酉矩阵

矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。

一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。

即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。

酉方阵在量子力学中有着重要的应用。

酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。

酉相似充要条件
在几何学中，酉相似是指两个物体之间存在着某种比例关系，使得它们的形状和结构相似。

这种相似性可以通过几何变换来实现，例如缩放、旋转或平移。

酉相似的充要条件是存在一个酉矩阵，使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。

酉相似的充要条件可以通过以下方式来理解。

首先，我们假设有两个物体A和B，它们之间的距离和角度都得到保持。

这意味着无论我们如何缩放、旋转或平移这两个物体，它们之间的距离和角度都不会改变。

换句话说，我们可以通过一系列的几何变换将物体A变换为物体B。

现在，我们来证明酉相似的充要条件。

首先，假设存在一个酉矩阵U，使得U*A=B。

我们可以通过将物体A应用酉矩阵U来得到物体B。

由于酉矩阵保持距离和角度不变，所以物体A和物体B之间的距离和角度都得到保持。

因此，存在一个酉矩阵使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。

接下来，我们来证明酉相似的充要条件的逆命题。

假设存在一个酉矩阵U，使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。

我们可以通过将物体A应用酉矩阵U来得到物体B。

由于酉矩阵保持距离和角度不变，所以物体A和物体B之间的距离和角度都得到保持。

因此，存在一个酉矩阵使得U*A=B。

酉相似的充要条件是存在一个酉矩阵，使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。

这个条件可以通过几何变换来实现，例如缩放、旋转或平移。

酉相似的充要条件是几何学中一个重要的概念，它可以用来描述物体之间的相似性和变换关系。

设 U C nn , P R nn
酉矩阵 U : U H U I , U H U 1 正交矩阵 P : P T P I , P T P 1
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
矩阵 A , B C nn ( 或R nn ) B U H AU —— 酉变换
即：
u i H
pi
T
u j p j
ij ij
i , j 1, 2,n
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
二、矩阵的相似变换：酉变换和正交变换
1、相似变换
两种重要的相似变换！ 后面用的多！
定义：设 A , B C nn ( 或R nn )
如果存在非奇异方阵 S 0 S C nn (或R nn )
使 B S 1 AS 成立
则称 B 与 A 相似，记 B ~ A
变换矩阵！
A S B 的变换称为相似变换。
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
注：相似变换是一种很实用的矩阵变换！
实用上，是构造一非奇异方阵[S]，进行相似变换， 使变换后[B]比[A]简单（例如：三角阵、三对角 阵等），以便快速求出[A]的特征解。
③若[U]是酉矩阵，[P]是正交矩阵，则[U]H也是酉矩 阵， [P]T也是正交矩阵。
证： U H H U H U U 1 I P T T P T P P 1 I 证毕。
第 2 节
矩 阵 的 相 似 变 换
酉 矩 阵 和 正 交 矩 振
第
一
章基 础 知 识
④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵（或正交矩阵）

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0特征值的次酉矩阵特征值是矩阵的重要概念之一，它描述了在矩阵变换中的特殊性质。

特征值和特征向量在线性代数中扮演着重要的角色，它们在各个领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将研究一个特殊的矩阵-次酉矩阵的特征值问题。

