矩阵分析 酉矩阵

充分性设矩阵a酉相似于对角阵则有audiagaaudiag必要性由schur定理uuau故r是正规矩阵由于r是上三角矩阵故r为对角阵结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值矩阵酉相似于对角阵对角线上元的特征值所有特征值均为实数结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值矩阵酉相似于对角阵对角线上元的特征值特征值或为0或为纯虚数结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值为酉矩阵为特征值均落在单位圆周上的正规矩阵为酉矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值特征值的模均为1矩阵酉相似于对角阵对角线上元矩阵酉相似于对角阵对角线上元为酉矩阵为特征值均落在单位圆周上的正规矩阵酉矩阵hermite矩阵hermite矩阵正规矩阵的特征值位置决定矩阵的类型二谱分解为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值audiag正规矩阵的谱分解ai为正交投影阵22单纯矩阵的谱分解apdiag单纯矩阵的谱分解ai投影阵singularvaluedecompositionsvd前面介绍的jordan分解schur分解谱分解只适用于方阵
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基，令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵，并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
（4）A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 k det Ak 0 (k 1, , n)

那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵的谱半径及其性质
定义：设 A Cmn ，A 的 n 个特征值为 1, 2 , , n ，我们称
(A) max{1 , 2 , , n }
为矩阵 A 的谱半径。 例 1 ：设 A Cmn ，那么
(A) A
这里 A 是矩阵 A 的任何一种范数。
例 2 ：设 A 是一个正规矩阵，则
d1 A(k) A A(k) A d2 A(k) A
这样，当
lim A(k) A 0
k
时同样可得
lim A(k) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
同数列的极限运算一样，关于矩阵序
列的极限运算也有下面的性质。
（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A(k) A, lim B(k) B
证。现在考虑矩阵范数的相容性。
设 B 0 ，那么
ABX
A(BX )
AB max
max(
i
X 0
X
X 0 BX
A(BX )
BX
max
max
BX 0 BX
X 0 X
AX
BX
max
max
X 0 X
X 0 X
A B
i
i
因此 A 的确满足矩阵范数的定义。 i
BX )
X
最后证明 A 与 X 是相容的。
2
定理：设 A Cmn ，则
m
（1）
A 1
max( j i1
aij
),
j 1, 2,
,n
我们称此范数为矩阵A 的列和范数。

定理：任意酉矩阵A可以表示为A=U exp( S j ), 其中，U为实正交矩阵，S为实对称矩阵, j为虚根单位。

证明：{分析：如果假设成立，那么由A=U exp(S j)，我们消去U，可得A T A = exp(2S j)。

由假设S为对称矩阵，因此存在正交矩阵V=(v1,v2,…,v n)，使得S=VDV T, 其中D为实对角矩阵，D=diag(d1,d2,…,d n)。

那么exp(2S j)=V exp(2D j) V T,这样就有(A T A)V =V exp(2D j),写为分量形式为e⋅v k , k=1,2,...,n.(A T A)v k= 2k d j因此问题归结为，对于A T A的任意特征值，存在一个实特征向量。

}由于A为酉矩阵，对于A T A的任意特征值λ和相应特征向量x, 我们有A T Ax=λx,即λ−1A T Ax=x .由于A T A是酉矩阵，因此|λ|=1，从而λ−1=λ。

这样我们就有λA T Ax= x, 同时由于A T A为酉矩阵，因此(A T A)H=A T A。

对λA T Ax= x两边取共轭有λA T Ax=x,等式两边左乘以A T A可得λx=A T A x即，A T A x=λx, 因此对于特征值λ，x和x都是相应特征向量. 设x=u+j⋅v的实部向量为u和虚部向量v,由于x为非零向量，因此u或v至少一个为非零向量，因此，对于A T A的任意特征值，存在一个实特征向量。

