()]()t f d F s s ξττ-=⎰ （4）时移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()st f t e F s ξτ--=（5）频移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()t e f t F s a αξ=-3.拉普拉斯逆变换复频域的象函数()F s ,与因子st e 相乘,构成一个s 的新函数()st F s e ,再从()j σ-∞到()j σ+∞对s 求定积分, 将积分值除以2j π,即得原函数()f t 。

瞬态过程与拉普拉斯变换引言瞬态过程是动态系统中的一个重要概念，用于描述系统从初始状态到稳定状态的过渡过程。

在理论和实际应用中，瞬态过程的分析对于了解系统的行为和性能至关重要。

本文将介绍瞬态过程以及拉普拉斯变换在瞬态过程分析中的应用。

一、瞬态过程的定义瞬态过程是指系统在初始时刻或受到某个外部激励时，从一个非稳定的状态转变到另一个稳定的状态的过程。

通常，瞬态过程包括开始阶段和结束阶段，其中开始阶段是系统从非稳定状态逐渐接近稳定状态的过程，而结束阶段是系统收敛到稳定状态的过程。

二、瞬态过程的描述瞬态过程可以用数学模型来描述。

通常，利用微分方程和差分方程等数学工具来描述系统的动态行为。

这些方程包含了系统输入、输出以及系统各个部分之间的关系，通过求解这些方程可以得到系统在不同时刻的状态。

三、拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将时域函数转换为复频域函数。

通过拉普拉斯变换，我们可以在复平面上分析系统的频率响应、稳定性以及瞬态过程。

拉普拉斯变换的数学定义较为复杂，这里不作展开，但需要指出的是，拉普拉斯变换能够将微分方程转化为代数方程，便于分析和求解。

四、拉普拉斯变换在瞬态过程分析中的应用1. 瞬态过程的初值定理拉普拉斯变换为瞬态过程的分析提供了便利。

根据瞬态过程的初值定理，系统在初始时刻的响应可以通过拉普拉斯变换后的函数在复频域的初始条件来描述。

2. 瞬态过程的末值定理同样，拉普拉斯变换也为瞬态过程的末值定理提供了数学表达。

末值定理能够描述系统的响应在趋近稳定状态时的极限值，是分析瞬态过程收敛性的重要工具。

3. 瞬态过程的响应计算通过对系统的拉普拉斯变换进行部分分式展开，可以得到系统的瞬态响应的数学表达式。

这个表达式能够给出系统在不同初始条件和激励下的响应。

五、拉普拉斯变换的局限性拉普拉斯变换虽然在瞬态过程分析中具有重要的应用，但是它也有其局限性。

首先，拉普拉斯变换对于非因果系统和不稳定系统不适用。

一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。

对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。

通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。

对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。

同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。

一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。

自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。

强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。

对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。

这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。

在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。

巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。

二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。

对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。