次酉矩阵是指满足A*A^H=I的矩阵，其中A^H表示A的共轭转置矩阵，I是单位矩阵。

这意味着A是一个酉矩阵的共轭转置矩阵。

次酉矩阵与酉矩阵具有类似的性质，但是它们的特征值存在一些特殊的关系和性质。

我们先来看一个重要的定理：定理1：次酉矩阵的特征值有两种可能的取值-1和0。

证明：设A是一个次酉矩阵，v是A的一个特征向量，即Av=λv。

对此等式两边同时取共轭转置，可得(Av)^H=(λv)^H。

利用矩阵乘法和共轭转置的性质，有v^H*A^H=v^H*λ^H。

由于A是次酉矩阵，即A*A^H=I，代入此式得v^H*I=v^H*λ^H，即v^H=λ^H，进一步可得v^H=λ。

由于v^Hv是一个实数，设为α，因此λ=λ^H=α。

由于λ是复数，因此可表示为λ=α+iβ，其中α和β是实数。

代入上式得α=α。

由于α是实数，因此α=±1、当α=1时，表示λ=1+iβ；当α=-1时，表示λ=-1+iβ。

由于特征值是方程Av=λv的解，因此0=Av-λv=(A-λI)v。

根据线性代数基本定理，当A-λI不可逆的时候，方程有非零解。

因此，当λ=1+iβ时，方程有非零解；当λ=-1+iβ时，方程也有非零解。

当然，特征向量不能为零向量，否则无法满足Av=λv。

证毕。

根据定理1，次酉矩阵的特征值只能取0和1、接下来我们研究特征值0的情况：定理2：如果次酉矩阵A的特征值为0，则A的零空间的维数等于A的秩。

证明：设 A 是一个次酉矩阵，λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。

对于特征值 0，有 Av = 0v = 0。

因此特征向量 v 属于零空间 N(A)。

假设 v 属于 A 的列空间 C(A)，则根据零空间和列空间的性质，有v ⊥ C(A)，即 v 与 C(A) 中的任意向量正交。

反之，Ax 0的解也是AH Ax 0的解；
因此, 线性方程组 Ax 0与AH Ax 0同解。
故 rank(A) rank(AH A)
用AH 替换A, 得 rank(A) rank(AH A) rank(AAH )
0 ( Ax, Ax) (Ax)H (Ax) xH x xH x 0, 0
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
定理
设A
C mn r
,
则rank
(
AH
A)
rank
(
AAH
)
rank
(
A)
证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，AxCm
则由 (Ax, Ax) xH (AH Ax) 0 得 Ax 0;
aa2nnn ,
a11
AH
a12 a1n
a22 a2n
ann
AH A AAH ,
n
2n
i
i
2
aij aij aij a jia ji a ji ,
j i
ji
j 1
j 1
依次取i 1,2, , n得
a11 2 a12 2 a1n 2 a11 2 , a22 2 a2n 2 a12 2 a22 2 ann 2 a1n 2 a2n 2 ann 2
若P是正交矩阵(实矩阵），即P1 PT， 则称A与B是正交相似的。
若P是酉矩阵(复矩阵），即P1 PH， 则称A与B是酉相似的。
3、Schur 定理 （1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
ACnn ,U Cnn ,U 1 U H ,
1 * *
2
U H AU
*
n
其中1，2， n为A的特征值.

正交矩阵是什么意思
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，是数学运算的一种方法，在数学领域有着较高的地位。

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为加一，则称之为特殊正交矩阵。

正交矩阵定理有：
1、方阵正交的充要条件是，行和列向量组是单位正交向量组；
2、方阵正交的充要条件是，n个行和列向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3、正交矩阵的充要条件是，行向量组两两正交且都是单位向量；
4、列向量组也是正交单位向量组；
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

由U HU I,H H ,则
AAH (UU H )(UU H )H UU HUHU H UHU H UH U H (UHU H )(UU H ) AH A
充分性
由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T，
1 * *
2
U H AU T
*
n
由于AAH AH A,所以TT H T HT,
3、Schur 定理 （1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
ACnn ,U Cnn ,U 1 U H ,
1 * *
2
U H AU
*
n
其中1，2， n为A的特征值.
Schur 定理 （2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即
A Rnn ,P Rnn , P1 PT ,
正交矩阵
AT=A-1;
酉矩阵
AH=A-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
2、酉相似
设A, B Cnn ,若存在可逆矩阵P,使P1AP B, 则称A与B是相似的。
若P是正交矩阵(实矩阵），即P1 PT， 则称A与B是正交相似的。
若P是酉矩阵(复矩阵），即P1 PH， 则称A与B是酉相似的。
0 ( Ax, Ax) (Ax)H (Ax) xH x xH x 0, 0
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
定理
设A
C mn r
,
则rank
(
AH
A)
rank
(
AAH
)
rank
(
A)
证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，AxCm
则由 (Ax, Ax) xH (AH Ax) 0 得 Ax 0;