又因为A T A为酉矩阵,所以A T A为正规矩阵，存在实正交矩阵V和对角矩阵D1使得A T AV =VD1且D1的每个对角元素为单位复数。

因此可设D1=diag(1j eλ⋅2j eλ⋅n j eλ⋅), 其中λ1,λ2,...,λn 为实数，并且根据复指数函数的周期性，我们可以选择0≤λk≤2π，或者−π≤λk≤π，k=1,2,...,n. 令D=(1/2) diag(λ1,λ2,...,λn)得到(A T A)V =V exp(2D j),因此A T A =V exp(2D j)V T=exp(2j⋅VDV T)令S=VDV T, U=A exp(−S j).那么显然由U=A exp(−S j)有A=U exp(S j);由A T A =exp(2j⋅VDV T)得到A T A =exp(2j⋅S). 下面证明U为实正交矩阵。

矩阵分析课后习题答案第二章 内积空间14 . 设A , B 均为厄米特矩阵, 证明: AB 为厄米特矩阵的充要条件是AB = BA .证明： H A A =,H B B =()HH H AB AB B A AB =⇔=即 AB BA =17 . 证明:两个正规矩阵相似( 酉等价) 的充要条件是特征多项式相同.证明：设A , B 是两个n 阶的正规矩阵，如果A 与B 是酉等价的，则存在酉矩阵Q ，使得1H B Q AQ Q AQ -==()11E B E Q AQ Q E A Q E A λλλλ--⇒-=-=-=-即A , B 有相同的特征多项式反之，A , B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值集合{}12,,,n λλλA ,B 是正规矩阵，则存在酉矩阵1Q 及2Q ，使得1111122n Q AQ Q BQ λλλ2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 则有 ()()11111121121212B Q Q A Q Q Q QA Q QP A P------=== 易知，112p Q Q -=是酉矩阵，即A , B 是酉相似的。

第三章 矩阵的标准形6 . 在复数域上, 求下列矩阵的约当标准形:()11 -1 2 3 7 -3 3 0 8 4 5 -2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 3 -3 6 ; (2) -2 -5 2; (3) 3 -1 6; (4) -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥2 -2 4-4 -10 3-2 0 -5⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥2 -2 1 ⎢⎥⎢⎥-1 -1 1⎣⎦解 (1) 特征矩阵为λλλ-1 1 -2⎡⎤⎢⎥-3 +3 - 6⎢⎥⎢⎥-2 2 -4⎣⎦所以行列式因子为()()121D D λλλ==，，()()232D λλλ=-不变因子为()()()()()()()()()231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλλλ== ==, ==-2全部初级因子为()2,,λλλ-故约当标准型为 2J 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0 0⎢⎥⎢⎥0 0 0⎣⎦(2) 特征矩阵为λλλ -3 - 7 3⎡⎤⎢⎥ 2 +5 -2⎢⎥⎢⎥ 4 10 - 3⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()31()()D i i λλλλ=--+不变因子为()()()()()()()()()231123121,1()()D D d D d d i i D D λλλλλλλλλλλ== ==1, ==--+全部初级因子为1,,i i λλλ- - +故约当标准型为 J i i 1 0 0⎡⎤⎢⎥=0 0⎢⎥⎢⎥0 0 -⎣⎦(3) 特征矩阵为5λλλ -3 0 -8⎡⎤⎢⎥ -3 +1 -6⎢⎥⎢⎥ 2 0 +⎣⎦所以行列式因子为()()()()1231,1,1D D D λλλλλ3= =+ =+不变因子为()()()()()()()()()2231123121,1D D d D d d D D λλλλλλλλλλ== ==+1, ==+全部初级因子为21,1)λλ+ (+故约当标准型为 J -1 0 0⎡⎤⎢⎥= 0 -1 0⎢⎥⎢⎥ 0 1 -1⎣⎦(4) 特征矩阵为λλλ -4 - 5 2⎡⎤⎢⎥ 2 +2 -1⎢⎥⎢⎥ 1 1 - 1⎣⎦所以行列式因子为()()211D D λλ==，()()331D λλ=-不变因子为()()()()()()()()()3231123121,D D d D d d D D λλλλλλλλλ== ==1, ==-1全部初级因子为()31λ-故约当标准型为 J 1 0 0⎡⎤⎢⎥=1 1 0⎢⎥⎢⎥0 1 1⎣⎦8 . 证明: ( 1)方阵A 的特征值全是零的充要条件是存在自然数m ,使得A m = 0; ( 2) 若A m = 0 , 则1A E +=.证明：(1) 如λ为A 的任一特征值，A 为n 阶方阵，则m λ为m A 的特征值，若0m A =则m n E A E λλλ-==，即A 的特征值为0。

