酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结

线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。

其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。

本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。

一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。

酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。

酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。

这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。

2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。

这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。

3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。

设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。

4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。

即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。

二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。

1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。

在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。

2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。

3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。

4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。

三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。

1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。

广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵
侯谦民;刘修生
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2007(027)005
【摘要】本文研究了有限个广义酉矩阵与广义(反)Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵.利用矩阵的张量积和诱导矩阵的性质,得到了它的张量积和诱导矩阵仍为广义酉矩阵与广义(反)Hermite矩阵.
【总页数】5页(P583-587)
【作者】侯谦民;刘修生
【作者单位】湖北经济管理大学公共课部,湖北,武汉,430074;黄石理工学院数理学院,湖北,黄石,435003
【正文语种】中文
【中图分类】O152.2
【相关文献】
1.广义酉矩阵和广义(斜)Hermite矩阵的约当标准形 [J], 徐进;盛兴平
2.广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵 [J], 方玲凤;蔡静
3.k-广义酉矩阵与k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵 [J], 郑建青
4.广义Hermite矩阵及广义酉矩阵 [J], 王社宽
5.广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的一些性质 [J], 程静;何承源
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》酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 2摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。

在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。

本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。

本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。

关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。

<The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 2|AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix; Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵\定义1.1.1满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:HU表示矩阵U 的共轭转置，即HU =-U '.]定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义是相互等价的. 从定义或定义或定义知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成nC 的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4]对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5]对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6]对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6]n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E =定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是（.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:（)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.证明 因为{HH U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E （）（）（）（）所以-1U 是酉矩阵.、定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E （）（）（），所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵，则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()HU U U U1212H H U U U U =）22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证，21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵，则kU （k 为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ，2U 是酉矩阵，则12U U ，21U U ；21'U U ，12'U U ；112U U -，112U U -；1121U U U -，1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ，2U 是酉矩阵，则*12U U ，*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，则k 12U U ，k 21U U ，k m12U U （k , m 为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U （） 证明 因为~12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E （）（）（）12211122H H =E +U U +E +U U +E （）（）E =因此，当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时,1212HU +U U +U =E （）（），记12U +U 也是酉矩阵，从而-112U +U （）1212H H H =U +U =U +U （）-1-112=U +U注: 定理表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det 1U =，其中det U 表示U 的行列式.^证明 由E HU U =得)(1U U det detE H==detU detU H = gdetU U det =gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵，则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎤⎥⎦也是酉矩阵.￥证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵.因为H11111111U U U U -U U -U U ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦~1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵.定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =（，，，，，）其中,1i j nu u u u ，，，，，是U 的两两正交单位向量. 显然&,1i j n u u u u λ，，，，， (1λ=)以及,1i j nu u u u ，，，，，也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==）可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=（1-）而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=]定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是HU 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与HU =U '的特征值全部相同,因此λ是HU 的特征值, 所以1λ是H -1U =U （）的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得(=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0Hξη=, 即ξ与η正交.；定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UUU U HH==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ，的模为1.引理1.2.2 [9]设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵、1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos k k k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+,cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==，是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U 有复特征值111cos +isin λθθ=…则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12k a ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+~为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化./1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又H U U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q =E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''~从而P P+Q Q =E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同. 下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式. 用n U 表示全体n 阶酉阵; nn C⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.…证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121* (1-2-1)由条件**=AA A A 得AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得C 01<ij i j n=≤≤，从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U , 使得()H ij U AU =T =t，其中,0ij j ij t t i >j λ==，,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵. 证明 用归纳法证明.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ，定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221211211111k Hk H k H k k HHHk H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于1111,1H H 1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦\由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T , 为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫⎪⎝⎭显然, U 为由阵且11210*10001H H 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 12*0H212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.—第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵..1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵. (2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.;在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T1-为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A 是正规矩阵时，求酉矩阵U ，使得AU U H为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ；(3) chur 正交单位化的方法，求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ； (4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12Hn U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵，则A 能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ%则H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成，所以通过A 的相似对角矩阵求n A .￥!第二章 Hermite 矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义：~1．定义 矩阵A=[ija ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵，是指A=A*，其中A*=TA =[jia ]。

hermitian的特征值Hermitian矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质。

其中之一就是其特征值都是实数。

本文将从不同角度介绍Hermitian矩阵的特征值，以及与其相关的一些性质和应用。

一、Hermitian矩阵的定义和性质Hermitian矩阵是指对于任意一个复数向量x，其共轭转置与原向量的点积等于原向量与该矩阵相乘后的向量的点积。

也就是说，如果A是一个n阶矩阵，如果对于任意一个n维复数向量x，都有x的共轭转置与A乘积的点积等于x的共轭转置与x的点积，那么矩阵A 就是Hermitian矩阵。

