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拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用林天军 5140309331 F1403014摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方 程, 这样的电路称二阶电路。
用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、 难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s 数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。
这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。
关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。
一、前言拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。
他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s 域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。
1.拉氏变换设时域函数()f t 在区间[0，∞）内的定积分为()0st f t e dt ∞--⎰而式中，其复 频率为s j σω=+。
若该积分在s 某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为0()()st F s f t e dt ∞--=⎰则复频域函数()F s 定义为时域函数()f t 的拉普拉斯变换—（简称拉氏变换），简记为()[()]F s f t ζ=，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的()f t 中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。
2.拉普拉斯变换的基本性质（1）线性性质若11[()]()f t F s ξ=，22[()]()f t F s ξ=，则对任意常数1a 及2a （实数或虚数）有112211221122[()()][()][()]()()a f t a f t a f t a f t a F s a F s ξξξ+=+=+（2）微分性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()(0)d f t sF s f dtξ-=- （3）积分性质若[()]()f t F s ξ=，则01[()]()t f d F s s ξττ-=⎰ （4）时移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()st f t e F s ξτ--=（5）频移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()t e f t F s a αξ=-3.拉普拉斯逆变换复频域的象函数()F s ,与因子st e 相乘,构成一个s 的新函数()st F s e ,再从()j σ-∞到()j σ+∞对s 求定积分, 将积分值除以2j π,即得原函数()f t 。
拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
内容摘要：（1）一阶电路的解法：经典解法和拉普拉斯解法（2）二阶电路的拉普拉斯解法
通过这两个例子中的经典解法和拉普拉斯解法的对比来体现出拉普拉斯变换在解决复杂电路问题的快捷、省时、简便优越性！
关键词：拉普拉斯变换、一阶电路、二阶电路
引言：通常研究电路的稳态只要利用代数方程就行了，而研究电路的瞬态就需要借助于微分方程。
因为只有微分方程才能不仅表明状态而且能表明状态的变换即过程！在分析解决电路瞬态问题时每一个不同的电路瞬态就要建立一个微分方程，解决一些简单问题的微分方程对我们打学生来说相对比较容易一些，而对于一些复杂的高阶微分方程将是一个大难题！本文将通过对一阶电路和二阶电路的微分方程的分析来证明拉普拉斯变换在解决瞬态电路问题是优越性！
正文：随着计算机的飞速发展,系统分析和设计的方法发生了革命化的变革，原来用传统的模拟系统来进行的许多工作现在都可以用数学的方法来完成。
因此，数学电路、离散系统的分析方法就更显的重要了。
拉普拉斯变换一直是分析这类系统的有效方法。
下面用一个实例来证明其的优越性！
例一有一个电路如下图所示，其电源电动势为E=EmSinwt(Em、w都
是常数)，电阻R 和电感L 都是常量，求电流i(t).
解法一——传统法
有电学知识知道，当电流变化时，L 上有感应电动势——L
(t →0)
Us R i +
-。
试验二二阶系统的瞬态响应分析一、试验目的1.把握二阶系统的传递函数形式并能够设计出相应的模拟电路；2. 了解参数变化对二阶系统动态性能的影响。
二、试验设施1.THBDC-1型掌握理论•计算机掌握技术试验平台；2.PC机一台(含“THBDC-1”软件)、USB数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB接口线。
三、试验内容1.观测二阶系统在1和。
＞1三种状况下的单位阶跃响应曲线；2.调整二阶系统的开环增益K，使系统的阻尼比ζ =0.707,测量此时系统的超调量八调整时间4(A= ±0.05)；3. ζ为定值时，观测系统在不同①〃时的阶跃响应曲线。
四、试验原理1.二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
其微分方程的一般形式为dc~ (t) ex dc( t) 2 / ∖ 2 / ∖——J + 2电--L+ COΠc(t) = ωn r(t)dr dt上式经拉普拉斯变换整理得到二阶系统的传递函数的一般形式为∖C(S)ωnW(s) = --------- =- ------------ --------- -R( s) s2+ 2ζωn s + ωtl^从式中可以看出，。