例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||

编号：审定成绩：重庆邮电大学矩阵分析小论文学院名称：通信与信息工程学院学生姓名：胡晓玲专业:信息与通信工程专业学号:S160101047教师：安世全时间：2016 年 12 月矩阵在MIMO 信道和保密通信上的应用矩阵广泛应用于通信的各个环节，例如:奇异矩阵,酉矩阵等MIMO 上的应用；可逆矩阵在保密通信上的应用；生成矩阵，监督矩阵在信道编码上的应用;Toeplitz 和Hankel 矩阵在通信信号处理中的应用等。

本文主要讨论矩阵在MIMO 信道和保密通信上的应用。

一、 矩阵应用于MIMO 信道我们知道MIMO 信道在不增加频谱资源和天线发射功率的情况下能显著提升系统容量，同时提高信道的可靠性，降低误码率。

是4G 和未来5G 中的一个非常重要的技术，因此对MIMO 的信道进行建模研究具有巨大的指导意义.本文首先建立了MIMO 信道模型,利用矩阵理论得出MIMO 信道简化模型，再结合信息论计算出信道容量，并得出结论.首先建立一个MIMO 信道模型,发射端通过空时映射将要发送的信号映射到多根天线上发送出去，接收端将各根天线接收到的信号进行空时译码从而恢复出发射端发送的数据信号.当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的， 这样，MIMO 系统的信道用一个n*m的复数矩阵H 描述。

H 的子元素a ij 表示从第x i （i=1，2，…n)根发射天线到第y j (j=1，2,。

m)根接收天线之间的空间信道衰落系数。

1121112222n n αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪H 信宿发送信号可以用一个n*1的列向量X =（x 1，x 2…。

x n )表示，其中x i 表示 在第i 个天线上发送的数据.用一个m*1的列向量Y =(y 1，y 2…y m ）表示,其中y i 表示在第i 个天线上接收的数据。

信道中的噪声为高斯白噪声n 。

通过这样一个模型,在t 时刻接收信号可以表示为：发送信号的协方差：Rxx=E[XX H ］ 发送信号的功率：P=tr （R xx ） 噪声的协方差:R nn =E[nn H ］ 接收信号的协方差：因为x 与噪声n 不相关，所以MIMO 信道容量做一般性推导下面根据信息论知识，我们对MIMO 信道容量做一般性推导。

1
酉矩阵： U U
H
1
U 为酉矩阵 U的列(行)向量为C n的标准正交基
任意复方阵都可以酉相 似于一个上三角矩阵
U AU R=+N
H
定理证明：对n作数学归纳法
当n =1，结论显然成立。 假设结论对n-1的矩阵成立，下面考虑A为n方阵 取矩阵A的一个特征值为 1 ，设其对应的单位特 征向量为 1 ，则有

2.概念：酉相抵

1. 酉相抵：
酉
F 上的m n矩阵A与B称为酉相抵，如果有m阶 和n阶酉方阵U 和V , 使UAV B, 记为A B
酉相抵关系是一种等价关系！也称为“酉等价”

酉相抵标准型定理：
酉相抵标准型定理
定理3
设A F mn ,rankA = r ,记
2 specAH A 12 , 2 ,
i Ai
T i
Ai 为A的 投影阵
单纯矩阵的 谱分解
三、矩阵的奇异值分解
Singular value decomposition
(SVD)
1.概述



前面介绍的Jordan分解、Schur分解、谱分解 只适用于方阵。 对角矩阵比上三角矩阵更容易计算 奇异值分解把矩阵分解称为酉矩阵与对角矩阵 的乘积 奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA的酉相似 分解的。
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵分解（二）
Matrix Decomposition 理学院 2011年10月
本讲主要内容 Schur分解、谱分解与奇异值分解