么存 在 一个 唧 阶的 酉矩 阵 Ｐ使得
（ Ｐ Ｉ） Ａ Ｂ Ｃ （ Ｉ）＝Ｂ Ａ Ｃ ｋ （ ） Ｐ ｋ 。
证明 （ Ｐ
厶） Ａ Ｂ Ｃ （ Ｉ） ＝ （ ） Ｐ ｋ
（ Ａ Ｂ） ＩＣ （ 厶） ＝ Ｐ （ ｋ ）Ｐ （ Ａ Ｂ） （ｋ ｉ） ＝Ｂ Ａ Ｃ Ｐ （ Ｐ） ｉｃ￣ 。
２０ ０ ８年 ２月 １ ８日收到
国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ３ 资助 １７ １７ ）
定 理 ２ ２ 设 Ａ∈Ｍ ， ∈ 脚 ， ． Ｂ Ｃ∈Ｍ 那 么存 在一 个 阶 的酉 矩 阵 Ｐ使得
（ｍ Ｐ ） Ａ Ｂ Ｃ） ， Ｐ）＝Ａ Ｃ Ｂ。 ， （ （ｍ 证 明 （ｍ Ｐ ） Ａ Ｂ Ｃ （ ｍ Ｐ） ＝ ， （ ），
， ∈ Ｃ
（
． （ ｍ … ￣Ａ ） ）（ ｋ） 厶
（ （ Ａ ） 川
一
Ｐ
）＝
Ａ ） ）
定理 ２ ４ 设 Ａ ∈Ｍ Ｂ ∈ ． …
（ Ｐ （ （ Ａ
那 么存 在一个 阶的酉矩 阵 Ｐ ， ｐ阶酉 矩 阵 Ｑ和 ｍ 阶酉矩 阵 使得
（ ，） Ｌ Ｐ ） Ｑ （ （ 厶） Ａ Ｂ Ｃ （ ）× Ｉ ）＝ Ｃ Ｂ Ａ 。 ｍ 厶）× Ｉ） ＝ ｍ Ｂ 厶Ｃ ） ）× Ｂ） 厶Ｃ Ｑ 厶）Ｘ ，） Ｌ Ｐ ） Ｑ ｍ（ （ （ 厶） Ｌ Ｐ） Ｑ （ （ 证 明 （ （ （ （
技
术
与
工
程
⑥
Ｖｏ． Ｎｏ １ Ｊ ｎ ０ ８ １８ ．２ ｕ ｅ２ ０
１７ —８ ９ ２０ ） ２３ ５ —３ ６ １ １１ （ ０ ８ １ —２７ ０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅ ｉ ｎ

