华东师范大学数学分析2009真题

华东师范大学2008至2009学年第2学期高等数学期末考试试题
华东师范大学期末试卷（A）
2008 — 2009 学年第 2 学期
课程名称：__ 高等数学（一）__
学生姓名：___________________ 学号：___________________专业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修
一二三四总分阅卷人签名一、填空题（每小题4分，共24分）
1． 1/2n(…)括号内化成积
分 .
2．= L’Hospital .
3．= 分母配方 .
4．= 变成cos然后化成两部分 .
5．曲线的水平渐近线方程为 x趋于无穷大得
y=1/5 .
6．曲线的拐点有求导个.
二、选择题（每小题4分，共16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内）
7．与相比，有关系式（ b ）.
（A）；（B）；。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

华东师范大学数分期末试卷（A 卷）2009-2010年第一学期一．（20分）判断下列结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）1．设()f x 在（a,b ）连续，()f x 在0(,)x a b ∈取极值，则0'()0f x =；2．设()f x 在点0x 可导，则存在0δ>，使得()f x 在00(,)x x δδ-+上连续；3．设数列{}n a ，{}n b 满足1(1,2,)n n a b n ≤≤=…，lim()0n n n b a →∞-=，则极限lim ,lim n n n n a b →∞→∞ 都存在；4．设()f x 是区间（-a,a ）上的可导偶函数，则()f x 在x=0取极值。

二．（16分）计算下列极限；1．20arctan limtan x x x x x→-； 2．20ln(1)sin lim x x x x →+-； 三．（16分）计算下列函数的导函数dy dx： 1．1,0,()1,0;x x e x y x e x -⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 2．()y y x =由极坐标方程2(1cos )(0)a a ρθ=+>所确定。

四．（14分）讨论2x y x e -=的单调性区间，凹凸性区间，极值与拐点。

五．（14分）证明不等式：1．2arctan (0,);12, x x x x π+<∈+∞+ 2．过研究ln ()x f x x =的单调性，证明：e e ππ>. 六．（8分）设()f x 在区间I 上连续但不一致连续，()g x 在(,)-∞+∞上可导且'()0g x k ≥>.证明：复合函数(())g f x 在I 上不一致连续。

七．（12分）设()f x ，()g x 在[,)a +∞上连续可微，且极限()lim ()x f f x →+∞+∞=，()lim ()x g g x →+∞+∞= 存在，证明：1． 若()()f a f =+∞，则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()0f ξ=；2． 若对[,),'()0,x a g x ∈+∞≠则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()()()'()()()f f f ag g g a ξξ+∞-=+∞- 八．（附加题10分）设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且''()1f x ≤，又极限lim ()x f x A →+∞=存在。

华东师范大学期末试卷（A ）参考答案2009——2010学年第一学期1.填空题（20分）1) 从理论上讲，在地理学中，数学方法的运用主要有两个目的：（1）运用数学语言对地理问题进行描述，建立地理数学模型，从更高、更深层次上揭示地理问题的机理；（2）运用有关数学方法，通过定量化的计算和分析，对地理数据进行处理，从而揭示有关地理现象的内在规律。

（每空1分，共2分）2) 集中化指数的计算公式I=(A-R)/(M-R)，其中集中化指数在区间[0,1]上取值，各参数的意义分别为A —实际数据的累计百分比总和；R —均匀分布时的累计百分比总和；M —集中分布时的累计百分比总和。

（每空0.4分，共2分）3) 线性模型''a b y x =+是由双曲线模型1/y=a+b/x 转化而成的，其中'y =1/y ，'x =1/x 。

（每空0.5分，共1.5分）4) 主成分分析的主要计算步骤①计算相关系数矩阵 ， ②计算特征值与特征向量 ， ③计算主成分贡献率及累计贡献率 ， ④计算主成分载荷 。

（每空0.5分，共2分） 5) 变异函数的四个重要参数分别是：基台值（Sill ）、变程（Range ）或称空间依赖范围（Range of Spatial Dependence ）、块金值（Nugget ）或称区域不连续性值（Localized Discontinuity ）和分维数（Fractal Dimension ）。

变量函数的理论模型可分为三大类：有基台值模型、无基台值模型、孔穴效应模型。

（每空0.5分，共3.5分） 6) 请写出线形规划问题： Min Z=2X 1+3X 2+X 3 满足 X 1+2X 2+X 3≥33X 1-X 2+2X 3≥4X 1,X 2,X 3≥0 的标准形式（1.5分） 7) 在基于投入产出分析的资源利用优化模型中，对于不同的目标函数，其约束条件均为（1.5分） 8) AHP 决策分析方法的计算步骤为①明确问题；②建立层次结构模型；③构造判断矩阵；④层次单排序；⑤层次总排序。

