3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
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鸡西市第十九中学高一数学组
1 鸡西市第十九中学学案
2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
学习
目标 1．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．2． 熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
重点
难点 灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题.
【两角互余或互补】
(1)若α＋β＝ ，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．
例如：π4－α与 互余，π6＋α与 互余．
(2)若α＋β＝ ，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．
例如：π4＋α与 互补， 与23π－α互补.
【由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)】
由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立．请你根据这种联系，完成下列推导过程．
∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝ ，sin(－β)＝ ，
∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝ ＋
＝ － .
即cos(α＋β)＝＝ － .
这个公式称为两角和的余弦公式，简记作()C
【由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β) 】
比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式．
答 sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β
＝ ＋
＝ ＋
即sin(α＋β)＝ ＋ . 简记作()S 鸡西市第十九中学高一数学组
2 那么，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝ ＋
＝ － .
即sin(α－β)＝ － . 简记作()S
【两角和与差的正、余弦公式的应用】
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．
例如，化简：sinπ4－3xcosπ3－3x－cosπ6＋3x·sinπ4＋3x.
例1 化简求值：
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)； (2)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°.
小结 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
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3 (3)sin π12－3cos π12.
例2 已知α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.
小结 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
训练2 已知sin α＝35，cos β＝－513，α为第二象限角，β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
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4 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
训练3 证明：sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.
【当堂训练】
1．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为 ( )
A．12 B．－12 C．32 D．－32
2．在△ABC中，A＝π4，cos B＝1010，则sin C等于 ( )
A．255 B．－255 C．55 D．－55
3．函数f(x)＝sin x－3cos x(x∈R)的值域是________．
4．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝_____.
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin3π2－α＝sin3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
