3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

两角和与差正弦余弦和正切公式

正弦和差公式：对于任意两个角α和β，有以下正弦和差公式：

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

余弦和差公式：对于任意两个角α和β，有以下余弦和差公式：

cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

正切和差公式：对于任意两个角α和β（其中α不等于(2n+1)π/2，β不等于(2m+1)π/2），有以下正切和差公式：

tan(α±β) = (tanα±tanβ) / (1∓tanαtanβ)

正弦、余弦和正切公式在解决三角函数问题中非常重要，可以帮助我们计算任意两个角之间的正弦、余弦和正切值。

首先，考虑正弦和差公式。它表示两个角的正弦的和或差等于这两个角分别对应的正弦的乘积与余弦的乘积之和或差。这个公式可以用来计算不同角度的正弦之和或差。

例如，我们可以使用正弦和差公式来计算sin(α+β)：

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

其中α和β是两个角。我们可以通过已知角度的正弦和余弦值来计算这两个角的正弦和。这对于解决三角函数问题以及计算测量值非常有用。

接下来，是余弦和差公式。余弦和差公式表明两个角的余弦的和或差等于这两个角对应的余弦乘积与正弦乘积之和或差。这个公式可以用来计算不同角度的余弦之和或差。 例如，我们可以使用余弦和差公式来计算cos(α+β)：

cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ

这个公式可以将两个角的余弦值转换成其他形式的余弦值。同样地，这对于解决三角函数问题以及计算测量值非常有用。

最后，是正切和差公式。正切和差公式表示两个角的正切的和或差等于这两个角的正切值之和或差除以1减去这两个角的正切值乘积。

例如，我们可以使用正切和差公式来计算tan(α+β)：

tan(α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)

正切和差公式可以把两个角的正切值转换成其他形式的正切值。这对于求解三角函数问题以及计算测量值非常有用。

两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和的公式可以表示为：

sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB

cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB

tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)

两角差的公式可以表示为：

sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB

cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB

tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)

这些公式可以通过三角函数的定义及相关几何知识进行推导。我们以sin(A + B)的公式为例进行推导。

设点P(x, y)在单位圆上，与x轴正半轴的夹角为A + B。则点P的坐标为(x, y) = (cos(A + B), sin(A + B))。根据三角函数的定义可知：

x = cos(A + B)

y = sin(A + B)

在单位圆上再取点Q(x', y')，与x轴正半轴的夹角为A，点Q的坐标为(x', y') = (cosA, sinA)。

同理再取点R(x'', y'')，与x轴正半轴的夹角为B，点R的坐标为(x'', y'') = (cosB, sinB)。 由于圆上任意两点间的距离为1，因此PQ与PR的长度均为1，可以分别表示为：

PQ = sqrt((x - x')^2 + (y - y')^2)

PR = sqrt((x - x'')^2 + (y - y'')^2)

同时利用勾股定理可知：

PQ^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 +

(sin(A + B) - sinA)^2

PR^2 = (x - x'')^2 + (y - y'')^2 = (cos(A + B) - cosB)^2 +

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

两角和与差的正弦、余弦正切公式

两角和与差公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtanA tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA

cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB

倍角公式

tan2A =Atan12tanA2 Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

半角公式

sin(2A)=2cos1A cos(2A)=2cos1A tan(2A)=AAcos1cos1

tan(2A)=AAsincos1=AAcos1sin cot(2A)=AAcos1cos1

和差化积

sina+sinb=2sin2bacos2ba sina-sinb=2cos2basin2ba

cosa+cosb = 2cos2bacos2ba cosa-cosb = -2sin2basin2ba

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

一、基础知识

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.

2．二倍角公式

S2α：sin 2α＝2sin αcos α.

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2αα≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z.

二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．

二、常用结论

(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2.

考点一 三角函数公式的直接应用

[典例] (1)已知sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A．－211 B.211

C.112 D．－112

(2)(2019·呼和浩特调研)若sin()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )

A．－229 B．－429