２ 定理 １ 的证 明
为证 明定理 ， 这里 先 给几个 引理 。
设 入 （ ， ， ： ‘ ２ ‘ ： 入 ， … 入 ） ¨
， ，
…
ｋＬ ‘ ）
，
法研究 了当散射矩阵为典型群 的元素时 ，反射矩 阵和散射矩阵的分布 。具体说就是设 Ｕ为 ｎ 阶随
机酉矩阵 ， Ｑ为 Ｕ的顺序 ｍ阶主子矩阵 ，当 ｍ≤
ＱＶ ，固 的 然 ，机 量 ， 对 定 自 数ｋ 向 （ 随
ＴＱ ） ｍ ， 当 一∞时依分布收敛于正态随机 向量 （ ． ：… ， ， 里 ｚ，：… ，ｋ ｚ ， ， ｚ）这 ｚ ， Ｚ 为独立 复正 Ｚ
…
，
，
把所求问题化为计数问题来解决 ， 】用群表示的 ［ ７
特征表示出结果再用组合方法化简 ， ］ ［ 从关于酉 ８ 群 的特征标的 Ｌｔ ｗ ｏ 恒等式导 出对称群 的特 ｉ ｅ ｏｄ ｔ ｌ
ｌｌ ｉ １—— ｌ— ———～ Ｉ ＿ ＝１
（） ６
引理 １ 设 Ｉ 阶矩阵空间 Ｃ 上概率测度 Ｐ ｎ 满 足 不 变 性 ， ｄ （ Ｚ ＝ ｐＺ ＝ ｐＺ ， 即 ｐＵ ）ｄ （Ｕ）ｄ （ ） ＶＵ∈Ｕ
的长 度 ， 作Ｌ入 （ 记 （ ）见 ） 。设 ｍ阶矩 阵 Ａ的特征
函数 Ｐ 与函数 ｓ 如下关系 ：
值为 ｘ ， … ， ） Ｘ ， Ｘ ，对长度不超过 ｍ的划分 ，
， ，
ｍｊ 、 －￣ ｍ ＋
Ｓｈ ｒ ｃｕ 函数 ｓ（ ） Ａ ：
， 当Ｌ ＞ （ ｍ时规 ）
元素 ， Ｕ ｕ 上赋予双不变概率分布 ， Ｈ ａ 分 在 （） 即 ａｒ 布． 用符号 ［］表示 Ｕ的顺序 ｉ阶主子矩阵 ， ｕ ｎ 记
Ｓｅ５ ｚｇ定理的关系 ，所采用的方法多种多样 ， 】 ［ 用 ３ Ｂａｅ 代数的特征来导出结论 ， 】 ｒｕｒ 【 用累积 函数的 ４

P = PL
2 L
Department of Mathematics
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化成正交向量组 β 1 , β 2 ,L , β m .
β 1 = α1 , β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) β 1
(β1 , β1 ) (β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
M
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二. 正交投影 定义: 设酉（欧氏） 定义 设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M , 的线性变换， ∀x ∈ V , x = x1 + x 2 , T 为 V 的线性变换， x1 ∈ L, x2 ∈ M , 有：T ( x ) = x 1 正交投影,记为 则称 T 为 V 到 L 的正交投影 记为 PL 性质1 性质 性质2 性质 正交投影是线性变换 是酉（欧氏） 设 PL 是酉（欧氏）空间 V 到 L 的正交 投影， 投影，则：
5, n维欧氏空间V的子空间 满足 的子空间W满足 维欧氏空间 的子空间 满足: i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间 的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是 的余子空间 的正交补
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2． 维欧氏空间 的每个子空间 V1 都有 ． 维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 3. 两两正交的子空间的和必是直和． 两两正交的子空间的和必是直和．

二阶仿酉矩阵的通解
随着时代的发展，特别是近年来数学技术的飞速进步，越来越多的二阶仿酉矩
阵技术应用于生活娱乐领域，作为一种先进的数学解决方案可以有效解决许多日常生活中的数学难题。

首先，二阶仿尤矩阵在解决复杂数学公式时十分有效。

例如在做生物科学考题时，可以用二阶仿酉矩阵来解决发生在生物系统中的多种复杂关系，而在理工科领域也可以实现复杂的科学问题的计算。

此外，应用二阶仿酉矩阵可以用来计算经济领域中的各种复杂问题，比如投资组合的优化和最佳定价等等问题，可以有助于大型企业进行操作和调整，有效提升企业的发展效率。

其次，二阶仿酉矩阵在娱乐场景中尤为重要。

因为二阶仿酉矩阵可以被应用来
构建各种趣味的游戏系统，比如几个玩家在一个棋类游戏中都存在着自己独特的技巧，他们会用仿尤矩阵来快速计算相关内容并做出正确的选择，为游戏提供更多的乐趣。