Hermitian矩阵的特征值都是实数，这是一个重要的性质。

假设A 是一个Hermitian矩阵，lambda是它的一个特征值，v是对应的特征向量。

那么根据特征值和特征向量的定义，有Av=lambda*v。

将等式两边都取共轭转置，得到(Av)^H=(lambda*v)^H，即v^H*A^H=v^H*lambda^H。

由于A是Hermitian矩阵，所以A^H=A，而lambda^H=lambda。

所以v^H*A=v^H*lambda。

再将这个等式与v^H相乘，得到v^H*A*v=v^H*lambda*v。

由于v^H*v是一个实数，所以lambda也必须是实数。

二、Hermitian矩阵的对角化由于Hermitian矩阵的特征值都是实数，所以可以将其对角化。

也就是说，存在一个酉矩阵P，使得P^H*A*P是一个对角矩阵。

这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。

对角化的好处在于可以简化矩阵的运算，使得求解问题更加方便。

三、Hermitian矩阵的应用由于Hermitian矩阵具有特征值为实数的性质，所以在物理学和工程学中有着广泛的应用。

比如在量子力学中，能量算符是一个Hermitian矩阵，它的特征值就代表了系统的能量。

在信号处理中，相关矩阵也是Hermitian矩阵，它的特征值可以用来表示信号的功率分布。

关于Hermite矩阵的一些性质作者：李东方刘会彩来源：《卷宗》2016年第01期摘要：本文给定两个Hermite矩阵A、B 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵AB 的迹的一些不等式，进而得到矩阵之和A+B 的一些特征值不等式。

以及通过研究正定Hermite矩阵Schur 补的迹和特征值的性质，得到了正定Hermite矩阵和的Schur 补与正定Hermite矩阵Schur 补的和的迹和特征值之间的不等式.关键词：Hermite矩阵，特征值，矩阵的迹，Schur补众所周知对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且已有大量的研究文献。

1 预备知识定义1 设矩阵，若（是指的共轭转置），则称A 为Hermite矩阵。

定义2 称为矩阵A 的迹。

定义3 如果非负矩阵A 的所有行和以及列和均为1，就称A 是双随机矩阵。

定义4 设表示n ×n 阶矩阵. 是非奇异主子阵，我们称是A 关于的Schur 补，记为 .引理1 矩阵为Hermite矩阵，则A 的所有特征值都是实数。

引理2 矩阵为Hermite矩阵，其特征值为它们按任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵，使得引理3 矩阵为双随机矩阵，当且仅当对某个存在置换矩阵和正纯量，使得，且 .引理4 设为一置换，为按递增顺序排列的两个数列，则有： .引理5 设是正定矩阵，若，那么 .引理6 若存在非奇异阵使得，那么证明因为所以引理7 若A ≥0 ，B ≥0 ，那么A + B ≥0引理8 若是半正定Hermite矩阵，是非奇异主子阵，那么半正定.证明设，取，有因A 半正定，由引理6 ，知半正定.2 主要结果定理1 设A， B 均为n ×n Hermite矩阵，它们的特征值分别依次从大到小排列为：，则有证明 A 为正定Herm ite矩阵时，由于A， B 均为n ×n He rmite矩阵，则分别存在酉矩阵W， V 使得：则：记，易知U仍为酉矩阵，故有：由知是双随机矩阵，记Ω为双随机矩阵的集合，考虑如下极大值问题：由于Ω为一有界闭凸集，上面问题的目标函数是关于的线性函数，故它在Ω的某一端点上取得极大值. 而由引理3知双随机矩阵集合的端点为置换矩阵，故存在置换矩阵使其中为一置换矩阵对应的置换，于是由引理4，可得：（2）如果A 是非正定的，则存在充分大的实数m >0，使得A +m I为正定阵（ I为n ×n阶单位阵），则A+m I的特征值为，由（2）有：即：又因为：所以：故结论成立。

