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复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。
根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。
复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。
高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。
一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。
1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。
对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。
若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。
若240b ac，则方程有没有实根。
为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。
现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。
为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。
其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。
任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。
若将“1”看作“实数单位”，即：1 。
“实数单位”“1”1 。
可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。
网易云课堂_C++程序设计入门(下)_第9单元：白公曾咏牡丹芳，一种鲜妍独“异常”_第9单元 - 作业3：OJ编程 - 使用异常进行复数运算的错误处理...第9单元?-?作业3：OJ编程?-?使用异常进行复数运算的错误处理查看帮助温馨提示：1.本次作业属于Online Judge题目，提交后由系统即时判分。
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在复数的运算中，练习异常处理依照学术诚信条款，我保证此作业是本人独立完成的。
通过C++内建的异常类，处理复数除法中除数为0 的问题（5分）题目内容请参见【第9单元 - 作业3说明：【OJ - 使用异常进行错误处理】】时间限制：500ms内存限制：32000kb#include iostream#include exception#include stdexcept#include limits#include cmathusing namespace std;class MyComplex--2. 创建一个类 MyComplex，用来表示复数。
MyComplex();MyComplex(double a, double b);friend ostream operator (ostream os, const MyComplex z);--4. 重载流插入运算符，使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数，则不输出符号位；输出时要包含半角左右小括号)：friend istream operator (istream is, MyComplex z);--3. 重载流提取运算符，使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔)，将第一个数值存为复数的实部，将第二个数值存为复数的虚部：MyComplex operator+(const MyComplex secondMyComplex);--加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--减法法则：(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；MyComplex operator*(const MyComplex secondMyComplex);--乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i.private:double a_;double b_;MyComplex::MyComplex()MyComplex::MyComplex(double a, double b)ostream operator(ostream os, const MyComplex z)--4. 重载流插入运算符，使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数，则不输出符号位；输出时要包含半角左右小括号)：-- TODO: 在此处插入 return 语句os.unsetf(std::ios::showpos);os "(" z.a_;os.setf(std::ios::showpos);os z.b_ "i)";return os;istream operator (istream is, MyComplex z)--3. 重载流提取运算符，使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔)，将第一个数值存为复数的实部，将第二个数值存为复数的虚部：-- TODO: 在此处插入 return 语句is z.a_ z.b_;return is;MyComplex MyComplex::operator+(const MyComplex secondMyComplex)--加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；return MyComplex(a_ + secondMyComplex.a_, b_ + secondMyComplex.b_);MyComplex MyComplex::operator-(const MyComplex secondMyComplex)--减法法则：(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；return MyComplex(a_ - secondMyComplex.a_, b_ - secondMyComplex.b_);MyComplex MyComplex::operator*(const MyComplex secondMyComplex)--乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；return MyComplex(a_ * secondMyComplex.a_ - b_ * secondMyComplex.b_, secondMyComplex.a_ * b_ + a_ * secondMyComplex.b_);MyComplex MyComplex::operator-(const MyComplex secondMyComplex)--除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i.--1. 在【本单元作业2】的基础上，修改相关代码。
在做除法运算时，如果作为除数的复数z是0，则抛出一个runtime_error类型的异常--2. 在该runtime_error类型的异常对象中，存储着错误信息“Divisor is 0”（注意：请精确复制这段信息，否则即便你的程序逻辑正确，OJ系统仍然会判你失败。
输出信息中不包含引号）。
该错误信息可以通过runtime_error类的构造函数存入runtime_error对象中。
if (pow(secondMyComplex.a_, 2) + pow(secondMyComplex.b_, 2) == 0)--2. 在做除法时，如果除数是0，则输出一条信息：“Divisorcan not be 0” （注意：请精确复制这段信息，否则即便你的程序逻辑正确，OJ系统仍然会判你失败。
输出信息中不包含引号）然后结束程序（调用 exit() 函数），直接退出（注意，传递给操作系统的返回值与main函数正常结束时相同，仍然为0）。
throw runtime_error("Divisor is 0");return MyComplex((a_ * secondMyComplex.a_ + b_ * secondMyComplex.b_) - (pow(secondMyComplex.a_, 2) + pow(secondMyComplex.b_, 2)), (b_ * secondMyComplex.a_ - a_ * secondMyComplex.b_) - (pow(secondMyComplex.a_, 2) + pow(secondMyComplex.b_, 2)));int main() { -- 不可修改main函数中的代码，否则OJ将给你的程序打0分MyComplex z1, z2;cout "z1 + z2 = " z1 + z2 endl;cout "z1 - z2 + z1 = " z1 - z2 + z1 endl;cout "z1 * z2 - z1 = " z1 * z2 - z1 endl;cout "z1 - z2 + z1 = " z1 - z2 + z1 endl;cout "z2 - z1 - z1 = " z2 - z1 - z1 endl;cout "Finished";catch (exception e) { -- catch父类异常类型，也可以捕获子类异常cout e.what() endl; -- waht()函数将存放在异常对象中的信息取出来cout "Unexpected Error";-- GCC及VC编译器在调试模式下会暂停，便于查看运行结果#if ( defined(__DEBUG__) || defined(_DEBUG) )cin.ignore(numeric_limitsstreamsize::max(), '');cin.get();return 0;先作出圆心在原点，半径为的圆，然后作出角的终边，以这条终边与圆的交点为分点，将圆周等分，那么每个等分点对应的复数就是复数的次方根。
cout"z1-z2+z1="z1-z2+z1endl;两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。
它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。
根据FOIL规则，我们先计算两个数中第一个数字的相乘，将两式第一个数字做乘法也就是1乘以2，所以：return Complex(c1.real + c2.real, c1.imag + c2.imag);Complex operator *(const Complex c);1）如果计算时用户没有给表达式设定变量，系统将会自动将当前结果赋给ans变量return Plural(--before, --after);1.本次作业属于Online Judge题目，提交后由系统即时判分。