2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。

（1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。

(1)证明：),(αβ＝HA αβ=HHA )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+HHHA A AHA αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==njnij ijiHy ax A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==njnij ij i y a y ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤njnij ij i njninjnij ijij ijiy a y x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝0000201于是ε1＝（0，1，0）T 是A 的特征向量。

选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---52830631取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。

当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝21，于是，α1＝（ --52，51）T 是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。

矩阵分析试题中北⼤学33§9. 矩阵的分解矩阵分解是将⼀个矩阵分解为⽐较简单的或具有某种特性的若⼲矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应⽤中常见的⽅法。

由于矩阵的这些特殊的分解形式，⼀⽅⾯反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另⼀⽅⾯矩阵分解⽅法与过程往往为某些有效的数值计算⽅法和理论分析提供了重要的依据，因⽽使其对分解矩阵的讨论和计算带来极⼤的⽅便，这在矩阵理论研究及其应⽤中都有⾮常重要的理论意义和应⽤价值。

这⾥我们主要研究矩阵的三⾓分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

⼀、矩阵的三⾓分解——是矩阵的⼀种有效⽽应⽤⼴泛的分解法。

将⼀个矩阵分解为⾣矩阵（或正交矩阵）与⼀个三⾓矩阵的乘积或者三⾓矩阵与三⾓矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应⽤必将带来极⼤的⽅便。

⾸先我们从满秩⽅阵的三⾓分解⼊⼿，进⽽讨论任意矩阵的三⾓分解。

定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则上三⾓矩阵11121222000??= ?n n nn a a a a a R a称为正线上三⾓复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三⾓复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则下三⾓矩阵11212212000??= ?n n nn a a a L a a a称为正线下三⾓复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三⾓复（实）矩阵。

定理1设,?∈n nn A C （下标表⽰秩）则A 可唯⼀地分解为1=A U R其中1U 是⾣矩阵，R 是正线上三⾓复矩阵；或者A 可唯⼀地分解为2=A LU其中2U 是⾣矩阵，L 是正线下三⾓复矩阵。

矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1）证明在上述定义下，nC 是⾣空间；（2）写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。

2、已知2111311101A --??=?-??，求()N A 的标准正交基。

提⽰：即求⽅程0AX =的基础解系再正交化单位化。

3、已知308126(1)316,(2)103205114A A --??=-=-??----??试求⾣矩阵U ，使得HU AU 是上三⾓矩阵。

提⽰：参见教材上的例⼦4、试证：在nC 上的任何⼀个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。

5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求⾣矩阵U ，使H U AU 为对⾓矩阵，已知11332611(1)6322312623i i A i i ??--=--???01(2)10000i A i -=??，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--=----?+--??11(4)11A -??=??6、试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对⾓矩阵，已知220(1)212020A -=---??，11011110(2)01111011A -??-?=-??-??7、试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +=-??-，222(2)254245A -??=---8、设n 阶⾣矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。

反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是⾣矩阵。

证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，⽭盾，所以矩阵E U +满秩。

有理数：Q 实数：R 复数：C数域：复数的一个非空集合P含有非零的数，且任意两数的加减乘除仍属于该集合，则称数集P为一个数域。

（所有数域都包含0，1）向量空间：设V是向量的集合，P是一个数域，若满足：1.，，有；2.，，，有（）；3.一个零元素，记作，对任意，都有；4.，，，，元素称为的负元素；5.，都有；6.，，；7.，，；8.，，，；则称集合V为数域P上的线性空间，或向量空间。

满足加法A+B=C,C是V中唯一的，符合满足乘法kA=C,C是V中唯一的，符合P是实数域，V就是实线性空间P是负数域，V就是复线性空间基：V是数域P上的线性空间，若V中存在一组向量，满足：1.向量组线性无关；2.V中任意一个向量都可由这个向量组线性表示；则称该向量组为构成V的一个基。