华东师范大学期末试卷（A ） 2008 —2009 学年第 2 学期课程名称：概率论与数理统计学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：__________________一、单项选择题(20分,每题2分)1. 设随机变量12100~(1,4), ,,X N X X X X 是来自的样本 X 为样本均值,已知 随机变量~(0,1)Y aX b N =+,则有（ ）A. a =－5,b=5B. a =5,b=5C. a =－0.2,b=0.2D. a =0.2,b=－0.22. 设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 互相独立的充分必要条件是（ ）A. A 与BC 独立B. AB 与A C 独立C. AB 与AC 独立D. A B 与A C 独立3. 设10件产品中有2件次品，8件正品。

现每次从中任取一件产品，且取后不放回，则前两次均取得正品的概率为 （ ）A.2845B.15 C. 19D.594. 离散型随机变量X 的分布列为()k P X k b λ== (1,2,3,k =⋅⋅⋅则下列选项不正确的是（ ）A. 0b >B. 0λ>C. 11b λ-=-D.1(1)b λ-=-5. 如果随机变量X 的可能值充满区间______，而在此区间外等于0，那么sin x 可以成为一个随机变量的概率密度 （ ） A. [0,0.5]πB. [0.5,1.5]ππC. [0,]πD. [,1.5]ππ6. 设随机变量~(0,1), ~(1,7), ()6X N Y U D X Y +=已知:，则, X Y 一定（ ） A ．相互独立 B.相互独立但相关 C.不相关 D.相关7. ,X Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ ）A (,)X YB X Y +C 2X D X Y -8．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于 （ ） A 1- B 0 C12D 1 9．X 与Y 独立，其方差分别为6和3，则(2)D X Y -= （ ） A 9 B 15 C 21 D 2710．设~(0,1)X N ， 11n i i X X n ==∑，22221111(), 1n n i n i i i S X X S X n n ===-=-∑∑。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。

华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。

试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。

（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。

（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

2008—2009学年度第二学期期末考试试卷初二数学注意事项：1．全卷共三大题28小题，满分130分，考试时间120分钟；2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，所有解答均须写在答题卷上，在本试卷上答题无效．一、填空题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分．)1= ▲．2．当a=99时，分式211aa--的值是▲．3．)1×▲=1．4．速度为每小时60千米的汽车，匀速行驶的路程s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系式是▲．5．方程ax－x2=0的根是2，则a= ▲．6．已知5筐苹果的质量分别为(单位：kg)52，49，50，53，51，则这5筐苹果的平均质量为▲kg．7a的取值范围是▲．8．2009年5月30日，在“六一国际儿童节”来临之际，某初级中学开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动．全校1500名学生每人都捐赠了一定数量的图书．已知各年级人数比例分布扇形统计图如图①所示．那么此学校八年级有学生▲人．9．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0，－2)，B(1，0)，则kb= ▲．10．如果两个三角形相似，且它们的面积比是25：36，则它们的相似比等于▲．11．双曲线1myx-=中，当x>0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是▲．12．数a、b在数轴上的位置如图所示，▲．二、选择题：(本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)13．在体育课上，八年级2名学生各练习10次立定跳远，要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生立定跳远成绩的(A)方差(B)平均数(C)频率分布(D)众数14．下列二次根式中，最简二次根式是15．如果34ab=，那么aa b+等于(A)4：3 (B)3：7 (C)7：3 (D)4：716．结果为a2的式子是(A)a6÷a3(B)a4·a－2(C)(a－1) 2(D)a4－a217．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连结CP，以下条件中不能判定△AC P∽△ABC 的是(A)∠ACP=∠B (B)AC CPAB BC=(C)AC ABAP AC=(D)∠APC=∠ACB18．如图，A D∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE=EG=GP=PB，AD=2，BC=10，则EF、PQ长为(A)3和7 (B)4和7 (C)5和8 (D)4和8三、解答题：(本大题共10小题，共76分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．)19．(本题满分8分，每小题4分)计算：(1)223--；(2)224242xx x+---．20．(本题满分8分，每小题4分)解方程：(1)341x x=-；(2)x2+2x－2=0．21．(本题满分6分)如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．(1)实验与探究：由图观察易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(－2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′▲，C′▲；(2)归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为▲．(不必证明)22．(本题满分6分)如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数myx的图像相交于A、B两点，试利用图中条件，求一次函数和反比例函数的解析式．23．(本题满分7分)图1是苏州市2009年6月1日至10日每天最低气温的折线统计图．(1)图2是该市2009年6月1日至10日每天最低气温的频数分布直方图，根据图l提供的信息，补全图2中频数分布直方图；(2)在这10天中，最低气温的众数是▲，中位数是▲，极差是▲．24．(本题满分7分)已知，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M 分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形，并选其中一对给出证明．25．(本题满分8分)某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元?26．(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m－3)x+m2=0的两个不相等的实数根α，β，满足111αβ+=，求m的值．27．(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．(1)当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于▲秒；(请写出简要过程)(2)当P，Q，C三点构成以P为直角顶点的直角三角形时，P点离开D点多少时间?28．(本题满分9分)通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y(千克)与市场价格x(元／千克)(0<x<30)存在下列关系：又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z(千克)与市场价格x(元／千克)成正比例关系：z=400x(0<x<30)．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么此时市场处于平衡状态．(1)请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少?(3)如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元?。