另外，在数学类娱乐领域中，二阶仿酉矩阵也可以被用来解决许多复杂难题。

总之，二阶仿酉矩阵是当下最先进、最经济高效的数学解决方案之一，应用于
生活娱乐领域可以有效解决许多问题，并为我们提供了无限的娱乐乐趣。

第5卷第4期北华大学学报(自然科学版)Vol.5No.4 2004年8月JOURNAL OF BEIHUA UN IV ERSIT Y(Natural Science)Aug.2004文章编号:100924822(2004)0420301202广义酉矩阵性质的拓广赵　雪(北华大学师范理学院,吉林吉林　132033)摘要:拓广了广义酉矩阵的一些性质,并研究了广义酉阵与广义(斜)Hermite阵的关系.关键词:广义酉阵;广义Hermite阵;广义斜Hermite阵中图分类号:O151.21 文献标识码:A　定义1　设A是n阶复方阵,若存在n阶复可逆阵P使A3PA=P(其中A3是A的共轭转置阵),则称A是由P确定的广义酉矩阵.记为A∈U P.其中U P表示由P确定的广义酉阵的全体.显然P=I时,由P确定的广义酉阵就是酉阵.引理1　设A∈U P,则有det A=1,A-1,珟A∈U P(其中珟A表示矩阵A的伴随矩阵).定理1　若A∈U P,则A≈∈U P.(其中A≈是A的伴随矩阵的伴随矩阵).定理2　设A,B∈U P.若det(AB)=1,则det(A+B)∈R.证明　因A3PA=B3PB=P,A-1=P-1A3P,B-1=P-1B3P,所以 det(A+B)=det(AB-1B+AA-1B)=det A det(A-1+B-1)det B= det AB det(P-1B3P+P-1A3P)=det P-1det(B3+A3)det P= det(B+A)=det(A+B),从而det(A+B)∈R.定理3　设A,B∈U P.若det A=det B3,则det(A+B)∈R.证明　因det AB=det A det B=det B3det B=det B det B=det B2=1,从而由定理2知det(A+ B)∈R.定义2　设A是n阶复矩阵.若存在n阶复可逆矩阵P使A3P=PA,则称A是由P确定的广义Hermite阵.记为A∈H P.若A3P=-PA,则称A是由P确定的广义斜Hermite阵.记为A∈H P.定理4　若A∈U P,det A∈R,则B∈H P当且仅当珟ABA∈H P.证明　必要性.因A3PA=P,B∈H P,则A3P=PA-1,(A3)-1P=PA,B3P=PB.又因det A ∈R,所以det A=det A,从而 (珟ABA)3P=A3B3(A3)-1(det A)P=(det A)A3B3PA=(det A)A3PBA= (det A)PA-1BA=P(det A)A-1BA=A(珟ABA),即珟ABA∈H P.充分性.因珟ABA∈H P,则P(珟ABA)=(珟ABA)3P,而 右式=A3B3(珟A)3P=A3B3(A3)-1det A P=(det A)A3B3PA=A3B3P(det A)A, 左式=PA-1B(det A)A=A3PB(det A)A,从而PB=B3P,即B∈H P.定理5　若A∈U P,且Re(det A)=0,则B∈H P当且仅当珟ABA∈H P.证明　必要性.因A∈U P,B∈H P,则A3P=PA-1,B3P=-PB,(A3)-1P=PA.又因收稿日期:2004201212作者简介:赵雪(1977-),女,助教,在读硕士,主要从事矩阵代数研究.203 北华大学学报(自然科学版)第5卷Re(det A)=0,所以det A=-det A.考虑珟ABA=(det A)A-1BA,我们有 (珟ABA)3P=A3B3(A3)-1det A P=det AA3B3PA=-det AA3(-PB)A= det A PA-1BA=P(det A)A-1BA=P(珟ABA),从而珟ABA∈H P.充分性.因珟ABA∈H P,则(珟ABA)3P=P(珟ABA),而 左式=A3B3(A3)-1det A P=-A3B3P(det A)A, 右式=PA-1B(det A)A=A3PB(det A)A,从而-PB=B3P,即B∈H P.定理6　若A∈U P,Re(det(A))=0,则B∈H P当且仅当珟ABA∈H P.证明　必要性.因A3PA=P,B3P=PB,det A=-det A,所以(珟ABA)3P=det AA3B3(A3)-1P=(-det A)A3PBA=(-det A)PA-1BA=-P(珟ABA),从而珟ABA∈H P.充分性.因珟ABA∈H P,所以-P(珟ABA)=(珟ABA)3P.而 左式=-P(A-1B(det A)A)=-A3PB(det A)A, 右式=A3B3(A3)-1(det A)P=-A3B3(det A)PA=-A3B3P(det A)A,所以PB=B3P,即B∈H P.定理7　若A∈U P,det A∈R,则B∈H P当且仅当珟ABA∈H P.证明　必要性.因A∈U P,B∈H P,det A∈R,则(A3)-1P=PA,　B3P=-PB,　det A=det A.又因 (珟ABA)3P=(det A)A3B3(A3)-1P=(det A)A3B3PA= -P(det A)A-1BA=-P(珟ABA),所以珟ABA∈H P.充分性.因珟ABA∈H P,则-P(珟ABA)=(珟ABA)3P,而 右式=A3B3(A3)-1(det A)P=A3B3P(det A)A, 左式=-PA-1B(det A)A=-A3PB(det A)A,所以PB=-B3P,即B∈H P.参考文献:[1]Hom RA,Johnson CR.Matrix Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.[2]袁晖坪.广义酉阵与广义Hermite阵[J].数学杂志,2003,(3):375～380.Yuan Huiping.The G eneralized Unitary Matrix and G eneralized Hermite Matrix[J].Math Magazine,2003,(3):375～380.Development of Generalized Unitary Matrix’s Prop ertyZHAO Xue(Teacher’s Science College of Beihua U niversity,Jili n132033,Chi na)Abstract:The property of generalized unitary matrix is developed and the relations between the generalized unitary matrix and the generalized Hermite matrix is studied.K ey w ords:G eneralized unitary matrix;G eneralized Hermite matrix;G eneralized oblique Hermite mayrix【责任编辑:吕洪斌】。