若V的一个基中向量个数为n，称n为V的维数，记为dimV=n;坐标：，称为向量在基下的坐标。

取定一组基后，每个向量在这个基下的坐标是唯一确定的，的第i个坐标也称之为第i个分量。

子空间：设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对于线性空间V所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的线性子空间，简称子空间。

充要条件是：1.若，，则;2.，，则；也就是说W关于V中定义的两个运算是封闭的。

线性变换：数域P上的线性空间V的一个变换T满足：1.；2.；内积空间：设V是实数域R上的线性空间，如果对V中任意两个向量，都有一个实数(记为（，）)与它们相对应，并且满足以下条件：1.，，；2.，，3.4.，当且仅当，等号成立；则线性空间V称为实内积空间，简称内积空间，且实数（，）成为向量（，）的内积。

又被称为欧式空间（Euclid）内积空间具有以下性质：1，，.2.3.4.等号当且仅当，线性相关时成立向量长度（模）（范数）：设，则非负实数称为的长度，并记为即定义长度为：；若=1，则称为单位向量，对于任意非零向量，取则是与线性相关的单位向量，这种做法称为向量的单位化。

酉矩阵概念及性质
酉矩阵是在线性代数研究中分析及其他研究，例如信号处理，系统设计等，有着重要地位
的一种矩阵类型。

它的定义是一个极大的可操作的长方形矩阵，它的主要特性是行数和列
数均为偶数，它可以在特定的坐标系中被定义。

酉矩阵有一系列特定的性质。

首先，偏移矩阵是主对角线上元素零化的矩阵，即主对角线
上元素均为零。

第二，它可以被分解为两个子矩阵及其相反的对角矩阵的乘积。

第三，它
的乘积可以在它的状态空间中表示。

第四，它的元素、行列式以及其他属性可以通过两个子矩阵及它们的对角矩阵求得。

第五，它能够完全表达当前变量之间的线性关系。

酉矩阵在许多学科中都被广泛应用，特别是在生物技术、电气工程、物理、传感器工程、
信号处理等领域都有着重要的地位。

它被广泛应用于传感器技术，为传感器系统提供了可
靠的方案，从而促进了传感器技术的发展和应用。

在信号处理的应用中，酉矩阵可以用来
分析和处理信号，从而获得更准确的结果。

系统设计中，它可以用来估算系统改进后的性能，以及评估系统变化对系统性能的影响。

总之，酉矩阵是一种重要的矩阵类型，因其自身的特殊性质，在众多学科的应用中发挥着
重要的作用，它的应用不仅有利于提高系统的可靠性和性能，而且还有利于更深入研究系
统的运作原理，充分发挥其应用价值。

第5节对称与反对称变换那么称是V 的一个对称变换。

定义5.1：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=T 定理5.2：是欧氏空间V 的一对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。

T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= T A A=12(,,,)n nn u u u U ⨯∈ 定理5.3：欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。

T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。

那么称是V 的一个反对称变换。

定义5.2：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=-T 定理5.5：是欧氏空间V 的反对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。

T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= TA A =-12(,,,)n nn u u u U ⨯∈第6节正规矩阵、Schur引理定义6.1：酉相似（正交相似）,()()n n n n n n n n A B C or R U U or E ⨯⨯⨯⨯⎫∈⎬∃∈⎭1H U AU U AU B -==1()T U AU U AU B -==酉相似（正交相似）定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。

证明：（1）n=1时显然成立，假设你n=k-1时结论成立，即k-1阶矩阵A 酉相似于一个上三角矩阵。

（2）n=k 时：111A αλα=11A αλ是矩阵的对应于特征值的单位特征向量（2）n=k 时：111A αλα=1α12(,,,)k ααα 扩充成K 阶酉矩阵1U =12(,,,)k A ααα 11210(,,,)0k A λααα**⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1AU =k-1阶矩阵11H W AW R =111100H U AU A λ**⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭上三角矩阵21let U W ⎛⎫== ⎪⎝⎭12112100H H U U AU U R λ⊗⊗⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。