Vol.27(2007)No.5数学杂志J.o f Math.(PRC)广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵*侯谦民1,刘修生2(1.湖北经济管理大学公共课部,湖北武汉430074)(2.黄石理工学院数理学院,湖北黄石435003)摘要:本文研究了有限个广义酉矩阵与广义(反)H ermite矩阵的张量积和诱导矩阵.利用矩阵的张量积和诱导矩阵的性质,得到了它的张量积和诱导矩阵仍为广义酉矩阵与广义(反)Her mite矩阵.关键词:广义酉矩阵;广义H ermite矩阵;张量积;诱导矩阵MR(2000)主题分类号:15A15;15A45 中图分类号:O152.2文献标识码:A 文章编号:0255 7797(2007)05 0583 051 引 入文献[1]提出了广义酉矩阵与广义H ermite矩阵的概念,研究了他们的性质,得到了许多新的结果.无论是对深入研究矩阵,还是在辛几何、信号分析、控制论、物理学等学科的应用上,无疑都是有价值的.而矩阵的张量积在组合学、矩阵论、算子理论、群表示、微分几何、偏微分方程与量子力学等领域又有广泛的应用.所以讨论广义酉矩阵、广义H erm ite矩阵的张量积与诱导矩阵是一件有意义的事情.我们先给本文需要的概念与记号.为方便,用J n=J表示次对角线元素为1,其余元素为0的n阶方阵;I n=I表示n阶单位方阵;A*表示矩阵A的共轭转置矩阵; m n表示m n复矩阵集.定义1.1[1] 设A=a ij m n,则称n m矩阵b ij为A的次对称矩阵,这里b ij= a m-j+1,n-i+1,记为A S=b ij;称A(*)=A S为A共轭次转置矩阵;若A(*)=A(或A(*)= -A),则称A为次H ermite矩阵(或反次H ermite矩阵).定义1.2[4] 设V是一个n维H ilbert空间,H是m次对称群S m的一个子群.设 H 是次数为1的复特征标.在张量空间 m V上定义:S(v1 v m)=1HH( )v -1(1) v -1(m).显然,V m (H)=S( m V)是 m V的子空间,人们称它为在V上的张量对称类,且称V m (H)*收稿日期:2003 08 20 接收日期:2005 12 19作者简介:侯谦民(1958 ),男,河南镇平,副教授,主要从事矩阵和群论的研究.中形为S(v1 v m)的元素为可分解张量,记为v*=v1* *v m.对于作用在V上的任意线性算子T,存在惟一作用在V m (H)的诱导线性算子K(T)且满足K(T)v1* *v m=Tv1* *Tv m.进一步,设 m,n={ =( (1), , (m)),1 (j) n,j=1,2, ,m}.我们说 m,n中两个元素 与 关于子群H是等价的,如果存在 H,使 = .显然,这个等价关系将 m,n划分成等价类,将每一个等价类中元素按字典次序排列后,再在每一个等价类中取第一个元素作成的集合记为 .令 ={ , H( ) 0},这里H 是 的稳定子,即H ={ H = }.众所周知,若E={e1,e2, ,e n}是V的有序规格化正交基,则E*={|H||H |e* }是V m (H)的按字典次序排列的规格化正交基;若线性算子T在基E的矩阵为A,诱导线性算子K(T)在基E*的矩阵为K(A)(称为A的诱导矩阵),则K(A)是| | | |矩阵.2 广义酉矩阵的张量积与诱导矩阵定义[1]2.1 设A n n,若 可逆P n n,使A*P A=P,则称A为n阶P-广义酉矩阵.记为A U p={A C n n A*P A=P}.当P=I时,U I={A n n A*A=I}为n阶酉矩阵集.当P=J时,U J={A n n A*J A=J,即A(*)A=I}为n阶次酉矩阵集;当P(*)=P时,U p={A n n A*PA=P}为n阶拟酉矩阵集[3].引理2.1[6,7] 设A i R l i k i,i=1,2, ,n,则 n1A i=0 某个A i=0.引理2.2[6,7] 设A i,B i R l i k i,i=1,2, ,n.则 n1A i= n1B i 0 A i= i B i 0, i=1, ,n,且 n i=1 i=1.引理2.3[5] (1)K(A)*=K(A*);(2)K(A)K(B)=K(A B);(3)K(A)=K(B) B= A且 m=1.定理2.1 (1)若A i U Pi (i=1, ,r),则 r1A i U r1Pi;(2)若A U P,则K(A) U K(P).证 (1)注意到公式( r1A i)*= r1A i*与公式(A1 B1)(A2 B2) (A r B r)=(A1A2 A r) (B1B2 B r). 对于每个i,由A i U Pi(i=1, ,r),知A*P i A i=P i(i=1, ,r).于是r1A i* r1P i r1A i= r1A i*P i A i= r1P i.