华东师范大学期末试卷（A ）参考答案2008——2009学年第一学期1.填空题（20分）1) 描述地理数据一般水平的指标有 平均值 、 中位数 、 众数 ；描述地理数据分布的离散程度的指标有 极差 、 离差 、 离差平方和 、 方差与标准差 、 变异系数 ；描述地理数据分布特征的参数有 偏度系数 、峰度系数 ；揭示地理数据分布均衡度的指数有 基尼系数 、 锡尔系数 。

（每空0.5分）2) 秩相关系数与简单相关系数的区别在于： 秩相关系数是以两要素样本值的大小排列位次来代替实际数据而求得的一种统计量 。

（1分）3) 多元线性回归模型中常数0b 及偏回归系数i b 的求解公式b = A -1B=（X T X ）-1X TY （请用矩阵形式表达），其中各矩阵的具体表达式为:、 、 ； 其显著性检验中，回归平方和U 的自由度为 自变量的个数k ，剩余平方和Q 的自由度为n-k-1,n 为样本个数 。

（每空0.5分）4) 主成分分析的主要计算步骤： ①计算相关系数矩阵 ， ②计算特征值与特征向量 ， ③计算主成分贡献率及累计贡献率 ， ④计算主成分载荷 。

（每空0.5分） 5) 全局空间自相关的度量指标有 Moran 指数 、 Geary 系数 ；局部空间自相关分析方法包括： LISA(空间联系的局部指标) 、 G 统计量 、 Moran 散点图 。

（每空0.5分） 6) 请写出线形规划问题： Min Z=2X 1+5X 2+X 3 满足 X 1+2X 2+X 3≥63X 1-X 2+2X 3≥6X 1,X 2,X 3≥0 的对偶问题max Z=6Y 1+6Y 2 Y 1+3Y 2≤22Y 1-Y 2≤5 Y 1+2Y 2≤1 Y 1,Y 2≥0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（1.5分）7) 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需引入正、负偏差变量，其中，正偏差变量表示 决策值超过目标值的部分 ，负偏差变量表示 决策值未达到目标值的部分 。

09级数学分析(1)试题（A卷）参考答案参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分，共20分）1．设liman?a（an?0,a?0），求liman。

Nnn？？解决方案0遇见0？？0 a.利曼的？A你知道吗，？NN什么时候？当n，n??a??0?an?a??0因此nnna??0?an?a??0nnn？？N取上述公式两边的极限，并使用结论limc？1（C？0是常数）和强迫收敛，利曼？1。

2. 找到曲线X？1.t2，y？Tt的T2？1对应点的切线方程。

解因为x2t,y??1?2t，那什么时候呢？1点，x？0，y？0 x2，y 1.那么切线方程是x?0y?0?即x?2y?0?2?1或dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是1.2t？1岁？0 3. 问limx？01（x？0）2tanx？sinx.3sinx12x？xtanx？sinxtanx （1？cosx）12？Lim溶液。

？林？十、0x？0x？0sin3xsin3x32第1页，共6页或tanx?sinxtanx?sinx01?cos3x0lim?limlim2332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x03cos2xsin x10?limlim?2x?0x?03x6x2或11 十、x3？o（x3）十、x3？o（x3）？？坦克斯？sinx33lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1?lim2?x?0x324.找到f（x）？2x3？X4的极值。

