理论力学7-5-碰撞

碰撞理论
曾凡林
哈尔滨工业大学理论力学教研组
本讲主要内容
1、碰撞的分类·碰撞问题的简化
2、用于碰撞过程的基本定理
3、质点对固定面的碰撞·恢复因数
1、碰撞的分类·碰撞问题
的简化
两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象。

碰撞是工程与日常生活中一种常见而又非常复杂的力学现象。

锤锻、打桩、各种球类活动中球的弹射与反跳、汽车撞击事故、火车车厢挂钩的连接等都是碰撞的实例。

飞机着陆、飞船对接中也涉及碰撞问题。

（1）碰撞的分类
C 1v 1
B
碰撞时两物体的相互作用力——碰撞力碰撞力的作用线通过两物体的质心
——对心碰撞
碰撞力的作用线不通过两物体的质心——偏心碰撞
碰撞时两物体各自质心的速度均沿着公法线方向——正碰撞碰撞时两物体质心的速度不沿着公法线方向——斜碰撞
碰撞时两物体接触处光滑无摩擦——光滑碰撞
碰撞时两物体接触处粗糙有摩擦——非光滑碰撞
此外，按物体碰撞后变形的恢复程度或动能的损失情况，碰撞又可以分为完全弹性碰撞、弹性碰撞和塑性碰撞等类型。

碰撞现象的特点
碰撞时间极短（一般为）s 4310~10--速度变化为有限值加速度变化相当巨大碰撞力极大碰撞问题的简化
普通力的冲量忽略不计（仅考虑碰撞力）在碰撞过程中,物体的位移忽略不计。

一、实验目的1. 了解碰撞现象的特点及研究方法；2. 掌握碰撞实验的基本原理和实验步骤；3. 通过实验验证动量守恒定律和动能守恒定律；4. 提高动手操作能力和实验数据处理能力。

二、实验原理1. 动量守恒定律：如果一个系统所受的合外力为零，那么该系统总动量保持不变。

2. 动能守恒定律：在一个孤立系统中，如果只有重力或弹力做功，系统的总动能保持不变。

3. 碰撞过程中，系统的总动量和总动能满足以下关系：（1）完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒；（2）非完全弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒；（3）完全非弹性碰撞：动量守恒，动能全部转化为其他形式的能量。

三、实验仪器与设备1. 气垫导轨：用于实现无摩擦滑动，保证实验结果的准确性；2. 滑块：用于实现碰撞实验；3. 数显计时器：用于测量碰撞时间；4. 量角器：用于测量碰撞前后的角度；5. 计算器：用于数据处理和计算。

四、实验步骤1. 将气垫导轨放置在实验桌上，确保导轨水平；2. 将滑块放置在导轨的一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；3. 使用数显计时器测量滑块在导轨上自由滑动的距离和时间，记录数据；4. 将滑块放置在导轨的另一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；5. 观察滑块在碰撞过程中的运动状态，记录碰撞前后的角度；6. 重复步骤3-5，进行多次实验，记录数据；7. 根据实验数据，计算碰撞前后的动量和动能，验证动量守恒定律和动能守恒定律。

五、实验结果与分析1. 实验数据：（1）自由滑动距离：L1 = 1.2m，L2 = 1.3m，L3 = 1.1m；（2）自由滑动时间：t1 = 0.5s，t2 = 0.6s，t3 = 0.4s；（3）碰撞前角度：θ1 = 30°，θ2 = 40°，θ3 =25°；（4）碰撞后角度：φ1 = 35°，φ2 = 45°，φ3 = 30°。

2. 实验结果分析：（1）动量守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动量，发现实验数据基本满足动量守恒定律；（2）动能守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动能，发现实验数据基本满足动能守恒定律。

习题7-1图Oυ(a)υυ(b)习题7-3图第7章 点的复合运动7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。

车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。

试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。

）答：B A A B //v v -≠1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。

为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e =∴ ⎩⎨⎧︒==6021/θv v A B2．以B 为动系，A 为动点。

牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。

此时⎪⎩⎪⎨⎧︒==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。

自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。

试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。

解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=（2）由（1）0ωr xt =代入（2），得)sin(01r xa y ωω=7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。

AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。

试求当ϕ= ︒60，CD 杆的速度和加速度。

解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。

2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A01.02121.0cos e a =⨯⨯==ϕv v m/s （↑）3． r e a a a a +=（图b ）4.021.022e =⨯==ωr a m/s 2 346.030cos e a =︒=a a m/s 2（↑）习题7-5图习题7-7图习题7-9图υ(a) (b)(a)7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。

1第七章 质点动力学 习题解答7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = 0.8 kN ，如图所示。

求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。

解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式F x m = ，0=ym ，mg z m -= 初始条件为000====t t y x ，3.00==t z ；000====t t z x，v y t ==0 解得质点的速度方程为t mFx= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =，vt y =，3.022+-=t gz 当0=z 时，小球到达xy 平面，由03.022=+-=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为m/s 7.494811===t mFxt t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211-=-==gt z t t . 各坐标为m 2.6122211===t m F x t t ，m 979.111===vt y t t ，m 137.23.02211-=+-==t gz tt .7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。

运动开始时，两物体的高度差为h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。

求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有TB TA F F =，B A x x -=，B A xx -= 初始条件00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x，00==t B x . 解以上初值问题，得题7-2图题7-2受力图2g m m m m xBA B A A +-= ， ()22gt m m m m x B A BA A +-=g m m m m x B A B A B +--= ， ()h gt m m m m x B A BA B ++--=22令B A x x =，即()()h gt m m m m gt m m m m B A BA B A B A ++--=+-2222解得当两物体达到相同高度时 ()()gm m h m m t B A B A -+=...7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = -k 2m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为β，如图所示。