从而 r1A i U r1Pi .584数 学 杂 志 V ol.27(2)由A U P ,有A *P A =P.再由引理2.3又有K (A )*K (P )K (A)=K (A *)K (P )K (A )=K (A *PA )=K (P).故K (A) U K(P).反之不一定正确,但有定理2.2(1)设 r 1A i U r 1P i 则Ai *P i A i = i P i (i =1, ,r )且ni=1i=1;(2)设K (A ) U K (P),则A *PA = P 且 m=1.证 (1)因为 r1P i 0,所以由引理2.1知每个P i 0.又由 r 1A i U r 1P i 知(A 1 A r )*(P 1 P r )(A 1 A r )=P 1 P r .从而(A *1P 1A 1) (A *r P r A r )=P 1 P r .于是根据引理2.2有A i *P i A i = i P i (i =1, ,r)且ri=1i=1.(2)由K (A ) U K (P),知K (A)*K (P)K (A )=K (P).而 K (A *)K (P )K (A)=K (A *P A),故K (A *PA )=K (P).再由引理2.3(3),得A *P A = P 且 m=1.3 广义(斜)Hermite 矩阵的张量积与诱导矩阵定义[1]3.1 设A n n ,若 可逆P n n 使A *P =P A (或A *P =-P A ),则称A 为n 阶P -广义H erm ite 矩阵(或广义斜H erm ite 矩阵).记为A H p ={An nA *P =PA }(或A H p ={An nA *P =-PA }).当P =I 时,H I ={A n nA *=A}为n 阶H er mite 矩阵集;H I ={An nA *=-A}为n 阶斜H erm ite 矩阵集.当P =J 时,H J ={A n nA *J A =J A ,即A(*)=A}为n 阶次H erm ite 矩阵集;H J ={An nA *J =-J A ,即A (*)=-A }为n 阶反次H ermite 矩阵集.定理3.1(1)若A i H P i (i =1, ,r),则 r 1A i H P 1 P r ;(2)若A i H P i (i =1, ,r),则当r 为偶数时, r 1A i H P 1 P r ;当r 为奇数时, r1A i H P 1 P r .证 (1)因为A i H P i (i =1, ,r ),所以A *i P i =P i A i (i =1, ,r).从而( r 1A i )*( r 1P i )=( r 1A i *) r 1P i = r 1A i *P i = r 1P i A i =( r 1P i )( r 1A i ).故 r 1A i H P 1 P r .(2)因为A i H P i ,i =1, ,r ,所以A *i P i =-从而( r 1A i )*( r 1P i )=( r 1A i *)( r 1P i )=P i A i .=(-1)r( r 1P i )( r 1A i )i ),当r 为偶数,1A i ).当r 为奇数.585No.5 侯谦民等 广义酉矩阵与广义H erm ite 矩阵的张量积与诱导矩阵故当r为偶数时, r1A i H P1 Pr;当r为奇数时, r1A i H P1Pr.同定理2.1一样,反之不一定正确,但有定理3.2(1)设0 r1A i H P1 P r,则A*i P i= i P i A i(i=1, ,r),且ni=1i=1;(2)设0 r1A i H P1 Pr,则当r为奇数时,有A*i P i=- i P i A i(i=1, ,r)且 ni=1i=1.证 (1)因为0 r1A i,所以每个A i 0且每个P i可逆.由(A1 A r)*(P1 P r)=(P1 P r)(A1 A r)得(A1*P1) (A*r P r)=(P1A1) (P r A r).显然(P1A1) (P r A r) 0.若不然,由引理2.1知存在i使P i A i=0.而P i可逆,故A i=0这与 r1A i 0相矛盾.于是根据引理2.2有A*i P i= i P i A i(i=1, ,r)且 n i=1 i=1.(2)因为0 r1A i,所以每个A i 0且每个P i可逆.由(A1 A r)*(P1 P r)=-(P1 P r)(A1 A r).及r为奇数,得(A1*P1) (A*r P r)=-(P1A1) (P r A r)=(-P1A1) (-P r A r).显然(-P1A1) (-P r A r) 0.若不然,由引理2.1知存在i使-P i A i=0.而P i可逆,故A i=0这与 r1A i 0相矛盾.于是根据引理2.2有A*i P i=- i P i A i(i=1, ,r)且 n i=1 i=1.