和①〃是打算二阶系统动态特性的两个特别重要的参数。
其中，ζ称为阻尼比；①〃称为无阻尼自然振荡频率。
由二阶系统传递函数的一般形式可知，二阶系统闭环特征方程为s2+ 2ζωll s + ωtj2 - 0解得闭环特征方程的根%2 =-疑〃±6。
〃犷二当阻尼比7不同范围内取值时，特征方程的根也不同，下面针对。
的三种不同取值范围进行争论。
1)Q<ζ<l（欠阻尼）系统特征根为一对具有负实部的共挽复根，即4,2 =S[±jsN'-L,系统的单位阶跃响应的时域表达式为1C(t) = ↑ - -7 -------- :e" sin(0J d t + β)√l-c2其阶跃响应曲线呈衰减震荡过程，如图2・1 (a)所示。
瞬态过程与拉普拉斯变换引言瞬态过程是动态系统中的一个重要概念，用于描述系统从初始状态到稳定状态的过渡过程。
在理论和实际应用中，瞬态过程的分析对于了解系统的行为和性能至关重要。
本文将介绍瞬态过程以及拉普拉斯变换在瞬态过程分析中的应用。
一、瞬态过程的定义瞬态过程是指系统在初始时刻或受到某个外部激励时，从一个非稳定的状态转变到另一个稳定的状态的过程。
通常，瞬态过程包括开始阶段和结束阶段，其中开始阶段是系统从非稳定状态逐渐接近稳定状态的过程，而结束阶段是系统收敛到稳定状态的过程。
二、瞬态过程的描述瞬态过程可以用数学模型来描述。
通常，利用微分方程和差分方程等数学工具来描述系统的动态行为。
这些方程包含了系统输入、输出以及系统各个部分之间的关系，通过求解这些方程可以得到系统在不同时刻的状态。
三、拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将时域函数转换为复频域函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以在复平面上分析系统的频率响应、稳定性以及瞬态过程。
拉普拉斯变换的数学定义较为复杂，这里不作展开，但需要指出的是，拉普拉斯变换能够将微分方程转化为代数方程，便于分析和求解。
四、拉普拉斯变换在瞬态过程分析中的应用1. 瞬态过程的初值定理拉普拉斯变换为瞬态过程的分析提供了便利。
根据瞬态过程的初值定理，系统在初始时刻的响应可以通过拉普拉斯变换后的函数在复频域的初始条件来描述。
2. 瞬态过程的末值定理同样，拉普拉斯变换也为瞬态过程的末值定理提供了数学表达。
末值定理能够描述系统的响应在趋近稳定状态时的极限值，是分析瞬态过程收敛性的重要工具。
3. 瞬态过程的响应计算通过对系统的拉普拉斯变换进行部分分式展开，可以得到系统的瞬态响应的数学表达式。
这个表达式能够给出系统在不同初始条件和激励下的响应。
五、拉普拉斯变换的局限性拉普拉斯变换虽然在瞬态过程分析中具有重要的应用，但是它也有其局限性。
首先，拉普拉斯变换对于非因果系统和不稳定系统不适用。
拉普拉斯变换法分析瞬态响应及其举例陈奎孚 整理 中国农业大学应用力学系1. 理论基础设()f t 是定义在0t >上的时间函数，其拉普拉斯变换的记为()[()]F s f t 或L ,它是如下的积分0()[()]()exp()d F s f t f t st t ∞==−∫L式中：s 为复数,函数exp()st −是变换核。
用分步积分容易验证拉普拉斯有如下的微分性质+++2++[()]=()-(0)[()]=[()-(0)]-(0)=()-s (0)-(0)f t sF s f f t s sF s f f s F s f f ′′′&&L L (1)可利用这个性质来分析单自由度系统的控制方程： ()mxcx kx f t ++=&&& (2) 其中：()f t 和()x t 分别为激励和响应；,m c 和k 分别为振系的质量、阻尼和刚度系数。
对式(2)两边取拉普拉斯变换，并利用上述的微分性质得到2[()(0)(0)][()(0)]()()m s X s sx xc sX s x kX s F s +++−−+−+=& (3) 其中()X s 和()F s 分别为瞬态响应和激励的拉普拉斯变换,0()[()]()exp()d F s f t f t st t ∞==−∫L()[()]()exp()d X s x t x t st t ∞==−∫L (4)将式(3)整理得2()()()+(0)()(0)ms cs k X s F s mxms c x ++++=++& 则系统响应的拉普拉斯变换为()(0)()(0)()()()F s mxms c x X s D s D s ++++=+& (5) 其中()D s 就是特征多项式2()D s ms cs k =++在零初始条件下有(0)0,(0)0xx ++==&,于是 ()()()F s X s D s =(6) 函数1()D s 称为传递函数，记为()H s ,即211()()H s D s ms cs k==++ 形式上它就是将(j )H ω的j ω记成s 而已。
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
内容摘要：（1）一阶电路的解法：经典解法和拉普拉斯解法（2）二阶电路的拉普拉斯解法
通过这两个例子中的经典解法和拉普拉斯解法的对比来体现出拉普拉斯变换在解决复杂电路问题的快捷、省时、简便优越性！
关键词：拉普拉斯变换、一阶电路、二阶电路
引言：通常研究电路的稳态只要利用代数方程就行了，而研究电路的瞬态就需要借助于微分方程。
因为只有微分方程才能不仅表明状态而且能表明状态的变换即过程！在分析解决电路瞬态问题时每一个不同的电路瞬态就要建立一个微分方程，解决一些简单问题的微分方程对我们打学生来说相对比较容易一些，而对于一些复杂的高阶微分方程将是一个大难题！本文将通过对一阶电路和二阶电路的微分方程的分析来证明拉普拉斯变换在解决瞬态电路问题是优越性！
正文：随着计算机的飞速发展,系统分析和设计的方法发生了革命化的变革，原来用传统的模拟系统来进行的许多工作现在都可以用数学的方法来完成。
因此，数学电路、离散系统的分析方法就更显的重要了。
拉普拉斯变换一直是分析这类系统的有效方法。
下面用一个实例来证明其的优越性！
例一有一个电路如下图所示，其电源电动势为E=EmSinwt(Em、w都
是常数)，电阻R 和电感L 都是常量，求电流i(t).