解f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,232323(,??)2－kxf?(x)f(x)或(??,0)+j00无极值3(0,)2+j320极大值27/163f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,22和f？？（x） ?？12倍？12倍？12倍（1？x），f（x） ?？12（1？2倍）f??(0)?0,f(0)?0，所以f在x?0不取极值。

华东师范大学2009年数学分析考研试题一．判断下列各题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例.1.设()lim x a g x A →=，()lim y A f y B →=，此处,,a A B 均为实数，则()()lim x af g x B →=. 2.设()f x 为闭区间[],a b 上不恒为零的连续函数，()D x 为Dirichlet 函数， 则()()f x D x 在[],a b 上不可积.3.存在实数0a ，n a ，n b ()1,2,n = 使得()[][]011,1,2cos sin 20,4,5n n n x a a nx n nx x ∞=⎧∈⎪++=⎨∈⎪⎩∑. 4.已知()f x 在2x =处连续，且()2lim 12x f x x →=-，证明()f x 在2x =处可导. 5.如果()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 的一个邻域内连续.6.若多项式函数列(){}n P x 在(),-∞+∞上一致收敛于函数()f x ，则()f x 必是多项式函数.二．计算下列各题1.设0a >，1a ≠，求极限()11lim 1x xx a a x →+∞⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭. 2.设圆盘()()222x a y b R -++≤上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘质量.3.设S 为3R 中封闭光滑曲面，l 为任何固定方向，n 为曲面S 的外法线方向， 求()cos ,S n l dS ⎰⎰.三．证明下列各题1.设0P 是曲面222222:1x y z S a b c++=外一点，1P S ∈，若100max P S PP PP ∈=，求证直线10PP 是S 在点1P 处的法线.2.设()322sin ,0,0,0y y x x f x y x y x ⎧⎪⎪≠=⎨+⎪=⎪⎩， 证明(),f x y 在原点处沿任何方向的的方向导数存在，但不可微.3.设a b <，c d <均为实数，已知()f x 在(),a b 上单调，值域为(),c d ，证明()f x 在(),a b 上一致连续.4.设数列{}n a 满足条件：0n a >，()1,2,n = 且24lim 0n n n n a a a →∞++=+， 证明数列{}n a 无界.5.设()f x 在[)0,+∞上连续且有界，证明对任意正数T ，存在n x →+∞，使得()()()lim 0n n n f x T f x →∞+-=. 6.设函数()f x 在闭区间[],a b ()a b <上可积，且()0b a f x dx =⎰， 证明 若对任意[],x a b ∈，有()0f x ≠，则存在[][],,c d a b ⊆，()c d <， 使得对任意[],x c d ∈，均有()0f x >.。

y x o y x o y x o y x o 2021年春季八年级数学期末复习试题〔一〕说明：本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，请将选择题答案写在第二卷的选择题答题栏内。

本试卷总分值为120分，答题时间为120分钟。

第一卷 选择题〔共30分〕一、选择题〔每题3分，共30分〕1、在函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 〔 〕A ．3x ≠B ．0x ≠C ．3x >D ．3x =2、以下计算正确的选项是〔 〕 A ．623x x x = B ．()248139x x --= Ｃ．111362a a a --= Ｄ．()021x +=3、以下说法中错误的选项是 〔 〕A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形 4、刘翔为了迎战2021年北京奥运会刻苦进展110米栏训练，教练对他的10次训练成绩进展统计分析，假设要判断他的成绩是否稳定，那么教练需要知道刘翔这10次成绩的 〔 〕A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5、点P 〔3，2〕关于x 轴的对称点'P 的坐标是 〔 〕A ．〔3，-2〕B ．〔-3，2〕C ．〔-3，-2〕D ．〔3，2〕6、以下运算中正确的选项是〔 〕A ．1y x x y +=B ．2233x y x y +=+C ．221x y x y x y+=-- D ．22x y x y x y +=++7、如图，P 、Q 是ABC ∆的BC 边上的两点，BP PQ QC AP AQ ====，那么BAC∠的大小为〔 〕A ．120B ．110C ．100D ．908、如图，□ABCD 的面积是12，点E 、F 在AC 上，且AE ＝EF ＝FC ，那么△BEF 的面积为 〔 〕A ．6B ．4C ．3D ．29、小明骑自行车上学，开场以正常的速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。