定理3.3(1)若A U P,则K(A) U K(P);(2)若A H P, (e)=1,G为S m的子群,则当m为偶数时,K(A) H K(P),当m为奇数时,K(A) H K(P).证 (1)由A H P,有A*P=PA.再由引理2.3又有K(A)*K(P)=K(A*)K(P)=K(A*P)=K(PA)=K(P)K(A).故K(A) H K(P).(2)对于A n n,集合 不空且元素按字典次序排列,由A关于G与 的诱导矩阵K(A) | | | |的定义知[7,8],K(A)中位于( , )的元素( , )为K(A) , =1G GG( ) m t=1a (t), (t).于是,K(-A)中位于( , )的元素( , )为K(-A) , =1G GG( ) mt=1(-a (t), (t))=(-1)m K(A) , .从而K(-A)=(-1)m K(A).由条件A H P知,A*P=-P A.586数 学 杂 志 V ol.27因此 K (A )*K (P)=K (A *)K (P )=K (A *P )=K (-P A)=(-1)m K (PA )=(-1)mK (P)K (A)=(-1)mK (P)K (A )=K (P )K (A ),当m 为偶数,-K (P)K (A).当m 为奇数.故当m 为偶数时,K (A ) H K (P),当m 为奇数时,K (A ) H K (P).参考文献:[1] 袁晖坪.广义酉矩阵与广义H ermite 矩阵[J],数学杂志,2003,23(3):373 380.[2] 袁晖坪.关于次酉矩阵与次镜象矩阵[J],数学杂志,2002,22(3):314 318.[3] 袁晖坪.拟酉矩阵与拟H ermite 矩阵[J],数学理论与应用,2001,21(2):21 25.[4] 王伯英.多重线性代数[M ],北京:北京师范大学出版社,1985.[5] L i C.K.,Zaharia A..Induced o per ator s on symmetr y classes o f tentor s[J],T rans.mer.M ath.So c.,2002,354:807 836.[6] M ar cus M..Finite Dimensional M ultilinea r A lg ebr a[M ],P art I ,N ek yor k:M ar cel Dekker ,1973.[7] M ar cus M..Finite Dimensional M ultilinea r A lg ebr a[M ],P art I I,N ek yor k:M ar cel Dekker ,1973.THE TENSOR PRODUCTS AND THE INDUCED MATRIX ABOUT GENERAILZED UNITARY MATRICES ANDGENERAILZED HERMITE MATRICESH OU Qian2min 1,LIU Xiu2sheng2(1.Dep t.of F undamental Cour ses ,H ubei Univ ersity of E conomics andManagement,Wuhan 430074,China)(2.S chool of Math.and Phy sics,H uangshi I nstitute ofT echnology ,H uangshi 435003,China)Abstract:In this paper ,we st udy the tenso r product and induced matrix of the finite generalized unitar y matrix es and g enera lized (oblique)H ermite matr ices.By means of t he pr operties o f matr ix tenso r pr oduct and induced mat rices,w e o btain that their tensor pro duct and induced matr ix are the g ener alized unitar y matrices and g ener alized (oblique)H ermite matrices.Keywords:generalized unitary matrix ;generalized (o blique)H ermit e matrix ;tenso r pr oduct;inducedmat rix2000M R Subject C lassification:15A15;15A45587No.5 侯谦民等 广义酉矩阵与广义H erm ite 矩阵的张量积与诱导矩阵。