解法一——传统法
有电学知识知道，当电流变化时，L 上有感应电动势——L
(t →0)
Us R i +
-。
电路中的瞬态分析和稳态分析电路是电子工程的重要组成部分，而电路分析是电子工程的基础，其中瞬态分析和稳态分析是电路分析中的两个重要概念。
瞬态分析和稳态分析都是研究电路中电压和电流变化的方法，但它们侧重点和目的有所不同。
瞬态分析是研究电路中电压和电流在初始或瞬间发生变化时的情况。
在电路刚刚通电或者断电时，电压和电流会发生瞬间的变化，我们需要通过瞬态分析来研究这种变化。
例如，当电路中的电容器和电感器充电或放电时，电压和电流都会经历瞬态过程。
这时，我们可以通过建立微分方程或使用拉普拉斯变换等方法，来分析电压和电流如何随时间变化，以及它们的最终趋势。
稳态分析则是研究电路在稳定状态下的电压和电流情况。
在电路运行一段时间后，电压和电流会达到一个稳定的状态，不再发生明显的变化。
这时，我们可以通过建立方程组或使用基尔霍夫定律等方法，来分析电路中各个元件的工作状态和性能。
例如，在一个由电阻、电容和电感器组成的电路中，当电路运行一段时间后，电压和电流会稳定在一个特定的数值，我们可以通过稳态分析来计算这些数值。
瞬态分析和稳态分析在电子工程中起着不可或缺的作用。
瞬态分析可以帮助我们了解电荷和能量如何在电路中传递和储存，从而更好地设计和优化电路。
稳态分析则可以帮助我们评估电路的稳定性和性能，从而确保电路的正常运行。
除了研究电压和电流的变化，瞬态分析和稳态分析还可以应用于其他方面。
例如，在电源系统中，电路中的突发电流和瞬态电压都会对设备的正常运行产生影响，通过瞬态分析和稳态分析，我们可以预测和解决潜在的问题。
同时，在信号处理和通信系统中，对电路中的瞬态和稳态进行分析也可以帮助我们优化信号传递和处理的效果。
总结起来，电路中的瞬态分析和稳态分析是电子工程中必不可少的工具。
瞬态分析关注电压和电流的瞬间变化，而稳态分析则关注电压和电流的稳定状态。
这两种分析方法在电路设计、电源系统、信号处理等领域都有广泛的应用。
通过瞬态分析和稳态分析，我们能够更好地理解和优化电路的性能，从而提高电子产品的品质和可靠性。
拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
内容摘要：（1）一阶电路的解法：经典解法和拉普拉斯解法（2）二阶电路的拉普拉斯解法
通过这两个例子中的经典解法和拉普拉斯解法的对比来体现出拉普拉斯变换在解决复杂电路问题的快捷、省时、简便优越性！
关键词：拉普拉斯变换、一阶电路、二阶电路
引言：通常研究电路的稳态只要利用代数方程就行了，而研究电路的瞬态就需要借助于微分方程。
因为只有微分方程才能不仅表明状态而且能表明状态的变换即过程！在分析解决电路瞬态问题时每一个不同的电路瞬态就要建立一个微分方程，解决一些简单问题的微分方程对我们打学生来说相对比较容易一些，而对于一些复杂的高阶微分方程将是一个大难题！本文将通过对一阶电路和二阶电路的微分方程的分析来证明拉普拉斯变换在解决瞬态电路问题是优越性！
正文：随着计算机的飞速发展,系统分析和设计的方法发生了革命化的变革，原来用传统的模拟系统来进行的许多工作现在都可以用数学的方法来完成。
因此，数学电路、离散系统的分析方法就更显的重要了。
拉普拉斯变换一直是分析这类系统的有效方法。
下面用一个实例来证明其的优越性！
例一有一个电路如下图所示，其电源电动势为E=EmSinwt(Em、w都
是常数)，电阻R 和电感L 都是常量，求电流i(t).
解法一——传统法
有电学知识知道，当电流变化时，L 上有感应电动势——L
(t →0 )
+ – L
Us R i +
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