H
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1

2

1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx

第一题正交矩阵定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。

n阶正交矩阵的集合记为。

1.正交矩阵与运算的关系1.1.和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵。

如：取,则，但，所以。

但若又取,；则=。

1.2.伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵。

(充分性) 若是正交矩阵，则可逆，且也是正交矩阵，而，又因为，所以是正交矩阵。

(必要性) 反之若是实矩阵且是正交矩阵，则可逆，于是可逆。

由于,故，又由于，故，由得，所以也是正交矩阵。

1.3对角化：若为正交矩阵且有n 个特征值，则正交相似于对角矩阵因为由3（３）的推论，对任意的正交矩阵，有正交矩阵为上三角矩阵，由于都是正交矩阵，所以也是正交矩阵，而，所以，是上三角的，而是下三角的，所以为对角矩阵；又因为这个根据3（２）的证明，这个正交矩阵一定是对称的，所以再根据3（５）1的证明且正交矩阵的特征值为，可得正交相似于不过在附录中正交矩阵与（反）对称矩阵关系的讨论中我们可以发现一个正交矩阵可找到另一个正交矩阵，使这个正交矩阵化为准对角形式，而且这个命题的逆方向也是正确的，即若能找到另一个正交矩阵，使某个矩阵化为准对角形式，则这个矩阵是正交矩阵！1.4.与对称矩阵：设，则的充分必要条件是,是一个对角矩阵。

（充分性）。

（必要性）由3（３）的推论，是上三角矩阵，在两边加转置，可得，是下三角矩阵，所以是对角的，不仅对角化，还可以化到以特征值为对角元的对角矩阵，因为对称变换中不同特征值对应的特征向量必正交。

酉矩阵定义：若一行列的复数矩阵满足：其中，为的共轭转置，为阶单位矩阵，则称为酉矩阵。

2A Hadamard matrix of order n is an n×n matrix with elements in {+1,−1} such that HHT = nIn where HT is the transpose of H and In is the identity matrix of order n. This class of matrices are useful in many practical applications. Q1 Does Hadamard matrix exist for anyorder? Please list a Hadarmard matrix of order n with n ≤20 if such a matrix exists. Q2 Design two Hadamard matrices H = [h1,h2,···,hn] and G = [g1,g2,···,gn] of order n = 2m (where m is odd) such that •{h1,h2,···,hn/2} is orthogonal to {g1,g2,···阿达玛矩阵的顺序是一个n×n矩阵元素{ + 1−1 },遗传性出血性毛细血管扩张症=外祖母在HT的转置H和n阶单位矩阵。

解题技巧第一章 矩阵的相似变换1.判断矩阵A 是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

理论依据：（1）A 酉相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵（即：HH AA A A =）。

（2）Hermite 矩阵（A A H=)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。

注：酉矩阵A （H A A=-1，1det =A ），HA ：先转置，再共轭（虚部取反）。

结论：所以判断矩阵A 是否是正规矩阵，只需判断A AH=是否成立，若A A H =成立，则存在酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

（当矩阵A 中都为实数时，THA A =)解题步骤：（1）由A 为Hermite 矩阵（A AH=)或实对称矩阵，推出A 为正规矩阵。

（2）由()A I -λdet 求得矩阵的特征值i λ，并求出相应的特征向量i p 。

（3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。

只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。

正交化公式：()()量）为重根的另一个特征向为重根的一个特征向量21111222111(,,)(x y x x x x x y x x y -== (4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量321,,q q q 组成的矩阵），对角矩阵AU U 1-（为特征值所组成的对角矩阵)。

（注：内积计算公式：()x y y x H=,，尤其注意虚数的计算）2.求解矩阵的最小多项式()λA m 。

理论依据：（1）最小多项式()λA m 包含A 的所有互不相同的特征多项式的因式。

（2）特征多项式必须是零化多项式。

（3）设nn CA ⨯∈，i λλλ ，，2是A 所有互不相同的特征值，则：()()()()t mi mmA m λλλλλλλ---= 2121，其中i m 是A 的标准型J 中含i λ的Jordan 块的最高阶数。

第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。