k-广义酉矩阵与k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵郑建青【摘要】利用矩阵的张量积和诱导矩阵的性质,得到了有限个k-广义酉矩阵的张量积和诱导矩阵为k-广义酉矩阵,有限个k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵为k-广义Hermite矩阵.并把2007年候谦民等结果中广义酉矩阵推广到k-广义酉矩阵,广义Hermite矩阵推广到k-广义Hermite矩阵.【期刊名称】《宁波大学学报（理工版）》【年(卷),期】2010(023)001【总页数】3页(P56-58)【关键词】k-广义Hermite矩阵;k-广义酉矩阵;张量积;诱导矩阵【作者】郑建青【作者单位】宁波大学理学院,浙江,宁波,315211【正文语种】中文【中图分类】O152.2酉矩阵和Hermite矩阵的研究已取得了丰硕成果, 在线性系统、现代经济学、控制理论等学科都有很好的应用. 随着研究的深入和应用的需要, 人们对其已有多种推广. 文献[1]对拟酉矩阵, 拟Hermit矩阵作了研究; 文献[2]对广义酉矩阵, 广义Hermit矩阵作了研究; 文献[3]研究了有限个广义酉矩阵与有限个广义(斜)Hermite 矩阵的张量积和诱导矩阵; 文献[4-5]提出了 k-广义酉矩阵, k-广义Hermite矩阵的概念, 并对其若干基本性质进行了研究. 笔者在文献[4-5]的基础上, 利用张量积和诱导矩阵的性质, 得到了有限个k-广义酉矩阵的张量积和诱导矩阵仍为 k-广义酉矩阵, 有限个 k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵仍为 k-广义Hermite矩阵, 推广了文献[3]相应的结果．为讨论方便, 采用以下记号: 设为一个矩阵, 记共轭转置矩阵为A∗, 共轭次转置矩阵为n阶单位矩阵为个矩阵的张量积为A⊗B, m×n复矩阵集为Cm×n, n阶复可逆矩阵集为设记所有 iA的张量积为设Γm,n是不超过n的m个正整数组成的序列集合, 即χ →C(复数域)是次数为1的复特征标, 在Γm,n中, 定义一个关于G的等价关系: 当且仅当存在1,2,…,m},Sm 为 m 阶置换群, G是Sm的子群.:G置换σ∈G, 使时,α等价于β, 记作α～.β由序列α所确定的G的等价类是集合并称它为Γm,n中α的 G-轨道,每个轨道中按字母排列的第 1名序列所组成的轨道代表集用Δ表示.对于是G的子群, 称为G对α的稳定子群. 引进一个序列集合它是Δ中使的一切α的集合.表示集合的元素个数, 其中是σ分解为不相交的循环置换乘积中因子的数目(包括长度为 1的循环置换).设χ(e)=1(e为恒等置换), 集合不空并按字典次序排列, 对于, A关于G和χ的诱导矩阵定义为:定义1[4] 设若存在及常数k,使则称A为n阶 k-P-广义酉矩阵,简称 k-广义酉矩阵, 记为}.kP 特别地, 当k=1时,为n阶广义酉矩阵集[2].定义2[5] 设若存在及常数k,使则称A为n阶 k-P-广义 Hermite矩阵, 简称 k-广义 Hermite矩阵, 记为特别地, 当 k=1时(k=−1),为n阶广义(斜)Hermite矩阵[2]. 当k=1(k=−1),且时,为n阶(反)拟Hermite矩阵集[1]．引理 1[6] 设则存在某个引理 2[6] 设则且引理 3[7] 设 (), ()K A K B分别为B∈的关于G和χ的诱导矩阵, 集合不空, 且元素按字典次序排列, 则有:(3)若 A 是可逆的, 则且定理1 (1)若则其中(2)若则证明 (1) 公式与对每个i, 由知于是从而(2) 由有由P可逆, 得由引理3可知:即故反之不一定正确.定理 2 (1)设则且(2)设k≠ 0, 则且证明 (1) 因为所以由引理 1知每个又由得:根据引理 2, 有且(2) 由知而故再由引理3得且定理3 如果则其中证明因为所以从而故反之不一定正确, 但有定理 4 设则有且证明因为iA≠ , 且对所以每个 0每个由条件得显然若不然,由引理 1存在 i, 使iA= ,而 iP可逆, 得 0这与矛盾, 于是根据引理 2, 有且定理5 若 G是m阶置换群的子群, 集合不空并按字典次序排列, 则A关于G与χ的诱导矩阵证明对于集合不空且元素按字典次序排列, A关于G与χ的诱导矩阵则由条件知由P可逆得由引理3得:即从而在定理1~5中, 取k=1得广义Hermite矩阵相应结果, k=−1得广义(斜)Hermite 矩阵相应结果[3].【相关文献】[1]袁晖坪. 拟酉矩阵与拟Hermite矩阵[J]. 数学理论与应用, 2001, 21(2):21-25.[2]袁晖坪. 广义酉矩阵与广义Hermite矩阵[J]. 数学杂志,2003, 23(3):375-378.[3]候谦民, 刘修生. 广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵[J]. 数学杂志, 2007,27(5):583-587.[4]袁晖坪. k-广义酉矩阵[J]. 东北师范大学学报: 自然科学版, 2007, 49(3):22-26.[5]郑建青. 关于k-广义Hermite矩阵[J]. 浙江师范大学学报: 自然科学版, 2009, 32(4):253-256.[6]王伯英. 多重线性代数[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1985.[7]王心介. 关于n×n复矩阵与其诱导矩阵之间的关系[J]. 华中理工大学学报, 1993, 21(3):183-187.。