3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。
二、教学重点难点
重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。
三、学情分析
鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。
四、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路
本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。
在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
知识梳理
一、两角和与差的余弦公式
【问题导思】
1．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？
2．在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝
二、两角和与差的正弦公式
【问题导思】
由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
1．公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝
α、β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝ α、β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.
三、两角和与差的正切公式
【问题导思】
1．利用两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？
2．能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？
3．公式中α，β为任意实数吗？
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝
两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝
知识点一 给角求值
例1化简求值：
(1)sinπ12－3cosπ12； (2)sin 15°－cos 15°cos 15°＋sin 15°.
规律方法
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.
S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余．
(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．
一、选择题
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(
)
A.12B.33C.22D.32
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－32
B．－12
C.12
D.32
3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )
A.1725 B.35 C.725 D.15
4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(
)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础知识归纳
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sinα±π4.
基础题必做
1． 若tan α＝3，则sin 2αcos2α的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D sin 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝2tan α＝2×3＝6.
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A．－22 B.22
C.32 D．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22.