常见的矩阵形式
作者：桂。

时间：2017-08-22 12:30:33
前⾔
记录经常⽤到的矩阵形式。

A-正交矩阵
定义：⼀实的正⽅矩阵Q∈R nxn，称为正交矩阵，若：
B-⾣矩阵
定义：⼀实的正⽅矩阵U∈C nxn，称为⾣矩阵，若：
C-Vandermonde矩阵
定义：具有以下形式的mxn阶矩阵：
称为Vandermonde矩阵，其转置也是Vandermonde矩阵。

D-Toeplitz矩阵
定义：具有2n-1个元素的n阶矩阵
称为Toeplitz矩阵，简称T矩阵。

E-Hankel矩阵
定义：具有以下形式的n+1阶矩阵
称为Hankel矩阵或正交对称矩阵（Orthosymmetric Matrix）。

F-Hadamard矩阵
定义：H n∈R nxn成为Hadamard矩阵，若它的所有元素取+1或者-1，且
G-Hermitian矩阵
如果矩阵A nxn满⾜：
则称A为Hermitian矩阵。

H-符号矩阵（signature matrix）
⼀个对焦元素只取+1和-1两种值的NxN对⾓矩阵称为符号矩阵。

利⽤符号矩阵，可以引出J正交矩阵（也成为超正规矩阵）：
定义：令J为NxN的符号矩阵，满⾜：
的NxN矩阵成为J正交矩阵（J-orthogonal matrix），可以理解为正交矩阵的⼴义形式，因为符号矩阵J全取1就是单位矩阵。

或称超正规矩阵（Hepernormal matrix）。

0特征值的次酉矩阵特征值为0的次酉矩阵，是线性代数中一种非常重要的矩阵类型。

在实际应用中，次酉矩阵不仅能够帮助我们解决许多数学问题，还能够在工程领域中发挥重要作用。

本文将围绕次酉矩阵的特征值为0展开，从其定义、性质、应用等多个方面进行介绍，以期全面讲解次酉矩阵的重要性和指导意义。

首先，我们来解释次酉矩阵的定义。

次酉矩阵是指对于一个复数域上的n阶矩阵A，其转置矩阵的共轭与其逆矩阵相等。

即对于一个次酉矩阵A，满足 A^* = A^(-1)，其中A^*表示A的共轭转置矩阵，A^(-1)表示A的逆矩阵。

特别地，当特征值为0时，次酉矩阵具有一些独特的性质和应用。

次酉矩阵的特征值为0意味着矩阵A的特征多项式为λ^n = 0，这意味着A具有n个重根特征值为0。

根据线性代数的基本理论，我们知道零特征值与矩阵的秩和零空间有密切关系。

对于特征值为0的次酉矩阵A，它的秩r必然小于n，即r < n。

这表明矩阵A的列向量线性相关，并且存在非零向量x使得Ax = 0。

这个非零向量x称为A的左零向量或者A的核心向量，它对应于零特征值，也称为A的特征向量。

次酉矩阵的性质使得它在很多应用中发挥了重要的作用。

首先，次酉矩阵可以应用于信号处理和通信系统中。

在无线通信系统中，特征值为0的次酉矩阵用于信号分析和信道估计，可以提高信道的估计准确性和信号的接收质量。

其次，次酉矩阵在量子力学中具有重要意义，被应用于描述量子态的演化和量子系统的相互作用。

特征值为0的次酉矩阵常常与态重叠和量子叠加等量子现象密切相关。

此外，次酉矩阵还可以用于数学领域的各种问题，如线性方程组的求解和线性变换的研究等。

总结来说，特征值为0的次酉矩阵是一种在数学和工程领域中广泛存在的矩阵类型。

它的定义、性质和应用都具有重要意义。

对于数学学科的研究者和工程技术人员来说，深入理解和掌握次酉矩阵的相关知识，有助于解决实际问题和提高工作效率。

通过对次酉矩阵的研究，我们能够更好地了解矩阵理论在应用中的价值，为学术研究和工程实践的交叉融合提供指导和支持。

0特征值的次酉矩阵一个特征值为0的n×n次酉矩阵是一个方阵，其特征值全为0，且满足矩阵转置后乘以自身等于单位矩阵。

即A*A^H=I，其中A^H表示矩阵A的共轭转置。

考虑一个3×3的次酉矩阵A，可表示为：A=[a11a12a13;a21a22a23;a31a32a33]由于特征值全为0，所以矩阵A的所有特征值都为0。

特征值为0的矩阵具有一个特殊的性质，即其行列式为0。

由此得到一个等式：A，=a11*a22*a33+a21*a32*a13+a31*a12*a23-a13*a22*a31-a23*a32*a11-a33*a12*a21=0这个等式可以得到一个约束条件，即矩阵A的元素之间满足以下关系：a11*a22*a33=a13*a22*a31+a23*a32*a11+a33*a12*a21-a21*a32*a13-a31*a12*a23对于一个3×3的次酉矩阵，存在无穷多个满足特征值为0的矩阵，下面给出一个例子：令a11=0，a22=0，a33=0，则等式变为：0=-a21*a32*a13-a31*a12*a23我们可以选择a21=1，a32=0，a13=0，a31=0，a12=0，a23=1，此时等式成立。

所以一个满足特征值为0的3×3次酉矩阵可以表示为：A=[000;101;000]需要注意的是，以上只是给出了一个例子，满足特征值为0的次酉矩阵是存在无穷多个的，可以通过选取不同的元素值得到不同的矩阵。

对于n×n的次酉矩阵，也存在满足特征值为0的矩阵，其构造方法与上述类似。

可以通过给定部分元素值的方式，满足约束条件即可。

综上所述，一个特征值为0的n×n次酉矩阵可以通过给定矩阵的元素值，满足行列式为0的约束条件来构造。

而对于n×n的次酉矩阵而言，存在无穷多个满足特征值为0的矩阵，因此可以通过选取不同的元素值得到不同的矩阵。